安徽省芜湖市2023-2024学年高二下学期7月期末教学质量监控数学试卷（Word版附解析）

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1．本卷共四大题，19小题，满分150分，考试时间120分钟.
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分.“试题卷”共4页，“答题卷”共6页.
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的.
4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知数列是等比数列，满足，公比，则（ ）
A. 2B. 4C. 8D. 16
【答案】B
【解析】
【分析】根据等比数列的通项公式结合已知条件直接求解即可.
【详解】因为数列是等比数列，满足，公比，
所以.
故选：B
2. 直线在轴上的截距为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】令，解得，即可得直线在轴上的截距.
【详解】由题意可知，直线方程为，
令，解得，
所以直线在轴上的截距为.
故选：C.
3. 随机变量与满足，若，则（ ）
A. 8B. 5C. 4D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】借助方差性质计算即可得.
【详解】.
故选：A.
4. 为研究数学成绩（单位：分，满分150分）与物理成绩（单位：分，满分100分）之间的关系，随机抽取了5名同学这两科考试的成绩（取高二学年这两科所有考试成绩的均分），统计如下表
根据表中的五组数据，用最小二乘法得到的经验回归方程为，由此可知表中的的值为（ ）
A. 78B. 85C. 88D. 90
【答案】D
【解析】
【分析】由经验回归方程必过样本中心点计算即可得.
【详解】，，
则有，解得.
故选：D.
5. 正态分布密度曲线的形状酷似钟的外型，因此又被称为钟形曲线．已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A. 0.76B. 0.38C. 0.24D. 0.12
【答案】B
【解析】
【分析】正态曲线关于对称，利用已知条件转化求解概率即可．
【详解】因为随机变量服从正态分布，所以正态曲线关于对称，
所以.
故选：.
6. 已知是椭圆的两个焦点，点在上，且，则的面积为（ ）
A. 3B. 4C. 6D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】由椭圆定义和得到，结合，由余弦定理得，进而得到正弦值，利用三角形面积公式求出答案.
【详解】由椭圆定义可得，
故，
又，
则由余弦定理得，
故，
故.
故选：C
7. 在的展开式中，含的项的系数是（ ）
A. 120B. 240C. 274D. 282
【答案】C
【解析】
【分析】在的展开式中含的项即从5个因式中取4个常数，1个，即可写出含的项.
【详解】在的展开式中含的项即从5个因式中取4个常数，1个，
所以含的项为，
所以含的项的系数是.
故选：.
8. 若函数有两个极值点，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先对函数求导，然后由题知有两个变号零点，结合函数的性质可求得结果.
【详解】函数定义域为，由，
得，
令，则，
当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增，
所以的极小值为，
当时，，当时，，
所以要使有两个极值点，则有两个变号零点，
所以，得，
故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知直线，圆，则下列结论正确的有（ ）
A. 直线过定点
B. 直线与圆恒相交
C. 直线被圆截得的弦长最短为4
D. 若直线被圆截得的弦长为，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用直线的点斜式方程可判断A；利用定点与圆的位置关系可判断B；根据定点为弦的中点时，直线被圆截得的弦长最短可判断C；利用弦长公式可判断D.
【详解】对于A，直线，即，则直线恒过定点，故A正确；
对于B，因为，所以定点在圆内部，所以直线与圆恒相交，故B正确；
对于C，直线与轴垂直时，直线被圆截得的弦长最短，此时，
直线被圆截得的弦长为，故C错误；
对于D，直线，圆心到直线的距离，
得，故D正确.
故选：ABD
10. 不透明的盒子里装有除颜色外互异的5个小球，其中红色球有3个，蓝色球有2个，不放回地从中摸出小球2次，每次取1个，则下列说法正确的是（ ）
A. 两次摸到的都是红球的概率为
B. 第二次摸到的是红球的概率为
C. 第二次摸到红球的条件下，第一次摸到蓝球的概率为
D. 第一次摸到红球的条件下，第二次摸到蓝球的概率为
【答案】AC
【解析】
【分析】利用独立概率的乘法公式、条件概率与全概率公式逐项计算即可得解.
