沪教版六年级下册数学专题训练专题01运算能力之解一元一次方程难点综合专练(原卷版+解析)

这是一份沪教版六年级下册数学专题训练专题01运算能力之解一元一次方程难点综合专练(原卷版+解析)，共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
专题01 运算能力之解一元一次方程难点综合专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．已知是方程的解，那么关于y的方程的解是( )．
A．y＝1B．y＝-1C．y＝0D．方程无解
2．下列说法正确的是（ ）
①若是关于x的方程的一个解，则；
②在等式两边都除以3，可得；
③若，则关于x的方程的解为；
④在等式两边都除以，可得．A．①③B．②④C．①④D．②③
3．若关于x的方程无解，则a的值是（（ ）
A．1B．C．2D．
4．已知关于x的方程的解为，则方程的解为（ ）
A．B．C．D．无法确定
5．若“△”是新规定的某种运算符号，设x△y=xy+x+y，则2△m=﹣16中，m的值为（ ）
A．8B．﹣8C．6D．﹣6
6．一位同学在解方程 时，把“（ ）”处的数字看错了，解得，这位同学把“（ ）”看成了（ ）
A．3B．C．－8D．8
7．定义一种新运算“a☆b”的含义为：当a≥b时，a☆b=a+b；当a＜b时，a☆b=a﹣b．例如：3☆（﹣4）=3+（﹣4）=﹣1，（-6）☆，则方程（3x﹣7）☆（3﹣2x）=2的解为x=（ ）
A．1B．C．6或D．6
8．关于y的方程与的解相同，则k的值为（ ）
A．-2B．C．2D．
9．定义运算“*”，其规则为，则方程的解为（ ）
A．B．C．D．
10．王涵同学在解关于x的方程7a＋x＝18时，误将＋x看作－x，得方程的解为x＝－4，那么原方程的解为（ ）
A．x＝4B．x＝2C．x＝0D．x＝－2
二、填空题
11．对于实数a、b、c、d，我们定义运算＝ad﹣bc，例如：＝2×5﹣1×3＝7，上述记号就叫做二阶行列式．若＝4，则x＝____________．
12．对于三个互不相等的有理数a，b，c，我们规定符号表示a，b，c三个数中较大的数，例如.按照这个规定则方程的解为__________．
13．如果是关于的方程的解，那么的值是______．
14．若，则___________．
15．对于实数a，b，c，d，规定一种运算=ad-bc，如=1×(-2)-0×2=-2，那么当=27时，则x=_____．
16．已知方程2021x＋m＝184x＋n的解为x＝a，则方程2.021x＋m＝0.184x＋n的解为_____（用含a的式子表示）．
17．如图，将刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是1cm），刻度尺上“0cm”和“3cm”分别对应数轴上的3和0，那么刻度尺上“6.3cm”对应数轴上的数为________．
18．已知（a﹣3）x|a|﹣2+5＝0关于x的一元一次方程，则该方程的解为x＝_____．
19．请阅读下面材料，现规定一种运算：＝ad﹣bc，例如＝2×5﹣3×4＝10﹣12＝﹣2，按照这种运算的规定，当x＝____时，．
20．关于的方程和的解相等，求=_________．
三、解答题
21．计算：
（1）|2-5|+23 （2）－14－×[2－（－3）2]
（3）2－3（2－x）＝5 （4）
22．解下列一元一次方程：
（1）
（2）
23．解方程：．
24．解下列方程或方程组：
（1）4x﹣2＝2x+3．
（2）＝2．
（3）．
25．（1）计算：﹣32+（﹣5）4×﹣15÷|﹣3|；
（2）解方程：1﹣．
26．已知点，，在数轴上对应的数分别为，，10，动点从点出发以每秒1个单位长度的速度向终点运动，设运动的时间为秒．
（1）用含的式子表示点到点和点的距离，______，______；
（2）当点运动至点时，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向点运动，当其中一个点到时达点时，整个运动结束．试问：在点开始运动后，两点之间的距离能否为2个单位长度？若不能，请说明理由；若能，请求出点所表示的数．
27．先阅读下列解题过程，然后解答后面两个问题．
解方程：|x+3|＝2．
解：当x+3≥0时，原方程可化为x+3＝2，解得x＝﹣1；
当x+3＜0时，原方程可化为x+3＝﹣2，解得x＝﹣5．
所以原方程的解是x＝﹣1或x＝﹣5．
①解方程：|3x﹣2|﹣4＝0．
