沪教版六年级下册数学专题训练第六章一次方程(组)和一次不等式(组)单元综合提优专练(原卷版+解析)

这是一份沪教版六年级下册数学专题训练第六章一次方程(组)和一次不等式(组)单元综合提优专练(原卷版+解析)，共42页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．已知方程|x|＝ax+1有一个负根而且没有正根，那么a的取值范围是（ ）．
A．a＞-1B．a＝1C．a≥1D．非上述答案
2．为了鼓励市民节约用水，某区居民生活用水按阶梯式水价计费．居民在一年内用水在不同的定额范围内，执行不同的水价，其中水价＝供水价格＋污水处理费．具体价格如表：
该区一居民家发现2020年7月份比6月份多用10立方米水，7月份水费为86.4元，比6月份多了55.6元，则该居民家7月份属阶梯二的用水量为（ ）
A．22立方米B．18立方米C．13立方米D．12立方米
3．七（1）班全体同学进行了一次转盘得分活动．如图，将转盘等分成8格，每人转动一次，指针指向的数字就是获得的得分，指针落在边界则重新转动一次．根据小红、小明两位同学的对话，可得七（1）班共有学生（ ）人．
A．38B．40C．42D．45
4．小明去文具店购买了笔和本子共5件，已知两种文具的单价均为正整数且本子的单价比笔的单价贵．在付账时，小明问是不是27元，但收银员却说一共48元，小明仔细看了看后发现自己将两种商品的单价记反了．小明实际的购买情况是（ ）
A．1支笔，4本本子B．2支笔，3本本子
C．3支笔，2本本子D．4支笔，1本本子
5．某书店推出如下优惠方案：（1）一次性购书不超过100元不享受优惠；（2）一次性购书超过100元但不超过300元一律九折；（3）一次性购书超过300元一律八折．某同学两次购书分别付款80元、252元，如果他将这两次所购书籍一次性购买，则应付款（ ）元．
A．288B．306C．288或316D．288或306
6．对于数x，符号表示不大于x的最大整数．若有正整数解，则正数a的取值范围是（ ）．
A．或B．或
C．或D．或
7．已知关于x的不等式组，有以下说法：
①如果它的解集是1＜x≤4，那么a＝4；
②当a＝1时，它无解；
③如果它的整数解只有2，3，4，那么4≤a＜5；
④如果它有解，那么a≥2．
其中说法正确的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．正整数n小于100，并且满足等式，其中表示不超过x的最大整数，例如：，则满足等式的正整数的个数为（ ）
A．2B．3C．12D．16
9．下列说法：①若互为相反数，则；②若 ，且，则；③几个有理数相乘，如果负因数的个数为奇数个，则积为负；④当时， 有最小值为5；⑤若，则 ；⑥若，则与互为相反数，其中错误的有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
10．如图，A、O、B两点在数轴上对应的数分别为﹣20、0、40，C点在A、B之间，在A、B两点处各放一个挡板，M、N两个小球同时从C处出发，M以2个单位/秒的速度向数轴负方向运动，N以4个单位/秒的速度向数轴正方向运动，碰到挡板后则反方向运动，速度大小不变．设两个小球运动的时间为t秒钟（0＜t＜40），当M小球第一次碰到A挡板时，N小球刚好第一次碰到B挡板．则：①C点在数轴上对应的数为0；②当10＜t＜25时，N在数轴上对应的数可以表示为80﹣4t；③当25＜t＜40时，2MA+NB始终为定值160；④只存在唯一的t值，使3MO＝NO，以上结论正确的有（ ）
A．①②③④B．①③C．②③D．①②④
二、填空题
11．四月下旬，世界卫生组织称中国已进入缓疫阶段，各地陆续发布开学通知．虽然疫情有所控制，但防控仍不可掉以轻心．重庆一中的教职工们在学校逐一检查、落实各项防疫措施，为迎接即将返校的初三学生做足准备．王老师用现金6820元为年级采购了额温枪和免洗洗手液两种防疫物品，额温枪每个125元，免洗洗手液每瓶55元，购买后剩余100元、10元、1元的钞票若干张（10元钞票和1元钞票剩余数量均不超过9张，且采购额温枪的数量大于洗手液的数量），若把购买两种防疫物品的数量交换，剩余的100元和10元的钞票张数恰好相反，但1元钞票的张数不变，则购买额温枪的数量为__________个．
12．将长为2，宽为a的长方形纸片（1＜a＜2）如图那样折一下，剪下一个边长等于长方形的宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的长方形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时长方形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去．若第3次操作后，剩下的长方形恰好是正方形，则a的值为_____．
13．育人，是一所学校的根本使命．近年来，巴蜀中学坚持“挖掘潜能张扬个性”的办学特色，“善为根、雅为骨、志为魂”的德育理念．在“善雅志”德育理念指导下，各年级都有以“善雅志”为主题的品牌活动．比如在2021年3月25日，初一年级举行了“尚善青春致敬楷模爱党爱国共成长”为主题的班级形象大赛．在活动初期，某几个班级组织了86名同学搬活动节目所需要的道具，为了便于管理，把其中50名同学分成了A、B两组，另外36名同学分成了C、D两组． A、C两组把道具搬到甲地点，B、D两组把道具搬到乙地点，结束后统计得知：A组搬道具的人均件数比B组搬道具的人均件数多2件，C，D两组搬道具的人均件数相同，且是B组搬道具的人均件数的2.5倍，甲、乙两个地点的人均搬道具件数相同，且比A组搬道具的人均件数高25%．已知搬道具的人均件数为整数，则一共有道具_____件．
14．五月正是吃枇杷、菠萝、荔枝的季节，重庆某水果店五月第一周从果园进购了一批枇杷、菠萝和荔枝，其中枇杷的重量占购进三种水果总量的，枇杷的进价为4元/千克，菠萝的售价为9元/千克，荔枝的进价为8元/千克．水果店对枇杷提价100%进行销售，菠萝的利润率为80%，荔枝的售价为15元/千克，第一周三种水果售罄后总利润率为87.5%．第二周水果店进购相同数量的枇杷、菠萝和荔枝，枇杷的成本增加了25%，枇杷的售价变为9元/千克，菠萝的进价和售价均保持不变，荔枝的进价不变，荔枝的利润率变为了75%，同时由于水果店储存不当，第二次购进的荔枝中有的部分出现了损耗（损耗水果不能销售），则第二周三种水果售罄时总利润率为___．
15．2020年，受到新冠疫情的影响，全国市民都会佩戴口罩和配备一些消毒物品出门．某工厂生产的一种消毒套装深受市民喜爱，已知该消毒套装一套包含有2瓶消毒液，4包消毒湿巾，6个医用口罩，某医用超市向该厂订购了一批消毒套装，需要厂家在15天内生产完该套装并交货．该工厂将员工分为、、三个组，分别对应生产消毒液、消毒湿巾、医用口罩；他们于某天零点开始工作，每天24小时轮班连续工作（假设每小时工作效率相同），若干天后的零点组完成任务，再过几天后（不少于一天）的中午12点组完成任务，再过几天（不少于一天）后的6时组完成任务．已知、、三个组每天完成的任务数分别是1080瓶，1440包，1440个，则该医用超市一共订购了__件消毒套装．
16．按图中程序计算，规定：从“输入一个值”到“结果是否”为一次程序操作，如果程序操作进行了两次才停止，则的取值范围为_______________________．
