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苏科版八年级数学上册必考重难点突破【单元复习】第1章全等三角形(知识精讲+考点例析+举一反三+实战演练)(原卷版+解析)
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这是一份苏科版八年级数学上册必考重难点突破【单元复习】第1章全等三角形(知识精讲+考点例析+举一反三+实战演练)(原卷版+解析)，共28页。
（知识精讲+考点例析+举一反三+实战演练）
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知识精讲
第一章 全等三角形
一、全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
理解：①全等三角形形状与大小完全相等，与位置无关；
②一个三角形经过平移、翻折、旋转后得到的三角形，与原三角形仍然全等；
③三角形全等不因位置发生变化而改变。
二、全等三角形的性质：
⑴全等三角形的对应边相等、对应角相等。
理解：①长边对长边，短边对短边；最大角对最大角，最小角对最小角；
②对应角的对边为对应边，对应边对的角为对应角。
⑵全等三角形的周长相等、面积相等。
⑶全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。
三、全等三角形的判定：
①边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
②角边角公理(ASA) 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
③推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
④边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等。
⑤斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
四、证明两个三角形全等的基本思路：
⑴已知两边：①找第三边（SSS）；②找夹角（SAS）；③找是否有直角（HL）.
⑵已知一边一角：①找一角（AAS或ASA）；②找夹边（SAS）.
⑶已知两角：①找夹边（ASA）；②找其它边（AAS）.
考点例析
【考点1】全等图形
【例1】（2022·北京房山·八年级期中）下列各组图形中，是全等图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案．
【详解】解：根据全等图形的定义可得C是全等图形，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握形状大小完全相同的两个图形是全等形．
【例2】（2022·江苏·八年级期末）如图，有6个条形方格图，在由实线围成的图形中，全等图形有：（1）与__；（2）与__．
【答案】 （6） （3）（5）
【分析】利用全等图形的概念可得答案．
【详解】解：（1）与（6）是全等图形，
（2）与（3）（5）是全等图形，
故答案为：（6），（3）（5）．
【点睛】本题主要考查了全等图形，关键是掌握能够完全重合的两个图形叫做全等形．
【考点2】全等三角形
【例3】（2022·江西景德镇·八年级期末）如图，点B、D、E、C在同一直线上，△ABD≌△ACE，∠AEC＝100°，则∠DAE＝（ ）
A．10°B．20°C．30°D．80°
【答案】B
【分析】由全等三角形的性质，得到，然后得到，利用三角形的内角和定理，即可求出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴；
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握所学的知识，正确的进行解题．
【例4】（2022·山东菏泽·八年级阶段练习）如图，，，，在同一直线上，，，若用判定，需加上一个条件______．
【答案】
【分析】根据三角形全等的判定()，已知，，只需添加相等，即可判定．
【详解】解：添加条件为：
∵
∴
∴
又∵
∴在和中
∴()
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形判定的条件是解题的关键．
【考点3】探索三角形全等的条件
【例5】（2022·浙江金华·八年级期末）如图，甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是（ ）
A．甲和乙B．甲和丙C．乙和丙D．只有丙
【答案】C
【分析】根据三角形全等的判定方法得出乙和丙与△ABC全等，甲与△ABC不全等．
【详解】解：在△ABC和乙的三角形中，两边及其夹角对应相等，满足三角形全等的判定方法：SAS，
所以乙和△ABC全等；
在△ABC和丙的三角形中，两个及一角对边对应相等，满足三角形全等的判定方法：AAS，
所以丙和△ABC全等；
在△ABC和甲的三角形中，只有一边一角对应相等南，不能判定甲与△ABC全等；
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
【例6】（2022·山东淄博·八年级期末）如图，要测量河岸相对两点A、B间的距离，先从B点出发与AB成90°角方向，向前走25米到C点处立一根标杆，然后方向不变继续朝前走25米到点D处，在点D处转90°沿DE方向走17米，到达E处，使A、C与E在同一直线上，那么测得A、B之间的距离为______米．
【答案】17
【分析】根据题意可得条件BC=CD=25米，DE=17米，∠B=∠D=90°，再加上对顶角∠ACB=∠DCE可利用ASA判定△ABC≌△EDC，根据全等三角形的性质可得答案．
【详解】解：由题意得：BC=CD=25米，DE=17米，∠B=∠D=90°，
∵在△ABC和△EDC中
，
∴△ABC≌△EDC（ASA），
∴DE=AB=17米，
故答案为：17．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是掌握判定三角形全等的方法．
举一反三
一、选择题（共3小题）
1．（2022·山东德州·八年级期末）下列各组的两个图形属于全等图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·河北廊坊·八年级期末）如图，已知△ABC△BDE，，则∠ABE的度数为（ ）
A．30°B．35°C．40°D．45°
3．（2022·黑龙江黑河·八年级期末）下列条件，不能判定的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
二、填空题（共3小题）
4．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，图中由实线围成的图形与①是全等形的有______．（填番号）
5．（2022·山东青岛·八年级期中）如图，将△BDE沿直线BA向左平移后，到达△ABC的位置，若∠EBD=55º，∠ADE=95º，则∠CBE的度数为________º．
6．（2022·河南南阳·八年级期中）如图，已知∠MAB是锐角，，，．点C是射线AM上的一个动点．利用图形画图说明命题“有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等”是假命题．你画图时，BC长可选取的范围是______cm．若的形状、大小是唯一确定的，则BC的取值范围是______．
二、简答题（共3小题）
7．（2022·江苏·八年级专题练习）找出下列图形中的全等图形．
8．（2022·全国·八年级专题练习）如图，A，E，C三点在同一直线上，且△ABC≌△DAE．
(1)线段DE，CE，BC有怎样的数量关系？请说明理由．
(2)请你猜想△ADE满足什么条件时，DE∥BC，并证明．
9．（2022·辽宁沈阳·八年级期中）工人师傅经常利用角尺平分一个任意角．如图所示，是一个任意角，在边OA，边OB上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，这时过角尺顶点P的射线OP就是的平分线．
(1)证明：OP平分；
(2)在（1）的条件下，请你在射线OP上任取一点Q，作，试判断线段QC与线段QD的数量关系并证明．
实战演练
一、选择题（共3小题）
1．（2022·全国·八年级专题练习）观察下面的6组图形，其中是全等图形的有（ ）
A．3组B．4组C．5组D．6组
