苏科版八年级数学上册必考重难点突破【单元测试】第3章勾股定理(夯实基础培优卷)(原卷版+解析)

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（考试时间：100分钟 试卷满分：120分）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．直角三角形的两条边长分别为3和4，则这个直角三角形斜边上的高的为（ ）
A．5B．C．D．或
2．下列数据不是勾股数的是（ ）
A．7，14，16B．5，12，13C．3，4，5D．9，40，41
3．满足下列条件的，不是直角三角形的是（ ）
A．B．
C．D．
4．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点，，都在格点上，于点，则的长为（ ）
A．B．C．D．
5．下列说法中正确的个数有 （ ）
（1）两直线被第三条直线所截，内错角相等 ．
（2）钝角三角形三内角的平分线的交点不一定在三角形内部．
（3）相等的角是对顶角．
（4）锐角三角形的任意两个内角的和大于90°
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AB＝5，点E为射线BC上一点，若△ABE是等腰三角形，则△ABE的面积不可能是（ ）
A．10B．12C．D．
7．如图：在一个边长为1的小正方形组成的方格稿纸上，有A、B、C、D、E、F、G七个点，则在下列任选三个点的方案中可以构成直角三角形的是( )
A．点A、点B、点CB．点A、点D、点G
C．点B、点E、点FD．点B、点G、点E
8．一艘轮船从A港向南偏西方向航行到达B岛，再从B岛沿方向航行到达C岛，A港到航线的最短距离是.若轮船速度为，轮船从C岛沿返回A港所需的时间是（ ）
A．B．C．D．
9．如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO＝4m，若梯子的顶端沿墙下滑1m，这时梯子的底端也下滑1m，则梯子AB的长度为（ ）
A．5mB．6mC．3mD．7m
10．我国古代数学家赵爽的“勾股方圆图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别是a和b，那么ab的值为（ ）
A．49B．25C．12D．10
二、填空题（本大题共8个小题，每题3分，共24分）
11．分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）6、8、10，（2）5、12、13，（3）8、15、17，（4）4、5、6，其中能构成直角三角形的有__．（填序号）
12．如图，已知∠B＝45°，AB＝2cm，点P为∠ABC的边BC上一动点，则当BP2＝________cm时，△BAP为直角三角形．
13．如图，已知等腰的直角边长为，以它的斜边为直角边画第二个等腰，再以斜边为直角边画第三个等腰，…，依此类推，长为，长为，第个等腰直角三角形斜边长为___________，第个等腰三角形斜边长为__________，则第个等腰直角三角形斜边长为__________．
14．如图，每个小正方形的边长都相等，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为___．
15．如图，点C在A点的北偏东15°方向，点C在B点的北偏东60°方向，则___________．
16．如图，∠MON＝90°，△ABC的顶点A、B分别在OM、ON上，当A点从O点出发沿着OM向右运动时，同时点B在ON上运动，连接OC．若AC＝4，BC＝3，AB＝5，则OC的长度的最大值是________．
17．如图，已知中，，D是的中点，于点E；连接，则下列结论正确的是___________．(写出所有正确结论的序号)
①； ②当E为中点时，﹔
③若，则； ④若，则面积的最大值为2．
18．如图，东西海岸线上有、两个码头，相距6千米，灯塔到码头距离为千米．灯塔在码头的北偏东方向，则灯塔与直线的距离为______千米．
三、解答题（本大题共8小题，共66分；第19-22每小题6分，第23-24每小题8分，第25小题12分，第26小题14分）
19．如图，，分别是的两条高，点，分别是，的中点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
20．如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
(1)当t＝2秒时，求的长；
(2)求出发时间为几秒时，△PQB是等腰三角形？
(3)若Q沿B→C→A方向运动，则当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．
21．在一条东西走向的河流一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点D（A、D、B在同一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．
