沪教版六年级下册数学专题训练第七章线段与角的画法单元综合提优专练(原卷版+解析)

这是一份沪教版六年级下册数学专题训练第七章线段与角的画法单元综合提优专练(原卷版+解析)，共36页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．如图，C、D在线段BE上，下列说法：
①直线CD上以B、C、D、E为端点的线段共有6条；
②图中至少有2对互补的角；
③若∠BAE=90°，∠DAC=40°，则以A为顶点的所有小于平角的角的度数和360°；
④若BC=2，CD=DE=3，点F是线段BE上任意一点，则点F到点B、C、D、E的距离之和最大值为15，最小值为11，其中说法正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．线段，点C是线段的中点，若点D在线段上，，则线段的长为（ ）
A．4B．8C．4或8D．3或9
3．已知A，B，C三点在同一直线上，线段AB=b，线段BC=a，点M，点N分别是线段AC，线段BC的中点，则线段MN长是（ ）
A．aB．bC． (a-b) D．随点C位置而变化
4．下列说法错误的是（ ）
A．角与角互为余角
B．如果，那么与互为补角
C．两个角互补，如果其中一个是锐角，那么另一个一定是钝角
D．一个角的补角比这个角的余角大
5．下列命题中，正确的有（ ）
①两点之间线段最短； ②角的大小与角的两边的长短无关；
③射线是直线的一部分，所以射线比直线短．
A．0个B．1个C．2个D．3个
6．下列说法中，正确的是（ ）
A．延长角的平分线
B．联结两点的线段叫做两点之间的距离
C．两点之间，直线最短
D．一个锐角的补角和余角的度数相差90度
7．已知点C、D在线段AB上，且AC：CD：DB＝2：3：4，如果AB＝18，那么线段AD的长是（ ）
A．4B．5C．10D．14
8．如图，点A，B在线段EF上，点M，N分别是线段EA，BF的中点，EA：AB：BF＝1：2：3，若MN＝8cm，则线段EF的长为（ ）cm
A．10B．11C．12D．13
9．钟表上8点30分时，时针与分针的夹角为（ ）
A．15°B．30°C．75°D．60°
10．如图，一个含有30°角的直角三角形的30°角的顶点和直角顶点放在一个矩形的对边上，若∠1＝117°，则∠2的度数为（ ）
A．27°B．37°C．53°D．63°
二、填空题
11．某校决定下午开始举行中学生武术健身操比赛，下午这一时刻，时钟上时针与分针所夹的较小角等于_________ ．
12．以的顶点O为端点引射线OC，使∶=5∶4，若，则的度数是__________．
13．钟表上的时间是2时35分，此时时针与分针所成的夹角是_____度．
14．如果两个角的两条边分别垂直，而其中一个角比另一个角的4倍少60°，则这两个角的度数分别为________．
15．从12点整开始到1点，经过______分钟，钟表上时针和分针的夹角恰好为99°．
16．如图，从点O引出的射线（任两条不共线）条数与角的总个数有如下关系：从点O引出两条射线形成1个角；如图1从点O引出3条射线共形成3个角；如图2从点O引出4条射线共形成6个角；如图3从点O引出5条射线共形成10个角；
（1）观察操作：当从点O引出6条射线共形成有________个角；
（2）探索发现：如图4当从点O引出n条射线共形成________个角；（用含n的式子表示）
（3）实践应用：8支篮球队进行单循环比赛（参加比赛的每两支球队之间都要进行一场比赛），总的比赛场数为__________场．如果n支篮球队进行主客场制单循环赛（参加的每个队都与其它所有队各赛2场）总的比赛场数是______场．
17．在数轴上，点A表示的数是-3，点B表示的数是5，点P表示的数是x，
（I）若A、B两点间的距离表示为AB，则AB=_________；
（Ⅱ）若点P为线段AB的中点，点P表示的数x=__________；
（Ⅲ）若E，F，Q为数轴上的三个点，点Q表示的数为1，点F在点E的右侧，若EF=2则EA+EB+EQ+FA+FB+FQ的最小值为________
18．如图1，点C在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“好点”；如图2，已知．动点P从点A出发，以的速度沿向点B匀速运动；点Q从点B出发，以的速度沿向点A匀速运动，点P，Q同时出发，当其中点P到达终点时，运动停止；设运动的时间为，当______s时，Q为线段的“好点”．
19．我们知道在9点整时，时钟的分针与时针恰好互相垂直，那么从9点开始，到10点之前，经过__________分钟后，时钟的时针与分针的夹角为105°．
20．已知点C在线段上，，点D、E在直线上，点D在点E的左侧．