【详解】设事件为第一次摸到的球的颜色为红色，
事件为第二次摸到的球的颜色为红色，
对A：，故A正确；
对B：，故B错误；
对C：，故C正确；
对D：，故D错误.
故选：AC.
11. 在棱长为1的正方体中，为的中点，为底面上一点，则下列结论正确的是（ ）
A. 若为中点，则
B. 若平面，则点的轨迹长度是
C. 若，则点在圆上
D. 若直线与所成角为45°，则点在双曲线上
【答案】BCD
【解析】
【分析】建立适当空间直角坐标系后，设出点坐标，从而可借助空间向量解决相应问题，对A：计算向量数量积即可得；对B：求出平面法向量后，结合向量垂直可得点轨迹，即可得其轨迹长度；对C：借助空间中两点距离公式计算即可得点轨迹；对D：借助空间向量夹角公式计算即可得点轨迹.
【详解】以为原点建立如图所示空间直角坐标系，则有、、
、，设，；
对A：由为中点，则，则，
，则，
故与不垂直，故A错误；
对B：，，，
则，，
设平面的法向量为，
则有，
令，则有，，即，
若平面，则有，即，
故，，则点的轨迹长度是；
对C：若，则，即，
故点在圆上，故C正确；
对D：，若直线与所成角为45°，则有，
即，
整理得，即，
故点在双曲线上，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于建立适当空间直角坐标系，从而将对应的轨迹、夹角、位置关系等问题都转化为空间向量解决.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在点处的切线方程为____________．
【答案】
【解析】
【分析】利用导数的几何意义求解即可.
【详解】由，得，
所以切线的斜率为，
所以切线方程为，
即，
故答案为：
13. 若安排5名同学去校园，，三个劳动基地参加劳动实践活动，每名同学都需要完成1项劳动任务，且只能去一个基地，处需要安排2名同学，则不同的安排方案共有____________种．（用数字作答）
【答案】60
【解析】
【分析】先从5名同学中选2名同学去处，再将剩下的3名同学安排到，两处，每处至少一人，即可求解.
【详解】从5名同学中选2名同学去处，有种选法，
再将剩下的3名同学安排到，两处，每处至少一人，有种安排方法，
所以不同的安排方案共有种.
故答案为：60.
14. 已知双曲线的离心率为，左焦点为．若过点的直线斜率为，且与双曲线左支交于两点，则的取值范围为____________；过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，且与另一条渐近线交于点，若，则____________．
【答案】 ①. ②. 或
【解析】
【分析】由渐近线的性质与离心率定义计算可得空一；分、在轴同侧与在轴异侧进行讨论，结合倾斜角与斜率的关系，结合正切函数二倍角公式计算即可得，即可得离心率.
【详解】空一：由题意可得，则；
空二：不妨设渐近线，若、在轴同侧，
则，，
即，解得，则；
若、在轴异侧，则，
，
即，解得，则；
综上所述，或.
故答案为：；或.

【点睛】关键点点睛：第二个空的关键点在于正确使用渐近线方程，由，故可从其倾斜角与斜率的关系入手建立相应等式.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知四棱锥的底面是正方形，底面，且分别为的中点．
（1）求证：∥平面；
（2）求直线与平面所成角的大小．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由三角形中位线定理结合四边形为正方形，可得∥，再由线面平行的判定定理可证得结论；
（2）以所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可.
【小问1详解】
证明：因为分别为的中点，
所以∥，
因为四边形为正方形，所以∥，
所以∥，
因为平面，平面，
所以∥平面；
【小问2详解】
因为四边形为正方形，所以，
因为平面，平面，
所以，所以两两垂直，
所以以为原点，以所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，
因为，所以，
所以，
设平面的法向量为，
则，
令，则，所以，
设直线与平面所成角为，
所以，
因为，所以，
所以直线与平面所成角的大小为．
16. 石墨烯有超级好保温功能，从石墨中分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上再结晶．现在有材料、材料可供选择，研究人员对附着在材料、材料上的石墨各做了5次再结晶试验，得到如下等高堆积条形图．
（1）由等高堆积条形图提供的信息，填写列联表，并判断是否有的把握认为试验的结果与材料有关；
（2）以实验结果成功的频率为概率，用材料制作保温产品2件，仅从石墨烯结晶成功与否的角度考虑，求产品制作成功件数的分布列与期望．
附：，其中．
【答案】（1）列联表见解析，没有90%的把握认为，试验的结果与材料有关
（2）分布列见解析，数学期望为
【解析】
【分析】（1）借助等高堆积条形图可得列联表，再计算出卡方即可得；
（2）求出的所有可能取值及其对应概率后可得其分布列，再利用期望公式即可得期望.