17．已知实数，，满足，且有最大值，则的值是__________．
18．已知，则代数式最大值与最小值的差是________．
19．某服装店推出如下优惠方案：
（1）一次性购物不超过100元不享受优惠；
（2）一次性购物超过100元但不超过300元一律9折；
（3）一次性购物超过300元一律8折．
小李两次购物分别付款85元，252元，如果他一次性购买以上两次相同的商品，他应付款__________元．
20．如图，数轴上线段，点在数轴上表示的数是－10，点在数轴上表示的数是16，若线段以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动．当点运动到线段上时，是线段上一点，且有关系式成立，则线段的长为_________．
三、解答题
21．某加工厂用52500元购进A、B两种原料共40吨，其中原料A每吨1500元，原料B每吨1000元．由于原料容易变质，该加工厂需尽快将这批原料运往有保质条件的仓库储存．经市场调查获得以下信息：
①将原料运往仓库有公路运输与铁路运输两种方式可供选择，其中公路全程120千米，铁路全程150千米；
②两种运输方式的运输单价不同（单价：每吨每千米所收的运输费）；
③公路运输时，每吨每千米还需加收1元的燃油附加费；
④运输还需支付原料装卸费：公路运输时，每吨装卸费100元；铁路运输时，每吨装卸费220元．
（1）加工厂购进A、B两种原料各多少吨？
（2）由于每种运输方式的运输能力有限，都无法单独承担这批原料的运输任务．加工厂为了尽快将这批原料运往仓库，决定将A原料选一种方式运输，B原料用另一种方式运输，哪种方案运输总花费较少？请说明理由．
22．如果3个数位相同的自然数m，n，k满足：m+n＝k，且k各数位上的数字全部相同，则称数m和数n是一对“黄金搭档数”．例如：因为25，63，88都是两位数，且25+63＝88，则25和63是一对“黄金搭档数”．再如：因为152，514，666都是三位数，且152+514＝666，则152和514是一对“黄金搭档数”．
（1）分别判断87和12，62和49是否是一对“黄金搭档数”，并说明理由；
（2）已知两位数s和两位数t的十位数字相同，若s和t是一对“黄金搭档数”，并且s与t的和能被7整除，求出满足题意的s．
23．已知（a≠0）是关于x，y的二元一次方程组．
（1）求方程组的解（用含a的代数式表示）；
（2）若x﹣2y＞0，求a的取值范围；
（3）若x，y之间（不含x，y）有且只有一个整数，直接写出a的取值范围．
24．阅读感悟：
有些关于方程组的问题，要求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数、满足①，②，求和的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得、的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大.其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①－②可得，由①+②×2可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
解决问题：
（1）已知二元一次方程组，则_______，_______；
（2）某班级组织活动购买小奖品，买20支水笔、3块橡皮、2本记事本共需35元，买39支水笔、5块橡皮、3本记事本工序62元，则购买6支水笔、6块橡皮、6本记事本共需多少元？
（3）对于实数、，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，那么_______．
25．如图，数轴上两点A、B对应的数分别是－1，1，点P是线段AB上一动点，给出如下定义：如果在数轴上存在动点Q，满足|PQ|＝2，那么我们把这样的点Q表示的数称为连动数，特别地，当点Q表示的数是整数时我们称为连动整数．
（1）在－2.5，0，2，3.5四个数中，连动数有 ；（直接写出结果）
（2）若k使得方程组中的x，y均为连动数，求k所有可能的取值；
（3）若关于x的不等式组的解集中恰好有4个连动整数，求这4个连动整数的值及a的取值范围．
26．中国传统节日“端午节”期间，某商场开展了“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌的粽子进行了打折销售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折．已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需660元；打折后，买5盒甲品牌粽子和4盒乙品牌粽子需520元．
（1）打折前，每盒甲、乙品牌粽子分别为多少元？
（2）在商场让利促销活动期间，某敬老院准备购买甲、乙两种品牌粽子共40盒，总费用不超过2300元，问敬老院最多可购买多少盒乙品牌粽子？
27．已知p，q是质数，并且以x为未知数的一元一次方程px+5q=97的解是x=1，求代数式40p +101q+4的值．
28．如图，已知数轴上两点A、B表示的数分别为﹣3、13，用符号“AB”来表示点A和点B之间的距离．
（1）AB＝ ；
（2）若在数轴上存在一点C，使AC＝3BC，求点C表示的数；
（3）在（2）的条件下，点C位于A，B两点之间．点A以3个单位/秒的速度沿着数轴的正方向一直运动；1秒后点C以1个单位/秒的速度也沿着数轴的正方向运动，到达B点处立刻返回，沿着数轴的负方向运动，直到点C到达数﹣3所对应的点时，两个点同时停止运动．设点A运动的时间为t，在此过程中存在t使得AC＝3BC仍成立，请直接写出t（t＞0）的值．
29．已知在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，且|a＋40|＋|b－10|＋(c－30)2＝0，A、B之间的距离记为AB＝|a－b|，请回答问题：
（1）直接写出c，AB的值，c＝______，AB＝______；
（2）动点P在数轴上表示的数为x，
①请求出x为何值时PA＋PB＝70；
②直接写出|x＋a|＋3|x－b|＋|x＋c|的最小值＝______；
（3）若点A以每秒8个单位长度的速度向右运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向左运动，设运动时间为t秒，求t为何值时，其中一点到另两点的距离相等．
30．某商场促销方案规定：商场内所有商品按标价的80%出售，同时当顾客在商场内一次性消费满一定金额后，按下表获得相应的返还金额．
注：500~1000表示消费金额大于500元且小于或等于1000元，其他类同。
根据上述促销方案，顾客在该商场购物可以获得双重优惠例如，若购买标价为1000元的商品，则消费金额为800元，获得的优惠额为1000×（1－80%）＋60＝260（元）。
（1）购买一件标价为600元的商品，顾客获得的优惠额是 元．
（2）若顾客在该商场购买一件标价x元（x＞1250）的商品，那么该顾客获得的优惠额为多少?（用含有x的代数式表示）
（3）若顾客在该商场第一次购买一件标价x元（x＞1250）的商品后，第二次又购买了一件标价为500元的商品，如果这名顾客一次性购买这两件商品，他所花掉的费用与分开购买相比有无节省?若有，节省多少元?
