2025年高考数学一轮复习讲义 考点归纳与方法总结 第06讲 函数的概念与表示（精讲）（含解析）

这是一份2025年高考数学一轮复习讲义 考点归纳与方法总结 第06讲 函数的概念与表示（精讲）（含解析），共47页。学案主要包含了必备知识整合，基本的函数定义域限制，基本初等函数的值域，分段函数，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、必备知识整合
一、函数的概念
(1)一般地，给定非空数集，，按照某个对应法则，使得中任意元素，都有中唯一确定的与之对应，那么从集合到集合的这个对应，叫做从集合到集合的一个函数.记作：，.集合叫做函数的定义域，记为，集合，叫做值域，记为.
(2)函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射.
(3)函数表示法：函数书写方式为，
(4)函数三要素：定义域、值域、对应法则.
(5)同一函数：两个函数只有在定义域和对应法则都相等时，两个函数才相同.
二、基本的函数定义域限制
求解函数的定义域应注意：
（1）分式的分母不为零；
（2）偶次方根的被开方数大于或等于零：
（3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；
（4）零次幂或负指数次幂的底数不为零；
（5）三角函数中的正切的定义域是且；
（6）已知的定义域求解的定义域，或已知的定义域求的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围； = 2 \* GB3 ②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同；
（7）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域.
三、基本初等函数的值域
(1)的值域是.
(2)的值域是：当时，值域为；当时，值域为．
(3)的值域是.
(4)且的值域是.
(5)且的值域是.
五、分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．
提醒：分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．
二、考点分类精讲
【题型一 函数的判断与相同函数的判断】
当且仅当给定两个函数的定义域和对应法则完全相同时，才表示同一函数，否则表示不同的函数.
【典例1】（单选题）（23-24高二下·福建三明·阶段练习）下列各组函数相等的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】分别求每个选项中两个函数的定义域和对应关系，即可判断是否为相同函数，进而可得正确选项.
【详解】对于A中，函数的定义域为R，的定义域为，
所以定义域不同，不是相同的函数，故A错误；
对于B中，函数的定义域为R，的定义域为，
所以定义域不同，不是相同的函数，故B错误；
对于C中，函数的定义域为R，与的定义域为，
所以定义域不同，所以不是相同的函数,故C错误；
对于D中，函数与的定义域均为R，
可知两个函数的定义域相同，对应关系也相同，所以是相同的函数, 故D正确；
故选：D.
一、单选题
1．（23-24高一上·重庆·期中）已知函数的对应关系如下表所示，函数的图象是如下图所示，则的值为（ ）
A．B．0C．3D．4
【答案】D
【分析】观察函数图象得，再利用数表求解即得.
【详解】观察函数的图象，得，由数表得，
所以.
故选：D
2．（22-23高一上·北京西城·期中）下列图象中，不是函数图象的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据函数的定义，要求定义域内的任意变量只能有唯一的与对应，结合图象判断即可．
【详解】根据函数的定义可知，对应定义域内的任意变量只能有唯一的与对应，
选项ABC中，每一个都有唯一的与对应，满足函数的定义，可以是函数图象，
选项D中，出现两个不同的和同一个对应，所以不满足值的唯一性．
所以D不能作为函数图象．
故选：D．
3．（2023·山东·模拟预测）下列图象中，能表示函数图象的是（ ）

A．①②B．②③C．②④D．①③
【答案】D
【分析】根据函数的定义判断可得出结论.
【详解】解：∵一个只能对应一个，∴①③符合题意，
对于②中，当时，一个对应两个，不符合函数的定义；
对于④中，当时，一个对应两个，不符合函数的定义.
故选：D．
4．（23-24高一上·北京丰台·期中）下列图象中，表示定义域和值域均为的函数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据函数的定义以及定义域和值域的概念分析即可.
【详解】选项A：定义域为，但是值域不是故错误；
选项B：定义域不是，值域为，故错误；
选项C：定义域和值域均为，故正确；
选项D：不满足函数的定义，故错误；
故选：C.
5．（23-24高三上·河南濮阳·阶段练习）下列函数中，与函数是同一函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由同一函数的定义依次判断选项即可.
【详解】解：函数，定义域为.
选项A中，定义域为，故A错误；
选项B中，定义域为，故B错误；
选项中，定义域为，故正确；
选项D中，定义域为，故D错误.
