2025年高考数学一轮复习讲义 考点归纳与方法总结 第05讲 一元二次不等式及其应用（精讲）（含解析）

这是一份2025年高考数学一轮复习讲义 考点归纳与方法总结 第05讲 一元二次不等式及其应用（精讲）（含解析），共33页。学案主要包含了必备知识整合，考点分类精讲，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、必备知识整合
1.一元二次不等式
一元二次不等式，其中，是方程的两个根，且
（1）当时，二次函数图象开口向上.
（2） = 1 \* GB3 ①若，解集为.
= 2 \* GB3 ②若，解集为.
= 3 \* GB3 ③若，解集为.
(2) 当时，二次函数图象开口向下.
= 1 \* GB3 ①若，解集为
= 2 \* GB3 ②若，解集为
2.分式不等式
（1）
（2）
（3）
（4）
3.绝对值不等式
（1）
（2）；
；
（3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解
1.已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式．
由的解集为，得:的解集为，即关于的不等式的解集为．
已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式．
由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为．
2.已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式．
由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为．
3.已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式．
由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为，以此类推．
4.已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；
5.已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；
6.已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；
7.已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足．
二、考点分类精讲
【题型一 不含参数的一元二次不等式的解法】
解一元二次不等式的四个步骤
【典例1】（单选题）（2024·全国·模拟预测）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】解一元二次不等式可得集合，求得，同理求得集合，可求.
【详解】由，得，解得或，
则，所以．
由，得，解得，
则．
所以．
故选：C．
一、单选题
1．（2024·黑龙江·二模）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题解出一元二次不等式，再取解集范围内的自然数，从而求得B集合的解集， 再求其与集合A的交集即可得出结果.
【详解】，
又，.
故选：B
2．（23-24高三下·湖北武汉·阶段练习）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求解集合,再利用交集运算进行求解.
【详解】，，
所以.
故选：B
3．（2024高三下·全国·专题练习）已知集合， ，，则=（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】化简结合，结合集合的运算律求结论.
【详解】因为函数的定义域为，
所以函数值域为，
所以，
不等式的解集为或，
所以或，
∴或，
则．
故选：B．
二、填空题
4．（2024·全国·模拟预测）已知集合，，则 .
【答案】
【分析】根据题意解一元二次不等式可求得集合，再利用交集运算可得答案.
【详解】由题知，
或，
于是.
故答案为：
5．（2024·河南南阳·模拟预测）已知集合，则中的元素个数为 .
【答案】3
【分析】求解一元二次不等式解得集合，再求，即可求得其元素个数.
【详解】由，得，所以，
，故中的元素共有3个.
故答案为：.
6．（2024·湖南·二模）已知集合，若集合恰有两个元素，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】解二次不等式化简集合，再利用二次不等式解的形式与交集的结果即可得解.
【详解】因为，
，
又集合恰有两个元素，
所以恰有两个元素1和2，所以.
故答案为：.
三、解答题
7．（22-23高一·江苏·假期作业）解下列不等式：
(1)；
(2)；
(3).
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】
（1）因式分解可得结果；
（2）配方法可得结果；
（3）配方法可得结果.
【详解】（1）由，得，得，
所以不等式的解集为.
（2）由得，得，
得，得或，即或，
所以原不等式的解集为或.
（3）由得，所以.
所以原不等式的解集为.
8．（2023高三·全国·专题练习）解下列不等式：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)．
【分析】（1）（2）根据三个“二次”的关系解一元二次不等式即可；（3）转化写出不等式的等价形式，再根据一元二次不等式的解法计算可得.
【详解】（1）原不等式等价于，
，解方程，得，，
作出函数的图象，如图①所示，
由图可得，原不等式的解集为．
（2）∵，∴方程有两个相等的实数根，即，
作出函数的图象，如图②所示，
由图可得原不等式的解集为．
（3）原不等式可化为，
∵，
∴方程无实数根，
∴原不等式的解集为．
【题型二 含参数的一元二次不等式的解法】
解含参不等式的分类讨论依据
【典例1】（23-24高三上·福建莆田·阶段练习）解关于的不等式：.
【答案】答案见详解
【分析】讨论时，分别解出不等式即可.