②当b为何值时，关于x的方程|x﹣2|＝b+1，(1)无解；(2)只有一个解；(3)有两个解．
28．如图，数轴上A、B两点所对应的数分别是a和b，且．
（1）则 ， ，A、B两点之间的距离= ；
（2）有一动点P从点A出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次运动，向右运动2个单位长度，在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度…按照如此规律不断地左右运动，当运动到2021次时，求点P所对应的有理数．
（3）在（2）的条件下，点P在某次运动时恰好到达某一个位置，使点P到点B的距离是点P到点A的距离的2倍?请求出此时点P的位置，并直接写出是第几次运动．
29．若关于x的方程ax+b＝0（a≠0）的解与关于y的方程cy+d＝0（c≠0）的解满足﹣1≤x﹣y≤1，则称方程ax+b＝0（a≠0）与方程cy+d＝0（c≠0）是“友好方程”．例如：方程2x﹣1＝0的解是x＝0.5，方程y﹣1＝0的解是y＝1，因为﹣1≤x﹣y≤1，方程2x﹣1＝0与方程y﹣1＝0是“友好方程”．
（1）请通过计算判断方程2x﹣9＝5x﹣2与方程5（y﹣1）﹣2（1﹣y）＝﹣34﹣2y是不是“友好方程”．
（2）若关于x的方程3x﹣3+4（x﹣1）＝0与关于y的方程+y＝2k+1是“友好方程”，请你求出k的最大值和最小值．
30．我们把关于x的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“有缘组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“无缘组合”．
（1）请判断下列组合是“有缘组合”还是“无缘组合”，并说明理由；
①；
②．
（2）若关于x的组合是“有缘组合”，求a的取值范围；
（3）若关于x的组合是“无缘组合”；求a的取值范围．
编者小k君小注：
本专辑专为2022年初中沪教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
专题01 运算能力之解一元一次方程难点综合专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．已知是方程的解，那么关于y的方程的解是( )．
A．y＝1B．y＝-1C．y＝0D．方程无解
【标准答案】C
【思路指引】
由x＝1是方程的解，可代入求出a的值，然后把a的值代入方程中，解方程后即可求出y的值．
【详解详析】
解：∵是方程的解，
∴，
解得，
将代入得：，
解得．
故选：C．
【名师指路】
本题考查了方程的解的概念及解一元一次方程，掌握方程的解的概念及解一元一次方程的方法是解答此题的关键．
2．下列说法正确的是（ ）
①若是关于x的方程的一个解，则；
②在等式两边都除以3，可得；
③若，则关于x的方程的解为；
④在等式两边都除以，可得．
A．①③B．②④C．①④D．②③
【标准答案】C
【思路指引】
把x=1代入a+bx+c=0得可判断①，根据等式的性质可判断②④，把x系数化为1，求出解，即判断③，即可判断．
【详解详析】
解：①把x=1代入a+bx+c=0得：a+b+c=0，故结论正确；
②两边都除以3，可得，结论错误；
③方程ax+b=0，移项得：ax=-b，则x=-，∵b=2a，∴=2，则x=-2，故命题错误；
④等式两边都除以，可得，结论正确．
故选：C．
【名师指路】
本题考查了方程解的定义及解一元一次方程，解题的关键是掌握方程的解及解方程的步骤．
3．若关于x的方程无解，则a的值是（（ ）
A．1B．C．2D．
【标准答案】C
【思路指引】
根据一元一次方程的解法即可得．
【详解详析】
，
，
，
要使关于x的方程无解，则，
解得，
故选：C．
【名师指路】
本题考查了解一元一次方程，掌握理解方程无解是解题关键．
4．已知关于x的方程的解为，则方程的解为（ ）
A．B．C．D．无法确定
【标准答案】C
【思路指引】
先根据方程的解定义可得，从而可得，再代入解方程即可得．
【详解详析】
由题意得：，即，
代入方程得：，
解得，
故选：C．
【名师指路】
本题考查了解一元一次方程、熟练掌握方程的解法是解题关键．
5．若“△”是新规定的某种运算符号，设x△y=xy+x+y，则2△m=﹣16中，m的值为（ ）
A．8B．﹣8C．6D．﹣6
【标准答案】D
【详解详析】
因为xΔy＝xy＋x＋y，且2Δm＝－16，
所以2m+2+m=-16，
解得m=- 6，
故选D.