类别
户年用水量（立方米）
水价（立方米）
供水价格
（元/立方米）
污水处理费
（元/立方米）
居民生活用水
一户一表
阶梯一
0--216（含）
1.90
1.00
阶梯二
216—300（含）
2.85
阶梯三
300以上
5.70
消费金额（元）
小于或等于500元
500~1000
1000~1500
1500以上
返还金额（元）
0
60
100
150
第六章 一次方程（组）和一次不等式（组）单元综合提优专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．已知方程|x|＝ax+1有一个负根而且没有正根，那么a的取值范围是（ ）．
A．a＞-1B．a＝1C．a≥1D．非上述答案
【标准答案】C
【思路指引】
当，即，通过计算得，并符合题意；当，即，通过计算得，结合方程|x|＝ax+1没有正根，故不成立；从而得到a的取值范围．
【详解详析】
当，即
∴
∴
∴
∴
∵方程|x|＝ax+1有一个负根
∴成立；
当，即
∴
∴
∴
∴
∵方程|x|＝ax+1没有正根
∴不成立；
∴
故选：C．
【名师指路】
本题考查了绝对值、一元一次方程、不等式的知识；解题的关键是熟练掌握绝对值、一元一次方程、一元一次不等式的性质，从而完成求解．
2．为了鼓励市民节约用水，某区居民生活用水按阶梯式水价计费．居民在一年内用水在不同的定额范围内，执行不同的水价，其中水价＝供水价格＋污水处理费．具体价格如表：
该区一居民家发现2020年7月份比6月份多用10立方米水，7月份水费为86.4元，比6月份多了55.6元，则该居民家7月份属阶梯二的用水量为（ ）
A．22立方米B．18立方米C．13立方米D．12立方米
【标准答案】D
【思路指引】
根据题意，阶梯一、二、三阶段的水价，分别计算6、7月份用水量同在第一、二、三阶段时10方水的价格，得到7月份用水量跨二、三阶段，而六月份用水量在第二阶段，从而得到6月份用水量为8立方米，7月份用水量为18立方米，设7月份第二阶段用水量为立方米，则第三阶段用水量为立方米．根据题意列方程求解即可．
【详解详析】
解：根据题意，阶梯一、二、三阶段的水价分别为：2.90/立方米、3.85/立方米、6.70元/立方米；
若6、7月份用水量同在第一阶段，则两月水费差应为元；
若6、7月份用水量同在第二阶段，则两月水费差应为元；
若6、7月份用水量同在第三阶段，则两月水费差应为元；
由于两实际水费差为55.6元，38.5＜55.6＜67，由题意可知，7月份用水量跨二、三阶段，而六月份用水量在第二阶段，易算出6月份用水量为立方米，则7月份用水量则为18立方米．
设7月份第二阶段用水量为立方米，则第三阶段用水量为立方米．
列出方程：；
解得：．
故选D．
【名师指路】
本题考查了一元一次方程的应用，根据题意确定6、7月份用水量所在阶梯，进而得到两个月的用水量是解题关键．
3．七（1）班全体同学进行了一次转盘得分活动．如图，将转盘等分成8格，每人转动一次，指针指向的数字就是获得的得分，指针落在边界则重新转动一次．根据小红、小明两位同学的对话，可得七（1）班共有学生（ ）人．
A．38B．40C．42D．45
【标准答案】A
【思路指引】
根据题意，分别假设未知数，再根据对话内容列出方程组，即可求解答案．
【详解详析】
解：设得3分，4分，5分和6分的共有x人，它们平均得分为y分，分两种情况：
（1）得分不足7分的平均得分为3分，
xy+3×2+5×1＝3（x+5+3），
xy﹣3x＝13①，
（2）得3分及以上的人平均得分为4.5分，
xy+3×7+4×8＝4.5（x+3+4），
4.5x﹣xy＝21.5②，
①+②得1.5x＝34.5，
解得x＝2.3，
故七（1）班共有学生23+5+3+3+4＝38（人）．
故选：A．
【名师指路】
考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是了解题意，根据数量关系列出方程组，即可求出结果．
4．小明去文具店购买了笔和本子共5件，已知两种文具的单价均为正整数且本子的单价比笔的单价贵．在付账时，小明问是不是27元，但收银员却说一共48元，小明仔细看了看后发现自己将两种商品的单价记反了．小明实际的购买情况是（ ）
A．1支笔，4本本子B．2支笔，3本本子
C．3支笔，2本本子D．4支笔，1本本子
【标准答案】A
【思路指引】
设购买了笔x件，购买了本子(5-x)件，本子的单价为a元，笔的单价为b元，分类讨论解方程即可．
【详解详析】
解：设购买了笔x件，购买了本子(5-x)件，本子的单价为a元，笔的单价为b元，列方程组得 ，
当x=1时，原方程组为，解得，符合题意；
当x=2时，原方程组为，解得，不符合题意，舍去；
当x=3时，原方程组为，解得，不符合题意，舍去；
当x=4时，原方程组为，解得，不符合题意，舍去；
故选：A．
【名师指路】
本题考查了含参数的二元一次方程组的应用，解题关键是理解题意，找出等量关系，列出方程组，分类讨论解方程组．
5．某书店推出如下优惠方案：（1）一次性购书不超过100元不享受优惠；（2）一次性购书超过100元但不超过300元一律九折；（3）一次性购书超过300元一律八折．某同学两次购书分别付款80元、252元，如果他将这两次所购书籍一次性购买，则应付款（ ）元．
A．288B．306C．288或316D．288或306
【标准答案】C
【思路指引】
要求他一次性购买以上两次相同的商品，应付款多少元，就要先求出两次一共实际买了多少元，第一次购物显然没有超过100，即是80元．第二次就有两种情况，一种是超过100元但不超过300元一律9折；一种是购物超过300元一律8折，依这两种计算出它购买的实际款数，再按第三种方案计算即是他应付款数．
【详解详析】
解：（1）第一次购物显然没有超过100，
即在第二次消费80元的情况下，他的实质购物价值只能是80元．
（2）第二次购物消费252元，则可能有两种情况，这两种情况下付款方式不同（折扣率不同）：
①第一种情况：他消费超过100元但不足300元，这时候他是按照9折付款的．
设第二次实质购物价值为x，那么依题意有x×0.9=252，解得：x=280．
①第二种情况：他消费超过300元，这时候他是按照8折付款的．
设第二次实质购物价值为x，那么依题意有x×0.8=252，解得：x=315．
即在第二次消费252元的情况下，他的实际购物价值可能是280元或315元．
综上所述，他两次购物的实质价值为80+280=360或80+315=395，均超过了300元．因此
可以按照8折付款：
360×0.8=288元或395×0.8=316元，
故选：C．
【名师指路】
此题考查方程的应用问题，解题关键是第二次购物的252元可能有两种情况，需要讨论清楚．本题要注意不同情况的不同算法，要考虑到各种情况，不要丢掉任何一种．
6．对于数x，符号表示不大于x的最大整数．若有正整数解，则正数a的取值范围是（ ）．
A．或B．或
C．或D．或
【标准答案】D
【思路指引】
根据所表示的含义，结合题意可得出，继而可解出的正整数解，分别代入所得不等式，可得出的范围．
【详解详析】
解：有正整数解，
，
即，，
，
是正整数，为正数，
，即可取1、2；
①当取1时，
，，
；
②当取2时，
，，
；
综上可得的范围是：或．
故选：D．
【名师指路】
此题考查了取整函数的知识，解答本题需要理解[x]所表示的意义，另外也要求我们熟练不等式的求解方法，有一定难度．
7．已知关于x的不等式组，有以下说法：
①如果它的解集是1＜x≤4，那么a＝4；
②当a＝1时，它无解；
③如果它的整数解只有2，3，4，那么4≤a＜5；
④如果它有解，那么a≥2．
其中说法正确的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【标准答案】C
【思路指引】
分别求出每个不等式的解集，再根据各结论中a的取值情况逐一判断即可．
【详解详析】
解：由x﹣1＞0得x＞1，
由x﹣a≤0得x≤a，
①如果它的解集是1＜x≤4，那么a＝4，此结论正确；