2．（2022·广西崇左·八年级期末）如图，若，，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·全国·八年级期中）如图所示，在△ABC中P为BC上一点，PR⊥BC，垂足为R，PS⊥AC，垂足为S，AQ=PQ，PR=PS．下面三个结论：①AS=AR；②QPAR；③△BRP≌△CSP其中正确的是 （ ）
A．①②B．②③C．①③D．①②③
二、填空题（共3小题）
4．（2022·全国·八年级期末）如图中有6个条形方格图，图上由实线围成的图形与（1）是全等形的有__________．
5．（2022·四川雅安·八年级期末）如图，锐角△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，且C′D∥EB′，BE，CD交于点F．若∠BAC＝40°，则∠BFC的度数为 _____．
6．（2022·重庆八中八年级期末）如图，在等腰直角三角形中，，，D是边上的一点，过点B，C作，分别交于E，F，若，，则_______．
二、简答题（共3小题）
7．（2022·江苏·八年级期末）如图，用三种不同的方法沿网格线把正方形分割成4个全等的图形（三种方法得到的图形相互间不全等）．
8．（2022·辽宁·宽甸满族自治县第一初中八年级阶段练习）已知，如图，在△ABC中，AB=8cm，AC=4cm，△BAC的平分线AD与BC的垂直平分线DG交于点D，过点D的直线DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F（或AC延长线）
(1)求证：AE=AF；
(2)求证：BE=CF；
(3)求AE的长．
9．（2022·全国·八年级专题练习）如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点D，延长BD交AC于E，G、F分别在BD、BC上，连接DF、GF，其中∠A＝2∠BDF，GD＝DE．
求证：CF＝FG+CE．
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【单元复习】第1章 全等三角形
（知识精讲+考点例析+举一反三+实战演练）
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知识精讲
第一章 全等三角形
一、全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
理解：①全等三角形形状与大小完全相等，与位置无关；
②一个三角形经过平移、翻折、旋转后得到的三角形，与原三角形仍然全等；
③三角形全等不因位置发生变化而改变。
二、全等三角形的性质：
⑴全等三角形的对应边相等、对应角相等。
理解：①长边对长边，短边对短边；最大角对最大角，最小角对最小角；
②对应角的对边为对应边，对应边对的角为对应角。
⑵全等三角形的周长相等、面积相等。
⑶全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。
三、全等三角形的判定：
①边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
②角边角公理(ASA) 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
③推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
④边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等。
⑤斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
四、证明两个三角形全等的基本思路：
⑴已知两边：①找第三边（SSS）；②找夹角（SAS）；③找是否有直角（HL）.
⑵已知一边一角：①找一角（AAS或ASA）；②找夹边（SAS）.
⑶已知两角：①找夹边（ASA）；②找其它边（AAS）.
考点例析
【考点1】全等图形
【例1】（2022·北京房山·八年级期中）下列各组图形中，是全等图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案．
【详解】解：根据全等图形的定义可得C是全等图形，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握形状大小完全相同的两个图形是全等形．
【例2】（2022·江苏·八年级期末）如图，有6个条形方格图，在由实线围成的图形中，全等图形有：（1）与__；（2）与__．
【答案】 （6） （3）（5）
【分析】利用全等图形的概念可得答案．
【详解】解：（1）与（6）是全等图形，
（2）与（3）（5）是全等图形，
故答案为：（6），（3）（5）．
【点睛】本题主要考查了全等图形，关键是掌握能够完全重合的两个图形叫做全等形．
【考点2】全等三角形
【例3】（2022·江西景德镇·八年级期末）如图，点B、D、E、C在同一直线上，△ABD≌△ACE，∠AEC＝100°，则∠DAE＝（ ）
A．10°B．20°C．30°D．80°
【答案】B
【分析】由全等三角形的性质，得到，然后得到，利用三角形的内角和定理，即可求出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴；
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握所学的知识，正确的进行解题．
【例4】（2022·山东菏泽·八年级阶段练习）如图，，，，在同一直线上，，，若用判定，需加上一个条件______．
【答案】
【分析】根据三角形全等的判定()，已知，，只需添加相等，即可判定．
【详解】解：添加条件为：
∵
∴
∴
又∵
∴在和中
∴()
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形判定的条件是解题的关键．
【考点3】探索三角形全等的条件
【例5】（2022·浙江金华·八年级期末）如图，甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是（ ）
A．甲和乙B．甲和丙C．乙和丙D．只有丙
【答案】C
【分析】根据三角形全等的判定方法得出乙和丙与△ABC全等，甲与△ABC不全等．
【详解】解：在△ABC和乙的三角形中，两边及其夹角对应相等，满足三角形全等的判定方法：SAS，
所以乙和△ABC全等；
在△ABC和丙的三角形中，两个及一角对边对应相等，满足三角形全等的判定方法：AAS，
所以丙和△ABC全等；
在△ABC和甲的三角形中，只有一边一角对应相等南，不能判定甲与△ABC全等；
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
【例6】（2022·山东淄博·八年级期末）如图，要测量河岸相对两点A、B间的距离，先从B点出发与AB成90°角方向，向前走25米到C点处立一根标杆，然后方向不变继续朝前走25米到点D处，在点D处转90°沿DE方向走17米，到达E处，使A、C与E在同一直线上，那么测得A、B之间的距离为______米．
【答案】17
【分析】根据题意可得条件BC=CD=25米，DE=17米，∠B=∠D=90°，再加上对顶角∠ACB=∠DCE可利用ASA判定△ABC≌△EDC，根据全等三角形的性质可得答案．
【详解】解：由题意得：BC=CD=25米，DE=17米，∠B=∠D=90°，
∵在△ABC和△EDC中
，
∴△ABC≌△EDC（ASA），
∴DE=AB=17米，
故答案为：17．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是掌握判定三角形全等的方法．
举一反三
一、选择题（共3小题）
1．（2022·山东德州·八年级期末）下列各组的两个图形属于全等图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据全等图形的定义，逐一判断选项，即可．
【详解】解：A、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意，
B.两个图形不能完全重合，不是全等图形，符合题意，
C.两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意，
D.两个图形能完全重合，是全等图形，不符合题意，
故选D．
【点睛】本题主要考查全等图形的定义，熟练掌握“能完全重合的两个图形，是全等图形”是解题的关键．
2．（2022·河北廊坊·八年级期末）如图，已知△ABC△BDE，，则∠ABE的度数为（ ）