考点：1.新定义题2.一元一次方程.
6．一位同学在解方程 时，把“（ ）”处的数字看错了，解得，这位同学把“（ ）”看成了（ ）
A．3B．C．－8D．8
【标准答案】D
【思路指引】
把括号处看作未知数y，把x＝﹣代入方程求未知数y．
【详解详析】
解：设括号处未知数为y，
则将x＝﹣代入方程得：
5×（﹣）﹣1＝y×（﹣）+3，
移项，整理得，y＝8．
故选：D．
【名师指路】
本题考查了一元一次方程的解法．把括号处当作未知数，建立新的一元一次方程来解．
7．定义一种新运算“a☆b”的含义为：当a≥b时，a☆b=a+b；当a＜b时，a☆b=a﹣b．例如：3☆（﹣4）=3+（﹣4）=﹣1，（-6）☆，则方程（3x﹣7）☆（3﹣2x）=2的解为x=（ ）
A．1B．C．6或D．6
【标准答案】D
【思路指引】
分3x-7≥3-2x和3x-7＜3-2x两种情况，依据新定义列出方程求解可得．
【详解详析】
解：当3x﹣7≥3﹣2x，即x≥2时，
由题意得：（3x﹣7）+（3﹣2x）=2，
解得：x=6；
当3x﹣7＜3﹣2x，即x＜2时，
由题意得：（3x﹣7）﹣（3﹣2x）=2，
解得：x=（不符合前提条件，舍去），
∴x的值为6．
故选：D．
【名师指路】
本题主要考查解一元一次不等式及一元一次方程，解题的关键是根据新定义列出关于x的不等式及解一元一次不等式、一元一次方程的能力．
8．关于y的方程与的解相同，则k的值为（ ）
A．-2B．C．2D．
【标准答案】C
【思路指引】
分别解出两方程的解，两解相等，就得到关于k的方程，从而可以求出k的值．
【详解详析】
解第一个方程得：，
解第二个方程得：，
∴=，
解得：k=2．
故选C．
【名师指路】
本题解决的关键是能够求解关于y的方程，要正确理解方程解的含义．
9．定义运算“*”，其规则为，则方程的解为（ ）
A．B．C．D．
【标准答案】D
【思路指引】
根据新定义列出关于x的方程，解之可得．
【详解详析】
∵4*x=4，
∴=4，
解得x=4，
故选：D．
【名师指路】
本题主要考查解一元一次方程，去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x=a形式转化．
10．王涵同学在解关于x的方程7a＋x＝18时，误将＋x看作－x，得方程的解为x＝－4，那么原方程的解为（ ）
A．x＝4B．x＝2C．x＝0D．x＝－2
【标准答案】A
【详解详析】
分析：根据方程的解x＝－4满足方程7a-x=18,可得到a的值，把a的值代入方程7a＋x＝18,可得原方程的解.
详解：如果误将+x看作-x，得方程的解为x=-4，
那么原方程是7a-x=18，
则a=2，
将a=2代入原方程得到：7a＋x＝18，
解得x=4；
点睛：本题考查了一元一次方程的解,利用方程的解求出a的值是解题关键.