②当a＝1时，它无解，此结论正确；
③如果它的整数解只有2，3，4，那么4≤a＜5，此结论正确；
④如果它有解，那么a＞1，此结论错误；
故选：C．
【名师指路】
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
8．正整数n小于100，并且满足等式，其中表示不超过x的最大整数，例如：，则满足等式的正整数的个数为（ ）
A．2B．3C．12D．16
【标准答案】D
【思路指引】
利用不等式[x]≤x即可求出满足条件的n的值．
【详解详析】
解：若，，有一个不是整数，
则或者或者，
∴，
∴，，都是整数，即n是2，3，6的公倍数，且n＜100，
∴n的值为6，12，18，24，，共有16个，
故选：D．
【名师指路】
本题主要考查不等式以及取整，关键是要正确理解取整的定义，以及[x]≤x＜[x]+1式子的应用，这个式子在取整中经常用到．
9．下列说法：①若互为相反数，则；②若 ，且，则；③几个有理数相乘，如果负因数的个数为奇数个，则积为负；④当时， 有最小值为5；⑤若，则 ；⑥若，则与互为相反数，其中错误的有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
【标准答案】B
【思路指引】
根据相反数的性质、等式的性质，绝对值的意义，有理数的乘法原则等知识点，分别判断即可得到正确答案．
【详解详析】
解：①若互为相反数，则当时，，所以①错误；
② ∵，且
∴
∴
∴
∴②正确；
③几个不为零有理数相乘，如果负因数的个数为奇数个，则积为负，所以③错误；
④表示的是数轴上的点x到和2之间的距离，所以当点x在这两个数之间时距离最小为：，因为，故时， 有最小值为6，故④错误；
⑤当 时，不成立，故⑤错误；
⑥若，则，，所以 ⑥正确
故错误的有：①③④⑤
故选：B
【名师指路】
本题考查相反数的性质、等式的性质，绝对值的意义，有理数的乘法原则等知识点，牢记相关内容并能够灵活应用是解题关键．
10．如图，A、O、B两点在数轴上对应的数分别为﹣20、0、40，C点在A、B之间，在A、B两点处各放一个挡板，M、N两个小球同时从C处出发，M以2个单位/秒的速度向数轴负方向运动，N以4个单位/秒的速度向数轴正方向运动，碰到挡板后则反方向运动，速度大小不变．设两个小球运动的时间为t秒钟（0＜t＜40），当M小球第一次碰到A挡板时，N小球刚好第一次碰到B挡板．则：①C点在数轴上对应的数为0；②当10＜t＜25时，N在数轴上对应的数可以表示为80﹣4t；③当25＜t＜40时，2MA+NB始终为定值160；④只存在唯一的t值，使3MO＝NO，以上结论正确的有（ ）
A．①②③④B．①③C．②③D．①②④
【标准答案】D
【思路指引】
设C点在数轴上对应的数为，根据题意可得，求得；根据题意分时间段讨论两小球的位置，分别求解即可．
【详解详析】
解：设C点在数轴上对应的数为，则，
当M小球第一次碰到A挡板时，N小球刚好第一次碰到B挡板，则
解得，即C点在数轴上对应的数为0，①正确；
当时，N小球运动的距离为，刚好到达点，
当时，N小球运动的距离为，刚好到达点，M小球运动的距离为
当10＜t＜25时，N小球从点向点开始运动，此时，
点表示数的为，②正确；
当时，N小球运动的距离为，M小球运动的距离为
当25＜t＜40时，N小球从点向点开始运动，M小球向点运动
则，，
，③错误；
当时，，，
由题意得，，解得，不符题意；
当时，，，
由题意得，，解得，不符题意；
当时，，
当时，，
由题意得，，解得，此时三点重合，成立；
当时，，
由题意得，，解得，不符题意；
当时，，
由题意得，，解得，不符题意；
④正确
故选：D
【名师指路】
此题考查了数轴的应用，涉及了数轴上两点之间的距离以及数轴上的动点，解题的关键是理解题意，掌握题中的等量关系，分时间段进行讨论求解即可．
二、填空题
11．四月下旬，世界卫生组织称中国已进入缓疫阶段，各地陆续发布开学通知．虽然疫情有所控制，但防控仍不可掉以轻心．重庆一中的教职工们在学校逐一检查、落实各项防疫措施，为迎接即将返校的初三学生做足准备．王老师用现金6820元为年级采购了额温枪和免洗洗手液两种防疫物品，额温枪每个125元，免洗洗手液每瓶55元，购买后剩余100元、10元、1元的钞票若干张（10元钞票和1元钞票剩余数量均不超过9张，且采购额温枪的数量大于洗手液的数量），若把购买两种防疫物品的数量交换，剩余的100元和10元的钞票张数恰好相反，但1元钞票的张数不变，则购买额温枪的数量为__________个．
【标准答案】39
【思路指引】
设额温枪的数量为x，消毒酒精的数量为y，剩余100元钞票的数量为a， 10元为为b，1元的c，根据题意列出方程组，然后分别代入可能的a和b，即可求得.
【详解详析】
设购买额温枪和免洗洗手液后剩余100元，10元，1元的钞票数量分别为a， b， c，
则a， b， c均为整数，且1≤b≤9， 1≤c≤9购买额温枪和免洗洗手液后可列方程：
125x + 55y+ 100a+ 10b+c= 6820，①
如果把购买额温枪和免洗洗手液的数量交换可得方程：
125y+55x+100b+10a+c=6820，②
①-②得：70x-70y+ 100a + 10b-100b-10a= 0
所以70(x- y) + 90(a-b)= 0，则7(x- y)= 9(b- a)，
因为a，b均为整数，且1≤b≤9，
所以b-a=7， x-y=9，
则y=x-9，b=9， a=2
或b=8， a= 1
或b=7，a=0，
当b=9， a= 2时，代入①得
125x+55(x-9)+200+90+c=6820，
180x +c= 6820- 290 + 495 = 7025，
则c= 7025- 180x， 1≤7025-180x≤9，
所以38.98≤x≤39.02， x为整数，
所以x= 39，
故购买额温枪的数量为39个，
当b=8， a= 1时，代入①得
125x+ 55(x- 9)+ 100+ 80+c= 6820
180x +c= 6820- 180+ 495 = 7135，
c= 7135- 180x， 1≤7135- 180x≤9，180x +c= 6820- 180 + 495 = 7135，
则c= 7135- 180x， 1≤7135- 180x≤9，所以39.59≤x≤39.63， x为整数，即这种情况不存在，
当b=7， a= 0时，代入①得
125x + 55(x-9)+ 70 +c= 6820，
180x +c= 6820-70 + 495 = 7245，
则c= 7245- 180x， 1≤7245- 180x≤9，
所以40.2≤x≤40.24，x为整数，即这种情况不存在，
综上所述，购买额温枪的数量为39个．
故答案为：39．
【名师指路】
本题考查四元一次方程组与不等式的应用，找出题中数量关系，列出方程组，并整体得出两个未知数的方程是解题的关键，要注意钞票张数是整数．
12．将长为2，宽为a的长方形纸片（1＜a＜2）如图那样折一下，剪下一个边长等于长方形的宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的长方形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时长方形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去．若第3次操作后，剩下的长方形恰好是正方形，则a的值为_____．
【标准答案】1.2或1.5
【思路指引】
经过第一次操作可知剩下的长方形一边长为a，另一边长为2-a；若第二次操作后，剩下的长方形恰好是正方形，则所以剩下的长方形的两边分别为2-a、a-（2-a）=2a-2；根据第2次剩下的长方形分两种情况讨论，若第三次操作后，剩下的长为正方形，则可列方程。
【详解详析】
解：解：第1次操作，剪下的正方形边长为a，剩下的长方形的长宽分别为a、2-a，由1＜a＜2，得a＞2-a，第2次操作，剪下的正方形边长为2-a，所以剩下的长方形的两边分别为2-a、a-（2-a）=2a-2，