A．30°B．35°C．40°D．45°
【答案】A
【分析】根据三角形的内角和及全等三角形的对应角相等即可解答．
【详解】解：，，
∴∠A=180°-70°-70°=40°，
∵△ABC△BDE，
∴∠DBE=∠A=40°，
∴∠ABE=∠ABC-∠DBE=70°-40°=30°，
故选：A．
【点睛】本题考查的是全等三角形的性质以及三角形的内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
3．（2022·黑龙江黑河·八年级期末）下列条件，不能判定的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【答案】A
【分析】根据全等三角形的判定SSS，AAS，ASA，SAS，进行判断即可得．
【详解】解：A、∠A=∠A′，AB=A′B′，，根据SSA不能推出，选项说法错误，不符合题意；
B、，，，根据ASA即可推出，选项说法正确，符合题意；
C、，，，根据AAS即可推出，选项说法正确，符合题意；
D、，，，根据SSS即可推出，选项说法正确，符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定．
二、填空题（共3小题）
4．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，图中由实线围成的图形与①是全等形的有______．（填番号）
【答案】②③
【分析】根据全等图形的定义，两个图形必须能够完全重合才行．
【详解】观察图形，发现②③图形可以和①图形完全重合
故答案为：②③．
【点睛】本题考查全等的概念，任何一组图形，要想全等，则这组图形必须能够完全重合．
5．（2022·山东青岛·八年级期中）如图，将△BDE沿直线BA向左平移后，到达△ABC的位置，若∠EBD=55º，∠ADE=95º，则∠CBE的度数为________º．
【答案】30
【分析】根据平移的性质可得△BDE≌△ABC，求出∠ABC =∠ADE=95º，再根据平角的定义即可求出∠CBE．
【详解】解：由平移可知△BDE≌△ABC，
∴∠ABC =∠ADE=95º，
又∵∠EBD=55º，
∴∠CBE=180 º -∠ABC-∠EBD
=180 º -95 º -55 º
=30 º．
故答案为：30．
【点睛】本题考查平移的性质，全等三角形的性质及平角的定义，解题关键是理解平移的性质．
6．（2022·河南南阳·八年级期中）如图，已知∠MAB是锐角，，，．点C是射线AM上的一个动点．利用图形画图说明命题“有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等”是假命题．你画图时，BC长可选取的范围是______cm．若的形状、大小是唯一确定的，则BC的取值范围是______．
【答案】 或
【分析】当以B为圆心，BC为半径画弧，弧与AM有两个交点时，就符合题意；当BC=BN=1时，三角形是唯一的；当以B为圆心的圆画弧与AM有一个交点时即半径大于AB=2时也是符合题意的．
【详解】如图，当以B为圆心，BC为半径画弧，弧与AM有两个交点时，就符合题意，
此时；
故答案为：；
当BC=BN=1时，三角形是唯一的；
当以B为圆心的圆画弧与AM有一个交点时即半径大于AB=2时也是符合题意的．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了三角形的存在个数，熟练掌握三角形的基本作图是解题的关键．
二、简答题（共3小题）
7．（2022·江苏·八年级专题练习）找出下列图形中的全等图形．
【答案】（1）和（10），（2）和（12），（4）和（8），（5）和（9）是全等图形
【分析】根据能够完全重合的两个图形是全等形即可判断出答案．
【详解】解：由题意得：（1）和（10），（2）和（12），（4）和（8），（5）和（9）是全等图形．
【点睛】本题考查了全等形的定义，属于基础题，注意掌握全等形的定义．
8．（2022·全国·八年级专题练习）如图，A，E，C三点在同一直线上，且△ABC≌△DAE．
(1)线段DE，CE，BC有怎样的数量关系？请说明理由．
(2)请你猜想△ADE满足什么条件时，DE∥BC，并证明．
【答案】(1)DE＝CE+BC，理由见解析
(2)当△ADE满足∠AED＝90°时，DE//BC．证明见详解
【分析】（1）根据全等三角形的性质得出AE＝BC，DE＝AC，再求出答案即可；
（2）根据全等三角形的性质得出∠AED＝∠C，根据两直线平行，内错角相等，得出∠C＝∠DEC，再根据邻补角互补得出∠AED+∠DEC＝180°，再求出∠AED＝90°即可．
【详解】（1）解：DE＝CE+BC．
理由：∵△ABC≌△DAE，
∴AE＝BC，DE＝AC．
∵A，E，C三点在同一直线上，
∴AC＝AE+CE，
∴DE＝CE+BC．
（2）猜想：当△ADE满足∠AED＝90°时，DE//BC．
证明：∵△ABC≌△DAE，
∴∠AED＝∠C，
又∵DEBC，
∴∠C＝∠DEC，
∴∠AED＝∠DEC．
又∵∠AED+∠DEC＝180°，
∴∠AED＝∠DEC＝90°，
∴当△ADE满足∠AED＝90°时，DEBC．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质、等量代换、平行线的性质、邻补角互补，解本题的关键在熟练掌握相关性质．
9．（2022·辽宁沈阳·八年级期中）工人师傅经常利用角尺平分一个任意角．如图所示，是一个任意角，在边OA，边OB上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，这时过角尺顶点P的射线OP就是的平分线．
(1)证明：OP平分；
(2)在（1）的条件下，请你在射线OP上任取一点Q，作，试判断线段QC与线段QD的数量关系并证明．
【答案】(1)见解析
(2)，证明见解析
【分析】（1）由SSS可得△OPM≌△OPN，再根据全等三角形的性质证得OP平分∠AOB；
（2）先证，再证，从而证得，最后可得结果．
【详解】（1）证明：在和中
，
，
即OP平分．
（2）证明：，
，
由（1）知OP平分，
，
和内角和都是
，
由，
得，
．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
实战演练
一、选择题（共3小题）
1．（2022·全国·八年级专题练习）观察下面的6组图形，其中是全等图形的有（ ）
A．3组B．4组C．5组D．6组
【答案】B
【分析】根据全等图形的定义进行判断即可．
【详解】解：观察图①④⑤⑥四组图形经过平移、旋转、对折后能够完全重合，是全等图形，共4组，
故选：B．
【点睛】本题考查了全等图形的定义，能够完全重合的图形是全等形，难度不大．
2．（2022·广西崇左·八年级期末）如图，若，，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据三角形的内角和定理列式求出∠BAC，再根据全等三角形对应角相等可得∠DAE=∠BAC，然后根据∠EAC=∠DAE-∠DAC即可解答．
【详解】解：∵∠B=60°，∠C=40°，
∴∠BAC=180°-60°-40°=80°，
∵△ABC≌△ADE，
∴∠DAE=∠BAC=80°，
∴∠EAC=∠DAE-∠DAC=80°-35°=45°．
故选B．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形对应角相等是解题本题的关键．
3．（2022·全国·八年级期中）如图所示，在△ABC中P为BC上一点，PR⊥BC，垂足为R，PS⊥AC，垂足为S，AQ=PQ，PR=PS．下面三个结论：①AS=AR；②QPAR；③△BRP≌△CSP其中正确的是 （ ）
A．①②B．②③C．①③D．①②③
【答案】A
【分析】连接AP，可证AP是∠BAC的角平分线，再证明△APR≌△APS，得AS＝AR，由已知可得∠2＝∠3，得到∠1＝∠3，得QP∥AR，答案可得．
【详解】解：连接AP，
∵PR＝PS，PR⊥AB， PS⊥AC，
∴AP是∠BAC的平分线，
∴∠1＝∠2，
在△APR和△APS中:
∴△APR≌△APS，
∴AS＝AR，
故①正确；
又AQ＝PQ，
∴∠2＝∠3，
又∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴QP∥AR，
故②正确；
BC只是过点P，不能证明△BRP≌△CSP，③不成立．
故选：A．
【点睛】本题主要考查角平分线的判定和平行线的判定；准确作出辅助线是解决本题的关键．
二、填空题（共3小题）
4．（2022·全国·八年级期末）如图中有6个条形方格图，图上由实线围成的图形与（1）是全等形的有__________．
