2025年高考数学一轮复习讲义 考点归纳与方法总结 第03讲 不等式及其性质（精讲）（含解析）

这是一份2025年高考数学一轮复习讲义 考点归纳与方法总结 第03讲 不等式及其性质（精讲）（含解析），共21页。学案主要包含了必备知识整合，考点分类精讲，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、必备知识整合
1.比较大小基本方法
2.不等式的性质
1.作差法比较大小的步骤是：
（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论.
作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：
（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论.
注：其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小.作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法.
二、考点分类精讲
【题型一 不等式性质的简单应用】
应用不等式性质解决问题的一般思路
1．判断不等式是否恒成立，需要给出推理或者反例说明．
2．充分利用基本初等函数性质进行判断．
3．小题可以用特殊值法做快速判断．
【典例1】（单选题）（2023·湖北武汉·模拟预测）下列不等式正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，，则
D．若，，，且，则
【答案】D
【分析】举例说明选项ABC错误；利用作差法证明选项D正确.
【详解】对于A，当，，时满足，但，所以A错误；
对于B，当，，时，满足，但，所以B错误；
对于C，由不等式的基本性质易知，当，，时满足，，但，所以C错误；
对于D，，所以，故D正确．
故选：D．
一、单选题
1．（23-24高一上·福建三明·期中）已知，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】B
【分析】由不等式性质可判断选项A，B，C；取特殊值可判断选项D.
【详解】对于选项A：当时，若，由不等式性质可知，故选项A 错误；
对于选项B：由不等式性质可知若，则成立，故选项B正确；
对于选项C：当时，若，由不等式性质可知，故选项C错误；
对于选项D：当时，，故选项D错误.
故选：B
2．（2024·全国·模拟预测）已知，则下列不等式正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用不等式的性质可判断A项正确，D项错误，通过举反例可说明B,C两项错误.
【详解】，即，故选项A正确；
当时，满足，但，此时，，故选项B，C错误；
当时，由可得，故选项D错误.
故选:A．
3．（23-24高三上·北京房山·期末）已知，为非零实数，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】对A、B、C举反例即可得，对D作差计算即可得.
【详解】对A：若，则，故错误；
对B：若，则，故错误；
对C：若，则，，左右同除，有，故错误；
对D：由且，为非零实数，则，即，故正确.
故选：D.
4．（2024·陕西西安·一模）已知，则下列选项中是“”的充分不必要条件的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据不等式性质及指数函数的单调性，结合充分条件，必要条件的定义逐项判断即可.
【详解】对于A，当，满足，但不成立，
当时，满足，但不成立，故A错误；
对于B，当时，，但，故B正确；
对于C，时，，但不成立，
时，，但不成立，故C错误；
对于D，因为指数函数在上单调递增，故，故D错误.
故选：B
5．（23-24高三上·山东烟台·期末）已知且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】对于选项A,B利用作差法即可判断；对于选项C,D利用指数函数及幂函数的单调性即可判断.
【详解】对于选项A：因为，所以，
由，故，选项A错误；
对于选项B：因为，所以，
由，故，选项B错误；
对于选项C：由指数函数可知，在定义域上单调性不确定，故无法确定的大小，
比如当时，则，选项C错误；
对于选项D：由幂函数可知，在定义域上单调递增，且，所以，选项D正确.
故选：D.
【题型二 比较数（式）的大小】
比较两个数或代数式的大小的四种方法
(1)当两个数(或式子)正负未知且为多项式时，用作差法．
步骤：①作差；②变形；③判断差的符号；④下结论．
变形技巧：①分解因式；②平方后再作差；③配方；④分子、分母有理化；⑤通分．
(2)作商法：适用于分式、指数式、对数式，要求两个数(或式子)为正数．
步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④下结论．
(3)特殊值法：对于比较复杂的代数式比较大小，利用不等式的性质不易比较大小时，可以采用特殊值法比较．
(4)中间值法：利用中间量法比较不等式大小时要根据已知数、式灵活选择中间变量，指数式比较大小，一般选取1和指数式的底数作为中间值；对数式比较大小，一般选取0和1作为中间值，其实质就是根据对数函数f(x)＝lgax的单调性判断其与f(1)，f(a)的大小．
【典例1】（单选题）（2023高三·全国·专题练习）已知p∈R，，，则M，N的大小关系为（ ）
A．MN
C．M≤ND．M≥N
【答案】B
【分析】作出M，N的差，变形并判断符号作答.
【详解】，
所以.
故选：B.
【典例2】（单选题）（2024·陕西西安·模拟预测）若，则有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由题意首先得，进一步，从而我们只需要比较的大小关系即可求解，两式作商结合基本不等式、换底公式即可比较.