故选：C.
6．（15-16高一上·广东揭阳·阶段练习）下列各组函数表示同一函数的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】根据同一函数的判定方法，结合函数的定义域和对应关系，逐项判定，即可求解.
【详解】A中，函数的定义域为，函数的定义域为，
则两函数的定义域不同，所以两个函数不是同一函数，所以A不正确；
B中，函数的定义域为，函数的定义域为，
则两函数的定义域不同，所以两个函数不是同一函数，所以B不正确；
C中，函数和 ，
则两函数的定义域相同且对应关系也相同，所以两个函数不是同一函数，所以C正确；
D中，函数的定义域为，函数的定义域为，则两函数的定义域不同，所以两个函数不是同一函数，所以D不正确.
故选：C.
7．（22-23高一上·上海青浦·阶段练习）下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
【答案】A
【分析】根据相同函数的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，的定义域是，，且定义域为，是相同函数，A选项正确.
B选项，的定义域是，的定义域是，不是相同函数.
C选项，的定义域是，的定义域是，不是相同函数.
D选项，的定义域是，的定义域是，不是相同函数.
故选：A
8．（2023高一·全国·课后作业）已知，在下列四个图形中，能表示集合M到N的函数关系的有（ ）

A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】B
【分析】根据函数的定义求解.
【详解】对A：可得定义域为，
所以不能表示集合M到N的函数关系；
对B：可得定义域为，值域为，
且满足一个x对应一个y，所以能表示集合M到N的函数关系；
对C：任意，一个x对应两个的值，
所以不能表示集合M到N的函数关系；
对D：任意，一个x对应两个的值，
所以不能表示集合M到N的函数关系；
故选：B.
9．（2023高三·全国·专题练习）下列各组函数是同一函数的是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
【答案】C
【分析】是不是同一函数，关键看定义域与对应关系是否一致，判断即可.
【详解】对于选项A，因为而一个x对多个y，不是函数，所以它们不是同一函数．
对于选项B，因为的定义域为，而的定义域为，所以它们不是同一函数．
对于选项C，因为，所以，所以两个函数的定义域均为，又，所以它们是同一函数．
对于选项D，因为的定义域为，而的定义域为，所以它们不是同一函数．
故选：C．
【题型二 给出函数解析式求解定义域】
已知函数的具体解析式求定义域的方法
(1)简单函数的定义域：若f (x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集．
(2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可．
【典例1】（22-23高一上·甘肃临夏·期末）求函数定义域：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据二次根式和分式的性质进行求解即可；
（2）根据二次根式和对数型函数的单调性进行求解即可.
【详解】（1）由题意可知：；
（2）由题意可知：.
一、单选题
1．（23-24高一下·河北石家庄·开学考试）已知函数，其定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据偶次根式定义域和分母不为零即可得到该函数定义域.
【详解】由得，所以定义域为，
故选：C.
2．（23-24高一上·浙江·期末）函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用具体函数的定义域的求法求解即可.
【详解】由且.
故选：C
3．（23-24高一上·四川成都·期中）一枚炮弹发射后，经过落到地面击中目标．炮弹的射高为，且炮弹距地面的高度（单位：）与时间（单位：）的关系为．该函数定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据实际意义分析即可.
【详解】由题意可知，炮弹发射后共飞行了，
所以，即函数的定义域为.
故选：C
4．（23-24高一上·浙江丽水·期末）函数的定义域是（ ）
A．B．
C．且D．且
【答案】D
【分析】结合二次根式、分式和对数性质即可求解.
【详解】由题可知，解得且.
故选：D
二、填空题
5．（2024·北京通州·二模）已知函数的定义域为 ．
【答案】
【分析】根据函数的定义域有意义，解不等式求解.
【详解】根据题意可得,解得
故定义域为.
故答案为：
6．（23-24高一上·北京·期中）求函数的定义域
【答案】
【分析】根据具体函数的定义域限制列不等式得解集从而可得答案.
【详解】函数的定义域满足，解得或，
所以函数的定义域为.
故答案为：.
7．（23-24高一上·山西长治·期末）函数的定义域为 .
【答案】
【分析】根据根号下部分大于等于0建立不等式求解即可.
【详解】令，则或，解得或，
所以函数的定义域为.