【答案】(2)(3)(6)
【分析】根据全等形是可以完全重合的图形并观察对比图形，进行判定即可．
【详解】(6)以左下角顶点为定点逆时针旋转90°后，与(1)两个实线图形刚好重合，
(3)可上下反转成(1)的情况，与(1)两个实线图形刚好重合，
(2)以右下角顶点为定点顺时针旋转90°后成图(3)，然后反转成(1)的情况，与(1)两个实线图形刚好重合，
(4)为平行四边形，而(1)为梯形，所以不能和(1)中图形完全重合，
(5)为直角梯形，而(1)不是，所以不能和(1)中图形完全重合，
故答案是：(2)(3)(6)
【点睛】本题主要考查学生对全等形的概念的理解及运用，认真对观察对比是正确解答本题的关键．
5．（2022·四川雅安·八年级期末）如图，锐角△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，且C′D∥EB′，BE，CD交于点F．若∠BAC＝40°，则∠BFC的度数为 _____．
【答案】100°##100度
【分析】延长C′D交AC于M，如图，根据全等的性质得∠C′=∠ACD，∠C′AD=∠CAD=∠B′AE=×40°，再利用三角形外角性质得∠C′MC=∠C′+∠C′AM=∠C′+2×40°，接着利用C′D∥B′E得到∠AEB=∠C′MC，而根据三角形内角和得到∠AEB′=180°-∠B′-40°，则∠C′+2×40°=180°-∠B′-40°，所以∠C′+∠B′=180°-3×40°，利用三角形外角性质和等角代换得到∠BFC=∠C=40°+∠C′+∠B′，所以∠BFC=180°-2×40°=100°．
【详解】延长C′D交AC于M，如图，
∵△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，
∴∠C′=∠ACD，∠C′AD=∠CAD=∠B′AE=40°，
∴∠C′MC=∠C′+∠C′AM=∠C′+2×40°，
∵C′D∥B′E，
∴∠AEB′=∠C′MC，
∵∠AEB′=180°−∠B′−∠B′AE=180°−∠B′−40°，
∴∠C′+2×40°=180°−∠B′−×40°，
∴∠C′+∠B′=180°−3×40°，
∵∠BFC=∠BDF+∠DBF
=∠DAC+∠B′+∠ACD
=40°+∠ACD+∠B′=40°+∠C′+∠B′
=40°+180°−3×40°=180°−2×40°
=．
故答案为
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形外角的性质，三角形的内角和，平行线的性质等知识点，作出辅助线是解题的关键．
6．（2022·重庆八中八年级期末）如图，在等腰直角三角形中，，，D是边上的一点，过点B，C作，分别交于E，F，若，，则_______．
【答案】1.2
【分析】由题意易得，则有，然后可得，则可证，进而可得，最后问题可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴（AAS），
∵，，
∴，
∴；
故答案为1.2．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
二、简答题（共3小题）
7．（2022·江苏·八年级期末）如图，用三种不同的方法沿网格线把正方形分割成4个全等的图形（三种方法得到的图形相互间不全等）．
【答案】详见解析
【分析】观察图形发现：这个正方形网格的总面积为16，因此只要将面积分为4，即占4个方格，并且图形要保证为相同即可．
【详解】解：如图所示：
．
【点睛】本题主要考查了全等图形和作图，准确分析是解题的关键．
8．（2022·辽宁·宽甸满族自治县第一初中八年级阶段练习）已知，如图，在△ABC中，AB=8cm，AC=4cm，△BAC的平分线AD与BC的垂直平分线DG交于点D，过点D的直线DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F（或AC延长线）
(1)求证：AE=AF；
(2)求证：BE=CF；
(3)求AE的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）由AAS证明，再由全等三角形的对应边线段解答；
（2）由垂直平分线的性质得到，由角平分线的性质得到，再根据HL证明，最后根据全等三角形的对应边线段解答；
（3）由线段的和差解得AC=AF-CF，AB=AE+BE，AC+AB=2AE，结合全等三角形对应边相等的性质，代入AB=8cm，AC=4cm，解答即可．
【详解】（1）证明：DE⊥AB，DF⊥AC，
，
AD平分，
，
，
AE=AF；
（2）连接BD，CD，
DG平分且垂直BC，
，
，
平分，且DE⊥AB，DF⊥AC，
，
，
；
（3）
∵ AC=AF-CF，AB=AE+BE，
∴AC+AB=2AE，
在△ABC中，AB=8cm，AC=4cm，
∴AE=6cm．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、垂直平分线的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
9．（2022·全国·八年级专题练习）如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点D，延长BD交AC于E，G、F分别在BD、BC上，连接DF、GF，其中∠A＝2∠BDF，GD＝DE．
求证：CF＝FG+CE．
【答案】见解析
【分析】在BC上取点M，使CM=CE，证明△CDE≌△CDM（SAS），可得DE=DM，∠DEC=∠DMC，∠EDC=∠MDC，证明∠BDM=180°-∠ABC-∠DMB=180°-∠ABC-∠AEB=∠A，然后证明△DGF≌△DMF（SAS），可得GF=MF，进而可以解决问题．
【详解】证明：如图，在BC上取点M，使CM=CE，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
在△CDE和△CDM中，，
∴△CDE≌△CDM（SAS），
∴DE=DM，∠DEC=∠DMC，∠EDC=∠MDC，
∵GD=DE，
∴GD=MD，
∵∠DEC+∠AEB=180°，∠DMC+∠DMF=180°，
∴∠AEB=∠DMF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE=∠ABC，
∴∠BDM=180°-∠ABC-∠DMB=180°-∠ABC-∠AEB=∠A，
∵∠A=2∠BDF，
∴∠BDM=2∠BDF，
∴∠FDM=∠FDG，
在△DGF和△DMF中，
∵，
∴△DGF≌△DMF（SAS），
∴GF=MF，
∴CF=CM+FM=CE+GF．
∴CF=FG+CE．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，解决本题的关键是根据题意准确作出辅助线得到△DGF≌△DMF．
（知识精讲+考点例析+举一反三+实战演练）
温馨提示：一分努力勤奋一份收获，必考重难点突破是培优最佳途径！
知识精讲
第一章 全等三角形
一、全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
理解：①全等三角形形状与大小完全相等，与位置无关；
②一个三角形经过平移、翻折、旋转后得到的三角形，与原三角形仍然全等；
③三角形全等不因位置发生变化而改变。
二、全等三角形的性质：
⑴全等三角形的对应边相等、对应角相等。
理解：①长边对长边，短边对短边；最大角对最大角，最小角对最小角；
②对应角的对边为对应边，对应边对的角为对应角。
⑵全等三角形的周长相等、面积相等。
⑶全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。
三、全等三角形的判定：
①边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
②角边角公理(ASA) 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
③推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
④边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等。
⑤斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
四、证明两个三角形全等的基本思路：
⑴已知两边：①找第三边（SSS）；②找夹角（SAS）；③找是否有直角（HL）.