(1)求证：；
(2)求原来的路线的长．
22．在△ABC中，已知三角形的三边长，求这个三角形的面积．
(1)如图1，已知AC＝5，BC＝12，AB＝13，则△ABC的面积是______；
(2)如图2，已知BC＝10，AB＝AC＝13，求△ABC的面积；
(3)如图3，已知AC＝8，BC＝10，AB＝12，求△ABC的面积．
23．新冠疫情期间，为了提高人民群众防疫意识，很多地方的宣讲车开起来了，大喇叭响起来了，宣传横幅挂起来了，电子屏亮起来了，电视、广播、微信、短信齐上阵，防疫标语、宣传金句频出，这传递着打赢疫情防控阻击战的坚定决心．如图，在一条笔直公路MN的一侧点A处有一村庄，村庄A到公路MN的距离AB为800米，若宣讲车周围1000米以内能听到广播宣传，宣讲车在公路MN上沿MN方向行驶．
(1)请问村庄A能否听到宣传？请说明理由；
(2)如果能听到，已知宣讲车的速度是300米/分钟，那么村庄A总共能听到多长时间的宣传？
24．已知：在中，，，点D在直线AB上，连接CD，在CD 的右侧作，．
(1)如图1，①点D在AB边上，线段BE和线段AD数量关系是______，位置关系是______；
②直接写出线段AD，BD，DE之间的数量关系______．
(2)如图2，点D在B右侧．AD，BD，DE之间的数量关系是______，若，．直接写出DE的长______．
(3)拓展延伸
如图3，，，，，求出线段EC的长．
25．如图所示，A、B两块试验田相距200m，C为水源地，AC＝160m，BC＝120m，为了方便灌溉，现有两种方案修筑水渠．
甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到A、B；
乙方案；过点C作AB的垂线，垂足为H，先从水源地C修筑一条水渠到AB所在直线上的H处，再从H分别向A、B进行修筑．
（1）请判断△ABC的形状（要求写出推理过程）；
（2）两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明．
26．如图（1），是两个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）

（1）用这样的两个三角形构造成如图（2）的图形，利用这个图形，证明：a2+b2=c2；
（2）用这样的两个三角形可以拼出多种四边形，画出周长最大的四边形；当a=2，b=4时，求这个四边形的周长；
（3）当a=1，b=2时，将其中一个直角三角形放入平面直角坐标系中（如图（3）），使直角顶点与原点重合，两直角边a，b分别与x轴、y轴重合．
①请在x轴、y轴上找一点C，使△ABC为等腰三角形；（要求：用尺规画出所有符合条件的点，并用C1，C2，…，Cn在图中标出所找的点．只保留作图痕迹，不写作法）
②写出一个满足条件的在x轴上的点的坐标：_____，写出一个满足条件的在y轴上的点坐标：_____．
【高效培优】2022—2023学年八年级数学上册必考重难点突破必刷卷（苏科版）
【单元测试】第3章 勾股定理（夯实基础培优卷）
（考试时间：100分钟 试卷满分：120分）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．直角三角形的两条边长分别为3和4，则这个直角三角形斜边上的高的为（ ）
A．5B．C．D．或
【答案】D
【分析】设直角三角形斜边上的高为h，①当长为4的边是直角边时，②当长为4的边是斜边时，分别求得第三边长，进而根据等面积法即可求解．
【详解】解：设直角三角形斜边上的高为h，
①当长为4的边是直角边时，斜边长＝5，
则×3×4＝×5×h，
解得：h＝；
②当长为4的边是斜边时，另一条直角边长的平方＝＝7，即另一条直角边长＝，
×3×＝×4×h，
解得：h＝；
综上，直角三角形斜边上的高为：或．
故本题选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理，分类讨论是解题的关键．
2．下列数据不是勾股数的是（ ）
A．7，14，16B．5，12，13C．3，4，5D．9，40，41
【答案】A
【分析】根据勾股数可直接进行求解．
【详解】解：A、，所以不是勾股数，故符合题意；
B、，所以是勾股数，故不符合题意；
C、，所以是勾股数，故不符合题意；
D、，所以是勾股数，故不符合题意；
故选A．
【点睛】本题主要考查勾股数，熟练掌握勾股数是解题的关键．
3．满足下列条件的，不是直角三角形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用三角形内角和定理和勾股定理逆定理进行计算可得答案．
【详解】解：、，即，
，故能判定是直角三角形；
、设，，，，
，故能判定是直角三角形；
、，
，故不能判定是直角三角形；
、，
，
，故能判定是直角三角形．
故选：．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理、勾股定理的逆定理的应用，勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