（1）若，点D与点A重合，，则_________；
（2）若，线段在直线上移动，且满足关系式，则_______．
三、解答题
21．如图，直线DE上有一点O，过点O在直线DE上方作射线OC，∠COE比它的补角大100°，将一直角三角板AOB的直角点放在点O处，一条直角边OA在射线OD上，另一边OB在直线DE上方，将直角三角板绕点O按每秒10°的速度逆时针旋转一周．设旋转时间为t秒．
（1）求∠COE的度数；
（2）若射线OC的位置保持不变，在旋转过程中，是否存在某个时刻，使得∠BOC＝∠BOE？若存在，请求出t的取值，若不存在，请说明理由；
（3）若在三角板开始转动的同时，射线OC也绕O点以每秒10°的速度顺时针旋转一周．从旋转开始多长时间．射线OC平分∠BOE．直接写出t的值．（本题中的角均为大0°且小180°的角）
22．已知，O是直线上的一点，，是的平分线．
(1)①如图1，若，则 ；
②如图1，若，则 （用含的代数式表示）．
(2)若将图1中的绕顶点O顺时针旋转到图2的位置，其他条件不变，②中的结论是否成立？试说明理由．
(3)将图1中的绕顶点O顺时针旋转至图2的位置．在的内部有一条射线，满足：，请直接写出与的度数之间的关系．
23．如图1，在数轴上A、B两点对应的数分别是6，－6，∠DCE＝90°（C与O重合，D点在数轴的正半轴上）．
（1）如图1，若CF平分∠ACE，则∠AOF＝________；
（2）如图2，将∠DCE沿数轴的正半轴向右平移t（0＜t＜3）个单位后，再绕顶点C逆时针旋转30t度，作CF平分∠ACE，此时记∠DCF＝α．
①当t＝1时，α＝________；
②猜想∠BCE和α的数量关系，并证明；
（3）如图3，开始∠D1C1E1与∠DCE重合，将∠DCE沿数轴正半轴向右平移t（0＜t＜3）个单位，再绕顶点C逆时针旋转30t度，作CF平分∠ACE，此时记∠DCF＝α，与此同时，将∠D1C1E1沿数轴的负半轴向左平移t（0＜t＜3）个单位，再绕顶点C1顺时针旋转30t度，作C1F1平分∠AC1E1，记∠D1C1F1＝β，若α，β满足|α－β|＝75°，请求出t的值．
24．已知∠AOD＝130°，∠BOC＝50°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD．
(1)如图1，若，求∠NOC的度数；
(2)将∠BOC顺时针旋转至如图2的位置，求∠MON的度数．
25．已知：点O是直线AB上一点，过点O分别画射线OC，OE，使得．
（1）如图，OD平分．若，求的度数．请补全下面的解题过程（括号中填写推理的依据）．
解：∵点O是直线AB上一点，
∴．
∵，
∴．
∵OD平分．
∴（ ）．
∴ °．
∵，
∴（ ）．
∵ ，
∴ °．
（2）在平面内有一点D，满足．探究：当时，是否存在的值，使得．若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．
第七章 线段与角的画法单元综合提优专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．如图，C、D在线段BE上，下列说法：
①直线CD上以B、C、D、E为端点的线段共有6条；
②图中至少有2对互补的角；
③若∠BAE=90°，∠DAC=40°，则以A为顶点的所有小于平角的角的度数和360°；
④若BC=2，CD=DE=3，点F是线段BE上任意一点，则点F到点B、C、D、E的距离之和最大值为15，最小值为11，其中说法正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【标准答案】B
【思路指引】
按照两个端点确定一条线段即可判断①；根据补角的定义即可判断②；根据角的和差计算机可判断③；分两种情况讨论：当点F在线段CD上时点F到点B、C、D、E的距离之和最小，当点F和E重合时，点F到点B、C、D、E的距离之和最大计算即可判断④．
【详解详析】
解：①以B、C、D、E为端点的线段BC、BD、BE、CE、CD、DE共6条，故此说法正确；
②图中互补的角就是分别以C、D为顶点的两对邻补角，即∠BCA和∠ACD互补，∠ADE和∠ADC互补，故此说法正确；
③由∠BAE=90°，∠CAD=40°，根据图形可以求出∠BAC+∠DAE+∠DAC+∠BAE+∠BAD+∠CAE=3∠BAE+∠CAD=310°，故此说法错误；
④如图1，当F不在CD上时，FB+FC+FD+FE=BE+CD+2FC，如图2当F在CD上时，FB+FC+FD+FE=BE+CD，如图3当F与E重合时，FB+FC+FE+FD=BE+CD+2ED，同理当F与B重合时，FB+FC+FE+FD=BE+CD+2BC，
∵BC=2，CD=DE=3，