⑵已知一边一角：①找一角（AAS或ASA）；②找夹边（SAS）.
⑶已知两角：①找夹边（ASA）；②找其它边（AAS）.
考点例析
【考点1】全等图形
【例1】（2022·北京房山·八年级期中）下列各组图形中，是全等图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案．
【详解】解：根据全等图形的定义可得C是全等图形，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握形状大小完全相同的两个图形是全等形．
【例2】（2022·江苏·八年级期末）如图，有6个条形方格图，在由实线围成的图形中，全等图形有：（1）与__；（2）与__．
【答案】 （6） （3）（5）
【分析】利用全等图形的概念可得答案．
【详解】解：（1）与（6）是全等图形，
（2）与（3）（5）是全等图形，
故答案为：（6），（3）（5）．
【点睛】本题主要考查了全等图形，关键是掌握能够完全重合的两个图形叫做全等形．
【考点2】全等三角形
【例3】（2022·江西景德镇·八年级期末）如图，点B、D、E、C在同一直线上，△ABD≌△ACE，∠AEC＝100°，则∠DAE＝（ ）
A．10°B．20°C．30°D．80°
【答案】B
【分析】由全等三角形的性质，得到，然后得到，利用三角形的内角和定理，即可求出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴；
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握所学的知识，正确的进行解题．
【例4】（2022·山东菏泽·八年级阶段练习）如图，，，，在同一直线上，，，若用判定，需加上一个条件______．
【答案】
【分析】根据三角形全等的判定()，已知，，只需添加相等，即可判定．
【详解】解：添加条件为：
∵
∴
∴
又∵
∴在和中
∴()
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形判定的条件是解题的关键．
【考点3】探索三角形全等的条件
【例5】（2022·浙江金华·八年级期末）如图，甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是（ ）
A．甲和乙B．甲和丙C．乙和丙D．只有丙
【答案】C
【分析】根据三角形全等的判定方法得出乙和丙与△ABC全等，甲与△ABC不全等．
【详解】解：在△ABC和乙的三角形中，两边及其夹角对应相等，满足三角形全等的判定方法：SAS，
所以乙和△ABC全等；
在△ABC和丙的三角形中，两个及一角对边对应相等，满足三角形全等的判定方法：AAS，
所以丙和△ABC全等；
在△ABC和甲的三角形中，只有一边一角对应相等南，不能判定甲与△ABC全等；
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
【例6】（2022·山东淄博·八年级期末）如图，要测量河岸相对两点A、B间的距离，先从B点出发与AB成90°角方向，向前走25米到C点处立一根标杆，然后方向不变继续朝前走25米到点D处，在点D处转90°沿DE方向走17米，到达E处，使A、C与E在同一直线上，那么测得A、B之间的距离为______米．
【答案】17
【分析】根据题意可得条件BC=CD=25米，DE=17米，∠B=∠D=90°，再加上对顶角∠ACB=∠DCE可利用ASA判定△ABC≌△EDC，根据全等三角形的性质可得答案．
【详解】解：由题意得：BC=CD=25米，DE=17米，∠B=∠D=90°，
∵在△ABC和△EDC中
，
∴△ABC≌△EDC（ASA），
∴DE=AB=17米，
故答案为：17．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是掌握判定三角形全等的方法．
举一反三
一、选择题（共3小题）
1．（2022·山东德州·八年级期末）下列各组的两个图形属于全等图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·河北廊坊·八年级期末）如图，已知△ABC△BDE，，则∠ABE的度数为（ ）
A．30°B．35°C．40°D．45°
3．（2022·黑龙江黑河·八年级期末）下列条件，不能判定的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
二、填空题（共3小题）
4．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，图中由实线围成的图形与①是全等形的有______．（填番号）
5．（2022·山东青岛·八年级期中）如图，将△BDE沿直线BA向左平移后，到达△ABC的位置，若∠EBD=55º，∠ADE=95º，则∠CBE的度数为________º．
6．（2022·河南南阳·八年级期中）如图，已知∠MAB是锐角，，，．点C是射线AM上的一个动点．利用图形画图说明命题“有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等”是假命题．你画图时，BC长可选取的范围是______cm．若的形状、大小是唯一确定的，则BC的取值范围是______．
二、简答题（共3小题）
7．（2022·江苏·八年级专题练习）找出下列图形中的全等图形．
8．（2022·全国·八年级专题练习）如图，A，E，C三点在同一直线上，且△ABC≌△DAE．
(1)线段DE，CE，BC有怎样的数量关系？请说明理由．
(2)请你猜想△ADE满足什么条件时，DE∥BC，并证明．
9．（2022·辽宁沈阳·八年级期中）工人师傅经常利用角尺平分一个任意角．如图所示，是一个任意角，在边OA，边OB上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，这时过角尺顶点P的射线OP就是的平分线．
(1)证明：OP平分；
(2)在（1）的条件下，请你在射线OP上任取一点Q，作，试判断线段QC与线段QD的数量关系并证明．
实战演练
一、选择题（共3小题）
1．（2022·全国·八年级专题练习）观察下面的6组图形，其中是全等图形的有（ ）
A．3组B．4组C．5组D．6组
2．（2022·广西崇左·八年级期末）如图，若，，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·全国·八年级期中）如图所示，在△ABC中P为BC上一点，PR⊥BC，垂足为R，PS⊥AC，垂足为S，AQ=PQ，PR=PS．下面三个结论：①AS=AR；②QPAR；③△BRP≌△CSP其中正确的是 （ ）
A．①②B．②③C．①③D．①②③
二、填空题（共3小题）
4．（2022·全国·八年级期末）如图中有6个条形方格图，图上由实线围成的图形与（1）是全等形的有__________．
5．（2022·四川雅安·八年级期末）如图，锐角△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，且C′D∥EB′，BE，CD交于点F．若∠BAC＝40°，则∠BFC的度数为 _____．
6．（2022·重庆八中八年级期末）如图，在等腰直角三角形中，，，D是边上的一点，过点B，C作，分别交于E，F，若，，则_______．
二、简答题（共3小题）
7．（2022·江苏·八年级期末）如图，用三种不同的方法沿网格线把正方形分割成4个全等的图形（三种方法得到的图形相互间不全等）．