故答案为：
8．（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·期末）求函数的定义域 ．
【答案】
【分析】利用正切函数的定义，列出不等式求解即得.
【详解】函数有意义，则，解得，
所以函数的定义域为.
故答案为：
9．（2024高三·全国·专题练习）函数y＝的定义域为 ．
【答案】
【详解】
由sin x≠cs x，得tan x≠1，即x≠＋kπ，k∈Z，
所以函数y＝的定义域为.
三、解答题
10．（23-24高一上·新疆·期中）求下列函数的定义域
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】求定义域就是求使式子有意义的实数的集合.
【详解】（1）要使分式有意义，则，
由任意，恒成立，
故函数的定义域为；
（2）要使式子各部分有意义，则，解得，且.
故的定义域为；
（3）要使分式有意义，则，
当时，，则在恒有意义；
当时，，则，无意义；
综上可知，的定义域为.
11．（24-25高一上·全国·课后作业）设，且，求下列函数的定义域：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）（2）由复合型对数函数定义域列出不等式即可求解.
【详解】（1）为使函数有意义，只需，即，所以函数的定义域为；
（2）为使函数有意义，只需，即，所以函数的定义域为．
【题型三 抽象函数定义域的求法】
抽象函数的定义域的求法
(1)若已知函数f (x)的定义域为[a，b]，则复合函数f (g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出．
(2)若已知函数f (g(x))的定义域为[a，b]，则f (x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．
提醒：明确定义域是自变量“x”的取值范围．
【典例1】求下列函数的定义域：
(1)已知函数的定义域为[1，2]，求函数的定义域；
(2)已知函数的定义域[1，2]，求函数的定义域；
(3)已知函数的定义域[1，2]，求函数的定义域.
【答案】(1)[0，]
(2)[3，5]
(3)[2，3]
【分析】(1)由的定义域可得，求出x的取值集合即可得出的定义域；(2)由的定义域可得，求出2x+1的取值集合即可得出的定义域；(3)由的定义域可得，求出2x+1的取值集合即可得出的定义域，进而得出2x-1的取值集合，再求出x的取值集合即可；
【详解】（1）设，由于函数定义域为[1，2]，
故，即，解得，
所以函数的定义域为[0，]；
（2）设，因为，
所以，即，函数的定义域为[3，5]，
由此得函数的定义域为[3，5]；
（3）因为函数的定义域为[1，2]，即，
所以，所以函数的定义域为[3，5]，
由，得，
所以函数的定义域为[2，3].
一、单选题
1．（22-23高三上·广东广州·阶段练习）已知函数的定义域为,则函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据抽象函数的定义域即可求解.
【详解】由于的定义域为,所以的定义域需满足：，故的定义域为，
故选：A
2．（22-23高一上·山东菏泽·期中）已知函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意先求出的定义域，再可求出的定义域
【详解】由，得，
所以的定义域为，
由，得，
所以的定义域为，
故选：D
3．（2023·江西九江·模拟预测）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题可知解即可得答案.
【详解】解：因为函数的定义域为，
所以，，即，解得，
所以，函数的定义域为
故选：C
4．（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·开学考试）若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用函数有意义并结合抽象函数的定义域求解作答.
【详解】由函数的定义域为，即，得，
因此由函数有意义，得，解得，
所以函数的定义域为.
故选：D
5．（2024高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据抽象函数定义域的求法及分式和对数有意义，列出不等式，即可求解.
【详解】由题意可知，要使有意义，
只需要，解得，
所以，
所以函数的定义域为.
故选：D.
二、填空题
6．（23-24高一上·福建泉州·阶段练习）已知函数的定义域是，则函数的定义域是 .
【答案】
【分析】根据函数定义域的求法求得正确答案.
【详解】依题意，函数的定义域是，
所以对于函数来说，有，
所以函数的定义域是.
故答案为：
7．（2023高三上·全国·专题练习）已知函数的定义域为，求的定义域 .
【答案】
【分析】根据抽象函数的定义域求解即可.
【详解】因为函数的定义域为，
即，则，
故的定义域为．
故答案为：.
8．（23-24高三上·河北邢台·期末）若函数的定义域为，则函数的定义域为 ．
【答案】
【分析】首先得的定义域为，进一步列不等式组即可得解.