【详解】若，不等式化为，解得；
不等式的解集为；
若，则不等式化为，
且时，，
①若，
则若，即时，原不等式的解集为；
若，即时，原不等式的解集为；
若，即时，原不等式的解集为；
②若，则，
且不等式变化为，
解得或，
原不等式的解集；
综上所述，当时，不等式的解集为；
当，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
一、单选题
1．（23-24高三上·贵州贵阳·期中）已知集合，，若，则的一个值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】观察选项，根据集合运算的定义判断即可．
【详解】不等式整理得，
观察选项当时，不等式解得，所以
，，
则都可以）．
故选：D．
2．（2023高三·全国·专题练习）已知“”是“”成立的必要不充分条件，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】解一元二次不等式求题设条件中范围，根据必要不充分条件判断包含关系，进而求的取值范围.
【详解】由得：或，所以或；
由得：，所以.
因为是的必要不充分条件，即且，
所以是或的真子集，
所以或，解得或.
故选：A
3．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）若“”是“”的充分不必要条件，则实数可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分别解出这两个不等式，由充分不必要条件判断解集的包含关系，列不等式求解实数的取值范围.
【详解】不等式，解得，
不等式，解得或，
若“”是“”的充分不必要条件，
∴或，解得：或，
则实数可以是.
故选：A．
4．（23-24高一上·湖北武汉·期中）已知关于的不等式恰有四个整数解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】化不等式为，分，和三种情况讨论，求得不等式的解集，结合题意即可求解．
【详解】不等式，可化为，
当时，不等式的解集为空集，不合题意；
当时，不等式的解集为，
要使不等式恰有四个整数解，则，
当时，不等式的解集为，
要使不等式恰有四个整数解，则，
综上可得，实数的取值范围是．
故选：C．
二、多选题
5．（23-24高三上·浙江绍兴·期末）已知，关于x的一元二次不等式的解集可能是（ ）
A．或B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】
分，，三种情况结合与的大小关系讨论，可得不等式的解集.
【详解】当时，；
当时，或，故A正确；
当时，，
若，则解集为空集；
若，则不等式的解为：，故D正确；
若，则不等式的解为：，故C正确.
故选：ACD
三、填空题
6．（23-24高三下·上海·阶段练习）设，若关于的不等式的解集是区间的真子集，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】
解一元二次不等式结合真子集的概念即可得解.
【详解】
因为，所以，
又不等式的解集是区间的真子集，则.
故答案为：.
四、解答题
7．（23-24高一上·安徽蚌埠·阶段练习）解关于的不等式：．
【答案】答案见解析
【分析】分成，，三种情况得出一元二次不等式的解集..
【详解】原不等式等价于，
方程的两根为，
当时，原不等式的解为；
当时，原不等式的无解；
当时，原不等式的解为．
综上，当时，原不等式的解集是；
当时，原不等式的解集是；
当时，原不等式的解集是．
8．（2024高三·全国·专题练习）（1）解关于实数的不等式：．
（2）解关于实数的不等式：．
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；
【分析】对不等式所对应方程的判别式进行判断，分情况讨论参数即可求得（1）（2）中的不等式解集.
【详解】（1）易知方程的，
由得，解得，
当时，的解集为，
当时，的解集为，
当时，的解集为．
（2）对方程 ，
当时，
即时,不等式的解集为
当时，
即或时,
的根为，
不等式的解集为；
综上可得，时,不等式的解集为，
或时，不等式的解集为.
9．（23-24高三上·河南南阳·阶段练习）解关于x的不等式．
【答案】当时，不等式的解集为；
当时，则不等式的解集为；
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
【分析】先对进行分类讨论，再结合对应方程的根的大小分类讨论即可求解.
【详解】当时，即，则不等式的解集为；
当时，由，即，
当时，，则不等式的解集为；
当时，则，若，即时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
综上：当时，不等式的解集为；
当时，则不等式的解集为；
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
【题型三 一元二次不等式中的恒成立和有解问题】
【典例1】（单选题）（2024·浙江·模拟预测）若不等式的解为全体实数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】分类讨论与两种情况，结合二次不等式恒成立问题的解决方法即可得解.
