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苏科版八年级数学上册必考重难点突破【单元测试】第2章轴对称图形(夯实基础培优卷)(原卷版+解析)
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这是一份苏科版八年级数学上册必考重难点突破【单元测试】第2章轴对称图形(夯实基础培优卷)(原卷版+解析)，共38页。
（考试时间：90分钟 试卷满分：120分）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．随着人们生活水平的提高，对环境的保护越来越重视，下列垃圾分类标识的图案中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，S△ABD＝15，则CD的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
3．以下四个图形中，轴对称图形的个数是( )
A．1B．2C．3D．4
4．如图，已知，求作一点P，使P到的两边的距离相等，且，下列确定Р点的方法正确的是（ ）
A．Р为两角平分线的交点B．P为两边上的高的交点
C．P为两边的垂直平分线的交点D．P为的角平分线与的垂直平分线的交点
5．如图所示是4×5的方格纸，请在其中选取一个白色的方格并涂黑，使图中阴影部分是一个轴对称图形，这样的涂法有( )
A．4种B．3种C．2种D．1种
6．如图所示，在中，．DE垂直平分AB，交BC于点E．若．则（ ）
A．3cmB．4cmC．5cmD．10cm
7．剪纸是我国传统的民间艺术．将一张正方形纸片按图1，图2中的方式沿虚线依次对折后，再沿图3中的虚线裁剪，最后将图4中的纸片打开铺平，所得图案应该是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在△ABC中，BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，AM⊥CE于P，交BC于M，AN⊥BD于Q，交BC于N，∠BAC＝110°，AB＝6，AC＝5，MN＝2，结论①AP＝MP；②BC＝9；③∠MAN＝35°；④AM＝AN．其中不正确的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
二、填空题（本大题共有10小题，每题3分，共30分）
9．(1)等腰三角形，(2)正方形，(3)正七边形，(4)平行四边形，(5)梯形，(6)菱形中，一定是轴对称图形的是_____________.
10．如图，在2×2的方格纸中有一个以格点为顶点的ABC，则与ABC成轴对称且以格点为顶点三角形共有____个．
11．如图，等边的边长为，、分别是、上的点，将沿直线折叠，点落在点处，且点在外部，则阴影部分图形的周长为__．
12．如图是用平行四边形纸条沿对边AB，CD上的点E，F所在的直线折成的V字形图案，已知∠2＝60°，则∠1的度数是______．
13．如图，在4×4的正方形网格中已将图中的四个小正方形涂上阴影，如果再从图中选一个涂上阴影，使得整个阴影部分组成的图形是轴对称图形，那么不符合条件的小正方形是_____．
14．如图1是4×4正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形．请在下图中补全图形，并思考可能的位置有 种．（请在图中利用阴影标出）
15．如图，在△ABC中，AD为△ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若△ABC的面积是20cm2，AB=6cm，AC=4cm，则DF＝_____cm．
16．地震过后，某中学数学实践小组的同学用下面的方法检测教室的房梁MN是否水平：他们在一等腰三角尺的斜边中点处栓一条线绳，线绳的另一端挂一个铅锤，检验时，把这块等腰三角尺的斜边贴在房梁上，如果线绳经过等腰三角尺的直角顶点，他们就判断这根房梁是水平的．他们的判断对吗？_______；为什么：___________．
17．如图，点是等边内一点，，．以为一边作等边三角形，连接．探究：当______时，是等腰三角形？
18．已知△ABC中，如果过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为△ABC的关于点B的二分割线．如图1，Rt△ABC中，显然直线BD是△ABC的关于点B的二分割线．在图2的△ABC中，∠ABC＝110°，若直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，则∠CDB的度数是_____．
三、解答题（本大题共有10小题，共66分；第19-24每小题5分，第25-26每小题6分，第27小题10分，第28小题14分）
19．已知在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）作出关于y轴对称的，并写出各顶点的坐标；
（2）将向右平移6个单位长度，作出平移后的，并写出各顶点的坐标；
（3）观察与，它们是否关于某条直线对称？若是，请在图上画出这条对称轴．
20．如图，已知A（0，4），B（﹣2，2），C（3，0）．
（1）作△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）写出点A1、B1、C1的坐标：A1（ ），B1（ ），C1（ ）
（3）求△A1B1C1的面积．
21．如图，直角坐标系中，在边长为1的正方形网格中，的顶点均在格点上，点，的坐标分别是，
（1）请在图中画出关于轴的对称，点的坐标为 ，点的坐标为
（2）请写出点关轴的对称点坐标为 ．
22．在△ABC中，AB=AC，过点C作射线CB′，使∠ACB′=∠ACB（点B′与点B在直线AC的异侧）点D是射线CB′上一动点（不与点C重合），点E在线段BC上，且∠DAE+∠ACD=90°．
(1)如图1，当点E与点C重合时，AD 与的位置关系是______，若，则CD的长为______；（用含a的式子表示）
(2)如图2，当点E与点C不重合时，连接DE．
①用等式表示与之间的数量关系，并证明；
②用等式表示线段BE，CD，DE之间的数量关系，并证明．
23．如图，在正方形网格中。三角形ABC各顶点都在网格上，点A,C的坐标分别是（-5,1），（-1,4），结合给出的平面直角坐标系解答下列问题；
（1）画出关于y轴对称的；
（2）写出的坐标；
（3）求的面积；
24．已知点A（﹣1，3a﹣1）与点B（2b+1，﹣2）关于x轴对称，点C（a+2，b）与点D关于原点对称．
（1）求点A、B、C、D的坐标；
（2）顺次联结点A、D、B、C，求所得图形的面积．
25．在△ABC中，，点D是BC上一点，将△ABD沿AD翻折后得到△AED，边AE交射线BC于点F．
(1)如图①，当AE⊥BC时，求证：DEAC；
(2)若，．
①如图②，当DE⊥BC时，求x的值；
②是否存在这样的x的值，使得△DEF是等腰三角形？若存在，求x的值；若不存在，请说明理由．
26．如图，ABC的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上，利用网格线按下列要求画图．
（1）画A1B1C1，使它与ABC关于直线l成轴对称；
（2）求ABC的面积；
（3）在直线l上找一点P，使点P到点A、B的距离之和最短（不需计算，在图上直接标记出点P的位置）．
27．如图（1）~（3），已知的平分线OM上有一点P，的两边与射线OA、OB交于点C、D，连接CD交OP于点G，设，．
(1)如图（1），当时，试猜想PC与PD，与的数量关系（不用说明理由）；
(2)如图（2），当，时，（1）中的两个猜想还成立吗？请说明理由．
(3)如图（3），当时，你认为（1）中的两个猜想是否仍然成立，若成立，请直接写出结论；若不成立，请说明理由．
28．（1）如图，与均是顶角为的等腰三角形，、分别是底边，求证：；
（2）如图，和均为等边三角形，点A、、在同一直线上，连接．
填空：的度数为_______；线段与之间的数量关系是_______．
（3）拓展探究
如图，和均为等腰直角三角形，，点A、D、E在同一直线上，为中边上的高，连接．请判断的度数及线段、、之间的数量关系，并说明理由．
【高效培优】2022—2023学年八年级数学上册必考重难点突破必刷卷（苏科版）
【单元测试】第2章 轴对称图形（夯实基础培优卷）
（考试时间：90分钟 试卷满分：120分）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．随着人们生活水平的提高，对环境的保护越来越重视，下列垃圾分类标识的图案中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据轴对称图形的概念进行判定即可．
【详解】A．不是轴对称图形，故此选项符合题意；B．是轴对称图形，故此选项不符合题意；C．是轴对称图形，故此选项不符合题意；D．是轴对称图形，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，S△ABD＝15，则CD的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝CD，然后利用△ABD的面积列式计算即可得解．
【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，
∴DE＝CD，
∴S△ABD＝AB•DE＝×10•DE＝15，
解得DE＝3，
∴CD＝3．
故选：A．
【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质是解题的关键．
3．以下四个图形中，轴对称图形的个数是( )
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】据轴对称图形的概念：把一个图形沿某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，根据定义逐一判断即可．
【详解】解：第一个图形是轴对称图形，
第二个图形不是轴对称图形，
第三个图形是轴对称图形，
第四个图形不是轴对称图形．
故选：B．
【点睛】本题考查的是轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