∴当F在的线段CD上最小，则点F到点B、C、D、E的距离之和最小为FB+FE+FD+FC=2+3+3+3=11，当F和E重合最大则点F到点B、C、D、E的距离之和FB+FE+FD+FC=17，故此说法错误．
故选B．
【名师指路】
本题主要考查了线段的数量问题，补角的定义，角的和差，线段的和差，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
2．线段，点C是线段的中点，若点D在线段上，，则线段的长为（ ）
A．4B．8C．4或8D．3或9
【标准答案】C
【思路指引】
分点D在点C的左边和右边两种情况根据线段中点的定义和线段的和差即可得到结论．
【详解详析】
解：①当点D在点C右侧时，如图①
∵，点C是线段的中点，
∴
∵
∴
∴BD=BC-CD=6-2=4；
②当点D在点C的左侧时，如图②，
由①知，BC=6，CD=2
∴
综上，BD的值为4或8，
故选：C
【名师指路】
本题主要考查两点间的距离，中点的定义，线段的计算，熟练掌握线段中点的定义是解本题的关键．
3．已知A，B，C三点在同一直线上，线段AB=b，线段BC=a，点M，点N分别是线段AC，线段BC的中点，则线段MN长是（ ）
A．aB．bC． (a-b) D．随点C位置而变化
【标准答案】B
【思路指引】
分点C在AB的延长线上，点C在线段AB上，点C在BA的延长线，三种情形计算，看MN的值变化，判断即可．
【详解详析】
A，B，C三点在同一直线上，线段AB=b，线段BC=a，点M，点N分别是线段AC，线段BC的中点，
∴AM=MC=（AB+BC）=（a+b），BN=NC=BC=a，
如图，当点C在AB的延长线上时，
MN=MC-NC=（a+b）-a =b；
如图，当点C在AB上时，
MN=MC+NC=（b-a）+a =b；
如图，当点C在BA的延长线上时，
MN=NC-MC=a -（a-b）=b；
故选B．
【名师指路】
本题考查了线段的中点即线段上一点，把线段分成相等的两条线段，分类思想，线段的和，差，正确理解线段的中点，合理表示线段的和与差是解题的关键．
4．下列说法错误的是（ ）
A．角与角互为余角
B．如果，那么与互为补角
C．两个角互补，如果其中一个是锐角，那么另一个一定是钝角
D．一个角的补角比这个角的余角大
【标准答案】D
【思路指引】
分别根据互余和互补的性质进行解答即可．
【详解详析】
解：选项、，
角与角互为余角，说法正确，
故本选项不符合题意；
选项、根据补角的定义可知与互为补角，说法正确，
故本选项不符合题意；
选项、两角互补即两角之和为，
一角小于，另一角一定大于，说法正确，
故本选项不符合题意；
选项、设这个角为，则这个角的补角为，余角为，
所以，说法错误，
故本选项符合题意．
故选：．
【名师指路】
本题主要考查了关于余角和补角的定义，能够正确理解互余是指两角之和为，互补是指两角之和为的性质．
5．下列命题中，正确的有（ ）
①两点之间线段最短； ②角的大小与角的两边的长短无关；
③射线是直线的一部分，所以射线比直线短．
A．0个B．1个C．2个D．3个
【标准答案】C
【思路指引】
利用线段的性质、角的定义等知识分别判断后即可确定正确的选项．
【详解详析】
解：①两点之间线段最短，正确，符合题意；
②角的大小与角的两边的长短无关，正确，符合题意；
③射线是直线的一部分，射线和直线都无法测量长度，故错误，不符合题意，正确的有2个，
故选：B．
【名师指路】
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解线段的性质、角的定义等知识，难度不大．
6．下列说法中，正确的是（ ）
A．延长角的平分线
B．联结两点的线段叫做两点之间的距离
C．两点之间，直线最短
D．一个锐角的补角和余角的度数相差90度
【标准答案】D
【思路指引】
根据角平分线的定义，两点的距离的定义，线段的性质，余角和补角的定义，即可解答．
【详解详析】
解：、角平分线是射线，不存在延长，原说法错误，故此选项不符合题意；
．连接两点的线段的长度叫做两点的距离，原说法错误，故此选项不符合题意；
．两点之间，线段最短，原说法错误，故此选项不符合题意；
．一个锐角的补角和余角的度数相差90度，原说法正确，故此选项符合题意；
故选：D．
【名师指路】
本题考查了角平分线的定义，两点的距离的定义，线段的性质，余角和补角的定义，解题的关键是熟练掌握相关的定义和性质．
7．已知点C、D在线段AB上，且AC：CD：DB＝2：3：4，如果AB＝18，那么线段AD的长是（ ）
A．4B．5C．10D．14
【标准答案】C
【思路指引】
设AC=2x，CD=3x，DB=4x，根据题意列方程即可得到结论．
【详解详析】
∵AC：CD：DB=2：3：4，
∴设AC=2x，CD=3x，DB=4x，
∴AB=9x，