①当2a-2＜2-a，即a＜时，则第3次操作时，剪下的正方形边长为2a-2，剩下的长方形的两边分别为2a-2、（2-a）-（2a-2）=4-3a，则2a-2=4-3a，解得a=1.2；
②2a-2＞2-a，即a＞+ 时则第3次操作时，剪下的正方形边长为2-a，剩下的长方形的两边分别为2-a、（2a-2）-（2-a）=3a-4，则2-a=3a-4，解得a=1.5．
综上，a的值为1.2或1.5，
故答案为：1.2或1.5．
【名师指路】
本题主要考查一元一次方程的应用，熟练掌握一元一次方程的应用及分类讨论思想是解题的关键．
13．育人，是一所学校的根本使命．近年来，巴蜀中学坚持“挖掘潜能张扬个性”的办学特色，“善为根、雅为骨、志为魂”的德育理念．在“善雅志”德育理念指导下，各年级都有以“善雅志”为主题的品牌活动．比如在2021年3月25日，初一年级举行了“尚善青春致敬楷模爱党爱国共成长”为主题的班级形象大赛．在活动初期，某几个班级组织了86名同学搬活动节目所需要的道具，为了便于管理，把其中50名同学分成了A、B两组，另外36名同学分成了C、D两组． A、C两组把道具搬到甲地点，B、D两组把道具搬到乙地点，结束后统计得知：A组搬道具的人均件数比B组搬道具的人均件数多2件，C，D两组搬道具的人均件数相同，且是B组搬道具的人均件数的2.5倍，甲、乙两个地点的人均搬道具件数相同，且比A组搬道具的人均件数高25%．已知搬道具的人均件数为整数，则一共有道具_____件．
【标准答案】860
【思路指引】
设A组x人，则B组（50﹣x）人，再设总人均搬道具件数为a件，则A组人均搬道具件数为a÷（1+25%）=0.8a件，B组人均搬道具件数为（0.8a﹣2）件，C、D两组人均搬道具件数均为2.5（0.8a﹣2）=（2a﹣5）件，根据题意，列出方程，得x=140﹣13a，根据a和x的取值范围确定出a、x的值，进而求得总共的道具数．
【详解详析】
解：设A组x人，则B组（50﹣x）人，再设总人均搬道具件数为a件，
则A组人均搬道具件数为a÷（1+25%）=0.8a件，B组人均搬道具件数为（0.8a﹣2）件，C、D两组人均搬道具件数均为2.5（0.8a﹣2）=（2a﹣5）件，
根据题意得：0.8ax+(0.8a﹣2)（50﹣x）+36（2a﹣5）=86a，
解得：x=140﹣13a，
∵搬道具的人均件数为整数，即a、0.8a都是正整数，
∴a应为5的倍数，
∵0＜x＜50，
∴0＜140﹣13a＜50，即
∴a=10，x=10，
∴一共有道具数为86×10=860（件），
故答案为：860．
【名师指路】
本题考查二元一次方程的应用、求二元一次方程组的特殊解，题目文字较多复杂，理解困难，解答的关键是设合适的未知数，找到等量关系列出方程，结合题意，对方程适当的变形进行解答计算•
14．五月正是吃枇杷、菠萝、荔枝的季节，重庆某水果店五月第一周从果园进购了一批枇杷、菠萝和荔枝，其中枇杷的重量占购进三种水果总量的，枇杷的进价为4元/千克，菠萝的售价为9元/千克，荔枝的进价为8元/千克．水果店对枇杷提价100%进行销售，菠萝的利润率为80%，荔枝的售价为15元/千克，第一周三种水果售罄后总利润率为87.5%．第二周水果店进购相同数量的枇杷、菠萝和荔枝，枇杷的成本增加了25%，枇杷的售价变为9元/千克，菠萝的进价和售价均保持不变，荔枝的进价不变，荔枝的利润率变为了75%，同时由于水果店储存不当，第二次购进的荔枝中有的部分出现了损耗（损耗水果不能销售），则第二周三种水果售罄时总利润率为___．
【标准答案】68.2%
【思路指引】
设购进了枇杷、菠萝和荔枝的重量分别为x，y，z千克，分别得到两周三种水果的进价，售价和利润，根据第一周的情况列出x，y，z的方程组，得到，，再代入第二周的总利润率中进行计算．
【详解详析】
解：设购进了枇杷、菠萝和荔枝的重量分别为x，y，z千克，
第一周：
枇杷的进价为：4元/千克，售价为：4×（1+100%）=8元/千克，利润为：4元/千克，
菠萝的进价为：9÷（1+80%）=5元/千克，售价为：9元/千克，利润为：4元/千克，
荔枝的进价为：8元/千克，售价为：15元/千克，利润为：7元/千克，
∵枇杷的重量占购进三种水果总量的，
∴，
∴，
∵第一周三种水果售罄后总利润率为87.5%，
∴，
∴，，
∴，，
第二周：
枇杷的进价为：4×（1+25%）=5元/千克，售价为：9元/千克，利润为：4元/千克，
菠萝的进价为：5元/千克，售价为：9元/千克，利润为：4元/千克，
荔枝的进价为：8元/千克，售价为：14元/千克，利润为：6元/千克，
又由于第二次购进的荔枝中有的部分出现了损耗，
∴第二周的总利润率为≈0.682，即68.2%，
故答案为：68.2%．
【名师指路】
本题考查了三元一次方程组的实际应用，题中条件较多，解题时一定要理清条件，根据所设未知数列出关系式，并代入计算．
15．2020年，受到新冠疫情的影响，全国市民都会佩戴口罩和配备一些消毒物品出门．某工厂生产的一种消毒套装深受市民喜爱，已知该消毒套装一套包含有2瓶消毒液，4包消毒湿巾，6个医用口罩，某医用超市向该厂订购了一批消毒套装，需要厂家在15天内生产完该套装并交货．该工厂将员工分为、、三个组，分别对应生产消毒液、消毒湿巾、医用口罩；他们于某天零点开始工作，每天24小时轮班连续工作（假设每小时工作效率相同），若干天后的零点组完成任务，再过几天后（不少于一天）的中午12点组完成任务，再过几天（不少于一天）后的6时组完成任务．已知、、三个组每天完成的任务数分别是1080瓶，1440包，1440个，则该医用超市一共订购了__件消毒套装．
【标准答案】1620
【思路指引】
设组工作天，组工作天，组工作天，再根据湿巾的数量是消毒液数量的2倍，医用口罩是消毒液的3倍，建立方程组，得出x=2m+1，，再根据m、n是正整数，求出m、n、x的值，最后可得出结论．
【详解详析】
设组工作天，组工作天，组工作天，，，都是正整数，且，，
则，
根据题意得，
，
由①得，③，
由②得，④，
④③得，，
，是正整数，
当时，，，
，符合题意，
当时，，，
，不符合题意，
即：组工作3天，
一共生产了瓶消毒液，
该医用超市一共订购了：（件，
故答案为：1620．
【名师指路】
本题考查了三元一次方程组的应用、整除等知识，通过建立方程组得出是问题的关键．
16．按图中程序计算，规定：从“输入一个值”到“结果是否”为一次程序操作，如果程序操作进行了两次才停止，则的取值范围为_______________________．
【标准答案】
【思路指引】
根据题意得到第一次运算结果小于17，第二次运算结果大于等于17，列出不等式组，解不等式组即可求解．
【详解详析】
解：由题意得
解不等式①得 ，
解不等式②得，
∴不等式组的解集为．
故答案为：
【名师指路】
本题考查了一元一次不等式组的应用，理解运算程序并根据题意列出不等式组是解题关键．
17．已知实数，，满足，且有最大值，则的值是__________．
【标准答案】8
【思路指引】
把变形得，故可求出有最大值时，a，b的值，代入故可求解．
【详解详析】
设=
∴a-2b=（m+n）a+(m-n)b
∴，解得
∴=
∵，
∴，
∴
∴有最大值1
此时，
解得a=1，b=0
∴=8
故答案为：8．
【名师指路】
此题主要考查不等式组的应用与求解，解二元一次方程组，解题的关键是根据题意把把变形得，从而求解．
18．已知，则代数式最大值与最小值的差是________．
【标准答案】
【思路指引】
首先解一元一次不等式，解题时要注意系数化一时：系数是-11，不等号的方向要改变．在去绝对值符号时注意：当a为正时，|a|=a；当a为0时，|a|=0；当a为负时，|a|=-a．
【详解详析】
解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
解不等式组得：；
（1）当时，，
当时有最小值，
当时有最大值5；
（2）当时，，
∴当时的值恒等于5（最大值）；
∴最大值与最小值的差是.