4．如图，已知，求作一点P，使P到的两边的距离相等，且，下列确定Р点的方法正确的是（ ）
A．Р为两角平分线的交点B．P为两边上的高的交点
C．P为两边的垂直平分线的交点D．P为的角平分线与的垂直平分线的交点
【答案】D
【分析】根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质求解即可．
【详解】解：∵P到∠A的两边的距离相等，
∴P在∠A的角平分线上；
∵PA＝PB，
∴P在AB的垂直平分线上，
∴P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了角平分线的性质以及线段垂直平分线的性质，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．
5．如图所示是4×5的方格纸，请在其中选取一个白色的方格并涂黑，使图中阴影部分是一个轴对称图形，这样的涂法有( )
A．4种B．3种C．2种D．1种
【答案】B
【分析】结合图象根据轴对称图形的概念求解即可．
【详解】根据轴对称图形的概念可知，一共有3种涂法，如下图所示：
．
故选B．
【点睛】本题考查了轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
6．如图所示，在中，．DE垂直平分AB，交BC于点E．若．则（ ）
A．3cmB．4cmC．5cmD．10cm
【答案】C
【分析】根据线段垂直平分线的性质得AE=BE=10cm，再根据等边对等角和三角形的外角性质求得∠AEC=30°，然后利用含30°角的直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵DE垂直平分AB，BE=10cm，
∴AE=BE=10cm，
∴∠EAB=∠B=15°，
∴∠AEC=2∠B=30°，
在Rt△ACE中，∠ACE=90°，
∴AC= AE=5cm，
故选：C．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质、含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
7．剪纸是我国传统的民间艺术．将一张正方形纸片按图1，图2中的方式沿虚线依次对折后，再沿图3中的虚线裁剪，最后将图4中的纸片打开铺平，所得图案应该是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】依据翻折变换，将图4中的纸片按顺序打开铺平，即可得到一个图案．
【详解】解：将图4中的纸片打开铺平，所得图案应该是：
故选：A．
【点睛】本题主要考查了剪纸问题，解决这类问题要熟知轴对称图形的特点，关键是准确地找到对称轴．一般方法是动手操作，拿张纸按照题目的要求剪出图案，展开即可得到正确的图案．
8．如图，在△ABC中，BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，AM⊥CE于P，交BC于M，AN⊥BD于Q，交BC于N，∠BAC＝110°，AB＝6，AC＝5，MN＝2，结论①AP＝MP；②BC＝9；③∠MAN＝35°；④AM＝AN．其中不正确的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】D
【分析】①根据三角形的内角和定理判定∠CAM=∠CMA，由等腰三角形的判定和三线合一的性质可得结论正确；②根据BN=AB=6，CM=AC=5，及线段的和与差可得BC的长；③根据三角形的内角和定理及角的和与差可得结论；④要想得到AM=AN，必有∠AMN=∠ANM，而AB≠AC，可知∠ABC≠∠ACB，从而得AM≠AN．
【详解】解：①∵CE平分∠ACE，
∴∠ACP=∠MCP，
∵AM⊥CE，
∴∠APC=∠MPC=90°，
∴∠CAM=∠CMA，
∴AC=CM，
∴AP=PM，①正确；
②同理得：BN=AB=6，
∵CM=AC=5，
∴BC=BN+CM-MN=6+5-2=9，②正确；
③∵∠BAC=∠MAC+∠BAN-∠MAN=110°，
由①知：∠CMA=∠CAM，∠BNA=∠BAN，
△AMN中，∠CMA+∠BNA=180°-∠MAN=∠BAN+∠MAC，
∴180°-∠MAN-∠MAN=110°，
∴∠MAN=35°，③正确；
④当∠AMN=∠ANM时，AM=AN，
∵AB=6≠AC=5
∴∠ABC≠∠ACB，
∴∠AMN≠∠ANM，则AM与AN不相等，④不正确；
所以本题不正确的有④，
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
二、填空题（本大题共有10小题，每题3分，共30分）
9．(1)等腰三角形，(2)正方形，(3)正七边形，(4)平行四边形，(5)梯形，(6)菱形中，一定是轴对称图形的是_____________.
【答案】等腰三角形，正方形，正七边形，菱形
【分析】根据轴对称的定义进行分析判断即可.
【详解】根据轴对称的定义，等腰三角形，正方形，正七边形，菱形都可以找到一条直线，图形沿直线折叠后两边图象可重合．所以是轴对称图形，
故答案为等腰三角形，正方形，正七边形，菱形
【点睛】本题考查轴对称，轴对称图形两边图形折叠后可重合．找到对称轴是解题关键.
10．如图，在2×2的方格纸中有一个以格点为顶点的ABC，则与ABC成轴对称且以格点为顶点三角形共有____个．
【答案】5
【分析】解答此题首先找到△ABC的对称轴，EH、GC、AD，BF等都可以是它的对称轴，然后依据对称找出相应的三角形即可．
【详解】解：与△ABC成轴对称且以格点为顶点三角形有△ABG，△CDF，△AEF，△DBH，△BCG共5个，
故答案为5.
【点睛】本题主要考查轴对称的性质；找着对称轴后画图是正确解答本题的关键．
11．如图，等边的边长为，、分别是、上的点，将沿直线折叠，点落在点处，且点在外部，则阴影部分图形的周长为__．
【答案】
【分析】由题意得，，故阴影部分的周长可以转化为三角形的周长．
【详解】解：等边的边长为，将沿直线折叠，点落在点处，
∴，，
∴阴影部分图形的周长为：
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题）．折叠问题的实质是“轴对称”，解题关键是找出经轴对称变换所得的等量关系．
12．如图是用平行四边形纸条沿对边AB，CD上的点E，F所在的直线折成的V字形图案，已知∠2＝60°，则∠1的度数是______．
【答案】60°##60度
【分析】根据折叠的性质得∠1=∠3，再利用平角的定义可得答案．
【详解】解：如图，由折叠知，∠1=∠3，
∵∠2=60°，
∴∠1=∠3=（180°-60°）÷2=60°，
故答案为：60°．
【点睛】本题主要考查翻折的性质，平角的定义等知识，熟练掌握翻折的性质是解题的关键．
13．如图，在4×4的正方形网格中已将图中的四个小正方形涂上阴影，如果再从图中选一个涂上阴影，使得整个阴影部分组成的图形是轴对称图形，那么不符合条件的小正方形是_____．
【答案】①
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【详解】根据轴对称图形的概念求解．
解：有3个使之成为轴对称图形分别为：②，③，④，
在①处不是轴对称图形．
故答案为：①．
【点睛】此题主要考查了轴对称变换，正确把握轴对称图形的性质是解题关键．
14．如图1是4×4正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形．请在下图中补全图形，并思考可能的位置有 种．（请在图中利用阴影标出）
【答案】4，画图见解析
【分析】直接利用轴对称图形的性质分别得出符合题意的答案．
【详解】解：根据题意可得可能的位置有4种，如下图所示：
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了利用轴对称设计图案，正确把握轴对称图形的定义是解题关键．
15．如图，在△ABC中，AD为△ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若△ABC的面积是20cm2，AB=6cm，AC=4cm，则DF＝_____cm．
【答案】4
【分析】先根据角平分线的性质得出DE=DF，再根据三角形的面积公式即可得出结论．
【详解】解：在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
DE=DF，
，
，
解得DF=4，
故答案为：4
【点睛】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．
16．地震过后，某中学数学实践小组的同学用下面的方法检测教室的房梁MN是否水平：他们在一等腰三角尺的斜边中点处栓一条线绳，线绳的另一端挂一个铅锤，检验时，把这块等腰三角尺的斜边贴在房梁上，如果线绳经过等腰三角尺的直角顶点，他们就判断这根房梁是水平的．他们的判断对吗？_______；为什么：___________．
【答案】 对 等腰三角形底边上的中线、底边上的高重合
【分析】根据△ABC是个等腰三角形可得AC=BC，再根据点O是AB的中点，即可得出OC⊥AB，然后即可得出结论．
【详解】解：他们的判断正确．理由如下：
∵△ABC是个等腰三角形，
∴AC=BC，
∵点O是AB的中点，
∴AO=BO，
∴OC⊥AB．
∴等腰三角形底边上的中线、底边上的高重合，
故答案为：对，等腰三角形底边上的中线、底边上的高重合．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键．等腰三角形底边上的中线、底边上的高以及顶角的角平分线重合．
17．如图，点是等边内一点，，．以为一边作等边三角形，连接．探究：当______时，是等腰三角形？
【答案】或或
【分析】先求出，，，分三种情况讨论：①AO=AD，则∠AOD=∠ADO，②OA=OD，则∠OAD=∠ADO，③OD=AD，则∠OAD=∠AOD，分别求出α的角度即可.
【详解】和是等边三角形，
，，，，
，
，
在和中，
，
≌（SAS），
，
，
，，，
当时，
，，
垂直平分，
，
，
；
当时，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
当时，
，
，
，
．
，
，
，
，
，
故答案为：或或．
【点睛】本题是对等边三角形的考查，熟练掌握等边三角形的性质定理及分类讨论是解决本题的关键.