∵AB=18，
∴x=2，
∴AD=2x+3x=5x=10，
故选：C．
【名师指路】
本题考查了两点间的距离，线段的中点的定义，正确的理解题意是解题的关键．
8．如图，点A，B在线段EF上，点M，N分别是线段EA，BF的中点，EA：AB：BF＝1：2：3，若MN＝8cm，则线段EF的长为（ ）cm
A．10B．11C．12D．13
【标准答案】C
【思路指引】
由于EA：AB：BF=1：2：3，可以设EA=x，AB=2x，BF=3x，而M、N分别为EA、BF的中点，那么线段MN可以用x表示，而MN=8cm，由此即可得到关于x的方程，解方程即可求出线段EF的长度．
【详解详析】
解：∵EA：AB：BF=1：2：3，
可以设EA=x，AB=2x，BF=3x，
而M、N分别为EA、BF的中点，
∴MA=EA=x，NB=BFx，
∴MN=MA+AB+BN=x+2x+x=4x，
∵MN=16cm，
∴4x=8，
∴x=2，
∴EF=EA+AB+BF=6x=12，
∴EF的长为12cm，
故选C．
【名师指路】
本题考查了两点间的距离．利用线段中点的性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．
9．钟表上8点30分时，时针与分针的夹角为（ ）
A．15°B．30°C．75°D．60°
【标准答案】C
【思路指引】
钟表上共有12个大格，每一个大格的度数是，再根据8点30分时时针从8开始走了一大格的大格，分针指向6，时针与分针夹角为大格，计算出角度即可.
【详解详析】
钟表上共有12个大格，每一个大格的度数是，8点30分时时针与分针的夹角是大格，则夹角度数为，
故选：C.
【名师指路】
此题考查钟面上角度计算，掌握钟面上每个大格的度数及时针与分针在某个时间的位置是解题的关键.
10．如图，一个含有30°角的直角三角形的30°角的顶点和直角顶点放在一个矩形的对边上，若∠1＝117°，则∠2的度数为（ ）
A．27°B．37°C．53°D．63°
【标准答案】A
【思路指引】
利用矩形的性质，直角三角形的性质即可解决问题．
【详解详析】
解：如图，∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠1＝∠BEF＝117°，
∵∠FEG＝90°，
∴∠2＝117°﹣90°＝27°，
故选A．
【名师指路】
本题考查矩形的性质，平行线的性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
二、填空题
11．某校决定下午开始举行中学生武术健身操比赛，下午这一时刻，时钟上时针与分针所夹的较小角等于_________ ．
【标准答案】130
【思路指引】
根据分针旋转的速度乘分针旋转的时间，可得分针的旋转角，根据时针旋转的速度乘时针旋转的时间，可以得出时针的旋转角，二者作差即可得出答案．
【详解详析】
解：下午这一时刻，时钟上时针与分针所夹的较小角等于：
．
故答案为：130．
【名师指路】
本题考查的知识点是钟面角，时针转动一大格，转过的角度为30度，分针转动一小格，转过的角度为6度，时针与分针转动角度的速度比值是．掌握以上内容是解此题的关键．
12．以的顶点O为端点引射线OC，使∶=5∶4，若，则的度数是__________．
【标准答案】、
【思路指引】
分射线OC在∠AOB的内部和外部两种情况进行讨论求解即可．
【详解详析】
解：如图1，
当射线OC在∠AOB的内部时，设∠AOC=5x，∠BOC=4x，
∵∠AOB=∠AOC+∠BOC=18°，
∴，
解得：∠AOC=10°，
如图2，
当射线OC在∠AOB的外部时，设∠AOC=5x，∠BOC=4x，
∵∠AOC=∠AOB+∠BOC，又∠AOB=18°，
∴
解得：∠AOC=90°，
故答案为：10°或90°．
【名师指路】
本题考查了几何图形中角的计算．属于基础题，解题的关键是分两种情况进行讨论．
13．钟表上的时间是2时35分，此时时针与分针所成的夹角是_____度．
【标准答案】132.5．
【思路指引】
根据时针旋转的速度乘以时针旋转的时间，可得时针的旋转角，根据分针旋转的速度乘以分针旋转的时间，可得分针的旋转角，根据分针的旋转角减去时针的旋转角，可得答案．
【详解详析】
根据题意得，
35×6﹣（2×30+35×0.5）
＝210﹣77.5
＝132.5（度），
故答案为：132.5．
【名师指路】
本题考查了钟面角的概念，掌握钟面角的计算关系是解题的关键．
14．如果两个角的两条边分别垂直，而其中一个角比另一个角的4倍少60°，则这两个角的度数分别为________．
【标准答案】48°、132°或20°、20°
【思路指引】
根据题意画出符合题意的图形，分两种情况得到两个角的数量关系求出角度.