故答案为：.
【名师指路】
此题考查了一元一次不等式的求解与绝对值的性质．解题时要注意一元一次不等式的求解步骤，绝对值的性质．
19．某服装店推出如下优惠方案：
（1）一次性购物不超过100元不享受优惠；
（2）一次性购物超过100元但不超过300元一律9折；
（3）一次性购物超过300元一律8折．
小李两次购物分别付款85元，252元，如果他一次性购买以上两次相同的商品，他应付款__________元．
【标准答案】292或320
【思路指引】
要求他一次性购买以上两次相同的商品，应付款多少元，就要先求出两次一共实际买了多少元，第一次购物显然没有超过100，即是80元；第二次就有两种情况，一种是超过100元但不超过300元一律9折，一种是购物超过300元一律8折，依这两种计算出它购买的实际款数；再按第三种方案计算即是他应付款数．
【详解详析】
解：（1）第一次购物显然没有超过100，即在第一次消费85元的情况下，他的实质购物价值只能是85元．
（2）第二次购物消费252元，则可能有两种情况，这两种情况下付款方式不同（折扣率不同）：
①第一种情况：他消费超过100元但不足300元，这时候他是按照9折付款的．设第二次实质购物价值为x，那么依题意有x×0.9＝252，解得：x＝280．
②第二种情况：他消费超过300元，这时候他是按照8折付款的．设第二次实质购物价值为x，那么依题意有x×0.8＝252，解得：x＝315.即在第二次消费252元的情况下，他的实际购物价值可能是280元或315元．
综上所述，他两次购物的实质价值为85＋280＝365或85＋315＝400，均超过了300元．
因此均可以按照8折付款：365×0.8＝292元，400×0.8＝320元．
故答案为：292或320．
【名师指路】
本题主要考查了一元一次方程的应用，解题关键是第二次购物的252元可能有两种情况，需要讨论清楚.本题要注意不同情况的不同算法，要考虑到各种情况，不要丢掉任何一种.
20．如图，数轴上线段，点在数轴上表示的数是－10，点在数轴上表示的数是16，若线段以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动．当点运动到线段上时，是线段上一点，且有关系式成立，则线段的长为_________．
【标准答案】5或3.5
【思路指引】
随着点B的运动，分别讨论当点B和点C重合、点C在点A和B之间及点A与点C重合时的情况．
【详解详析】
解：设运动时间为t秒，
①当t=3时，点B和点C重合，点P在线段AB上，0＜PC≤2，且BD=CD=4，AP+3PC=AB+2PC=2+2PC，
∵，
∴BD=AP+3PC，即4=2+2PC，
∴PC=1，
∴PD=PC+BD=5；
②当3＜t＜时，点C在点A和点B之间，0＜PC＜2，
当点P在线段AC上时，BD=CD-BC=4-BC，AP+3PC=AC+2PC=AB-BC+2PC=2-BC+2PC，
∵，
∴BD=AP+3PC，即4-BC =2-BC +2PC，
∴PC=1，
∴PD=PC+CD=5；
当点P在线段BC上时，BD=CD-BC=4-BC，AP+3PC=AC+4PC=AB-BC+4PC=2-BC+4PC，
∵，
∴BD=AP+3PC，即4-BC =2-BC +4PC，
∴PC=，
∴PD=CD-PC=4-=3.5；
③当t=时，点A与点C重合，0＜PC≤2，BD=CD-AB=2，AP+3PC=4PC，
∵，
∴BD=AP+3PC，即2 =4PC，
∴PC=，
∴PD=CD-PC=4-=3.5；
④当＜t＜时，0＜PC≤6，BD=CD-BC=4-BC，AP+3PC=AB-BC+4PC=2-BC+4PC，
∵，
∴BD=AP+3PC，即2 =4PC，
∴PC=，
∴PD=CD-PC=4-=3.5；
综上，线段的长为5或3.5，
故答案为：5或3.5
【名师指路】
本题考查了两点间的距离，数轴上的动点问题，并综合了数轴、一元一次方程和线段长短的比较，难度较大，注意进行分情况讨论，不要漏解．
三、解答题
21．某加工厂用52500元购进A、B两种原料共40吨，其中原料A每吨1500元，原料B每吨1000元．由于原料容易变质，该加工厂需尽快将这批原料运往有保质条件的仓库储存．经市场调查获得以下信息：
①将原料运往仓库有公路运输与铁路运输两种方式可供选择，其中公路全程120千米，铁路全程150千米；
②两种运输方式的运输单价不同（单价：每吨每千米所收的运输费）；
③公路运输时，每吨每千米还需加收1元的燃油附加费；
④运输还需支付原料装卸费：公路运输时，每吨装卸费100元；铁路运输时，每吨装卸费220元．
（1）加工厂购进A、B两种原料各多少吨？
（2）由于每种运输方式的运输能力有限，都无法单独承担这批原料的运输任务．加工厂为了尽快将这批原料运往仓库，决定将A原料选一种方式运输，B原料用另一种方式运输，哪种方案运输总花费较少？请说明理由．
【标准答案】（1）加工厂购进A种原料25吨，B种原料15吨；（2）当m﹣n＜0，即a＜b时，方案一运输总花费少，当m﹣n＝0，即a＝b时，两种运输总花费相等，当m﹣n＞0，即a＞b时，方案二运输总花费少，见解析
【思路指引】
（1）设加工厂购进种原料吨，种原料吨，由题意：某加工厂用52500元购进、两种原料共40吨，其中原料每吨1500元，原料每吨1000元．列方程组，解方程组即可；
（2）设公路运输的单价为元，铁路运输的单价为元，有两种方案，方案一：原料公路运输，原料铁路运输；方案二：原料铁路运输，原料公路运输；设方案一的运输总花费为元，方案二的运输总花费为元，分别求出、，再分情况讨论即可．
【详解详析】
解：（1）设加工厂购进种原料吨，种原料吨，
由题意得：，
解得：，
答：加工厂购进种原料25吨，种原料15吨；
（2）设公路运输的单价为元，铁路运输的单价为元，
根据题意，有两种方案，
方案一：原料公路运输，原料铁路运输；
方案二：原料铁路运输，原料公路运输；
设方案一的运输总花费为元，方案二的运输总花费为元，
则，
，
，
当，即时，方案一运输总花费少，即原料公路运输，原料铁路运输，总花费少；
当，即时，两种运输总花费相等；
当，即时，方案二运输总花费少，即原料铁路运输，原料公路运输，总花费少．
【名师指路】
本题考查了一元一次不等式的应用、二元一次方程组的应用等知识；解题的关键是：（1）找准等量关系，列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，列出一元一次不等式或一元一次方程．
22．如果3个数位相同的自然数m，n，k满足：m+n＝k，且k各数位上的数字全部相同，则称数m和数n是一对“黄金搭档数”．例如：因为25，63，88都是两位数，且25+63＝88，则25和63是一对“黄金搭档数”．再如：因为152，514，666都是三位数，且152+514＝666，则152和514是一对“黄金搭档数”．
（1）分别判断87和12，62和49是否是一对“黄金搭档数”，并说明理由；
（2）已知两位数s和两位数t的十位数字相同，若s和t是一对“黄金搭档数”，并且s与t的和能被7整除，求出满足题意的s．
【标准答案】（1）87和12是“黄金搭档数”，62和49不是“黄金搭档数”，理由见解析；（2）39或38
【思路指引】
（1）根据“黄金搭档数”的定义分别判断即可；
（2）由已知设x，y为整数， x，z为整数，表示出，由s和t是一对“黄金搭档数”，并且s与t的和能被7整除，综合分析，列出方程组求解即可．
【详解详析】
（1）解：∵
∴87和12是一对“黄金搭档数”；
∵
∴111与62，49数位不相同，
∴62和49不是一对“黄金搭档数”；
故87和12是一对“黄金搭档数”，62和49不是一对“黄金搭档数”；
（2）∵两位数s和两位数t的十位数字相同，