【小问1详解】
提出假设：实验的结果与材料无关，
，
所以没有90%的把握认为，试验的结果与材料有关；
【小问2详解】
设产品制作成功件数为，由题意可知服从二项分布，
成功的概率为，即，
则的可能取值为0，1，2，
，
，
，
的分布列为：
.
17. 函数
（1）令，讨论函数的单调性；
（2）若，且在实数上恒成立，求的最大值．
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
分析】（1）求得，分和，两种情况讨论，即可求解；
（2）由（1）可知，当时，，转化为，令，通过导数求即可.
【小问1详解】
因为，
所以，
当时，恒成立，在上单调递增，
当时，时，，
当在上单调递减，
当在上单调递增，
综上所述：当时，在上单调递增，
当时，上单调递减，在上单调递增.
【小问2详解】
结合（1）与题意可得，即，
即，
从而得
令
所以令
当时，在上单调递增
当时，在上单调递减
所以
所以，即的最大值为．
18. 抛物线的准线方程为，抛物线上的三个点构成一个以为直角顶点的直角三角形．
（1）求拋物线的标准方程；
（2）若点坐标为，证明：直线过定点；
（3）若，求面积的最小值．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）1
【解析】
【分析】（1）根据准线方程求出抛物线方程；
（2）设点的坐标分别为，直线的方程为，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，依题意，即可得到、的关系，从而求出直线过定点坐标；
（3）不妨设，，三点的坐标分别为，且，不妨记直线的斜率为，且，再由弦长公式得到，再求出的最小值，即可得解.
【小问1详解】
拋物线的准线方程为，
所以且焦点在轴的非负半轴上，则，
抛物线的标准方程为；
【小问2详解】
设点的坐标分别为，直线的方程为，
联立得，显然，，
因为构成一个以为直角顶点的直角三角形，
，，，
直线的方程为，
当时，所以直线过定点；
【小问3详解】
由拋物线的对称性，不妨设，，三点的坐标分别为，且，
不妨记直线的斜率为，且，
则直线的斜率为，则，
结合（*）得，
（当且仅当时取得等号），
（此时坐标原点），
即面积的最小值为.
【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.
19. 已知数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）伯努利不等式是由瑞士数学家雅各布・伯努利提出的，是分析不等式中最常见的一种不等式．伯努利不等式的一般形式为：若且为正整数时，，当且仅当或时等号成立．
（ⅰ）证明：数列为递增数列；
（ⅱ）已知时，，证明：．
【答案】（1）
（2）（ⅰ）证明见解析（ⅱ）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据当时，求解，注意检验时是否满足；
（2）（ⅰ）由（1）知，通过计算结合伯努利不等式即可证明；（ⅱ）利用伯努利不等式放缩，可得当时，成立，再验证时也成立.
【小问1详解】
因为，
当时，，
当时，，符合此式，
所以；
【小问2详解】
（ⅰ）记，
则
，
则，所以数列为递增数列；
（ⅱ）当，时，因为，
由伯努利不等式，得，
于是，
所以当时，
，
所以，
即，
当时，，不等式成立，
当时，，不等式成立，
当时，，不等式成立，
综上所述，不等式恒成立.
【点睛】关键点点睛：解决本题有两个关键点：一是不等式成立等价于成立，二是由伯努利不等式放缩.数学成绩
100
137
116
142
125
物理成绩
89
89
97
85
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
材料
材料
合计
实验成功
4
3
7
实验失败
1
2
3
合计
5
5
10
0
1
2