【详解详析】
如图，α+β=180°，β=4α-60°，
解得α=48°，β=132°；
如图，α=β，β=4α-60°，
解得α=β=20°；
综上所述，这两个角的度数分别为48°、132°或20°、20°．
故答案为：48°、132°或20°、20°．
【名师指路】
此题考查角度的计算，正确理解两条边分别垂直的两个角的数量关系是解题的关键.
15．从12点整开始到1点，经过______分钟，钟表上时针和分针的夹角恰好为99°．
【标准答案】18或
【思路指引】
先求解出时针和分针每分钟旋转的角度，再按照追击问题看待两个指针，求时间即可
【详解详析】
∵时针每60分钟走1大格，即30°
∴时针的速度为：0.5°/min
同理，分针的速度为：6°/min
要使时针和分针夹角为99°，有两种情况：
情况一：时针比分针多走99°
设从12点整开始，时针和分针都走了x分钟
则：0.5x+99=6x
解得：x=18
情况二：时针比分针多走(360-99)°，即多走261°
设从12点整开始，时针和分针都走了y分针
则：0.5y+261=6x
解得：y=
故答案为：18或
【名师指路】
本题是钟表问题和夹角结合考查的类型，解题关键是将时钟问题类比到追击问题中，根据追击问题的模型，求时间
16．如图，从点O引出的射线（任两条不共线）条数与角的总个数有如下关系：从点O引出两条射线形成1个角；如图1从点O引出3条射线共形成3个角；如图2从点O引出4条射线共形成6个角；如图3从点O引出5条射线共形成10个角；
（1）观察操作：当从点O引出6条射线共形成有________个角；
（2）探索发现：如图4当从点O引出n条射线共形成________个角；（用含n的式子表示）
（3）实践应用：8支篮球队进行单循环比赛（参加比赛的每两支球队之间都要进行一场比赛），总的比赛场数为__________场．如果n支篮球队进行主客场制单循环赛（参加的每个队都与其它所有队各赛2场）总的比赛场数是______场．
【标准答案】 15 28 n(n－1)
【思路指引】
（1）现察图形可知， 2条射线组成1个角，3条射线就可以组成2+1=3个角，4条射线可以组成3+2+1=6个角，依此可得6条射线组成角的个数是1+2+3+4+5然后计算即可；
（2）根据（1）的规律可知：n条射线组成角的个数是1+2+3+…+（n-1），然后计算即可；
（3）将每只球队当作一条射线，每场单循环赛当作一个角，然后利用（2）的规律解答即可；
【详解详析】
解：（1）现察图形可知，2条射线组成1个角，3条射线就可以组成2+1=3个角，4条射线可以组成3+2+1=6个角，依此可得6条射线组成角的个数是1+2+3+4+5=15；
（2）根据（1）的规律可知：n条射线组成角的个数是1+2+3+…+（n-1）=；
（3）将每只球队当作一条射线，每场单循环赛当作一个角，所以8支篮球队进行单循环比赛相当于8条射线可以组成的角，即比赛场数=28；
如果n支篮球队进行主客场制单循环赛（参加的每个队都与其它所有队各赛2场）总的比赛场数是×2= n(n－1).
故答案为（1）15，（2），（3）28, n(n－1).
【名师指路】
考查了数角的个数、归纳总结规律以及迁移应用规律的能力，根据题意总结规律和迁移应用规律是解答本题的关键．
17．在数轴上，点A表示的数是-3，点B表示的数是5，点P表示的数是x，
（I）若A、B两点间的距离表示为AB，则AB=_________；
（Ⅱ）若点P为线段AB的中点，点P表示的数x=__________；
（Ⅲ）若E，F，Q为数轴上的三个点，点Q表示的数为1，点F在点E的右侧，若EF=2则EA+EB+EQ+FA+FB+FQ的最小值为________
【标准答案】 8 1 18
【思路指引】
（I）根据数轴的定义即可得；
（Ⅱ）根据数轴的定义、线段中点的定义即可得；
（Ⅲ）先找出所求式子取最小值时，点E、F的位置，再根据数轴的定义求解即可得．
【详解详析】
（I）；
（Ⅱ）；
（Ⅲ）由题意得：当点E在点A、Q之间，点F在点B、Q之间时，取得最小值，
此时，
，
，
，
即的最小值为18；
故答案为：8，1，18．
【名师指路】
本题考查了数轴、线段中点的定义，熟练掌握数轴的定义是解题关键．
18．如图1，点C在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“好点”；如图2，已知．动点P从点A出发，以的速度沿向点B匀速运动；点Q从点B出发，以的速度沿向点A匀速运动，点P，Q同时出发，当其中点P到达终点时，运动停止；设运动的时间为，当______s时，Q为线段的“好点”．
【标准答案】或8
【思路指引】
根据题意，得；分、、三种情况分析，分别列一元一次方程并求解，即可得到答案．
【详解详析】
∵动点P从点A出发，以的速度沿向点B匀速运动
∴点P到达终点时，用时为：
∵点P，Q同时出发，点P速度点Q速度，且当其中点P到达终点时，运动停止
∴
如图，Q为线段的“好点”
∵点Q从点B出发，以的速度沿向点A匀速运动
∴，则
根据题意，分、、三种情况分析；
当时，
∴
∵
∴符合题意；
当是，
∴
∵
∴不符合题意；
当时，
∴
∵
∴符合题意
故答案为：或8．
【名师指路】
本题考查了一元一次方程和线段的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次方程、线段的性质，从而完成求解．
19．我们知道在9点整时，时钟的分针与时针恰好互相垂直，那么从9点开始，到10点之前，经过__________分钟后，时钟的时针与分针的夹角为105°．
【标准答案】或30
【思路指引】
利用分针的旋转速度是度/分钟，时针的旋转速度是0.5度/分钟，分两种情况讨论即可.