【详解】，所以，
，
又因为，
所以，即.
故选：B.
【典例3】（单选题）（23-24高一下·福建·期中）三个数，，的大小顺序是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用指数函数和对数函数，三角函数的性质，即可比较大小.
【详解】，，，
所以最大，
因为，所以，
因为，所以，则，所以，
即.
故选：B
一、单选题
1．（23-24高三上·湖南长沙·开学考试）设互不相等的三个实数满足，则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，用a表示b，再利用作差法比较大小作答.
【详解】由，得，
于是，即，
而，且三个实数互不相等，因此，
所以的大小关系是.
故选：D
2．（2023高三·全国·专题练习）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用不等式的性质分析判断即可.
【详解】因为，所以．
又，所以，则.
故选：C．
3．（2023·四川资阳·模拟预测）已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】四次方后可比较，用即可比较
【详解】
故
，而，
所以，
综上，.
故选：B
4．（2023·广东·二模）若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用作差法比较大小即可得出正确选项.
【详解】因为，所以.，
因为，
且，所以，所以，所以.故.
故选： A
5．（2024·北京房山·一模）已知，则下列命题为假命题的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】D
【分析】根据不等式的性质即可判断A；根据幂函数单调性可判断B；根据指数函数的性质即可判断C；利用作差法即可判断D.
【详解】对于A，因为，所以，故A结论正确；
对于B，当时，因为幂函数在上单调递增，所以，故B结论正确；
对于C，因为，所以，
而函数为减函数，所以，故C结论正确；
对于D，，
因为，所以，
所以，所以，故D结论错误.
故选：D.
6．（23-24高一上·辽宁葫芦岛·期末）设，，，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据换底公式将变形利用不等式性质比较的大小，再根据中间量比较的解.
【详解】，，
又，，，
，即，
又，，，
所以.
故选：A.
7．（2024·全国·模拟预测）若，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用指数函数的单调性以及对数函数单调性可判断范围，比较它们的大小；利用作商法比较的大小，即可得答案.
【详解】因为函数在R上单调递增，所以．
又，所以．
因为，故在上单调递减，
所以，所以，
所以实数的大小关系为，
故选：B．
8．（22-23高一上·河南南阳·阶段练习）若正实数，，满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用作商法，根据指数函数的单调性即可比较大小.
【详解】解：是正实数，且，，
由，得，
，，
，，，
，即，
综上可知，，
故选：C.
【题型三 利用不等式的性质求代数式的取值范围】
利用不等式的性质求代数式的取值范围的一般思路
1．判断不等式是否成立的方法
(1)不等式性质法：直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质时要特别注意前提条件．
(2)特殊值法：利用特殊值排除错误答案．
(3)单调性法：当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断．
2．利用不等式的性质求取值范围的方法
(1)已知x，y的范围，求F (x，y)的范围．可利用不等式的性质直接求解．
(2)已知f (x，y)，g(x，y)的范围，求F (x，y)的范围．
可利用待定系数法解决，即设F (x，y)＝mf (x，y)＋ng(x，y)，用恒等变形求得m，n，再利用不等式的性质求得F (x，y)的取值范围．
【典例1】（单选题）（22-23高一上·四川眉山·期末）已知，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用不等式的性质得到的范围，再和的范围相加即可.
【详解】,
，又，
故选：C
【典例2】（单选题）（22-23高一上·山东济宁·期末）已知，，则的范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先用和表示，再根据条件的范围，求解的范围.
【详解】设，
得，解得：，
所以，
因为，，所以，，
所有的范围是.
故选：C
一、单选题
1．（2023高三·全国·专题练习）已知,则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用不等式的基本性质即可求得答案
【详解】因为,所以,
由,得,
故选：A
2．（2023·陕西·模拟预测）已知，则以下错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由不等式的性质结合特殊值排除法逐项分析即可.
【详解】因为，所以，
对于A，，,,
综上可得，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，当时，，故D错误；
故选：D.
3．（22-23高一上·江西景德镇·期中）若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】应用不等式性质求目标式范围.
【详解】由题设，则，又，所以.
故选：C
4．（23-24高一上·山西太原·阶段练习）已知，，则的取值范围（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据，结合不等式的性质求解即可.
【详解】由题意，，故，
即.
故选：D
二、填空题
5．（23-24高一上·四川眉山·阶段练习）已知，，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】运用不等式的性质即可求得结果.
【详解】因为，所以，
又因为，所以，
所以.即的取值范围为.
故答案为：.
6．（2024·全国·模拟预测）已知实数满足，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据不等式的性质即可求解.
【详解】由可得，所以，
故答案为：
7．（2024高三·全国·专题练习）已知，则的取值范围是 ，的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据不等式的性质即可求解.