二、填空题
11．对于实数a、b、c、d，我们定义运算＝ad﹣bc，例如：＝2×5﹣1×3＝7，上述记号就叫做二阶行列式．若＝4，则x＝____________．
【标准答案】18
【思路指引】
直接利用新定义得出一元一次方程，进而解方程得出答案．
【详解详析】
解：由题意可得：7（x﹣2）﹣6x＝4，
解得：x＝18．
故答案为：18．
【名师指路】
本题主要考查了实数运算以及解一元一次方程，正确得出一元一次方程是解题关键．
12．对于三个互不相等的有理数a，b，c，我们规定符号表示a，b，c三个数中较大的数，例如.按照这个规定则方程的解为__________．
【标准答案】
【思路指引】
分时，时和时三种情况讨论，列出方程求解即可．
【详解详析】
解：当时，，
即，解得（不符合题意，舍去）；
当时，，
即，解得，
当时，，
即，解得（不符合题意，舍去），
综上所述，，
故答案为：．
【名师指路】
本题考查解一元一次方程．能结合的定义分情况讨论是解题关键．
13．如果是关于的方程的解，那么的值是______．
【标准答案】4
【思路指引】
把x=-2代入方程得到关于m的方程，求得m的值即可．
【详解详析】
解：把x=-2代入方程得-1+m=3，
解得：m=4．
故答案为：4．
【名师指路】
本题考查了一元一次方程的解，方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值，理解定义是关键．
14．若，则___________．
【标准答案】-3
【思路指引】
根据非负数的性质可得关于x、y的方程，求出x、y后再代入所求式子计算即可．
【详解详析】
根据题意，得：，，
解得：，，
∴．
故答案为：-3．
【名师指路】
本题考查了非负数的性质以及解一元一次方程，熟练掌握非负数的性质是解题的关键．
15．对于实数a，b，c，d，规定一种运算=ad-bc，如=1×(-2)-0×2=-2，那么当=27时，则x=_____．
【标准答案】22
【思路指引】
由题中的新定义可知，此种运算为对角线乘积相减的运算，化简所求的式子得到关于x的方程，然后解方程即可求出x的值．
【详解详析】
解：∵=27，
∴(x+1)(x-1)-(x+2)(x-3)=27，
∴x2-1-(x2-x-6)=27，
∴x2-1-x2+x+6=27，
∴x=22；
故答案为：22．
【名师指路】
本题考查了新定义运算，及灵活运用新定义的能力，根据新定义把所给算式转化为一元一次方程是解答本题的关键．
16．已知方程2021x＋m＝184x＋n的解为x＝a，则方程2.021x＋m＝0.184x＋n的解为_____（用含a的式子表示）．
【标准答案】1000a
【思路指引】
先求n-m=1837a，代入x=可得答案．
【详解详析】
解：∵方程2021x＋m＝184x＋n的解为x＝a，
∴2021a＋m＝184a＋n
所以n-m=1837a，
而2.021x＋m＝0.184x＋n的解为x=，
把n-m=1837a代入x=得：x=，
∴2.021x＋m＝0.184x＋n的解为x=1000a，
故答案为：x=1000a．
【名师指路】
本题考查了一元一次方程的解，利用整体代入是解题关键．
17．如图，将刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是1cm），刻度尺上“0cm”和“3cm”分别对应数轴上的3和0，那么刻度尺上“6.3cm”对应数轴上的数为________．
【标准答案】
【思路指引】
设刻度尺上“6.3cm”对应数轴上的数为x，利用x与数轴上的3相距6.3个单位长度，列方程求解即可．
【详解详析】
解：设刻度尺上“6.3cm”对应数轴上的数为x，
∵“0cm”与“6.3cm”相距6.3cm，
∴x与数轴上的3相距6.3个单位长度，
∴，解得
故答案为：．
【名师指路】
本题考查数轴上两点间的距离，关键是找到刻度尺上“7.6cm”对应数轴上的数与3之间的距离．
18．已知（a﹣3）x|a|﹣2+5＝0关于x的一元一次方程，则该方程的解为x＝_____．