【详解】因为，所以，所以的定义域为，
要使有意义，需满足，解得，
所以函数的定义域为.
故答案为：.
【题型四 函数值域的求法（八大类型）】
函数值域的求法主要有以下几种
（1）观察法:根据最基本函数值域（如≥0,及函数的图像、性质、简单的计算、推理，凭观察能直接得到些简单的复合函数的值域.
（2）配方法：对于形如的值域问题可充分利用二次函数可配方的特点，结合二次函数的定义城求出函数的值域.
（3）图像法：根据所给数学式子的特征，构造合适的几何模型.
（4）基本不等式法：注意使用基本不等式的条件，即一正、二定、三相等.
（5）换元法：分为三角换元法与代数换元法，对于形的值城，可通过换元将原函数转化为二次型函数.
（6）分离常数法：对某些齐次分式型的函数进行常数化处理，使函数解析式简化内便于分析.
（7）判别式法：把函数解析式化为关于x的―元二次方程，利用一元二次方程的判别式求值域，一般地，形如，或的函数值域问题可运用判别式法（注意x的取值范围必须为实数集R）.
(8)单调性法：先确定函数在定义域（或它的子集）内的单调性，再求出值域.对于形如或的函数，当ac>0时可利用单调性法.
【典例1】（22-23高一·全国·课堂例题）求下列函数的值域：
(1)，；
(2)，；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)；
(7)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)．
【分析】（1）可由观察法求解；（2）函数是二次函数，可采用配方法结合图像求解；（3）函数是一个分式型函数，可采用分离常数法将其整理为一个常数加一个分式，或用表示出，由求解；（4）利用变量的代换，即换元法求值域；（5）通过变形，利用基本不等式求最值；（6）通过变形，利用基本不等式求最值；（7）通过变形利用判别式法求解．
【详解】（1）（观察法）由，分别代入求值，可得函数的值域为．
（2）（配方法），由，再结合函数的图像，可得函数的值域为．

（3）（分离常数法） ，因为，所以，所以故函数的值域为．
（4）（换元法） 设，则，且，
所以，由，再结合函数的图像，可得函数的值域为．

（5）因为，所以，当且仅当，即时，等号成立．
故函数的值域为．
（6）因为，所以，令，则，当且仅当，即时，等号成立，所以，，故函数的值域为．
（7）由知，
整理得．
当时，方程无解；当时，，即．
故所求函数的值域为．
一、单选题
1．（23-24高三上·宁夏固原·阶段练习）函数的值域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据二次函数的性质即可求解.
【详解】函数的图象是一条开口向下的抛物线，对称轴为，
所以该函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，又，
所以，即函数的值域为.
故选：B.
2．（23-24高一上·新疆·期中）下列函数的定义域与值域相同的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】分别求出各函数的定义域和值域，逐一判断即可.
【详解】函数的定义域和值域都为R，A正确；
的定义域为，值域为，B错误；
的定义域为R，值域为，C错误；
的定义域为R，值域为，D错误.
故选：A
3．（23-24高一上·安徽宣城·开学考试）已知则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】设，通过换元可得，结合反比例函数性质可得的取值范围.
【详解】由有意义可得，
设，则，，
所以，
所以，
故选：C.
4．（2024·河北唐山·一模）已知函数，则的最小值为（ ）
A．0B．2C．D．3
【答案】C
【分析】利用基本不等式可得答案.
【详解】由已知得，
所以，
当且仅当即等号成立，
则的最小值为.
故选：C.
5．（2024·北京怀柔·模拟预测）已知函数，则对任意实数x，函数的值域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
根据给定条件，利用不等式的性质求出函数值域得解.
【详解】依题意，，
显然，则，于是，
所以函数的值域是.
故选：C
6．（2024·四川成都·二模）已知函数的值域为.若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】化复合函数为，，根据已知条件，确定的取值范围，再根据的取值范围确定的取值范围即可.
【详解】因为，令，所以；
令函数的值域为，因为，
所以，所以必须能取到上的所有值，
，解得.
故选：B
7．（23-24高一下·广东梅州·期中）已知函数在上的值域为，则（ ）
A．4B．5C．8D．10
【答案】D
【分析】首先利用二次函数最值求出，则得到其单调性，则，代入计算即可.