【详解】当时，不等式可化为，显然不合题意；
当时，因为的解为全体实数，
所以，解得；
综上：.
故选：C.
【典例2】（单选题）（2024高三·全国·专题练习）若命题“”为真命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由题意可得不等式在R上有解，结合计算即可求解.
【详解】由题意可知，不等式在R上有解，
∴，解得，
∴实数m的取值范围是.
故选：A.
一、单选题
1．（22-23高二下·辽宁阜新·期末）若命题“，”为真命题，则实数m的取值范围是（ ）.
A．或B．或
C．D．
【答案】A
【分析】根据判别式得到不等式，求出答案.
【详解】“，”为真命题，
故，解得或.
故选：A
2．（23-24高一上·江苏徐州·期末）若命题“，”是假命题，则实数的最小值为（ ）
A．1B．2C．4D．8
【答案】C
【分析】根据特称命题与全称命题的真假性质，结合一元二次不等式的解集的性质进行求解即可.
【详解】因为命题“，”是假命题，
所以命题“，”是真命题，
因此有，所以实数的最小值为，
故选：C
3．（2023·福建厦门·二模）不等式（）恒成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
分和两种情况讨论求出的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解.
【详解】当时，，得，与题意矛盾，
当时，则，解得，
综上所述，，
所以不等式（）恒成立的一个充分不必要条件是A选项.
故选：A.
4．（2024高三·全国·专题练习）已知命题p：∃x∈[1，9]，x2－ax＋36≤0.若p是真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．[37，＋∞)
B．[13，＋∞)
C．[12，＋∞)
D．(－∞，13]
【答案】C
【详解】
∵ p：∃x∈[1，9]，使得x2－ax＋36≤0为真命题，即∃x∈[1，9]，使得x2－ax＋36≤0成立，即a≥x＋能成立．设f(x)＝x＋，则f(x)＝x＋≥2＝12，当且仅当x＝，即x＝6时，取等号，即f(x)min＝12，∴ a≥12，故实数a的取值范围是[12，＋∞).故选C.
5．（2024高三·全国·专题练习）若不等式对一切恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】对二次项系数进行分类讨论可得符合题意，当时利用判别式可求得结果.
【详解】当，即时，不等式为对一切恒成立．
当时，需满足，
即，解得.
综上可知，实数a的取值范围是．
故选：C
6．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）已知条件：“不等式的解集是空集”，则条件： “”是条件的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】先分和两种情况讨论求出的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解.
【详解】因为不等式的解集是空集，
所以不等式的解集是，
当即 时，
若 ，则 ， 舍；
若 ，则 ， ；
当时，则 ，解得 ，
综上所述 ，
所以条件是条件的充分不必要条件．
故选：A．
二、填空题
7．（2024·辽宁丹东·一模）已知集合，，若，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由题意可得，则有，即可得解.
【详解】因为，，
所以，
则不等式无解，
所以，解得.
故答案为：.
8．（2024·辽宁·三模）若“，使”是假命题，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】将问题转化为“在上恒成立”，再利用对勾函数的单调性求得最值，从而得解.
【详解】因为“，使”是假命题，
所以“，”为真命题，
其等价于在上恒成立，
又因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，即实数的取值范围为.
故答案为：.
三、解答题
9．（2024高三·全国·专题练习）已知函数
(1)若函数在上是单调函数，求实数的取值范围.
(2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用二次函数的性质，建立不等式即可求出结果；
（2）根据题意得，当时，恒成立，构造函数，将问题转化为即可求解.
【详解】（1）函数的对称轴为，
又函数在上是单调函数，
或，解得或，
∴实数a的取值范围为；.
（2）
当，时，恒成立，即恒成立，
令，恒成立，
函数的对称轴，
，
故m的范围为.
10．（2024高三·全国·专题练习）设函数．
(1)若对于一切实数，恒成立，求实数的取值范围；
(2)若对于，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分和两类情况，当时采用验证法即可；当时根据一元二次不等式和二次函数之间的关系建立不等式组即可求出实数的取值范围.