18．已知△ABC中，如果过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为△ABC的关于点B的二分割线．如图1，Rt△ABC中，显然直线BD是△ABC的关于点B的二分割线．在图2的△ABC中，∠ABC＝110°，若直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，则∠CDB的度数是_____．
【答案】40°或90°或140°
【分析】分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可求解．
【详解】解：①如图，
当∠DBC=90°，AD=BD时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，
∵∠ABC=110°，∠DBC=90°，
∴∠ABD=20°，
∵AD=BD，
∴∠A=∠ABD=20°，
∴∠CDB=∠A+∠ABD=40°；
②如图，
当∠BDC=90°，AD=BD时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，或当∠BDC=90°，CD=BD时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，；
③如图，
当∠ABD=90°，CD=BD时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，
∵∠ABC=110°，∠ABD=90°，
∴∠DBC=20°，
∵CD=BD，
∴∠C=∠DBC=20°，
∴∠BDC=140°．
综上所述：当∠BDC的度数是40°或90°或140°时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，理解二分割线是本题的关键．
三、解答题（本大题共有10小题，共66分；第19-24每小题5分，第25-26每小题6分，第27小题10分，第28小题14分）
19．已知在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）作出关于y轴对称的，并写出各顶点的坐标；
（2）将向右平移6个单位长度，作出平移后的，并写出各顶点的坐标；
（3）观察与，它们是否关于某条直线对称？若是，请在图上画出这条对称轴．
【答案】（1）见解析，，；（2）见解析，，，；（3）是，见解析
【分析】（1）根据轴对称的图形作法，先找到对称点，然后依次连接，对称点坐标根据轴对称的性质求出即可；
（2）根据平移图形的作法：先找出平移后的点，然后依次连接作图即可；
（3）连接对应点，然后找出其中点，连线即为对称轴，根据图象可得对称轴解析式．
【详解】解：（1）如图所示，关于y轴对称的图形为，
根据点在坐标系中的位置可得：，；
（2）如（1）中图所示，为平移后的图形，，，；
（3）是，如图（1）中所示，连接，，找到中点D、E，连接可得对称轴为直线．
【点睛】题目主要考查坐标平面内的图形变换，解题关键是熟练掌握轴对称和平移的特征及坐标变化规律，如何根据点的位置确定对称轴．
20．如图，已知A（0，4），B（﹣2，2），C（3，0）．
（1）作△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）写出点A1、B1、C1的坐标：A1（ ），B1（ ），C1（ ）
（3）求△A1B1C1的面积．
【答案】（1）图见解析；（2）0，−4；−2，−2；3，0；（3）7
【分析】（1）根据网格结构找出点关于轴的对称点 的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据平面直角坐标系写出各点的坐标即可；
（3）利用三角形所在矩形的面积减去四周三个直角三角形的面积，列式计算即可得解．
【详解】解：（1）如图所示，A1B1C1即为所求．
（2）根据平面直角坐标系可知：
故答案为：0，−4；−2，−2；3，0；
（3）．
【点睛】本题考查了坐标与图形的变化：轴对称的相关知识，解答的关键在于作出ABC关于x轴对称的A1B1C1．
21．如图，直角坐标系中，在边长为1的正方形网格中，的顶点均在格点上，点，的坐标分别是，
（1）请在图中画出关于轴的对称，点的坐标为 ，点的坐标为
（2）请写出点关轴的对称点坐标为 ．
【答案】（1）图见解析，；（2）．
【分析】（1）先根据轴对称的性质画出点，再顺次连接点即可得，然后根据点坐标关于y轴对称的变换规律即可得；
（2）根据点坐标关于x轴对称的变换规律即可得．
【详解】（1）先画出点，再顺次连接点即可得，如图所示：
点坐标关于y轴对称的变换规律：横坐标互为相反数，纵坐标相同，
，
，
故答案为：；
（2）点坐标关于x轴对称的变换规律：横坐标相同，纵坐标互为相反数，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了画轴对称图形、点坐标与轴对称变化，熟练掌握点坐标与轴对称变换规律是解题关键．
22．在△ABC中，AB=AC，过点C作射线CB′，使∠ACB′=∠ACB（点B′与点B在直线AC的异侧）点D是射线CB′上一动点（不与点C重合），点E在线段BC上，且∠DAE+∠ACD=90°．
(1)如图1，当点E与点C重合时，AD 与的位置关系是______，若，则CD的长为______；（用含a的式子表示）
(2)如图2，当点E与点C不重合时，连接DE．
①用等式表示与之间的数量关系，并证明；
②用等式表示线段BE，CD，DE之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)AD⊥CB′；；
(2)①∠BAC=2∠DAE，理由见解析；②BE=CD+DE，理由见解析
【分析】（1）先证明∠ADC=90°，再过点A作AF⊥BC于点F，根据角平分线的性质，证明△ADC≌△AFC(HL)，即可求解；
（2）①∠ACB′=∠ACB=α=∠B，利用三角形内角和定理得到α=90°-∠BAC，再由∠DAE+∠ACD=90°，推出∠ACD=90°-∠DAE=α，进一步计算即可求解；
②在BC上截取BG=CD，先后证明△ABG≌△ACD(SAS)，△GAE≌△DAE (SAS)，即可求解．
【详解】（1）解：∵点E与点C重合，且∠DAE+∠ACD=90°，
∴∠ADC=90°，
∴AD⊥CB′；
过点A作AF⊥BC于点F，
∵AB=AC，
∴CF=BF=BC=，
∵∠ACB′=∠ACB，AF⊥BC，AD⊥CB′，
∴AF= AD，
∴△ADC≌△AFC(HL)，
∴CD=CF=，
故答案为：AD⊥CB′；；
（2）
解：①∠BAC=2∠DAE，理由如下：
设∠ACB′=∠ACB=α=∠B，
∴∠ACB+∠B=180°-∠BAC，即α=90°-∠BAC，
∵∠DAE+∠ACD=90°，
∴∠ACD=90°-∠DAE=α，
∴90°-∠BAC=90°-∠DAE，
∴∠BAC=2∠DAE；
②BE=CD+DE，理由如下：
在BC上截取BG=CD，
在△ABG和△ACD中，，
∴△ABG≌△ACD(SAS)，
∴AG=AD，∠BAG=∠CAD，
∵∠BAC=∠BAG+∠GAC，∠GAD=∠CAD+∠GAC，
∴∠BAC=∠GAD，
∵∠BAC=2∠DAE，
∴∠GAD=2∠DAE，
∴∠GAE=∠DAE，
在△GAE和△DAE中，，
∴△GAE≌△DAE (SAS)，
∴GE=DE，
∴BE=BG+GC=CD+DE．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，作出合适的辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
23．如图，在正方形网格中。三角形ABC各顶点都在网格上，点A,C的坐标分别是（-5,1），（-1,4），结合给出的平面直角坐标系解答下列问题；
（1）画出关于y轴对称的；
（2）写出的坐标；
（3）求的面积；
【答案】（1）图见解析；（2）；（3）6．
【分析】（1）先根据轴对称的性质分别画出点，再顺次连接即可得；
（2）根据点坐标关于y轴对称的变换规律即可得；
（3）先根据点坐标分别求出AB、BC的长，再根据直角三角形的面积公式即可得．
【详解】（1）先根据轴对称的性质分别画出点，再顺次连接即可得到，如图所示：
（2），
，
点坐标关于y轴对称的变换规律：横坐标变为相反数，纵坐标不变，
则；
（3），
，
则的面积为．
【点睛】本题考查了画轴对称图形、点坐标关于y轴对称的变换规律，熟练掌握轴对称图形的相关知识是解题关键．
24．已知点A（﹣1，3a﹣1）与点B（2b+1，﹣2）关于x轴对称，点C（a+2，b）与点D关于原点对称．
（1）求点A、B、C、D的坐标；
（2）顺次联结点A、D、B、C，求所得图形的面积．
【答案】（1）点A（−1，2），B（−1，−2），C（3，−1），D（−3，1）；（2）图见详解，12．
【分析】（1）根据关于x轴对称的点的坐标规律：横坐标相同，纵坐标互为相反数，分别求出a，b的值，进而求出点A、B、C的坐标，再根据关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数求出点D的坐标；
（2）把这些点按A−D−B−C−A顺次连接起来，再根据三角形的面积公式计算其面积即可．
【详解】解：（1）∵点A（−1，3a−1）与点B（2b＋1，−2）关于x轴对称，
∴2b＋1＝−1，3a−1＝2，
解得a＝1，b＝−1，
∴点A（−1，2），B（−1，−2），C（3，−1），
∵点C（a＋2，b）与点D关于原点对称，
∴点D（−3，1）；
（2）如图所示：
四边形ADBC的面积为：×4×2＋×4×4＝12．
【点睛】本题考查的是作图−轴对称变换，熟知关于x、y轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键．
25．在△ABC中，，点D是BC上一点，将△ABD沿AD翻折后得到△AED，边AE交射线BC于点F．
(1)如图①，当AE⊥BC时，求证：DEAC；
(2)若，．
①如图②，当DE⊥BC时，求x的值；
②是否存在这样的x的值，使得△DEF是等腰三角形？若存在，求x的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)①5；②存在；或
【分析】（1）由翻折的性质可得∠E＝∠B，由等角代换可得∠B＝∠CAF，进而得出∠E＝∠CAF，即可证明DEAC；
（2）①由三角形内角和定理可得，结合可得∠C，∠B的度数．由翻折的性质可得∠EDA＝∠BDA，求出∠BDA，进而利用三角形内角和定理求出；②根据翻折的性质和三角形外角及三角形内角和定理，用含x的代数式表示出∠FDE、∠DFE的度数，分三种情况讨论求出符合题意的x值即可．