8．（2022·辽宁·宽甸满族自治县第一初中八年级阶段练习）已知，如图，在△ABC中，AB=8cm，AC=4cm，△BAC的平分线AD与BC的垂直平分线DG交于点D，过点D的直线DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F（或AC延长线）
(1)求证：AE=AF；
(2)求证：BE=CF；
(3)求AE的长．
9．（2022·全国·八年级专题练习）如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点D，延长BD交AC于E，G、F分别在BD、BC上，连接DF、GF，其中∠A＝2∠BDF，GD＝DE．
求证：CF＝FG+CE．
【高效培优】2022—2023学年八年级数学上册必考重难点突破必刷卷（苏科版）
【单元复习】第1章 全等三角形
（知识精讲+考点例析+举一反三+实战演练）
温馨提示：一分努力勤奋一份收获，必考重难点突破是培优最佳途径！
知识精讲
第一章 全等三角形
一、全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
理解：①全等三角形形状与大小完全相等，与位置无关；
②一个三角形经过平移、翻折、旋转后得到的三角形，与原三角形仍然全等；
③三角形全等不因位置发生变化而改变。
二、全等三角形的性质：
⑴全等三角形的对应边相等、对应角相等。
理解：①长边对长边，短边对短边；最大角对最大角，最小角对最小角；
②对应角的对边为对应边，对应边对的角为对应角。
⑵全等三角形的周长相等、面积相等。
⑶全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。
三、全等三角形的判定：
①边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
②角边角公理(ASA) 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
③推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
④边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等。
⑤斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
四、证明两个三角形全等的基本思路：
⑴已知两边：①找第三边（SSS）；②找夹角（SAS）；③找是否有直角（HL）.
⑵已知一边一角：①找一角（AAS或ASA）；②找夹边（SAS）.
⑶已知两角：①找夹边（ASA）；②找其它边（AAS）.
考点例析
【考点1】全等图形
【例1】（2022·北京房山·八年级期中）下列各组图形中，是全等图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案．
【详解】解：根据全等图形的定义可得C是全等图形，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握形状大小完全相同的两个图形是全等形．
【例2】（2022·江苏·八年级期末）如图，有6个条形方格图，在由实线围成的图形中，全等图形有：（1）与__；（2）与__．
【答案】 （6） （3）（5）
【分析】利用全等图形的概念可得答案．
【详解】解：（1）与（6）是全等图形，
（2）与（3）（5）是全等图形，
故答案为：（6），（3）（5）．
【点睛】本题主要考查了全等图形，关键是掌握能够完全重合的两个图形叫做全等形．
【考点2】全等三角形
【例3】（2022·江西景德镇·八年级期末）如图，点B、D、E、C在同一直线上，△ABD≌△ACE，∠AEC＝100°，则∠DAE＝（ ）
A．10°B．20°C．30°D．80°
【答案】B
【分析】由全等三角形的性质，得到，然后得到，利用三角形的内角和定理，即可求出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴；
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握所学的知识，正确的进行解题．
【例4】（2022·山东菏泽·八年级阶段练习）如图，，，，在同一直线上，，，若用判定，需加上一个条件______．
【答案】
【分析】根据三角形全等的判定()，已知，，只需添加相等，即可判定．
【详解】解：添加条件为：
∵
∴
∴
又∵
∴在和中
∴()
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形判定的条件是解题的关键．
【考点3】探索三角形全等的条件
【例5】（2022·浙江金华·八年级期末）如图，甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是（ ）
A．甲和乙B．甲和丙C．乙和丙D．只有丙
【答案】C
【分析】根据三角形全等的判定方法得出乙和丙与△ABC全等，甲与△ABC不全等．
【详解】解：在△ABC和乙的三角形中，两边及其夹角对应相等，满足三角形全等的判定方法：SAS，
所以乙和△ABC全等；
在△ABC和丙的三角形中，两个及一角对边对应相等，满足三角形全等的判定方法：AAS，
所以丙和△ABC全等；
在△ABC和甲的三角形中，只有一边一角对应相等南，不能判定甲与△ABC全等；
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
【例6】（2022·山东淄博·八年级期末）如图，要测量河岸相对两点A、B间的距离，先从B点出发与AB成90°角方向，向前走25米到C点处立一根标杆，然后方向不变继续朝前走25米到点D处，在点D处转90°沿DE方向走17米，到达E处，使A、C与E在同一直线上，那么测得A、B之间的距离为______米．
【答案】17
【分析】根据题意可得条件BC=CD=25米，DE=17米，∠B=∠D=90°，再加上对顶角∠ACB=∠DCE可利用ASA判定△ABC≌△EDC，根据全等三角形的性质可得答案．
【详解】解：由题意得：BC=CD=25米，DE=17米，∠B=∠D=90°，
∵在△ABC和△EDC中
，
∴△ABC≌△EDC（ASA），
∴DE=AB=17米，
故答案为：17．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是掌握判定三角形全等的方法．
举一反三
一、选择题（共3小题）
1．（2022·山东德州·八年级期末）下列各组的两个图形属于全等图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据全等图形的定义，逐一判断选项，即可．
【详解】解：A、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意，
B.两个图形不能完全重合，不是全等图形，符合题意，
C.两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意，
D.两个图形能完全重合，是全等图形，不符合题意，
故选D．
【点睛】本题主要考查全等图形的定义，熟练掌握“能完全重合的两个图形，是全等图形”是解题的关键．
2．（2022·河北廊坊·八年级期末）如图，已知△ABC△BDE，，则∠ABE的度数为（ ）
A．30°B．35°C．40°D．45°
【答案】A
【分析】根据三角形的内角和及全等三角形的对应角相等即可解答．
【详解】解：，，
∴∠A=180°-70°-70°=40°，
∵△ABC△BDE，
∴∠DBE=∠A=40°，
∴∠ABE=∠ABC-∠DBE=70°-40°=30°，
故选：A．