（2）方法一：先利用分离参数法得出；再求出函数在上的最小值即可求解.方法二：先将问题转化为在上恒成立；再分类讨论，利用函数的单调性求出函数的最大值即可求解.
【详解】（1）要使恒成立，
若，显然；
若，则，解得．
综上：实数的取值范围是．
（2）方法一：
由得：，即.
因为，所以．
因为函数在上单调递增，
所以函数在上单调递减，
当时，函数在上取得最小值，最小值为，
所以只需即可，所以的取值范围是．
方法二：
由，得，即.
令，
当时，在上是增函数，
则，解得，所以；
当时，恒成立；
当时，在上是减函数，
则，解得，所以．
综上所述，的取值范围是．
【题型四 一元二次不等式中的参数和方程根的分布问题】
一元二次不等式与韦达定理及判别式结合问题思路
1．牢记二次函数的基本性质．
2．含参的注意利用根与系数的关系找关系进行代换．
【典例1】（单选题）（23-24高三上·云南德宏·期末）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据一元二次不等式的解集与对应一元二次方程的根之间的关系求出的值，再解不等式.
【详解】根据题意，方程的两根为2和3，
则，
则为，其解集为.
故选：D.
【典例2】（单选题）（23-24高一上·山东淄博·阶段练习）已知方程有两个不等正实根，则实数m的取值范围为（ ）
A．或B．
C．D．或
【答案】D
【分析】应用二次方程根的分布等价于对应二次函数零点的分布问题，求解实数m的取值范围即可.
【详解】因为方程有两个不等正实根，设两根为，
则等价于函数有两个不相等且大于0的零点，
所以或，
故选：D
一、单选题
1．（2024高三上·广东·学业考试）若不等式的解集为，则（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意可得，是方程的两个根，且，利用韦达定理运算求解.
【详解】由题意知，是方程的两个根，且，
则，解得，
所以.
故选：D.
2．关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】依题意可得和为方程的两根且，利用韦达定理得到，，代入不等式，解不等式即可.
【详解】因为不等式的解集为，
所以和为方程的两根且，
，解得，
则不等式可化为，
因为，所以，解得，
所以不等式的解集为：.
故选：A
3．（23-24高一上·甘肃武威·开学考试）关于的一元二次方程有两个不相等的正实数根，则的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．且
【答案】B
【分析】根据一元二次方程根的分布，结合韦达定理即可求解.
【详解】根据题意可知；，
由韦达定理可得，解得，
故选：B
4．（23-24高三上·四川·阶段练习）若关于的方程在区间上有两个不相等的实数解，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
令，依题意可得，解得即可.
【详解】
令，因为方程在区间上有两个不相等的实数解，
所以，即，解得，
所以的取值范围是．
故选：A．
二、多选题
5．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知关于的不等式的解集是，则（ ）
A．
B．
C．
D．不等式的解集是或
【答案】ABD
【分析】由一元二次不等式的解和韦达定理逐项判断即可.
【详解】由题意可知，1，3是方程的两个根，且，，
A：由以上可知，故A正确；
B：当时，代入方程可得，故B正确；
C：因为，不等式的解集是，故将代入不等式左边为，故C错误；
D：原不等式可变为，且，约分可得，解集为或，故D正确；
故选：ABD
6．（23-24高一上·甘肃·期末）已知不等式的解集为，不等式的解集为，不等式的解集是，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【分析】根据一元二次不等式的解法，分别求得集合，结合集合并集，交集的运算及韦达定理，即可求解.
【详解】由不等式，即，解得，即，
又由，解得，即，
，A正确，B错误；
，则是的两根，
则，，C错误，D正确.
故选：AD
三、填空题
7．（2023高三·全国·专题练习）方程 有一正一负根的充要条件是
【答案】
【分析】根据一元二次方程根的分布即可求解.
【详解】 有一正一负根
故答案为：
四、解答题
8．（23-24高一上·江西新余·期中）设函数．
(1)若不等式的解集为，求的值；
(2)若，且对任意恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据一元二次不等式和其对应一元二次方程根的关系确定，解得答案.
（2）变换得到，根据均值不等式计算最值得到答案.
【详解】（1）不等式的解集为，则，解得.
（2）若，则，
对任意，都有恒成立，即，
（当且仅当时等号成立），故，
即.