【详解】的对称轴为，则，解得，
则在上单调递增，
所以，即，
所以，为方程的两个根，
即为方程的两个根，所以.
故选：D.
二、多选题
8．（23-24高一上·安徽芜湖·期末）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的定义域为
B．是偶函数
C．的值域为
D．
【答案】BCD
【分析】
由分母不为0判断A，奇偶性定义判断B，分离常数求解值域判断C，代值化简判断D.
【详解】
有意义，则，解得，故的定义域为，A错；
的定义域关于原点对称，且，故是偶函数，B对；
，
令，易知在单调递增，
故或，即的值域为，C正确；
，故D正确.
故选：BCD
9．（23-24高一上·山东潍坊·期末）已知函数的定义域为，值域为，则下列函数的值域也为的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】结合题意根据复合函数值域及函数图象变换，逐个选项验证可得答案.
【详解】对于A，的图象可看作由的图象向左平移一个单位得到的，故值域不变，正确；
对于B，由可得，即的值域为，错误；
对于C，函数与函数的图象关于y轴对称，
故函数的值域与函数的值域相同，为，正确；
对于D，由可得，即的值域为，错误.
故选：AC
三、填空题
10．（23-24高三下·北京·开学考试）函数的值域为 .
【答案】
【分析】根据分段函数的性质以及反比例函数、指数函数的性质即可得到答案.
【详解】当时，，
当时，则，即，
综上的值域为，
故答案为：.
11．（23-24高一上·广东珠海·期末）函数的值域为 .
【答案】
【分析】先确定函数的定义域，再结合基本不等式即可求得答案.
【详解】由可得，故，
又，当且仅当，即时取等号，
故，
故函数的值域为，
故答案为：
12．（23-24高一下·广东广州·阶段练习）函数在上的值域是 ．
【答案】
【分析】
将函数变形为，再由的取值范围及不等式的性质计算可得.
【详解】因为，
又，所以，所以，
所以，
所以.
故答案为：
13．（2024高三·全国·专题练习）函数的值域为 ．
【答案】
【分析】可以通过换元法转换为求二次函数在某区间上的值域即可求解.
【详解】令，因为，所以，则，
所以原函数可化为，其对称轴为，
所以函数在上单调递增，所以，
所以函数的值域为.
故答案为：.
14．（23-24高一上·河北·阶段练习）时，的值域为 .
【答案】
【分析】利用换元法，令，结合二次函数的性质分析求解.
【详解】因为，令，则，
则，，
可知开口向上，对称轴为，且，
所以在内的值域为，
即在内的值域为.故答案为：.
四、解答题
15．（22-23高一·全国·课堂例题）求函数的值域．
【答案】
【分析】利用分离常数法，将原函数化简为，利用换元法，利用不等式的性质得函数的值域.
【详解】．
因为，所以，即，
所以，所以函数的值域为．
16．（23-24高一上·吉林·期末）已知函数，.
(1)时，求的值域；
(2)若的最小值为4，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设可将原函数转化为二次函数，结合二次函数性质计算即可得；
（2）设可将原函数转化为二次函数，对的取值进行分类讨论，结合二次函数性质计算即可得.
【详解】（1）由题意得，，，
令，，，
当时，，，在上单调递增，
故，故的值域为；
（2）由（1）得，，对称轴，
①当时，在上单调递增，
，解得；
②当时，在上单调递减，在上单调递增，
无解，舍去；
③当时，在上单调递减，
，解得，舍去；综上所述，.
17．（22-23高一上·浙江嘉兴·阶段练习）已知．
(1)若时，求的值域；
(2)函数，若函数的值域为，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据函数解析式，采用分离常数项的方法，结合不等式性质，可得答案；
（2）根据二次根式的定义，结合二次函数的性质，可得答案.
【详解】（1）由，则，
由不等式性质，则，，，，，
故，即的值域为.
（2）由题意，，
由函数的值域为，则有解且无最大值，
当时，符合题意；
当时，根据二次函数的性质，可得，
其中，，，，解得或，
综上，故.
【题型五 函数解析式的求法（五大类型）】
函数解析式的常见求法
【典例1】（22-23高一上·广东惠州·期中）（1）已知是二次函数，且满足，，求解析式；
（2）已知，求的解析式．
【答案】（1） ；（2）．
【分析】（1）设出二次函数代入，对应系数相等即可.