∴设x，y为整数，
x，z为整数，
∴
∵s和t是一对“黄金搭档数”，
∴是一个两位数，且各个数位上的数相同，
又∵s与t的和能被7整除，
∴，
共有两种情况：
①，
解得，
∵x为整数，
∴不合题意，舍去；
②，
∵都是整数，且
∴解得或，
故s为39或38．
【名师指路】
本题考查三元一次方程组的整数解，解题关键是理解题目中的定义，根据已知条件列出方程组．
23．已知（a≠0）是关于x，y的二元一次方程组．
（1）求方程组的解（用含a的代数式表示）；
（2）若x﹣2y＞0，求a的取值范围；
（3）若x，y之间（不含x，y）有且只有一个整数，直接写出a的取值范围．
【标准答案】（1）；（2）a＜﹣；（3）﹣≤a≤且a≠0．
【思路指引】
（1）用加减消元法解二元一次方程组即可；
（2）将（1）的结果代入x﹣2y＞0，解一元一次不等式即可；
（3）分类讨论，分和两种情况讨论，列一元一次不等式组即可解决问题．
【详解详析】
解：（1），
①+②得：3x+3y＝6，
∴x+y＝2③，
①﹣③得：x＝1﹣2a，
②﹣③得：y＝1+2a，
∴方程组的解为；
（2）∵x﹣2y＞0，
∴1﹣2a﹣2（1+2a）＞0，
∴1﹣2a﹣2﹣4a＞0，
∴﹣6a＞1，
∴a＜﹣；
（3）①当a＞0时，x＝1﹣2a＜1，y＝1+2a＞1，
∴，
∴0＜a≤；
②当a＜0时，x＝1﹣2a＞1，y＝1+2a＜1，
∴，
∴﹣＜a＜0；
综上，﹣≤a≤且a≠0．
【名师指路】
本题考查了加减消元法解二元一次方程组，解一元一次不等式（组）的应用，正确的计算是解题的关键．
24．阅读感悟：
有些关于方程组的问题，要求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数、满足①，②，求和的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得、的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大.其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①－②可得，由①+②×2可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
解决问题：
（1）已知二元一次方程组，则_______，_______；
（2）某班级组织活动购买小奖品，买20支水笔、3块橡皮、2本记事本共需35元，买39支水笔、5块橡皮、3本记事本工序62元，则购买6支水笔、6块橡皮、6本记事本共需多少元？
（3）对于实数、，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，那么_______．
【标准答案】（1）；5；（2）购买6支水笔、6块橡皮、6本记事本共需48元；（3）．
【思路指引】
（1）利用①−②可得x－y的值，利用可得出x+y的值；
（2）设铅笔的单价为m元，橡皮的单价为元，记事本的单价为元，根据“买20支水笔、3块橡皮、2本记事本共需35元，买39支水笔、5块橡皮、3本记事本工序62元”，即可得出关于m，n，p的三元一次方程组，由2×①-②可得的值，再乘5即可求得结果；
（3）根据新运算的定义可得出关于a，b，c的三元一次方程组，由3×①−2×②可得出的值，从而可求得结果．
【详解详析】
（1）
由①−②可得：x－y＝－1，由可得x+y＝5
故答案为：；5．
（2）设水笔的单价为元，橡皮的单价为元，记事本的单价为元，
依题意，得：，
由可得，
．
故购买6支水笔、6块橡皮、6本记事本共需48元．
（3）依题意得：
由3×①−2×②可得：
即
故答案为：．
【名师指路】
本题考查了二元一次方程组的应用及三元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）运用“整体思想”求出x-y，x+y的值；（2）（3）找出等量关系，正确列出三元一次方程组．
25．如图，数轴上两点A、B对应的数分别是－1，1，点P是线段AB上一动点，给出如下定义：如果在数轴上存在动点Q，满足|PQ|＝2，那么我们把这样的点Q表示的数称为连动数，特别地，当点Q表示的数是整数时我们称为连动整数．
（1）在－2.5，0，2，3.5四个数中，连动数有 ；（直接写出结果）
（2）若k使得方程组中的x，y均为连动数，求k所有可能的取值；
（3）若关于x的不等式组的解集中恰好有4个连动整数，求这4个连动整数的值及a的取值范围．
【标准答案】（1）-2.5，2；（2）k=-8或-6或-4；（3）2，1，-1，-2，
【思路指引】
（1）根据连动数的定义即可确定；
（2）先表示出x，y的值，再根据连动数的范围求解即可；
（3）求得不等式的解，根据连动整数的概念得到关于a的不等式，解不等式即可求得．
【详解详析】
解：（1）∵点P是线段AB上一动点，点A、点B对应的数分别是－1，1，
又∵|PQ|＝2，
∴连动数Q的范围为：或，
∴连动数有-2.5，2；
（2），
②×3-①×4得：，
①×3-②×2得：，
要使x，y均为连动数，
或，解得或
或，解得或
∴k=-8或-6或-4；
（3）解得：
，
∵解集中恰好有4个解是连动整数，
∴四个连动整数解为-2，-1，1，2，
∴，
∴
∴a的取值范围是．
【名师指路】
本题考查了解一元一次不等式组的整数解，一元一次方程的解，根据新定义得到不等式组是解题的关键，
26．中国传统节日“端午节”期间，某商场开展了“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌的粽子进行了打折销售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折．已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需660元；打折后，买5盒甲品牌粽子和4盒乙品牌粽子需520元．
（1）打折前，每盒甲、乙品牌粽子分别为多少元？
（2）在商场让利促销活动期间，某敬老院准备购买甲、乙两种品牌粽子共40盒，总费用不超过2300元，问敬老院最多可购买多少盒乙品牌粽子？
【标准答案】（1）打折前，甲品牌粽子每盒70元，乙品牌粽子每盒80元；（2）最多可购买15盒乙品牌粽子．
【思路指引】
（1）设打折前甲品牌粽子每盒元，乙品牌粽子每盒元，根据“打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需660元；打折后，买5盒甲品牌粽子和4盒乙品牌粽子需要520元”，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设敬老院可购买盒乙品牌粽子．即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值整数值即可得出结论．
【详解详析】
解：（1）设打折前，每盒甲品牌粽子元，每盒乙品牌粽子元，
根据题意，得：，
解得，
答：打折前，甲品牌粽子每盒70元，乙品牌粽子每盒80元．
（2）设敬老院可购买盒乙品牌粽子．
打折后，甲品牌粽子每盒：（元，
乙品牌粽子每盒：（元，
根据题意，得：，
解得．
的最大整数解为．
答：最多可购买15盒乙品牌粽子．
【名师指路】
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
27．已知p，q是质数，并且以x为未知数的一元一次方程px+5q=97的解是x=1，求代数式40p +101q+4的值．
【标准答案】2003
【思路指引】
由方程的解可得可得中必有一个奇数，一个偶数，再分两种情况讨论即可.