【详解】因为，所以.
又，
所以，
所以，
即的取值范围是.
因为所以，
即，
所以的取值范围是
答案：,
8．（23-24高三上·河北保定·阶段练习）已知，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】，根据求出的取值范围.
【详解】因，而，
则，即，
即，
所以的取值范围是.
故答案为：
9．（2024·河北石家庄·二模）若实数，且，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】先得到，并根据得到，从而求出.
【详解】因为，故，
由得，解得，
故.故答案为：
【题型四 不等式的综合问题】
【典例1】（单选题）（2023·四川南充·一模）已知：，，则下列说法中错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由，，得到，再由，得到，然后逐项判断.
【详解】解：因为，，
所以，
则，故A正确；
因为，则，
所以，即，故B正确：
因为，所以，故C正确；
因为，所以，故D错误；
故选：D
一、单选题
1．（23-24高三下·天津·阶段练习）已知，条件，条件，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】结合绝对值的性质，根据不等式的性质及充分条件、必要条件的定义分析判断即可.
【详解】因为，所以由得，故由能推出；
反之，当时，满足，但是；
所以是的充分不必要条件.
故选：A.
2．（2024·北京房山·一模）已知，则下列命题为假命题的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】D
【分析】根据不等式的性质即可判断A；根据幂函数单调性可判断B；根据指数函数的性质即可判断C；利用作差法即可判断D.
【详解】对于A，因为，所以，故A结论正确；
对于B，当时，因为幂函数在上单调递增，所以，故B结论正确；
对于C，因为，所以，
而函数为减函数，所以，故C结论正确；
对于D，，
因为，所以，
所以，所以，故D结论错误.
故选：D.
3．（2024·江苏南通·模拟预测）设实数，，满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意进行转化，利用完全平方式的性质即可得解.
【详解】由可得：
，
当时取等号，
所以的最小值为.
故选：B
4．（2024高三下·全国·专题练习）记表示这3个数中最大的数．已知，，都是正实数，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意可得，，所以，即，解不等式即可得到答案.
【详解】因为，所以，，所以，
所以，即，当且仅当时取等号，所以的最小值为．
故选：A
5．（23-24高三上·陕西渭南·阶段练习）若，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用函数的单调性和对数的换底公式逐项判断即可.
【详解】对于A，，，且
，A错误；
对于B，，
，，
即，B正确；
对于C, ，C错误；
对于D，，
，
即，故D错误.
故选：B
二、多选题
6．（23-24高三下·河南郑州·阶段练习）已知，则以下不等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】根据不等式的性质判断A，由即可判断B，利用特殊值判断C，由，再利用基本不等式判断D.
【详解】当，所以，则，
当时可得，所以，则，
当时，，所以，
综上可得，故A正确；
因为，即，故B正确；
取、满足，但是，故C错误；
因为，
当且仅当，即时等号成立，故D正确.
故选：ABD
7．（2024·广西·二模）已知实数a，b，c满足，且，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】根据不等式的基本性质和已知条件可逐项分析得到答案.
【详解】且，则，，
则，A正确；
因为，，所以，B错误；
因为，，，
当时，，则；当时，，则，当时，，则，故C错误；
因为，
当且仅当时，等号成立，此时由可得，不符合，
所以不成立，故，即，D正确.
故选：AD
三、填空题
8．（2023高三·全国·专题练习）已知，，求的取值范围为 .
【答案】
【分析】先利用待定系数法得到，再利用不等式的性质即可得解.
【详解】设，
则，解得，
所以，
因为，，
所以，，
所以．
则的取值范围为．
故答案为：.
9．（2024·浙江·模拟预测）已知正数满足，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】
根据不等式的性质即可求解.
【详解】
正数、、满足，，
，所以
同理：有得到，所以
两式相加：
即
又,即
即．
故答案为：
10．（2024高三·全国·专题练习）表示三个数中的最大值，对任意的正实数，，则的最小值是 ．
【答案】2
【分析】设，因，可得，借助于基本不等式可得，验证等号成立的条件，即得.
【详解】设，则，，，
因，则得．又因，所以，
当且仅当，即，时等号成立，故的最小值为2．
故答案为：2.
【点睛】思路点睛：本题解题的思路在于，先根据的含义，设出，即得，将问题转化为求的最小值，而这可以利用基本不等式求得，同时需验证等号成立的条件.
①不等式性质的简单应用
②比较数（式）的大小
③利用不等式的性质求代数式的取值范围
④不等式的综合问题
关系
方法
做差法
与0比较
做商法
与1比较
或
或
性质
性质内容
对称性
传递性
可加性
可乘性
同向可加性
同向同正可乘性
可乘方性