【标准答案】
【思路指引】
根据一元一次方程的定义，即只含有一个未知数，并且未知数次数为1的整式方程判断即可；
【详解详析】
∵（a﹣3）x|a|﹣2+5＝0关于x的一元一次方程，
∴，，
∴，，
∴，
∴方程为，
解得：．
故答案是：．
【名师指路】
本题主要考查了一元一次方程的定义，解一元一次方程，准确计算是解题的关键．
19．请阅读下面材料，现规定一种运算：＝ad﹣bc，例如＝2×5﹣3×4＝10﹣12＝﹣2，按照这种运算的规定，当x＝____时，．
【标准答案】
【思路指引】
利用题中的新定义化简所求方程，求出解即可．
【详解详析】
解：根据题意得：，
去分母得：4x-1+2x=3，
解得：，
故答案为：．
【名师指路】
此题考查了解一元一次方程，弄清题中的新定义是解本题的关键．
20．关于的方程和的解相等，求=_________．
【标准答案】或
【思路指引】
分别用含有m和n的代数式表示出两个方程的解，根据两方程的解相等求得mn的值即可得解．
【详解详析】
解：解方程得，，
解方程得，
∵方程和方程的解相等，
∴
∴
∴
故答案为：
【名师指路】
本题考查了同解方程，表示出方程的解是解答本题的关键．
三、解答题
21．计算：
（1）|2-5|+23 （2）－14－×[2－（－3）2]
（3）2－3（2－x）＝5 （4）
【标准答案】（1）11；（2）；（3）x=3；（4）x=-1
【思路指引】
（1）先算绝对值和乘方，再算加法即可；
（2）先算乘方和括号，再算乘法，后算加减即可；
（3）根据去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可；
（4）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可．
【详解详析】
解：（1）|2-5|+23
=3+8
=11；
（2）－14－×[2－（－3）2]
=－1－×(2-9)
=－1－×(-7)
=
=；
（3）2－3(2－x)＝5 ，
去括号，得
2-6+3x=5，
移项，得
3x=5+6-2，
合并同类项，得
3x=9，
未知数的系数化为1，得
x=3；
（4），
去分母，得
3(3x-1)-2(5x-7)=12，
去括号，得
9x-3-10x+14=12，
移项，得
9x-10x=12+3-14，
合并同类项，得
-x=1，
未知数的系数化为1，得
x=-1．
【名师指路】
本题考查了有理数的混合运算，以及解一元一次方程，熟练掌握有理数的运算法则以及一元一次方程的解题步骤是解答本题的关键．
22．解下列一元一次方程：
（1）
（2）
【标准答案】（1）；（2）
【思路指引】
(1)先去括号，再移项，合并同类项，最后系数化为1；
(2)先去分母，然后去括号，再移项合并同类项，最后系数化为1．
【详解详析】
解：（1），
，
，
；
（2），
，
，
，
．
【名师指路】
本题主要考查解一元一次方程,解决本题的关键是要熟练掌握解一元一次方程的方法和步骤．
23．解方程：．
【标准答案】
【思路指引】
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解即可．
【详解详析】
去分母，可得，
去括号，可得：，
移项，可得：，
合并同类项，可得：，
系数化为1，可得：．
【名师指路】
此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
24．解下列方程或方程组：
（1）4x﹣2＝2x+3．
（2）＝2．
（3）．
【标准答案】（1）x＝；（2）x＝﹣4；（3）
【思路指引】
（1）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可；
（2）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可；
（3）用加减消元法求解即可．
【详解详析】
解：（1）4x﹣2＝2x+3，
移项，得4x﹣2x＝3+2，
合并同类项，得2x＝5，
系数化为1，得x＝；
（2）＝2，