【点睛】本题考查的是全等三角形的性质以及三角形的内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
3．（2022·黑龙江黑河·八年级期末）下列条件，不能判定的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【答案】A
【分析】根据全等三角形的判定SSS，AAS，ASA，SAS，进行判断即可得．
【详解】解：A、∠A=∠A′，AB=A′B′，，根据SSA不能推出，选项说法错误，不符合题意；
B、，，，根据ASA即可推出，选项说法正确，符合题意；
C、，，，根据AAS即可推出，选项说法正确，符合题意；
D、，，，根据SSS即可推出，选项说法正确，符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定．
二、填空题（共3小题）
4．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，图中由实线围成的图形与①是全等形的有______．（填番号）
【答案】②③
【分析】根据全等图形的定义，两个图形必须能够完全重合才行．
【详解】观察图形，发现②③图形可以和①图形完全重合
故答案为：②③．
【点睛】本题考查全等的概念，任何一组图形，要想全等，则这组图形必须能够完全重合．
5．（2022·山东青岛·八年级期中）如图，将△BDE沿直线BA向左平移后，到达△ABC的位置，若∠EBD=55º，∠ADE=95º，则∠CBE的度数为________º．
【答案】30
【分析】根据平移的性质可得△BDE≌△ABC，求出∠ABC =∠ADE=95º，再根据平角的定义即可求出∠CBE．
【详解】解：由平移可知△BDE≌△ABC，
∴∠ABC =∠ADE=95º，
又∵∠EBD=55º，
∴∠CBE=180 º -∠ABC-∠EBD
=180 º -95 º -55 º
=30 º．
故答案为：30．
【点睛】本题考查平移的性质，全等三角形的性质及平角的定义，解题关键是理解平移的性质．
6．（2022·河南南阳·八年级期中）如图，已知∠MAB是锐角，，，．点C是射线AM上的一个动点．利用图形画图说明命题“有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等”是假命题．你画图时，BC长可选取的范围是______cm．若的形状、大小是唯一确定的，则BC的取值范围是______．
【答案】 或
【分析】当以B为圆心，BC为半径画弧，弧与AM有两个交点时，就符合题意；当BC=BN=1时，三角形是唯一的；当以B为圆心的圆画弧与AM有一个交点时即半径大于AB=2时也是符合题意的．
【详解】如图，当以B为圆心，BC为半径画弧，弧与AM有两个交点时，就符合题意，
此时；
故答案为：；
当BC=BN=1时，三角形是唯一的；
当以B为圆心的圆画弧与AM有一个交点时即半径大于AB=2时也是符合题意的．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了三角形的存在个数，熟练掌握三角形的基本作图是解题的关键．
二、简答题（共3小题）
7．（2022·江苏·八年级专题练习）找出下列图形中的全等图形．
【答案】（1）和（10），（2）和（12），（4）和（8），（5）和（9）是全等图形
【分析】根据能够完全重合的两个图形是全等形即可判断出答案．
【详解】解：由题意得：（1）和（10），（2）和（12），（4）和（8），（5）和（9）是全等图形．
【点睛】本题考查了全等形的定义，属于基础题，注意掌握全等形的定义．
8．（2022·全国·八年级专题练习）如图，A，E，C三点在同一直线上，且△ABC≌△DAE．
(1)线段DE，CE，BC有怎样的数量关系？请说明理由．
(2)请你猜想△ADE满足什么条件时，DE∥BC，并证明．
【答案】(1)DE＝CE+BC，理由见解析
(2)当△ADE满足∠AED＝90°时，DE//BC．证明见详解
【分析】（1）根据全等三角形的性质得出AE＝BC，DE＝AC，再求出答案即可；
（2）根据全等三角形的性质得出∠AED＝∠C，根据两直线平行，内错角相等，得出∠C＝∠DEC，再根据邻补角互补得出∠AED+∠DEC＝180°，再求出∠AED＝90°即可．
【详解】（1）解：DE＝CE+BC．
理由：∵△ABC≌△DAE，
∴AE＝BC，DE＝AC．
∵A，E，C三点在同一直线上，
∴AC＝AE+CE，
∴DE＝CE+BC．
（2）猜想：当△ADE满足∠AED＝90°时，DE//BC．
证明：∵△ABC≌△DAE，
∴∠AED＝∠C，
又∵DEBC，
∴∠C＝∠DEC，
∴∠AED＝∠DEC．
又∵∠AED+∠DEC＝180°，
∴∠AED＝∠DEC＝90°，
∴当△ADE满足∠AED＝90°时，DEBC．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质、等量代换、平行线的性质、邻补角互补，解本题的关键在熟练掌握相关性质．
9．（2022·辽宁沈阳·八年级期中）工人师傅经常利用角尺平分一个任意角．如图所示，是一个任意角，在边OA，边OB上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，这时过角尺顶点P的射线OP就是的平分线．
(1)证明：OP平分；
(2)在（1）的条件下，请你在射线OP上任取一点Q，作，试判断线段QC与线段QD的数量关系并证明．
【答案】(1)见解析
(2)，证明见解析
【分析】（1）由SSS可得△OPM≌△OPN，再根据全等三角形的性质证得OP平分∠AOB；
（2）先证，再证，从而证得，最后可得结果．
【详解】（1）证明：在和中
，
，
即OP平分．
（2）证明：，
，
由（1）知OP平分，
，
和内角和都是
，
由，
得，
．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
实战演练
一、选择题（共3小题）
1．（2022·全国·八年级专题练习）观察下面的6组图形，其中是全等图形的有（ ）
A．3组B．4组C．5组D．6组
【答案】B
【分析】根据全等图形的定义进行判断即可．
【详解】解：观察图①④⑤⑥四组图形经过平移、旋转、对折后能够完全重合，是全等图形，共4组，
故选：B．
【点睛】本题考查了全等图形的定义，能够完全重合的图形是全等形，难度不大．
2．（2022·广西崇左·八年级期末）如图，若，，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据三角形的内角和定理列式求出∠BAC，再根据全等三角形对应角相等可得∠DAE=∠BAC，然后根据∠EAC=∠DAE-∠DAC即可解答．
【详解】解：∵∠B=60°，∠C=40°，
∴∠BAC=180°-60°-40°=80°，
∵△ABC≌△ADE，
∴∠DAE=∠BAC=80°，
∴∠EAC=∠DAE-∠DAC=80°-35°=45°．
故选B．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形对应角相等是解题本题的关键．
3．（2022·全国·八年级期中）如图所示，在△ABC中P为BC上一点，PR⊥BC，垂足为R，PS⊥AC，垂足为S，AQ=PQ，PR=PS．下面三个结论：①AS=AR；②QPAR；③△BRP≌△CSP其中正确的是 （ ）
A．①②B．②③C．①③D．①②③
【答案】A
【分析】连接AP，可证AP是∠BAC的角平分线，再证明△APR≌△APS，得AS＝AR，由已知可得∠2＝∠3，得到∠1＝∠3，得QP∥AR，答案可得．
【详解】解：连接AP，
∵PR＝PS，PR⊥AB， PS⊥AC，
∴AP是∠BAC的平分线，