【详解详析】
解：分针的旋转速度是度/分钟，时针的旋转速度是0.5度/分钟，设经过x分钟后，时钟的时针与分针的夹角为105°，
分两种情况：
如图：
此时，∠AOC=0.5x，∠BOD=6x，
则∠COD=∠AOB+∠BOD-∠AOC= 90°+6x-0.5x=105°，
解得x=；
如图：
此时，∠AOC=0.5x，∠BOD=360°-6x，
则∠COD=∠BOD-∠AOB+∠AOC=360°-6x -90°+0.5x=105°，
解得x=30；
综上，经过或30分钟后，时钟的时针与分针的夹角为105°，
故答案为：或30
【名师指路】
本题考查了钟表问题，解题时经常用到每两个数字之间的度数是30°，分钟每分钟转过的角度为6度，时钟每分钟转过的角度为0.5度．借助图形，更容易解决．同时考查一元一次方程的应用，得到时针所走路程和分针所走路程的等量关系是解决本题的关键．
20．已知点C在线段上，，点D、E在直线上，点D在点E的左侧．
（1）若，点D与点A重合，，则_________；
（2）若，线段在直线上移动，且满足关系式，则_______．
【标准答案】 （1） （2）或．
【思路指引】
（1）画出符合题意的图形，由，求解，再利用线段的和差关系求解即可得到答案；
（2）根据AC=2BC，AB=2DE，线段DE在直线AB上移动，满足关系式，再分六种情况讨论，①当在点A左侧时，②当在之间时，③当在线段上时，④当在之间时，⑤当在之间时，⑥当在的右边时，可以设CE=x，DC=y，用含x和y的式子表示的长，从而得出x与y的等量关系，即可求出 的值．
【详解详析】
解：（1）如图，




（2）∵AC=2BC，AB=2DE，满足关系式，
①当在点A左侧时，如图，
设CE=x，DC=y， 则，
∴，
∴
∴
∴
∵，

∴，
解得，，
∴
②当在之间时，如图，
设 则，
同理可得：
③当在线段上时，
设 则，




＜
,
＞
不合题意舍去；
④当在之间时，如图，
设CE=x，DC=y， 则DE=x+y，
∴ ,
∴
∴
∴
∵

∴，
解得，，
∴ ．
⑤当在之间时，
设 则



∵

同理可得： 与图形条件＞不符舍去，
⑥当在的右边时，
设 则



∵

同理可得： 与图形条件＞不符，舍去，
综上：的值为：或．
故答案为或．
【名师指路】
本题考查的是线段的和差关系，二元一次方程思想，与线段相关的动态问题，分类讨论的思想，掌握以上知识是解题的关键．
三、解答题
21．如图，直线DE上有一点O，过点O在直线DE上方作射线OC，∠COE比它的补角大100°，将一直角三角板AOB的直角点放在点O处，一条直角边OA在射线OD上，另一边OB在直线DE上方，将直角三角板绕点O按每秒10°的速度逆时针旋转一周．设旋转时间为t秒．
（1）求∠COE的度数；
（2）若射线OC的位置保持不变，在旋转过程中，是否存在某个时刻，使得∠BOC＝∠BOE？若存在，请求出t的取值，若不存在，请说明理由；
（3）若在三角板开始转动的同时，射线OC也绕O点以每秒10°的速度顺时针旋转一周．从旋转开始多长时间．射线OC平分∠BOE．直接写出t的值．（本题中的角均为大0°且小180°的角）
【标准答案】（1）140゜（2）存在，t=2秒或20秒；（3）秒
【思路指引】
（1）设∠COE=x度，则其补角为(180−x)度，根据∠COE比它的补角大100°列方程即可求得结果；
（2）存在两种情况：当OC在直线DE上方时；当OC在直线DE下方时；就这两种情况考虑即可；
（3）画出图形，结合图形表示出∠COE与∠COB，根据角平分线的性质建立方程即可求得t值．
【详解详析】
（1）设∠COE=x度，则其补角为(180−x)度，由题意得：x−(180−x)=100
解得：x=140
即∠COE=140゜
（2）存在
当OC在直线DE上方时，此时OB平分∠BOC
∵∠COE=140゜
∴
当OB没有旋转时，∠BOC=50゜
所以OB旋转了70゜−50゜=20゜
则旋转的时间为：t=20÷10=2（秒）
当OC在直线DE下方时，如图
由图知：∠BOE+∠BOC+∠COE=360゜即：2∠BOE+∠COE=360゜