去分母，得4（x+1）﹣9x＝24，
去括号，得4x+4﹣9x＝24，
移项，得4x﹣9x＝24﹣4，
合并同类项，得﹣5x＝20，
系数化为1，得x＝﹣4；
（3），
②﹣①×3，得x＝﹣1，
把x＝﹣1代入①，得﹣1﹣y＝2，
解得y＝﹣3，
故方程组的解为．
【名师指路】
本题考查了一元一次方程的解法，以及二元一次方程组的解法，熟练掌握求解步骤是解答本题的关键．解二元一次方程组的基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种．
25．（1）计算：﹣32+（﹣5）4×﹣15÷|﹣3|；
（2）解方程：1﹣．
【标准答案】（1）86；（2）x＝1．
【思路指引】
（1）根据有理数混合运算法则计算即可；
（2）根据解一元一次方程的一般步骤计算即可．
【详解详析】
解：（1）原式＝﹣9+（﹣5）2×﹣15÷3
＝﹣9+25×4﹣5
＝﹣9+100﹣5
＝86；
（2）1﹣
6﹣3（x﹣1）＝2（2x+1），
6﹣3x+3＝4x+2，
﹣3x﹣4x＝2﹣3﹣6，
﹣7x＝﹣7，
x＝1．
【名师指路】
本题主要考查了有理数的混合运算、解一元一次方程等知识点，掌握有理数的混合运算法则和解一元一次方程的步骤成为解答本题的关键．
26．已知点，，在数轴上对应的数分别为，，10，动点从点出发以每秒1个单位长度的速度向终点运动，设运动的时间为秒．
（1）用含的式子表示点到点和点的距离，______，______；
（2）当点运动至点时，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向点运动，当其中一个点到时达点时，整个运动结束．试问：在点开始运动后，两点之间的距离能否为2个单位长度？若不能，请说明理由；若能，请求出点所表示的数．
【标准答案】（1），；（2）能，-4或-2
【思路指引】
（1）根据题意路程=速度×时间得出结果；
（2）需要分类讨论：当点P在Q的左边和右边列出方程解答．
【详解详析】
.解：（1）PA=1·t= t；PC=（24+10）-t=
故答案为：，；
（2）设点运动的时间为秒，可分两种情况讨论：
①当点还没追上点时，即点在点的左侧（如图1），
则，，
此时，
解得
所以点所表示的数是-24+14+6=；
②当点追上并超过点时，即点在点的右侧（如图2），
则，，
此时，
解得
点所表示的数是-24+14+8=．
综上，点开始运动后，两点之间的距离能为2个单位长度，点所表示的数为或．
【名师指路】
本题考查了数轴、一元一次方程的应用．解答（2）题，对t分类讨论是解题关键．
27．先阅读下列解题过程，然后解答后面两个问题．
解方程：|x+3|＝2．
解：当x+3≥0时，原方程可化为x+3＝2，解得x＝﹣1；
当x+3＜0时，原方程可化为x+3＝﹣2，解得x＝﹣5．
所以原方程的解是x＝﹣1或x＝﹣5．
①解方程：|3x﹣2|﹣4＝0．
②当b为何值时，关于x的方程|x﹣2|＝b+1，(1)无解；(2)只有一个解；(3)有两个解．
【标准答案】（1）或（2）＜时，方程无解； =时，方程只有一个解；即＞时，方程有两个解
【详解详析】
分析：（1）首先要认真审题，解答此题时要理解绝对值的意义，要会去绝对值，然后化为一元一次方程即可求得．
（2）运用分类讨论进行解答．
详解：（1）当3x﹣2≥0时，原方程可化为：3x﹣2=4，解得：x=2；
当3x﹣2＜0时，原方程可化为：3x﹣2=﹣4，解得：x=﹣．
所以原方程的解是x=2或x=﹣；
（2）∵|x﹣2|≥0，∴当b+1＜0，即b＜﹣1时，方程无解；
当b+1=0，即b=﹣1时，方程只有一个解；
当b+1＞0，即b＞﹣1时，方程有两个解．
点睛：本题比较难，提高了学生的分析能力，解题的关键是认真审题．
28．如图，数轴上A、B两点所对应的数分别是a和b，且．
（1）则 ， ，A、B两点之间的距离= ；