∴∠1＝∠2，
在△APR和△APS中:
∴△APR≌△APS，
∴AS＝AR，
故①正确；
又AQ＝PQ，
∴∠2＝∠3，
又∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴QP∥AR，
故②正确；
BC只是过点P，不能证明△BRP≌△CSP，③不成立．
故选：A．
【点睛】本题主要考查角平分线的判定和平行线的判定；准确作出辅助线是解决本题的关键．
二、填空题（共3小题）
4．（2022·全国·八年级期末）如图中有6个条形方格图，图上由实线围成的图形与（1）是全等形的有__________．
【答案】(2)(3)(6)
【分析】根据全等形是可以完全重合的图形并观察对比图形，进行判定即可．
【详解】(6)以左下角顶点为定点逆时针旋转90°后，与(1)两个实线图形刚好重合，
(3)可上下反转成(1)的情况，与(1)两个实线图形刚好重合，
(2)以右下角顶点为定点顺时针旋转90°后成图(3)，然后反转成(1)的情况，与(1)两个实线图形刚好重合，
(4)为平行四边形，而(1)为梯形，所以不能和(1)中图形完全重合，
(5)为直角梯形，而(1)不是，所以不能和(1)中图形完全重合，
故答案是：(2)(3)(6)
【点睛】本题主要考查学生对全等形的概念的理解及运用，认真对观察对比是正确解答本题的关键．
5．（2022·四川雅安·八年级期末）如图，锐角△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，且C′D∥EB′，BE，CD交于点F．若∠BAC＝40°，则∠BFC的度数为 _____．
【答案】100°##100度
【分析】延长C′D交AC于M，如图，根据全等的性质得∠C′=∠ACD，∠C′AD=∠CAD=∠B′AE=×40°，再利用三角形外角性质得∠C′MC=∠C′+∠C′AM=∠C′+2×40°，接着利用C′D∥B′E得到∠AEB=∠C′MC，而根据三角形内角和得到∠AEB′=180°-∠B′-40°，则∠C′+2×40°=180°-∠B′-40°，所以∠C′+∠B′=180°-3×40°，利用三角形外角性质和等角代换得到∠BFC=∠C=40°+∠C′+∠B′，所以∠BFC=180°-2×40°=100°．
【详解】延长C′D交AC于M，如图，
∵△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，
∴∠C′=∠ACD，∠C′AD=∠CAD=∠B′AE=40°，
∴∠C′MC=∠C′+∠C′AM=∠C′+2×40°，
∵C′D∥B′E，
∴∠AEB′=∠C′MC，
∵∠AEB′=180°−∠B′−∠B′AE=180°−∠B′−40°，
∴∠C′+2×40°=180°−∠B′−×40°，
∴∠C′+∠B′=180°−3×40°，
∵∠BFC=∠BDF+∠DBF
=∠DAC+∠B′+∠ACD
=40°+∠ACD+∠B′=40°+∠C′+∠B′
=40°+180°−3×40°=180°−2×40°
=．
故答案为
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形外角的性质，三角形的内角和，平行线的性质等知识点，作出辅助线是解题的关键．
6．（2022·重庆八中八年级期末）如图，在等腰直角三角形中，，，D是边上的一点，过点B，C作，分别交于E，F，若，，则_______．
【答案】1.2
【分析】由题意易得，则有，然后可得，则可证，进而可得，最后问题可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴（AAS），
∵，，
∴，
∴；
故答案为1.2．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
二、简答题（共3小题）
7．（2022·江苏·八年级期末）如图，用三种不同的方法沿网格线把正方形分割成4个全等的图形（三种方法得到的图形相互间不全等）．
【答案】详见解析
【分析】观察图形发现：这个正方形网格的总面积为16，因此只要将面积分为4，即占4个方格，并且图形要保证为相同即可．
【详解】解：如图所示：
．
【点睛】本题主要考查了全等图形和作图，准确分析是解题的关键．
8．（2022·辽宁·宽甸满族自治县第一初中八年级阶段练习）已知，如图，在△ABC中，AB=8cm，AC=4cm，△BAC的平分线AD与BC的垂直平分线DG交于点D，过点D的直线DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F（或AC延长线）
(1)求证：AE=AF；
(2)求证：BE=CF；
(3)求AE的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）由AAS证明，再由全等三角形的对应边线段解答；
（2）由垂直平分线的性质得到，由角平分线的性质得到，再根据HL证明，最后根据全等三角形的对应边线段解答；
（3）由线段的和差解得AC=AF-CF，AB=AE+BE，AC+AB=2AE，结合全等三角形对应边相等的性质，代入AB=8cm，AC=4cm，解答即可．
【详解】（1）证明：DE⊥AB，DF⊥AC，
，
AD平分，
，
，
AE=AF；
（2）连接BD，CD，
DG平分且垂直BC，
，
，
平分，且DE⊥AB，DF⊥AC，
，
，
；
（3）
∵ AC=AF-CF，AB=AE+BE，
∴AC+AB=2AE，
在△ABC中，AB=8cm，AC=4cm，
∴AE=6cm．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、垂直平分线的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
9．（2022·全国·八年级专题练习）如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点D，延长BD交AC于E，G、F分别在BD、BC上，连接DF、GF，其中∠A＝2∠BDF，GD＝DE．
求证：CF＝FG+CE．
【答案】见解析
【分析】在BC上取点M，使CM=CE，证明△CDE≌△CDM（SAS），可得DE=DM，∠DEC=∠DMC，∠EDC=∠MDC，证明∠BDM=180°-∠ABC-∠DMB=180°-∠ABC-∠AEB=∠A，然后证明△DGF≌△DMF（SAS），可得GF=MF，进而可以解决问题．
【详解】证明：如图，在BC上取点M，使CM=CE，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
在△CDE和△CDM中，，
∴△CDE≌△CDM（SAS），
∴DE=DM，∠DEC=∠DMC，∠EDC=∠MDC，
∵GD=DE，
∴GD=MD，
∵∠DEC+∠AEB=180°，∠DMC+∠DMF=180°，
∴∠AEB=∠DMF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE=∠ABC，
∴∠BDM=180°-∠ABC-∠DMB=180°-∠ABC-∠AEB=∠A，
∵∠A=2∠BDF，
∴∠BDM=2∠BDF，
∴∠FDM=∠FDG，
在△DGF和△DMF中，
∵，
∴△DGF≌△DMF（SAS），
∴GF=MF，
∴CF=CM+FM=CE+GF．
∴CF=FG+CE．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，解决本题的关键是根据题意准确作出辅助线得到△DGF≌△DMF．
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