∵OB旋转了10t度
∴∠BOE=(10t−90)度
∴2(10t−90)+140=360
解得：t=20
综上所述，当t=2秒或20秒时，∠BOC=∠BOE
（3）OB、OC同时旋转10t度
如图所示，∠COE=(180゜+40゜)−(10t)゜=(220−10t)゜
∵2×(10t)゜−∠COB+50゜=360゜
∴∠COB=2× (10t)゜−310゜
∵∠COB=∠COE
∴2× 10t−310=220-10t
解得：
即当t的值为秒时，满足条件．
【名师指路】
本题考查了角平分线的性质，角的和差运算，补角的概念，解一元一次方程等知识，注意数形结合及分类讨论．
22．已知，O是直线上的一点，，是的平分线．
(1)①如图1，若，则 ；
②如图1，若，则 （用含的代数式表示）．
(2)若将图1中的绕顶点O顺时针旋转到图2的位置，其他条件不变，②中的结论是否成立？试说明理由．
(3)将图1中的绕顶点O顺时针旋转至图2的位置．在的内部有一条射线，满足：，请直接写出与的度数之间的关系．
【标准答案】(1)①15°；②α
(2)成立，理由见解析
(3)4∠DOE-5∠AOF=180°
【思路指引】
（1）①由已知可求出∠BOC=180°-∠AOC=150°，再由∠COD是直角，OE平分∠BOC求出∠DOE的度数；
②由①可得出结论∠DOE=∠AOC，从而用含a的代数式表示出∠DOE的度数；
（2）由∠COD是直角，OE平分∠BOC可得出∠COE=∠BOE=90°-∠DOE，则得∠AOC=180°-∠BOC=180°-2∠COE=180°-2（90°-∠DOE），从而得出∠AOC和∠DOE的度数之间的关系；
（3）设∠DOE=x，∠AOF=y，根据已知和：∠AOC-4∠AOF=2∠BOE+∠AOF，得出4x-5y=180，从而得出结论．
(1)
解：①由已知得∠BOC=180°-∠AOC=150°，
又∠COD是直角，OE平分∠BOC，
∴∠DOE=∠COD-∠BOC=90°-×150°=15°；
②由①得：∠DOE=∠COD-∠BOC，
∴∠DOE=90°-（180°-∠AOC），
∴∠DOE=∠AOC=a；
(2)
成立，理由是：
∵∠COD是直角，OE平分∠BOC，
∴∠COE=∠BOE=90°-∠DOE，
则得∠AOC=180°-∠BOC=180°-2∠COE=180°-2（90°-∠DOE），
所以得：∠AOC=2∠DOE；
(3)
4∠DOE-5∠AOF=180°，理由是：
设∠DOE=x，∠AOF=y，
左边=∠AOC-4∠AOF=2∠DOE-4∠AOF=2x-4y，
右边=2∠BOE+∠AOF=2（90-x）+y=180-2 x+y，
∴2x-4y=180-2 x+y 即4x-5y=180，
∴4∠DOE-5∠AOF=180°．
【名师指路】
此题考查的知识点是角平分线的性质、旋转性质及角的计算，关键是正确运用好有关性质准确计算角的和差倍分．
23．如图1，在数轴上A、B两点对应的数分别是6，－6，∠DCE＝90°（C与O重合，D点在数轴的正半轴上）．
（1）如图1，若CF平分∠ACE，则∠AOF＝________；
（2）如图2，将∠DCE沿数轴的正半轴向右平移t（0＜t＜3）个单位后，再绕顶点C逆时针旋转30t度，作CF平分∠ACE，此时记∠DCF＝α．
①当t＝1时，α＝________；
②猜想∠BCE和α的数量关系，并证明；
（3）如图3，开始∠D1C1E1与∠DCE重合，将∠DCE沿数轴正半轴向右平移t（0＜t＜3）个单位，再绕顶点C逆时针旋转30t度，作CF平分∠ACE，此时记∠DCF＝α，与此同时，将∠D1C1E1沿数轴的负半轴向左平移t（0＜t＜3）个单位，再绕顶点C1顺时针旋转30t度，作C1F1平分∠AC1E1，记∠D1C1F1＝β，若α，β满足|α－β|＝75°，请求出t的值．
【标准答案】（1）45°，（2）①30°，②∠BCE＝2α，理由见解析，（3）2.5
【思路指引】
（1）根据角平分线的定义计算即可；
（2）①根据∠FCD＝∠ACF﹣∠ACD，求出∠ACF，∠ACD即可；②猜想：∠BCE＝2α．根据∠BCE＝∠AOB﹣∠ECD﹣∠ACD计算即可；