【详解】（1）解：∵∠BAC＝，
∴，
∵AE⊥BC，
∴，
∴，
∴，
由翻折的性质可得：∠E＝∠B，
∴，
∴DEAC；
（2）
解：∵∠BAC＝，
∴，
∵，
∴，，
①由翻折的性质可得：∠EDA＝∠BDA，
∵DE⊥BC
∴，
∴∠BDA＝∠EDA＝，
∴，
故x的值为5；
②∵，，
∴，，
由翻折的性质可得：，，，
∴，
，
当∠FDE＝∠DFE时，, 解得：；
当∠FDE＝∠E时，，解得：；
当∠DFE＝∠E时，，解得：（舍去）；
综上所述，存在这样的x的值，使得△DEF中有两个角相等，或．
【点睛】本题考查图形的翻折、三角形内角和定理、平行线的判定、三角形外角的性质等，解题的关键是熟知图形翻折的性质．
26．如图，ABC的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上，利用网格线按下列要求画图．
（1）画A1B1C1，使它与ABC关于直线l成轴对称；
（2）求ABC的面积；
（3）在直线l上找一点P，使点P到点A、B的距离之和最短（不需计算，在图上直接标记出点P的位置）．
【答案】（1）见解析；（2）4；（3）见解析
【分析】（1）分别作出点A、B、C关于直线l的对称点A1、B1、C1即可；
（2）用一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积去计算ABC的面积；
（3）连接A1B交直线l于P，利用两点之间线段最短可判断P点满足条件．
【详解】解：（1）如图，A1B1C1为所作；
（2）ABC的面积＝3×4﹣×4×2﹣×2×1﹣×2×3＝4；
（3）如图，点P为所作．
【点睛】本题考查了作图-轴对称变换：几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了最短路径问题．
27．如图（1）~（3），已知的平分线OM上有一点P，的两边与射线OA、OB交于点C、D，连接CD交OP于点G，设，．
(1)如图（1），当时，试猜想PC与PD，与的数量关系（不用说明理由）；
(2)如图（2），当，时，（1）中的两个猜想还成立吗？请说明理由．
(3)如图（3），当时，你认为（1）中的两个猜想是否仍然成立，若成立，请直接写出结论；若不成立，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)成立，理由见详解
(3)，
【分析】（1）过P点作PE⊥OB于点E，作PF⊥OA于点F点，延长DP交OA于点N，根据角平分线的性质可得PF=PE，先证明∠EPF=∠CPD，再证明∠CPE=∠EPD，即可证明△FPC≌△EPD，则有PC=PD，∠PDC=∠PCD，则有2∠PDC=∠CPN，根据∠AOB+∠CPD=180°，∠CPD+∠CPN=180°，可得∠AOB=∠CPN，即问题得解；
（2）解答方法同（1）；
（3）解答方法同（2）．
【详解】（1），，
证明：过P点作PE⊥OB于点E，作PF⊥OA于点F点，延长DP交OA于点N，如图，
∵OM平分AOB，
∴∠AOP=∠BOP，
∵PF⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PFO=∠PEO=90°，PF=PE，
∵∠AOB+∠ODC+∠OCD=180°，∠PCD+∠PDC+∠CPD=180°，
∴∠AOB+∠ODC+∠OCD+∠PCD+∠PDC+∠CPD=360°，
∴四边形OCPD的内角和为360°，
同理，四边形OFPE的内角和为360°，
∴∠AOB+∠PFO+∠PEO+∠EPF=360°，
∴∠AOB+90°+90°+∠EPF=360°，
即∠AOB+∠EPF=180°，
∵∠AOB=∠CPD=90°，即∠AOB+∠CPD=180°，
∴∠EPF=∠CPD，
∵∠EPF=∠EPC+∠CPE，∠CPD=∠EPC+∠EPD，
∴∠CPE=∠EPD，
又∵∠PFO=∠PEO=90°，PF=PE，
∴△FPC≌△EPD，
∴PC=PD，
∴∠PDC=∠PCD，
∵∠PDC+∠PCD=∠CPN，
∴2∠PDC=∠CPN，
∵∠AOB+∠CPD=180°，∠CPD+∠CPN=180°，
∴∠AOB=∠CPN，
∴2∠PDC=∠AOB，
结论得证；
（2）成立，理由如下：
过P点作PE⊥OB于点E，作PF⊥OA于点F点，延长DP交OA于点N，如图，
∵OM平分AOB，
∴∠AOP=∠BOP，
∵PF⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PFO=∠PEO=90°，PF=PE，
∵四边形OFPE的内角和为360°，
∴∠AOB+∠PFO+∠PEO+∠EPF=360°，
∴∠AOB+90°+90°+∠EPF=360°，
即∠AOB+∠EPF=180°，
∵∠AOB=60°，∠CPD=120°，即∠AOB+∠CPD=180°，
∴∠EPF=∠CPD，
∵∠EPF=∠EPC+∠CPE，∠CPD=∠EPC+∠EPD，
∴∠CPE=∠EPD，
又∵∠PFO=∠PEO=90°，PF=PE，
∴△FPC≌△EPD，
∴PC=PD，
∴∠PDC=∠PCD，
∵∠PDC+∠PCD=∠CPN，
∴2∠PDC=∠CPN，
∵∠AOB+∠CPD=180°，∠CPD+∠CPN=180°，
∴∠AOB=∠CPN，
∴2∠PDC=∠AOB，
结论得证；
（3）成立，，，
证明：过P点作PE⊥OB于点E，作PF⊥OA于点F点，延长DP交OA于点N，如图，
∵OM平分AOB，
∴∠AOP=∠BOP，
∵PF⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PFO=∠PEO=90°，PF=PE，
∵四边形OFPE的内角和为360°，
∴∠AOB+∠PFO+∠PEO+∠EPF=360°，
∴∠AOB+90°+90°+∠EPF=360°，
即∠AOB+∠EPF=180°，
∵∠AOB+∠CPD=180°，
∴∠EPF=∠CPD，
∵∠EPF=∠EPC+∠CPE，∠CPD=∠EPC+∠EPD，
∴∠CPE=∠EPD，
又∵∠PFO=∠PEO=90°，PF=PE，
∴△FPC≌△EPD，
∴PC=PD，
∴∠PDC=∠PCD，
∵∠PDC+∠PCD=∠CPN，
∴2∠PDC=∠CPN，
∵∠AOB+∠CPD=180°，∠CPD+∠CPN=180°，
∴∠AOB=∠CPN，
∴2∠PDC=∠AOB，
结论得证．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定与性质以及三角形内角和定理等知识，证明△FPC≌△EPD是解答本题的关键．
28．（1）如图，与均是顶角为的等腰三角形，、分别是底边，求证：；
（2）如图，和均为等边三角形，点A、、在同一直线上，连接．
填空：的度数为_______；线段与之间的数量关系是_______．
（3）拓展探究
如图，和均为等腰直角三角形，，点A、D、E在同一直线上，为中边上的高，连接．请判断的度数及线段、、之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2），；（3）．理由见解析
【分析】（1）根据全等三角形的判定方法，判断出△BAD≌△CAE，即可判断出BD=CE．
（2）首先根据△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，可得AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，据此判断出∠ACD=∠BCE，然后根据全等三角形的判定方法，判断出△ACD≌△BCE，即可判断出BE=AD；
（3）由全等三角形的性质得出结论∠BEC=∠ADC，进而判断出∠AEB的度数为90°即可，根据∠DCE=90°，CD=CE，CM⊥DE，可得CM=DM=EM，所以DE=DM+EM=2CM，据此判断出AE=BE+2CM即可．
【详解】（1）证明：，
，
即，
在和中，
，
≌（SAS），
．
（2）解：和均为等边三角形，
，，，，
，
即，
在和中，
，
∴≌（SAS），
，，
点A，D，E在同一直线上，
，
，
．
故答案为：、．
（3）解：．理由如下：
和均为等腰直角三角形，
，，，，
，
即，
在和中，
，
≌（SAS），
，，
点A，D，E在同一直线上，
，
，
；
，，，
，
，
．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定方法和性质，等腰直角三角形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（考试时间：90分钟 试卷满分：120分）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．随着人们生活水平的提高，对环境的保护越来越重视，下列垃圾分类标识的图案中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，S△ABD＝15，则CD的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
3．以下四个图形中，轴对称图形的个数是( )
A．1B．2C．3D．4
4．如图，已知，求作一点P，使P到的两边的距离相等，且，下列确定Р点的方法正确的是（ ）
A．Р为两角平分线的交点B．P为两边上的高的交点
C．P为两边的垂直平分线的交点D．P为的角平分线与的垂直平分线的交点
5．如图所示是4×5的方格纸，请在其中选取一个白色的方格并涂黑，使图中阴影部分是一个轴对称图形，这样的涂法有( )
A．4种B．3种C．2种D．1种
6．如图所示，在中，．DE垂直平分AB，交BC于点E．若．则（ ）
A．3cmB．4cmC．5cmD．10cm
7．剪纸是我国传统的民间艺术．将一张正方形纸片按图1，图2中的方式沿虚线依次对折后，再沿图3中的虚线裁剪，最后将图4中的纸片打开铺平，所得图案应该是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在△ABC中，BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，AM⊥CE于P，交BC于M，AN⊥BD于Q，交BC于N，∠BAC＝110°，AB＝6，AC＝5，MN＝2，结论①AP＝MP；②BC＝9；③∠MAN＝35°；④AM＝AN．其中不正确的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
二、填空题（本大题共有10小题，每题3分，共30分）
9．(1)等腰三角形，(2)正方形，(3)正七边形，(4)平行四边形，(5)梯形，(6)菱形中，一定是轴对称图形的是_____________.