（2）法一：把的右边配成的表达式，然后整体换成即可.
法二：换元，求出代入找到与的关系，然后换成即可.
【详解】（1）令 ，．
因为，所以，则．
由题意可知：
即.
得，所以．
所以
（2）法一：配凑法
根据．
可以得到．
法二：换元法
令，则
．
.
9．（23-24高一上·河北·阶段练习）（1）已知，求的解析式；
（2），求的解析式.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据整体法即可结合换元法求解，
（2）联立方程即可求解
【详解】（1），
令，所以，
故；
（2）由可得，
联立可得，
故
一、单选题
1．（23-24高一上·全国·课后作业）图象是以为顶点且过原点的二次函数的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由待定系数法求函数解析式问题，根据题意可以设二次函数的顶点式，然后根据函数过原点，将代入即可.
【详解】设图象是以为顶点的二次函数（）．
因为图象过原点，所以，，所以．
故选：A
2．（23-24高一上·浙江嘉兴·阶段练习）已知函数是一次函数，且，则（ ）
A．11B．9C．7D．5
【答案】A
【分析】设，根据恒成立可得a，b，然后可解.
【详解】设，
则，
整理得，
所以，解，
所以，所以.
故选：A
3．已知函数的定义域为R，对任意均满足：则函数解析式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用方程组法求解析式即可.
【详解】由，可得①，
又②，①＋②得：，解得，
故选：A．
4．（23-24高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）若函数，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】B
【分析】由二倍角公式结合换元法求出函数解析式即可求解.
【详解】因为
所以，
则，
所以.
故选：B.
5．（2024·四川·模拟预测）已知为定义在上的单调函数，且对，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，设，用求的值，进而可得的解析式，从而可得.
【详解】设，则，
所以，即，
设，易知在上单调递增，
所以，即，
故，所以．
故选：B．
二、多选题
6．（23-24高一上·山西·期中）已知一次函数满足，则的解析式可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】根据题意，由待定系数法代入计算，即可得到结果.
【详解】设，则，
所以，解得或，
则或．
故选：AD.
7．（23-24高一上·山西太原·期中）已知函数则（ ）
A．B．
C．的最小值为-1D．的图象与x轴有2个交点
【答案】ABC
【分析】B选项，换元法得到函数解析式；A选项，代入求解即可；C选项，配方求出函数最值；D选项，解方程，求出答案.
【详解】B选项，令，得，则，
，
故，，B正确；
A选项，，A正确，
C选项，，所以在上单调递增，
，C正确；
D选项，令，解得或0（舍去），
故的图象与x轴只有1个交点，D错误．
故选：ABC
三、填空题
8．（23-24高一上·湖北荆门·阶段练习）已知满足，则解析式为 ．
【答案】
【分析】用代得出一个式子，利用方程思想求解函数解析式.
【详解】由 ①
用代可得， ②
由①②可得：
故答案为：
9．（23-24高一上·湖北·期末）函数满足，请写出一个符合题意的函数的解析式 .
【答案】 (答案不唯一)
【详解】取，
则，满足题意.
故答案为：(答案不唯一)
10．（22-23高三·广东深圳·阶段练习）写出一个满足：的函数解析式为 .
【答案】
【分析】赋值法得到，，求出函数解析式.
【详解】中，令，解得，
令得，故，
不妨设，满足要求.
故答案为：
四、解答题
11．（23-24高一上·安徽蚌埠·期中）求下列函数的解析式：
(1)已知，求；
(2)已知，求；
(3)已知是一次函数，且，求；
(4)定义在区间上的函数满足，求的解析式．
【答案】(1)
(2)
(3)或
(4)
【分析】（1）利用配凑法求解即可；
（1）利用配凑法或换元法求解即可；
（3）利用待定系数法求解即可；
（4）利用方程组法求解即可.
【详解】（1）因为，
所以．
（2）解法一（换元法）：令，，则，
所以，
所以．
解法二（配凑法）：，
因为，所以．
（3）设，
则，
所以，解得或，
所以或．
（4）对任意的有，
由，①
得，②
联立①②解得，．
12．（2023高三·全国·专题练习）定义在R上的函数f(x)满足，并且对任意实数x，y都有，求的解析式.