（2）有一动点P从点A出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次运动，向右运动2个单位长度，在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度…按照如此规律不断地左右运动，当运动到2021次时，求点P所对应的有理数．
（3）在（2）的条件下，点P在某次运动时恰好到达某一个位置，使点P到点B的距离是点P到点A的距离的2倍?请求出此时点P的位置，并直接写出是第几次运动．
【标准答案】（1）-5，7，12；（2）-1016；（3）-17和-1分别是点P运动了第23次和第8次到达的位置
【思路指引】
（1）根据平方以及绝对值的性质得到，，题目给出，由此得 a、b的值；则易求线段 AB 的值；
（2）根据题意得到点 P 每一次运动后所在的位置，然后由有理数的加法进行计算即可；
（3）设点P对应的有理数的值为x，分情况进行解答：点P在点A的左侧，点P在点 A、B之间，点P在点B的右侧三种情况．
【详解详析】
（1），
，
，，
∴A、B两点之间的距离为．
故答案为：-5，7，12；
（2）设向左运动记为负数，向右运动记为正数，
依题意得：，
，
，
，
点P所对应的数为；
（3）设点P对应的有理数的值为x，
①当点P在点A的左侧时：，，
依题意得：，
解得：，
②当点P在点A和点B之间时：，，
依题意得：，
解得：，
③当点P在点B的右侧时：，，
依题意得：，
解得：，这与点P在点B的右侧矛盾，故舍去，
综上所述，点P所对应的有理数分别是﹣17和﹣1，
P从点A出发，
当点P所对应的有理数分别是﹣17时，在A的左边，
点P运动了（次），
当点P所对应的有理数分别是﹣1时，在A的右边，
点P运动了（次），
所以﹣17和﹣1分别是点P运动了第23次和第8次到达的位置．
【名师指路】
本题考查了数轴和一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解，解答（3）题时，一定要分类讨论．
29．若关于x的方程ax+b＝0（a≠0）的解与关于y的方程cy+d＝0（c≠0）的解满足﹣1≤x﹣y≤1，则称方程ax+b＝0（a≠0）与方程cy+d＝0（c≠0）是“友好方程”．例如：方程2x﹣1＝0的解是x＝0.5，方程y﹣1＝0的解是y＝1，因为﹣1≤x﹣y≤1，方程2x﹣1＝0与方程y﹣1＝0是“友好方程”．
（1）请通过计算判断方程2x﹣9＝5x﹣2与方程5（y﹣1）﹣2（1﹣y）＝﹣34﹣2y是不是“友好方程”．
（2）若关于x的方程3x﹣3+4（x﹣1）＝0与关于y的方程+y＝2k+1是“友好方程”，请你求出k的最大值和最小值．
【标准答案】（1）是；（2）k的最小值为﹣，最大值为
【思路指引】
（1）分别解出两个方程，得到x﹣y的值，即可确定两个方程是“友好方程”；
（2）分别解两个方程为x＝1，，再由已知可得﹣1≤≤1，求出k的取值范围为即可求解．
【详解详析】
解：（1）由2x﹣9＝5x﹣2，解得x＝，
由5（y﹣1）﹣2（1﹣y）＝﹣34﹣2y，解得y＝﹣3，
∴x﹣y＝，
∴﹣1≤x﹣y≤1，
∴方程2x﹣9＝5x﹣2与方程5（y﹣1）﹣2（1﹣y）＝﹣34﹣2y是“友好方程”；
（2）由3x﹣3+4（x﹣1）＝0，解得x＝1，
由，解得，
∵两个方程是“友好方程”，
∴﹣1≤x﹣y≤1，
∴﹣1≤≤1，
∴
∴k的最小值为﹣，最大值为．
【名师指路】
本题主要考查了解一元一次方程和解一元一次不等式组，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
30．我们把关于x的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“有缘组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“无缘组合”．
（1）请判断下列组合是“有缘组合”还是“无缘组合”，并说明理由；
①；
②．
（2）若关于x的组合是“有缘组合”，求a的取值范围；
（3）若关于x的组合是“无缘组合”；求a的取值范围．
【标准答案】（1）①组合是“无缘组合”，②组合是“有缘组合”；（2）a＜-3；（3）a