10．如图，在2×2的方格纸中有一个以格点为顶点的ABC，则与ABC成轴对称且以格点为顶点三角形共有____个．
11．如图，等边的边长为，、分别是、上的点，将沿直线折叠，点落在点处，且点在外部，则阴影部分图形的周长为__．
12．如图是用平行四边形纸条沿对边AB，CD上的点E，F所在的直线折成的V字形图案，已知∠2＝60°，则∠1的度数是______．
13．如图，在4×4的正方形网格中已将图中的四个小正方形涂上阴影，如果再从图中选一个涂上阴影，使得整个阴影部分组成的图形是轴对称图形，那么不符合条件的小正方形是_____．
14．如图1是4×4正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形．请在下图中补全图形，并思考可能的位置有 种．（请在图中利用阴影标出）
15．如图，在△ABC中，AD为△ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若△ABC的面积是20cm2，AB=6cm，AC=4cm，则DF＝_____cm．
16．地震过后，某中学数学实践小组的同学用下面的方法检测教室的房梁MN是否水平：他们在一等腰三角尺的斜边中点处栓一条线绳，线绳的另一端挂一个铅锤，检验时，把这块等腰三角尺的斜边贴在房梁上，如果线绳经过等腰三角尺的直角顶点，他们就判断这根房梁是水平的．他们的判断对吗？_______；为什么：___________．
17．如图，点是等边内一点，，．以为一边作等边三角形，连接．探究：当______时，是等腰三角形？
18．已知△ABC中，如果过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为△ABC的关于点B的二分割线．如图1，Rt△ABC中，显然直线BD是△ABC的关于点B的二分割线．在图2的△ABC中，∠ABC＝110°，若直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，则∠CDB的度数是_____．
三、解答题（本大题共有10小题，共66分；第19-24每小题5分，第25-26每小题6分，第27小题10分，第28小题14分）
19．已知在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）作出关于y轴对称的，并写出各顶点的坐标；
（2）将向右平移6个单位长度，作出平移后的，并写出各顶点的坐标；
（3）观察与，它们是否关于某条直线对称？若是，请在图上画出这条对称轴．
20．如图，已知A（0，4），B（﹣2，2），C（3，0）．
（1）作△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）写出点A1、B1、C1的坐标：A1（ ），B1（ ），C1（ ）
（3）求△A1B1C1的面积．
21．如图，直角坐标系中，在边长为1的正方形网格中，的顶点均在格点上，点，的坐标分别是，
（1）请在图中画出关于轴的对称，点的坐标为 ，点的坐标为
（2）请写出点关轴的对称点坐标为 ．
22．在△ABC中，AB=AC，过点C作射线CB′，使∠ACB′=∠ACB（点B′与点B在直线AC的异侧）点D是射线CB′上一动点（不与点C重合），点E在线段BC上，且∠DAE+∠ACD=90°．
(1)如图1，当点E与点C重合时，AD 与的位置关系是______，若，则CD的长为______；（用含a的式子表示）
(2)如图2，当点E与点C不重合时，连接DE．
①用等式表示与之间的数量关系，并证明；
②用等式表示线段BE，CD，DE之间的数量关系，并证明．
23．如图，在正方形网格中。三角形ABC各顶点都在网格上，点A,C的坐标分别是（-5,1），（-1,4），结合给出的平面直角坐标系解答下列问题；
（1）画出关于y轴对称的；
（2）写出的坐标；
（3）求的面积；
24．已知点A（﹣1，3a﹣1）与点B（2b+1，﹣2）关于x轴对称，点C（a+2，b）与点D关于原点对称．
（1）求点A、B、C、D的坐标；
（2）顺次联结点A、D、B、C，求所得图形的面积．
25．在△ABC中，，点D是BC上一点，将△ABD沿AD翻折后得到△AED，边AE交射线BC于点F．
(1)如图①，当AE⊥BC时，求证：DEAC；
(2)若，．
①如图②，当DE⊥BC时，求x的值；
②是否存在这样的x的值，使得△DEF是等腰三角形？若存在，求x的值；若不存在，请说明理由．
26．如图，ABC的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上，利用网格线按下列要求画图．
（1）画A1B1C1，使它与ABC关于直线l成轴对称；
（2）求ABC的面积；
（3）在直线l上找一点P，使点P到点A、B的距离之和最短（不需计算，在图上直接标记出点P的位置）．
27．如图（1）~（3），已知的平分线OM上有一点P，的两边与射线OA、OB交于点C、D，连接CD交OP于点G，设，．
(1)如图（1），当时，试猜想PC与PD，与的数量关系（不用说明理由）；
(2)如图（2），当，时，（1）中的两个猜想还成立吗？请说明理由．
(3)如图（3），当时，你认为（1）中的两个猜想是否仍然成立，若成立，请直接写出结论；若不成立，请说明理由．
28．（1）如图，与均是顶角为的等腰三角形，、分别是底边，求证：；
（2）如图，和均为等边三角形，点A、、在同一直线上，连接．
填空：的度数为_______；线段与之间的数量关系是_______．
（3）拓展探究
如图，和均为等腰直角三角形，，点A、D、E在同一直线上，为中边上的高，连接．请判断的度数及线段、、之间的数量关系，并说明理由．
【高效培优】2022—2023学年八年级数学上册必考重难点突破必刷卷（苏科版）
【单元测试】第2章 轴对称图形（夯实基础培优卷）
（考试时间：90分钟 试卷满分：120分）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．随着人们生活水平的提高，对环境的保护越来越重视，下列垃圾分类标识的图案中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据轴对称图形的概念进行判定即可．
【详解】A．不是轴对称图形，故此选项符合题意；B．是轴对称图形，故此选项不符合题意；C．是轴对称图形，故此选项不符合题意；D．是轴对称图形，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，S△ABD＝15，则CD的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝CD，然后利用△ABD的面积列式计算即可得解．
【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，
∴DE＝CD，
∴S△ABD＝AB•DE＝×10•DE＝15，
解得DE＝3，
∴CD＝3．
故选：A．
【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质是解题的关键．
3．以下四个图形中，轴对称图形的个数是( )
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】据轴对称图形的概念：把一个图形沿某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，根据定义逐一判断即可．
【详解】解：第一个图形是轴对称图形，
第二个图形不是轴对称图形，
第三个图形是轴对称图形，
第四个图形不是轴对称图形．
故选：B．
【点睛】本题考查的是轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
4．如图，已知，求作一点P，使P到的两边的距离相等，且，下列确定Р点的方法正确的是（ ）
A．Р为两角平分线的交点B．P为两边上的高的交点
C．P为两边的垂直平分线的交点D．P为的角平分线与的垂直平分线的交点
【答案】D
【分析】根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质求解即可．
【详解】解：∵P到∠A的两边的距离相等，
∴P在∠A的角平分线上；
∵PA＝PB，
∴P在AB的垂直平分线上，
∴P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了角平分线的性质以及线段垂直平分线的性质，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．
5．如图所示是4×5的方格纸，请在其中选取一个白色的方格并涂黑，使图中阴影部分是一个轴对称图形，这样的涂法有( )
A．4种B．3种C．2种D．1种
【答案】B
【分析】结合图象根据轴对称图形的概念求解即可．
【详解】根据轴对称图形的概念可知，一共有3种涂法，如下图所示：
．
故选B．
【点睛】本题考查了轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