（3）求出α，β（用t表示），构建方程即可解决问题；
【详解详析】
解：（1）如图1中，∵∠EOD＝90°，OF平分∠EOD，
∴∠FOD＝∠EOD＝45°，
故答案为45°
（2）①如图2中，当t＝1时，∴∠DCA＝30°，
∵∠ECD＝90°，
∴∠ECA＝120°，
∵CF平分∠ACE，
∴∠FCA＝∠ECA＝60°
∴α＝∠ACF﹣∠ACD＝60°﹣30°＝30°
故答案为30°．
②如图2中，猜想：∠BCE＝2α．
理由：∵∠DCE＝90°，∠DCF＝α，
∴∠ECF＝90°﹣α，
∵CF平分∠ACE，
∴∠ACF＝∠ECF＝90°﹣α，
∵点A，C，B共线
∴∠ACB＝180°
∴∠BCE＝∠AOB﹣∠ECD﹣∠ACD＝180°﹣90°﹣（90°﹣2α）＝2α．
（3）如图3中，由题意：α＝∠FCA﹣∠DCA＝（90°+30t）﹣30t＝45°﹣15t，
β＝∠AC1D1+∠AC1F1＝30t+（90°﹣30t）＝45°+15t，
∵|α﹣β|＝75，
∴|-30t|＝75，
解得t＝2.5．
答：t的值为2.5．
【名师指路】
本题考查角的计算、角平分线的定义、数轴等知识，解题的关键是熟练掌握角的和差定义，学会利用参数构建方程解决问题．
24．已知∠AOD＝130°，∠BOC＝50°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD．
(1)如图1，若，求∠NOC的度数；
(2)将∠BOC顺时针旋转至如图2的位置，求∠MON的度数．
【标准答案】(1)4°
(2)40°
【思路指引】
（1）设 利用角平分线的定义可求得∠AOM=，∠DON，再根据列式求出，求出，再减去的度数，结论可得；
（2）根据角平分线的定义可求得∠AOM，∠BON，再利用角的和差得出结论．
(1)
设
∵
∴
∵是的平分线
∴；
∵
∴
∵是的平分线，
∴
∵
∴
解得，
∴
∴
∴
∵
∴
(2)
由图可得，
∵是的平分线
∴
又
∵是的平分线，
∴
∴


∵∠AOD＝130°，∠BOC＝50°，
∴
【名师指路】
本题主要考查了角的计算，角平分线的定义．本题是探究型题目，利用类比的方法解答是解题的关键．
25．已知：点O是直线AB上一点，过点O分别画射线OC，OE，使得．
（1）如图，OD平分．若，求的度数．请补全下面的解题过程（括号中填写推理的依据）．
解：∵点O是直线AB上一点，
∴．
∵，
∴．
∵OD平分．
∴（ ）．
∴ °．
∵，
∴（ ）．
∵ ，
∴ °．
（2）在平面内有一点D，满足．探究：当时，是否存在的值，使得．若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．
【标准答案】（1）角平分线的定义；70；垂直的定义；DOC；EOC；160；（2）存在，的值为120°或144°或
【思路指引】
（1）根据角平分线的定义和垂直定义，结合所给解题过程进行补充即可；
（2）分三种情况讨论：①点D，C，E在AB上方时，②当点D在AB的下方，C，E在AB上方时，③如图，当D在AB上方，E，C在AB下方时，用含有α的式子表示出和∠BOE，由列式求解即可．
【详解详析】
解：（1）∵点O是直线AB上一点，
∴．
∵，
∴．
∵OD平分．
∴（ 角平分线的定义 ）．
∴ 70 °．
∵，
∴（ 垂直的定义 ）．
∵ DOC EOC ，
∴ 160 °．
故答案为：角平分线定义；70；垂直的定义；DOC；EOC；160；
（2）存在， 或144°或
①点D，C，E在AB上方时，如图，
∵，
∴
∵
∴
∵
∴
∴
②当点D在AB的下方，C，E在AB上方时，如图，
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
③如图，当D在AB上方，E，C在AB下方时，
同理可得：

，

解得：
综上，的值为120°或144°或
【名师指路】
本题主要考查角平分线和补角，熟练掌握角平分线的定义和补角的定义是解题的关键．