【详解详析】
解： 方程px+5q=97的解是x=1，

为奇数，
中必有一个奇数，一个偶数，
偶数中只有2为质数，
当为偶数，则
此时 则
当为偶数，则
此时不是质数，不符合题意，舍去，
所以
【名师指路】
本题考查的是质数的特点，一元一次方程的解的含义，清晰的分类讨论是解本题的关键.
28．如图，已知数轴上两点A、B表示的数分别为﹣3、13，用符号“AB”来表示点A和点B之间的距离．
（1）AB＝ ；
（2）若在数轴上存在一点C，使AC＝3BC，求点C表示的数；
（3）在（2）的条件下，点C位于A，B两点之间．点A以3个单位/秒的速度沿着数轴的正方向一直运动；1秒后点C以1个单位/秒的速度也沿着数轴的正方向运动，到达B点处立刻返回，沿着数轴的负方向运动，直到点C到达数﹣3所对应的点时，两个点同时停止运动．设点A运动的时间为t，在此过程中存在t使得AC＝3BC仍成立，请直接写出t（t＞0）的值．
【标准答案】（1）AB的值为16；（2）点C表示的数为21或9；（3）t的值为2和．
【思路指引】
（1）由数轴上点B在点A的右侧，故用点B的坐标减去点A的坐标即可得到AB的值；
（2）设点C表示的数为x，再根据AC=3BC，列绝对值方程并求解即可；
（3）点C位于A，B两点之间，分三种情况来讨论：点C到达B之前，即1＜t≤5时；点C到达B之后，点A未到点B，即5＜t＜5时，都到B后返回，t≥5时，然后列方程并解方程再结合进行取舍即可．
【详解详析】
解：（1）∵数轴上两点A、B表示的数分别为﹣3、13，
∴AB＝13﹣（﹣3）＝13+3=16，
答：AB的值为16；
（2）设点C表示的数为x，AC=，BC=，
由题意得|x+3|＝3|x﹣13|，
∴x+3＝3x﹣39或x+3＝39﹣3x，
∴x＝21或x＝9，
答：点C表示的数为21或9；
（3）∵点C位于A，B两点之间，
∴点C表示的数为9，点A运动t秒后所表示的数为﹣3+3t，
①点C到达B之前，即1＜t≤5时，点C表示的数为9+（t﹣1）＝8+t，
∴AC＝8+t-(-3+3t)=11-2t，BC＝13-(8+t)=5﹣t，
∴11-t＝3（5-t），
解得t＝2；
②当点C返回，点A未到点B之前，5＜t＜5时，

解得：
③点C到达点B之后，点A到点B之后，返回t≥5时，
AC=3（t-5）-（t-5）=2t-11，BC=（t-5），
∵AC=3BC，
∴2t-11=3（t-5），
解得t=4＜5（舍去），
答：t的值为2和．
【名师指路】
本题考查了数轴上的动点问题，列一元一次方程和绝对值方程进行求解，是解答本题的关键．
29．已知在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，且|a＋40|＋|b－10|＋(c－30)2＝0，A、B之间的距离记为AB＝|a－b|，请回答问题：
（1）直接写出c，AB的值，c＝______，AB＝______；
（2）动点P在数轴上表示的数为x，
①请求出x为何值时PA＋PB＝70；
②直接写出|x＋a|＋3|x－b|＋|x＋c|的最小值＝______；
（3）若点A以每秒8个单位长度的速度向右运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向左运动，设运动时间为t秒，求t为何值时，其中一点到另两点的距离相等．
【标准答案】（1）30，50；（2）①或；②70；（3）10或或或或5或．
【思路指引】
（1）根据绝对值和偶次方的非负性可求出的值，由此即可得出答案；
（2）①分、和三种情况，分别化简绝对值，解一元一次方程即可得；
②分、、和四种情况，分别化简绝对值，求出的取值范围，由此即可得出答案；
（3）分别求出运动秒后，点所表示的数，再分①点到点的距离相等，②点到点的距离相等和③点到点的距离相等三种情况，分别建立方程，解方程即可得．
【详解详析】
解：（1），
，
解得，
则，
故答案为：30，50；
（2）①当时，，
则，解得，符合题设；
当时，，
则，即此时不存在使得；
当时，，
则，解得，符合题设；
综上，当或时，；
②，
当时，，
当时，，
则，
当时，，
则，
当时，，
综上，，
即的最小值为70，
故答案为：70；
（3）由题意，运动秒后，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，
①当点到点的距离相等时，，
则，
即或，
解得或；
②当点到点的距离相等时，，
则，
即或，
解得或；
③当点到点的距离相等时，，
则，
即或，
解得或；
综上，当为10或或或或5或时，其中一点到另两点的距离相等．
【名师指路】
本题考查了绝对值、数轴、一元一次方程的应用等知识点，较难的是题（3），正确分三种情况讨论，分别建立方程是解题关键．
30．某商场促销方案规定：商场内所有商品按标价的80%出售，同时当顾客在商场内一次性消费满一定金额后，按下表获得相应的返还金额．
注：500~1000表示消费金额大于500元且小于或等于1000元，其他类同。
根据上述促销方案，顾客在该商场购物可以获得双重优惠例如，若购买标价为1000元的商品，则消费金额为800元，获得的优惠额为1000×（1－80%）＋60＝260（元）。
（1）购买一件标价为600元的商品，顾客获得的优惠额是 元．
（2）若顾客在该商场购买一件标价x元（x＞1250）的商品，那么该顾客获得的优惠额为多少?（用含有x的代数式表示）
（3）若顾客在该商场第一次购买一件标价x元（x＞1250）的商品后，第二次又购买了一件标价为500元的商品，如果这名顾客一次性购买这两件商品，他所花掉的费用与分开购买相比有无节省?若有，节省多少元?
【标准答案】（1）120；（2）当时，优惠额为元，当 时优惠额为元；（3）当和时，分开购买和一次性购买优惠额相同，当 时，一次性购买更优惠，可节省50元．
【思路指引】
（1）购买一件标价为600元的商品，根据题中给出的数据可得消费金额为480元，小于500没有返还金额，所以总优惠额为120元；
（2）分两种情况：当1000＜0.8x≤1500时；当0.8x＞1500时；讨论可求该顾客获得的优惠额；
（3）分别计算一次性购买和分别购买的优惠额再比较大小即可求解．
【详解详析】
解：（1）标价为600元的商品按标价的80%出售消费额为元＜500元，
元，则顾客获得的优惠额为120元；
（2）元，
∵x＞1250，
∴ ，
①当 即时，
优惠额元，
②当时，即 时，
优惠额元；
（3）一次性购买：
∵x＞1250，
∴ ，
①当即时，
优惠额 （元），
②当 即时，
优惠额（元），
分开购买：
（元），
当 时，优惠额 （元），
当 时，优惠额 （元），
当 时，一次性购买优惠额＝，分开购买优惠额＝，
（）－（）＝（元）
综上，当和时，分开购买和一次性购买优惠额相同，当 时，一次性购买更优惠，可节省50元．
【名师指路】
考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件进行讨论即可．
类别
户年用水量（立方米）
水价（立方米）
供水价格
（元/立方米）
污水处理费
（元/立方米）
居民生活用水
一户一表
阶梯一
0--216（含）
1.90
1.00
阶梯二
216—300（含）
2.85
阶梯三
300以上
5.70
消费金额（元）
小于或等于500元
500~1000
1000~1500
1500以上
返还金额（元）
0
60
100
150