6．如图所示，在中，．DE垂直平分AB，交BC于点E．若．则（ ）
A．3cmB．4cmC．5cmD．10cm
【答案】C
【分析】根据线段垂直平分线的性质得AE=BE=10cm，再根据等边对等角和三角形的外角性质求得∠AEC=30°，然后利用含30°角的直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵DE垂直平分AB，BE=10cm，
∴AE=BE=10cm，
∴∠EAB=∠B=15°，
∴∠AEC=2∠B=30°，
在Rt△ACE中，∠ACE=90°，
∴AC= AE=5cm，
故选：C．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质、含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
7．剪纸是我国传统的民间艺术．将一张正方形纸片按图1，图2中的方式沿虚线依次对折后，再沿图3中的虚线裁剪，最后将图4中的纸片打开铺平，所得图案应该是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】依据翻折变换，将图4中的纸片按顺序打开铺平，即可得到一个图案．
【详解】解：将图4中的纸片打开铺平，所得图案应该是：
故选：A．
【点睛】本题主要考查了剪纸问题，解决这类问题要熟知轴对称图形的特点，关键是准确地找到对称轴．一般方法是动手操作，拿张纸按照题目的要求剪出图案，展开即可得到正确的图案．
8．如图，在△ABC中，BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，AM⊥CE于P，交BC于M，AN⊥BD于Q，交BC于N，∠BAC＝110°，AB＝6，AC＝5，MN＝2，结论①AP＝MP；②BC＝9；③∠MAN＝35°；④AM＝AN．其中不正确的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】D
【分析】①根据三角形的内角和定理判定∠CAM=∠CMA，由等腰三角形的判定和三线合一的性质可得结论正确；②根据BN=AB=6，CM=AC=5，及线段的和与差可得BC的长；③根据三角形的内角和定理及角的和与差可得结论；④要想得到AM=AN，必有∠AMN=∠ANM，而AB≠AC，可知∠ABC≠∠ACB，从而得AM≠AN．
【详解】解：①∵CE平分∠ACE，
∴∠ACP=∠MCP，
∵AM⊥CE，
∴∠APC=∠MPC=90°，
∴∠CAM=∠CMA，
∴AC=CM，
∴AP=PM，①正确；
②同理得：BN=AB=6，
∵CM=AC=5，
∴BC=BN+CM-MN=6+5-2=9，②正确；
③∵∠BAC=∠MAC+∠BAN-∠MAN=110°，
由①知：∠CMA=∠CAM，∠BNA=∠BAN，
△AMN中，∠CMA+∠BNA=180°-∠MAN=∠BAN+∠MAC，
∴180°-∠MAN-∠MAN=110°，
∴∠MAN=35°，③正确；
④当∠AMN=∠ANM时，AM=AN，
∵AB=6≠AC=5
∴∠ABC≠∠ACB，
∴∠AMN≠∠ANM，则AM与AN不相等，④不正确；
所以本题不正确的有④，
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
二、填空题（本大题共有10小题，每题3分，共30分）
9．(1)等腰三角形，(2)正方形，(3)正七边形，(4)平行四边形，(5)梯形，(6)菱形中，一定是轴对称图形的是_____________.
【答案】等腰三角形，正方形，正七边形，菱形
【分析】根据轴对称的定义进行分析判断即可.
【详解】根据轴对称的定义，等腰三角形，正方形，正七边形，菱形都可以找到一条直线，图形沿直线折叠后两边图象可重合．所以是轴对称图形，
故答案为等腰三角形，正方形，正七边形，菱形
【点睛】本题考查轴对称，轴对称图形两边图形折叠后可重合．找到对称轴是解题关键.
10．如图，在2×2的方格纸中有一个以格点为顶点的ABC，则与ABC成轴对称且以格点为顶点三角形共有____个．
【答案】5
【分析】解答此题首先找到△ABC的对称轴，EH、GC、AD，BF等都可以是它的对称轴，然后依据对称找出相应的三角形即可．
【详解】解：与△ABC成轴对称且以格点为顶点三角形有△ABG，△CDF，△AEF，△DBH，△BCG共5个，
故答案为5.
【点睛】本题主要考查轴对称的性质；找着对称轴后画图是正确解答本题的关键．
11．如图，等边的边长为，、分别是、上的点，将沿直线折叠，点落在点处，且点在外部，则阴影部分图形的周长为__．
【答案】
【分析】由题意得，，故阴影部分的周长可以转化为三角形的周长．
【详解】解：等边的边长为，将沿直线折叠，点落在点处，
∴，，
∴阴影部分图形的周长为：
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题）．折叠问题的实质是“轴对称”，解题关键是找出经轴对称变换所得的等量关系．
12．如图是用平行四边形纸条沿对边AB，CD上的点E，F所在的直线折成的V字形图案，已知∠2＝60°，则∠1的度数是______．
【答案】60°##60度
【分析】根据折叠的性质得∠1=∠3，再利用平角的定义可得答案．
【详解】解：如图，由折叠知，∠1=∠3，
∵∠2=60°，
∴∠1=∠3=（180°-60°）÷2=60°，
故答案为：60°．
【点睛】本题主要考查翻折的性质，平角的定义等知识，熟练掌握翻折的性质是解题的关键．
13．如图，在4×4的正方形网格中已将图中的四个小正方形涂上阴影，如果再从图中选一个涂上阴影，使得整个阴影部分组成的图形是轴对称图形，那么不符合条件的小正方形是_____．
【答案】①
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【详解】根据轴对称图形的概念求解．
解：有3个使之成为轴对称图形分别为：②，③，④，
在①处不是轴对称图形．
故答案为：①．
【点睛】此题主要考查了轴对称变换，正确把握轴对称图形的性质是解题关键．
14．如图1是4×4正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形．请在下图中补全图形，并思考可能的位置有 种．（请在图中利用阴影标出）
【答案】4，画图见解析
【分析】直接利用轴对称图形的性质分别得出符合题意的答案．
【详解】解：根据题意可得可能的位置有4种，如下图所示：
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了利用轴对称设计图案，正确把握轴对称图形的定义是解题关键．
15．如图，在△ABC中，AD为△ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若△ABC的面积是20cm2，AB=6cm，AC=4cm，则DF＝_____cm．
【答案】4
【分析】先根据角平分线的性质得出DE=DF，再根据三角形的面积公式即可得出结论．
【详解】解：在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
DE=DF，
，
，
解得DF=4，
故答案为：4
【点睛】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．
16．地震过后，某中学数学实践小组的同学用下面的方法检测教室的房梁MN是否水平：他们在一等腰三角尺的斜边中点处栓一条线绳，线绳的另一端挂一个铅锤，检验时，把这块等腰三角尺的斜边贴在房梁上，如果线绳经过等腰三角尺的直角顶点，他们就判断这根房梁是水平的．他们的判断对吗？_______；为什么：___________．
【答案】 对 等腰三角形底边上的中线、底边上的高重合
【分析】根据△ABC是个等腰三角形可得AC=BC，再根据点O是AB的中点，即可得出OC⊥AB，然后即可得出结论．
【详解】解：他们的判断正确．理由如下：
∵△ABC是个等腰三角形，
∴AC=BC，
∵点O是AB的中点，
∴AO=BO，
∴OC⊥AB．
∴等腰三角形底边上的中线、底边上的高重合，
故答案为：对，等腰三角形底边上的中线、底边上的高重合．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键．等腰三角形底边上的中线、底边上的高以及顶角的角平分线重合．
17．如图，点是等边内一点，，．以为一边作等边三角形，连接．探究：当______时，是等腰三角形？
【答案】或或
【分析】先求出，，，分三种情况讨论：①AO=AD，则∠AOD=∠ADO，②OA=OD，则∠OAD=∠ADO，③OD=AD，则∠OAD=∠AOD，分别求出α的角度即可.
【详解】和是等边三角形，
，，，，
，
，
在和中，
，
≌（SAS），
，
，
，，，
当时，
，，
垂直平分，
，
，
；
当时，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
当时，
，
，
，
．
，
，
，
，
，
故答案为：或或．
【点睛】本题是对等边三角形的考查，熟练掌握等边三角形的性质定理及分类讨论是解决本题的关键.