【答案】
【分析】对进行赋值，解方程求得的解析式.
【详解】对任意实数，，，
令，得，即，
又，所以.
【题型六 分段函数】
1．分段函数求值的策略
(1)求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的解析式求值．
(2)当出现f (f (a))的形式时，应从内到外依次求值．
(3)当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点．
2．求参数或自变量的值
解决此类问题时，先在分段函数的各段上分别求解，然后将求出的值或范围与该段函数的自变量的取值范围求交集，最后将各段的结果合起来(取并集)即可．
3．分段函数与不等式问题
解由分段函数构成的不等式，一般要根据分段函数的不同分段区间进行分类讨论．如果分段函数的图象比较容易画出，也可以画出函数图象后，结合图象求解．
【典例1】（单选题）（2024·吉林·模拟预测）已知若，则实数的值为（ ）
A．1B．4C．1或4D．2
【答案】B
【分析】分和，求解，即可得出答案.
【详解】当时，，则，解得：（舍去）；
当时，，则，解得：.
故选：B.
【典例2】（单选题）（2024·江西南昌·二模）已知，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分别在条件下化简不等式求其解可得结论.
【详解】当时，不等式可化为，
所以，可得；
当时，不等式可化为，
所以，且，
所以，
所以不等式的解集是，
故选：B.
【典例3】（单选题）（2024·全国·模拟预测）已知，函数是上的减函数，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据分段函数的单调性和指数函数的单调性列出不等式组，解之即可直接得出结果.
【详解】因为函数是减函数，所以．
又因为函数5）图像的对称轴是直线，
所以函数在上单调递减，在上单调递增．
又函数是上的减函数，所以，解得，
所以的取值范围是．
故选:B．
一、单选题
1．（23-24高一下·陕西西安·期中）设函数，则（ ）
A．6B．9C．12D．15
【答案】D
【分析】由分段函数定义，对数的运算性质及对数函数单调性，计算即可得到所求和.
【详解】因为在单调递增，所以，
所以，
则，
故选：D.
2．（23-24高一下·浙江·期中）已知函数，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据分段函数解析式结合自变量范围求解即可.
【详解】由题意.
故选：C
3．（2024高三·全国·专题练习）设函数则满足的的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据不等式的大小关系可以直接根据分段函数的单调性求解，亦可画出分段函数的图像，利用数形结合求解.
【详解】（分类讨论法）根据指数函数单调性，当时，单调递减；
而当时，（为常数），
故分以下两种情况：或，
解得或，
综上可得.
（数形结合法）作出的图像，如图：
结合图像可知或，
解得或，
综上可得.
故选：D
4．（2024·北京朝阳·二模）已知函数，存在最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据分段函数的单调性求解即可.
【详解】当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，则，
当时，，所以在上单调递增，无最小值，
根据题意，存在最小值，
所以，即.
故选：A.
5．（2024·陕西铜川·三模）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据一次函数以及对数函数的单调性，结合分段函数的性质即可求解.
【详解】函数在上单调递减，
解得.
故选：C.
6．（23-24高一上·湖北荆门·期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】首先求函数在时函数的值域，再根据函数的值域为，确定时函数的单调性和端点值的范围，求实数的取值范围.
【详解】当时，在上单调递增，且，所以函数在的值域是.
因为函数的值域是.
所以当时的函数值域应该包含.
即.
故选：B
二、多选题
7．（23-24高一上·湖南株洲·期末）已知函数，则（ ）
A．的定义域为B．的值域为R
C．为增函数D．的图象关于坐标原点对称
【答案】ABD
【分析】根据分段函数的图象和性质，依次判断选项即可.
【详解】A：由题意知，函数的定义域为，故A正确；
B：当时，，当时，，
所以函数的值域为R，故B正确；
C：函数在和上单调递增，不是增函数，故C错误；
D：如图，函数的图象关于原点对称，所以函数是奇函数，故D正确.
故选：ABD
8．（23-24高一上·山东济宁·期末）已知，若，则所有可能的值是（ ）
A．－1B．C．1D．
【答案】BD
【分析】利用函数的解析式，结合指数、对数运算可求得结果.
【详解】由已知可得
或或，
解得，或.