9．（2023高三·全国·专题练习）关于的方程满足下列条件，求的取值范围．
(1)有两个正根；
(2)一个根大于，一个根小于；
(3)一个根在内，另一个根在内；
(4)一个根小于，一个根大于；
(5)两个根都在内．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【分析】根据二次方程根的分布的性质逐一解决每个小问.
【详解】（1）令，设的两个根为.
由题得，解得.
（2）若方程的一个根大于，一个根小于，则，解得
（3）若方程一个根在内，另一个根在内，则，解得
（4）若方程的一个根小于，一个根大于，
则，解得
（5）若方程的两个根都在内，则，解得
【题型五 分式不等式与绝对值不等式的解法】
绝对值不等式和分式不等式解法
1．分式不等式化为二次或高次不等式处理．
2．根式不等式绝对值不等式分类讨论或用几何意义或者平方处理．
【典例1】（23-24高一上·江苏扬州·期中）求下列不等式的解集
(1)；
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）将原不等式等价转换为，解一元二次不等式即可.
（2）将原不等式等价转换为，解一元二次不等式即可.
（3）将原不等式等价转换为，解一元二次不等式即可.
【详解】（1）由题意，
解不等式得或，
从而不等式的解集为.
（2）由题意，
解不等式得，
从而不等式的解集为.
（3）由题意，
解不等式得，
从而不等式的解集为.
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）设集合，则集合M的真子集个数为（ ）
A．8B．7C．32D．31
【答案】B
【分析】根据不等式的解法，求得集合，结合集合真子集的求法，即可求解.
【详解】由不等式，解得，
因为，所以，
所以集合M的真子集个数为.
故选：B．
2．（23-24高三下·陕西·阶段练习）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】解分式不等式求解集合A，解一元二次不等式求解集合B，然后利用交集运算求解即可.
【详解】因为，
，
所以.
故选：D
3．（2024·陕西安康·模拟预测）已知集合，则的元素个数为（ ）
A．6B．5C．4D．3
【答案】B
【分析】解不等式确定集合，再根据集合定义确定，然后由交集定义计算后可得．
【详解】或，即或，
又，所以，有5个元素，
故选：B．
4．（2024·全国·模拟预测）若集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据绝对值不等式可得，根据分式不等式可得或，进而可得.
【详解】由，可得，所以集合，
由，可得或，所以集合或，
故，所以.故选：D．
5．（2024·四川·模拟预测）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据分式不等式化简集合B，再由集合的补集、交集的运算求解即可.
【详解】或，
．故选：．
6．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）集合，集合，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据绝对值不等式的解法求解集合A，结合补集与交集的定义和运算即可求解.
【详解】或或，
所以，故.故选：C
7．（23-24高三下·天津南开·阶段练习）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【分析】根据绝对值的定义和分式不等式的解法，求得不等式的解集，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】由不等式，可得，所以，解得，
又由，可得，解得，
因为是的真子集，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
二、填空题
8．（2024·全国·模拟预测）已知全集，集合，．若，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】先求集合，对分类讨论，并结合，数形结合求出的取值范围，注意端点值能否取到．
【详解】因为，
当时，，若，则．
在数轴上表示出集合，，如图，
则；
当时，，此时不成立，
当时，，此时不成立．
综上，的最大值为．
故答案为：
9．（2024·贵州黔西·一模）集合，集合，，则 .
【答案】
【分析】化简集合，再根据集合交集的概念求解即可.
【详解】由解得，所以，
由得，解得，所以，
因为，
所以，解得，
故答案为：
10．（23-24高三下·江西·开学考试）设集合，，若的真子集的个数是，则正实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】解出集合，分析可知，集合的元素个数为，确定集合，可得出关于实数的不等式，解之即可.
【详解】由可得，解得，
因为，则且，
因为的真子集的个数为，设的元素个数为，则，解得，
因为，则，所以，，解得,
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
①不含参数的一元二次不等式的解法
②含参数的一元二次不等式的解法
③一元二次不等式中的恒成立和有解问题
④一元二次不等式中的参数和方程根的分布问题
⑤分式不等式与绝对值不等式的解法