18．已知△ABC中，如果过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为△ABC的关于点B的二分割线．如图1，Rt△ABC中，显然直线BD是△ABC的关于点B的二分割线．在图2的△ABC中，∠ABC＝110°，若直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，则∠CDB的度数是_____．
【答案】40°或90°或140°
【分析】分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可求解．
【详解】解：①如图，
当∠DBC=90°，AD=BD时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，
∵∠ABC=110°，∠DBC=90°，
∴∠ABD=20°，
∵AD=BD，
∴∠A=∠ABD=20°，
∴∠CDB=∠A+∠ABD=40°；
②如图，
当∠BDC=90°，AD=BD时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，或当∠BDC=90°，CD=BD时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，；
③如图，
当∠ABD=90°，CD=BD时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，
∵∠ABC=110°，∠ABD=90°，
∴∠DBC=20°，
∵CD=BD，
∴∠C=∠DBC=20°，
∴∠BDC=140°．
综上所述：当∠BDC的度数是40°或90°或140°时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，理解二分割线是本题的关键．
三、解答题（本大题共有10小题，共66分；第19-24每小题5分，第25-26每小题6分，第27小题10分，第28小题14分）
19．已知在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）作出关于y轴对称的，并写出各顶点的坐标；
（2）将向右平移6个单位长度，作出平移后的，并写出各顶点的坐标；
（3）观察与，它们是否关于某条直线对称？若是，请在图上画出这条对称轴．
【答案】（1）见解析，，；（2）见解析，，，；（3）是，见解析
【分析】（1）根据轴对称的图形作法，先找到对称点，然后依次连接，对称点坐标根据轴对称的性质求出即可；
（2）根据平移图形的作法：先找出平移后的点，然后依次连接作图即可；
（3）连接对应点，然后找出其中点，连线即为对称轴，根据图象可得对称轴解析式．
【详解】解：（1）如图所示，关于y轴对称的图形为，
根据点在坐标系中的位置可得：，；
（2）如（1）中图所示，为平移后的图形，，，；
（3）是，如图（1）中所示，连接，，找到中点D、E，连接可得对称轴为直线．
【点睛】题目主要考查坐标平面内的图形变换，解题关键是熟练掌握轴对称和平移的特征及坐标变化规律，如何根据点的位置确定对称轴．
20．如图，已知A（0，4），B（﹣2，2），C（3，0）．
（1）作△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）写出点A1、B1、C1的坐标：A1（ ），B1（ ），C1（ ）
（3）求△A1B1C1的面积．
【答案】（1）图见解析；（2）0，−4；−2，−2；3，0；（3）7
【分析】（1）根据网格结构找出点关于轴的对称点 的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据平面直角坐标系写出各点的坐标即可；
（3）利用三角形所在矩形的面积减去四周三个直角三角形的面积，列式计算即可得解．
【详解】解：（1）如图所示，A1B1C1即为所求．
（2）根据平面直角坐标系可知：
故答案为：0，−4；−2，−2；3，0；
（3）．
【点睛】本题考查了坐标与图形的变化：轴对称的相关知识，解答的关键在于作出ABC关于x轴对称的A1B1C1．
21．如图，直角坐标系中，在边长为1的正方形网格中，的顶点均在格点上，点，的坐标分别是，
（1）请在图中画出关于轴的对称，点的坐标为 ，点的坐标为
（2）请写出点关轴的对称点坐标为 ．
【答案】（1）图见解析，；（2）．
【分析】（1）先根据轴对称的性质画出点，再顺次连接点即可得，然后根据点坐标关于y轴对称的变换规律即可得；
（2）根据点坐标关于x轴对称的变换规律即可得．
【详解】（1）先画出点，再顺次连接点即可得，如图所示：
点坐标关于y轴对称的变换规律：横坐标互为相反数，纵坐标相同，
，
，
故答案为：；
（2）点坐标关于x轴对称的变换规律：横坐标相同，纵坐标互为相反数，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了画轴对称图形、点坐标与轴对称变化，熟练掌握点坐标与轴对称变换规律是解题关键．
22．在△ABC中，AB=AC，过点C作射线CB′，使∠ACB′=∠ACB（点B′与点B在直线AC的异侧）点D是射线CB′上一动点（不与点C重合），点E在线段BC上，且∠DAE+∠ACD=90°．
(1)如图1，当点E与点C重合时，AD 与的位置关系是______，若，则CD的长为______；（用含a的式子表示）
(2)如图2，当点E与点C不重合时，连接DE．
①用等式表示与之间的数量关系，并证明；
②用等式表示线段BE，CD，DE之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)AD⊥CB′；；
(2)①∠BAC=2∠DAE，理由见解析；②BE=CD+DE，理由见解析
【分析】（1）先证明∠ADC=90°，再过点A作AF⊥BC于点F，根据角平分线的性质，证明△ADC≌△AFC(HL)，即可求解；
（2）①∠ACB′=∠ACB=α=∠B，利用三角形内角和定理得到α=90°-∠BAC，再由∠DAE+∠ACD=90°，推出∠ACD=90°-∠DAE=α，进一步计算即可求解；
②在BC上截取BG=CD，先后证明△ABG≌△ACD(SAS)，△GAE≌△DAE (SAS)，即可求解．
【详解】（1）解：∵点E与点C重合，且∠DAE+∠ACD=90°，
∴∠ADC=90°，
∴AD⊥CB′；
过点A作AF⊥BC于点F，
∵AB=AC，
∴CF=BF=BC=，
∵∠ACB′=∠ACB，AF⊥BC，AD⊥CB′，
∴AF= AD，
∴△ADC≌△AFC(HL)，
∴CD=CF=，
故答案为：AD⊥CB′；；
（2）
解：①∠BAC=2∠DAE，理由如下：
设∠ACB′=∠ACB=α=∠B，
∴∠ACB+∠B=180°-∠BAC，即α=90°-∠BAC，
∵∠DAE+∠ACD=90°，
∴∠ACD=90°-∠DAE=α，
∴90°-∠BAC=90°-∠DAE，
∴∠BAC=2∠DAE；
②BE=CD+DE，理由如下：
在BC上截取BG=CD，
在△ABG和△ACD中，，
∴△ABG≌△ACD(SAS)，
∴AG=AD，∠BAG=∠CAD，
∵∠BAC=∠BAG+∠GAC，∠GAD=∠CAD+∠GAC，
∴∠BAC=∠GAD，
∵∠BAC=2∠DAE，
∴∠GAD=2∠DAE，
∴∠GAE=∠DAE，
在△GAE和△DAE中，，
∴△GAE≌△DAE (SAS)，
∴GE=DE，
∴BE=BG+GC=CD+DE．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，作出合适的辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
23．如图，在正方形网格中。三角形ABC各顶点都在网格上，点A,C的坐标分别是（-5,1），（-1,4），结合给出的平面直角坐标系解答下列问题；
（1）画出关于y轴对称的；
（2）写出的坐标；
（3）求的面积；
【答案】（1）图见解析；（2）；（3）6．
【分析】（1）先根据轴对称的性质分别画出点，再顺次连接即可得；
（2）根据点坐标关于y轴对称的变换规律即可得；
（3）先根据点坐标分别求出AB、BC的长，再根据直角三角形的面积公式即可得．
【详解】（1）先根据轴对称的性质分别画出点，再顺次连接即可得到，如图所示：
（2），
，
点坐标关于y轴对称的变换规律：横坐标变为相反数，纵坐标不变，
则；
（3），
，
则的面积为．
【点睛】本题考查了画轴对称图形、点坐标关于y轴对称的变换规律，熟练掌握轴对称图形的相关知识是解题关键．
24．已知点A（﹣1，3a﹣1）与点B（2b+1，﹣2）关于x轴对称，点C（a+2，b）与点D关于原点对称．
（1）求点A、B、C、D的坐标；
（2）顺次联结点A、D、B、C，求所得图形的面积．
【答案】（1）点A（−1，2），B（−1，−2），C（3，−1），D（−3，1）；（2）图见详解，12．
【分析】（1）根据关于x轴对称的点的坐标规律：横坐标相同，纵坐标互为相反数，分别求出a，b的值，进而求出点A、B、C的坐标，再根据关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数求出点D的坐标；
（2）把这些点按A−D−B−C−A顺次连接起来，再根据三角形的面积公式计算其面积即可．
【详解】解：（1）∵点A（−1，3a−1）与点B（2b＋1，−2）关于x轴对称，
∴2b＋1＝−1，3a−1＝2，
解得a＝1，b＝−1，
∴点A（−1，2），B（−1，−2），C（3，−1），
∵点C（a＋2，b）与点D关于原点对称，
∴点D（−3，1）；
（2）如图所示：
四边形ADBC的面积为：×4×2＋×4×4＝12．