故选：BD
9．（23-24高一上·福建龙岩·期末）已知函数的图象由如图所示的两段线段组成，则（ ）
A．
B．不等式的解集为
C．函数在区间上的最大值为2
D．的解析式可表示为：
【答案】BD
【分析】由函数的图象求出函数的解析式，由此分析选项可得答案．
【详解】根据题意，由图象可得，在区间上，函数图象为线段，经过点和，
则其方程为，
在区间上，函数图象为线段，经过点和，
设，，则，解得，
所以其方程为，
综合可得，
对于A，，则，故A错误；
对于B，若，则有或，解得或，
即不等式的解集为，故B正确；
对于C，在区间上，为减函数，其最大值为，故C错误；
对于D，由，故D正确．
故选：BD．
三、填空题
10．（2024·辽宁沈阳·二模）已知函数，则 ．
【答案】
【分析】根据分段函数解析式结合自变量范围求解即可.
【详解】，，
，
故答案为：
11．（23-24高三下·四川成都·阶段练习）已知函数.若，则实数的值为 .
【答案】或
【分析】根据分段函数分段计算后可得参数的值.
【详解】由题设可得或，故或，
故答案为：或，
12．（2024·湖北·一模）已知函数，则关于x的不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】根据分段函数的性质及对数函数的单调性解不等式可得结果.
【详解】当时，得，
当时，，得，所以，
综上：的解集为，
故答案为：.
13．（23-24高二下·上海金山·期中）已知函数，则不等式的解集为 .
【答案】
【分析】结合分段函数性质可得该函数为增函数，利用增函数的性质即可得解.
【详解】当时，为增函数，且，
当时，为增函数，且，
则在上为增函数，
则不等式等价为，
即，解得：，
即不等式的解集为.
故答案为：.
14．（23-24高二下·河南·阶段练习）已知，若函数有最小值，则实数的最大值为 .
【答案】/
【分析】考虑，求导得到函数的单调性，得到极小值，结合时，若，不合要求，若，在上单调递减，进而得到不等式，求出答案.
【详解】当时，，，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
故在处取得极小值，且，
当时，，
若，在上单调递增，此时没有最小值，
若，在上单调递减，
要想函数有最小值，则，解得，
故实数的最大值为.
故答案为：
四、解答题
15．（23-24高一下·青海西宁·开学考试）已知函数，且.
(1)求；
(2)若，求实数的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据解析式和求得，进而确定解析式，再从内到外计算；
（2）分，分别求解，注意检验即可得解.
【详解】（1）因为，，
故，解得，故，
所以，.
（2）因为，
当时，，解得（舍去）；
当时，，解得或（舍去）；
综上，.
16．（23-24高一上·四川成都·期中）函数
(1)画出函数的图象；
(2)
当时，求函数的值域（直接写出值域，不要过程）．
(3)若有四个不相等的实数根，求的取值范围．（直接写出结果，不要求过程）
【答案】(1)图象见解析；
(2)；
(3).
【分析】（1）根据分段函数解析式画出函数图象即可；
（2）根据图象分析区间单调性，分别求出各区间端点值，即可知值域；
（3）由题意与有4个交点，数形结合即可确定参数范围.
【详解】（1）由解析式得图象如下，
（2）
由（1）图象知：在、上递增，在、上递递减，
且，，，，
综上，在上值域为.
（3）由函数图象知：有四个不相等的实数根，即与有4个交点，
所以.
17．（23-24高一上·贵州黔西·期末）已知函数
(1)若，求的值；
(2)若函数有5个零点，求实数的取值范围.
【答案】(1)0或或
(2)
【分析】（1）分和两种情况，结合分段函数解析式运算求解；
（2）令，分和两种情况，解得的值为或1，由题意可得的图象与、共有5个交点，结合函数图象分析求解.
【详解】（1）若，则有：
当时，可得，解得；
当时，可得，则或，解得或；
综上所述：的值为0或或.
（2）若，则有：
当时，可得，解得；
当时，可得，则，解得；
综上所述：的值为或1.
令，可得或，
即或，
由题意可知：的图象与、共有5个交点，
作出的图象，如图所示，
由图可得：或，解得，
所以实数的取值范围.
①函数的判断与相同函数的判断
②给出函数解析式求解定义域
③抽象函数定义域的求法
④函数值域的求法（八大类型）
⑤函数解析式的求法（五大类型）
⑥分段函数
1
2
3
4
3