【点睛】本题考查的是作图−轴对称变换，熟知关于x、y轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键．
25．在△ABC中，，点D是BC上一点，将△ABD沿AD翻折后得到△AED，边AE交射线BC于点F．
(1)如图①，当AE⊥BC时，求证：DEAC；
(2)若，．
①如图②，当DE⊥BC时，求x的值；
②是否存在这样的x的值，使得△DEF是等腰三角形？若存在，求x的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)①5；②存在；或
【分析】（1）由翻折的性质可得∠E＝∠B，由等角代换可得∠B＝∠CAF，进而得出∠E＝∠CAF，即可证明DEAC；
（2）①由三角形内角和定理可得，结合可得∠C，∠B的度数．由翻折的性质可得∠EDA＝∠BDA，求出∠BDA，进而利用三角形内角和定理求出；②根据翻折的性质和三角形外角及三角形内角和定理，用含x的代数式表示出∠FDE、∠DFE的度数，分三种情况讨论求出符合题意的x值即可．
【详解】（1）解：∵∠BAC＝，
∴，
∵AE⊥BC，
∴，
∴，
∴，
由翻折的性质可得：∠E＝∠B，
∴，
∴DEAC；
（2）
解：∵∠BAC＝，
∴，
∵，
∴，，
①由翻折的性质可得：∠EDA＝∠BDA，
∵DE⊥BC
∴，
∴∠BDA＝∠EDA＝，
∴，
故x的值为5；
②∵，，
∴，，
由翻折的性质可得：，，，
∴，
，
当∠FDE＝∠DFE时，, 解得：；
当∠FDE＝∠E时，，解得：；
当∠DFE＝∠E时，，解得：（舍去）；
综上所述，存在这样的x的值，使得△DEF中有两个角相等，或．
【点睛】本题考查图形的翻折、三角形内角和定理、平行线的判定、三角形外角的性质等，解题的关键是熟知图形翻折的性质．
26．如图，ABC的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上，利用网格线按下列要求画图．
（1）画A1B1C1，使它与ABC关于直线l成轴对称；
（2）求ABC的面积；
（3）在直线l上找一点P，使点P到点A、B的距离之和最短（不需计算，在图上直接标记出点P的位置）．
【答案】（1）见解析；（2）4；（3）见解析
【分析】（1）分别作出点A、B、C关于直线l的对称点A1、B1、C1即可；
（2）用一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积去计算ABC的面积；
（3）连接A1B交直线l于P，利用两点之间线段最短可判断P点满足条件．
【详解】解：（1）如图，A1B1C1为所作；
（2）ABC的面积＝3×4﹣×4×2﹣×2×1﹣×2×3＝4；
（3）如图，点P为所作．
【点睛】本题考查了作图-轴对称变换：几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了最短路径问题．
27．如图（1）~（3），已知的平分线OM上有一点P，的两边与射线OA、OB交于点C、D，连接CD交OP于点G，设，．
(1)如图（1），当时，试猜想PC与PD，与的数量关系（不用说明理由）；
(2)如图（2），当，时，（1）中的两个猜想还成立吗？请说明理由．
(3)如图（3），当时，你认为（1）中的两个猜想是否仍然成立，若成立，请直接写出结论；若不成立，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)成立，理由见详解
(3)，
【分析】（1）过P点作PE⊥OB于点E，作PF⊥OA于点F点，延长DP交OA于点N，根据角平分线的性质可得PF=PE，先证明∠EPF=∠CPD，再证明∠CPE=∠EPD，即可证明△FPC≌△EPD，则有PC=PD，∠PDC=∠PCD，则有2∠PDC=∠CPN，根据∠AOB+∠CPD=180°，∠CPD+∠CPN=180°，可得∠AOB=∠CPN，即问题得解；
（2）解答方法同（1）；
（3）解答方法同（2）．
【详解】（1），，
证明：过P点作PE⊥OB于点E，作PF⊥OA于点F点，延长DP交OA于点N，如图，
∵OM平分AOB，
∴∠AOP=∠BOP，
∵PF⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PFO=∠PEO=90°，PF=PE，
∵∠AOB+∠ODC+∠OCD=180°，∠PCD+∠PDC+∠CPD=180°，
∴∠AOB+∠ODC+∠OCD+∠PCD+∠PDC+∠CPD=360°，
∴四边形OCPD的内角和为360°，
同理，四边形OFPE的内角和为360°，
∴∠AOB+∠PFO+∠PEO+∠EPF=360°，
∴∠AOB+90°+90°+∠EPF=360°，
即∠AOB+∠EPF=180°，
∵∠AOB=∠CPD=90°，即∠AOB+∠CPD=180°，
∴∠EPF=∠CPD，
∵∠EPF=∠EPC+∠CPE，∠CPD=∠EPC+∠EPD，
∴∠CPE=∠EPD，
又∵∠PFO=∠PEO=90°，PF=PE，
∴△FPC≌△EPD，
∴PC=PD，
∴∠PDC=∠PCD，
∵∠PDC+∠PCD=∠CPN，
∴2∠PDC=∠CPN，
∵∠AOB+∠CPD=180°，∠CPD+∠CPN=180°，
∴∠AOB=∠CPN，
∴2∠PDC=∠AOB，
结论得证；
（2）成立，理由如下：
过P点作PE⊥OB于点E，作PF⊥OA于点F点，延长DP交OA于点N，如图，
∵OM平分AOB，
∴∠AOP=∠BOP，
∵PF⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PFO=∠PEO=90°，PF=PE，
∵四边形OFPE的内角和为360°，
∴∠AOB+∠PFO+∠PEO+∠EPF=360°，
∴∠AOB+90°+90°+∠EPF=360°，
即∠AOB+∠EPF=180°，
∵∠AOB=60°，∠CPD=120°，即∠AOB+∠CPD=180°，
∴∠EPF=∠CPD，
∵∠EPF=∠EPC+∠CPE，∠CPD=∠EPC+∠EPD，
∴∠CPE=∠EPD，
又∵∠PFO=∠PEO=90°，PF=PE，
∴△FPC≌△EPD，
∴PC=PD，
∴∠PDC=∠PCD，
∵∠PDC+∠PCD=∠CPN，
∴2∠PDC=∠CPN，
∵∠AOB+∠CPD=180°，∠CPD+∠CPN=180°，
∴∠AOB=∠CPN，
∴2∠PDC=∠AOB，
结论得证；
（3）成立，，，
证明：过P点作PE⊥OB于点E，作PF⊥OA于点F点，延长DP交OA于点N，如图，
∵OM平分AOB，
∴∠AOP=∠BOP，
∵PF⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PFO=∠PEO=90°，PF=PE，
∵四边形OFPE的内角和为360°，
∴∠AOB+∠PFO+∠PEO+∠EPF=360°，
∴∠AOB+90°+90°+∠EPF=360°，
即∠AOB+∠EPF=180°，
∵∠AOB+∠CPD=180°，
∴∠EPF=∠CPD，
∵∠EPF=∠EPC+∠CPE，∠CPD=∠EPC+∠EPD，
∴∠CPE=∠EPD，
又∵∠PFO=∠PEO=90°，PF=PE，
∴△FPC≌△EPD，
∴PC=PD，
∴∠PDC=∠PCD，
∵∠PDC+∠PCD=∠CPN，
∴2∠PDC=∠CPN，
∵∠AOB+∠CPD=180°，∠CPD+∠CPN=180°，
∴∠AOB=∠CPN，
∴2∠PDC=∠AOB，
结论得证．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定与性质以及三角形内角和定理等知识，证明△FPC≌△EPD是解答本题的关键．
28．（1）如图，与均是顶角为的等腰三角形，、分别是底边，求证：；
（2）如图，和均为等边三角形，点A、、在同一直线上，连接．
填空：的度数为_______；线段与之间的数量关系是_______．
（3）拓展探究
如图，和均为等腰直角三角形，，点A、D、E在同一直线上，为中边上的高，连接．请判断的度数及线段、、之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2），；（3）．理由见解析
【分析】（1）根据全等三角形的判定方法，判断出△BAD≌△CAE，即可判断出BD=CE．
（2）首先根据△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，可得AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，据此判断出∠ACD=∠BCE，然后根据全等三角形的判定方法，判断出△ACD≌△BCE，即可判断出BE=AD；
（3）由全等三角形的性质得出结论∠BEC=∠ADC，进而判断出∠AEB的度数为90°即可，根据∠DCE=90°，CD=CE，CM⊥DE，可得CM=DM=EM，所以DE=DM+EM=2CM，据此判断出AE=BE+2CM即可．
【详解】（1）证明：，
，
即，
在和中，
，
≌（SAS），
．
（2）解：和均为等边三角形，
，，，，
，
即，
在和中，
，
∴≌（SAS），
，，
点A，D，E在同一直线上，
，
，
．
故答案为：、．
（3）解：．理由如下：
和均为等腰直角三角形，
，，，，
，
即，
在和中，
，
≌（SAS），
，，
点A，D，E在同一直线上，
，
，
；
，，，
，
，
．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定方法和性质，等腰直角三角形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
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