4．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点，，都在格点上，于点，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据面积相等的方法，即可求出答案 ．
【详解】解：由题意可得，的面积是：，
∵是的高，，
∴，
解得，，
故选：．
【点睛】本题考查利用勾股定理计算三角形的相关知识，几何图形与网格的结合考查三角形的相关知识，理解和掌握三角形的知识是解题的关键．
5．下列说法中正确的个数有 （ ）
（1）两直线被第三条直线所截，内错角相等 ．
（2）钝角三角形三内角的平分线的交点不一定在三角形内部．
（3）相等的角是对顶角．
（4）锐角三角形的任意两个内角的和大于90°
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】根据平行线的性质，三角形的角平分线的定义，对顶角的定义，三角形内角和定理，逐项分析判断即可求解．
【详解】（1）两平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故该说法不正确，
（2）钝角三角形三内角的平分线的交点一定在三角形内部，故该说法不正确，
（3）相等的角不一定是对顶角，故该说法不正确，
（4）锐角三角形的任意两个内角的和大于，故该说法正确，
故选A．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的角平分线的定义，对顶角的定义，三角形内角和定理，掌握以上知识是解题的关键．
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AB＝5，点E为射线BC上一点，若△ABE是等腰三角形，则△ABE的面积不可能是（ ）
A．10B．12C．D．
【答案】D
【分析】根据勾股定理求出AC，分三种情况：①BE=AB，②AE=AB，③当AE=BE，分别求出BE，分别根据三角形的面积公式求出△ABE的面积即判断到选项．
【详解】在中，∠ACB＝90°，BC＝3，AB＝5，
∴，
当时，
；
当时，
∵，
∴，
∴，
当时，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
，
综上所述：的面积是10或12或．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，三角形的面积公式，能够正确分类是解决
问题的关键．
7．如图：在一个边长为1的小正方形组成的方格稿纸上，有A、B、C、D、E、F、G七个点，则在下列任选三个点的方案中可以构成直角三角形的是( )
A．点A、点B、点CB．点A、点D、点G
C．点B、点E、点FD．点B、点G、点E
【答案】C
【分析】先利用勾股定理求出各边的长，再利用勾股定理的逆定理：如果三边满足，则可组成直角三角形进行判断即可．
【详解】A．AB2=1+36=37，AC2=16+25=41，BC2=1+9=10，37+10≠41，不可以构成直角三角形；
B．AD2=16+16=32，AG2=9+36=45，DG2=1+4=5，32+5≠45，不可以构成直角三角形；
C．BE2=36+16=52，BF2=25+25=50，EF2=1+1=2，50+2=52，可以构成直角三角形
D．BG2=25+9=34，BE2=36+16=52，GE2=9+1=10，34+10≠52，不可以构成直角三角形．
故选：C．
【点睛】本题主要考查勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．
8．一艘轮船从A港向南偏西方向航行到达B岛，再从B岛沿方向航行到达C岛，A港到航线的最短距离是.若轮船速度为，轮船从C岛沿返回A港所需的时间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】在Rt△ABD中，利用勾股定理求得BD的长度，则CD=BC-BD；然后在Rt△ACD中，利用勾股定理来求AC的长度，则时间=路程÷速度可求解．
【详解】解：由题意，得：AD=60km，
在Rt△ABD中，AB=100km，AD=60km，
∴BD=(km)．
∴CD=BC-BD=125-80=45（km）．
∴在Rt△ACD中，AC==75（km）．
75÷25=3（h）．
答：从C岛沿CA返回A港所需的时间为3h．
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，方向角问题，属基础题目，比较简单．
9．如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO＝4m，若梯子的顶端沿墙下滑1m，这时梯子的底端也下滑1m，则梯子AB的长度为（ ）
A．5mB．6mC．3mD．7m
【答案】A
【分析】设BO＝xm，利用勾股定理用x表示出AB和CD的长，进而求出x的值，然后由勾股定理求出AB的长度．
【详解】解：设BO＝xm，
由题意得：AC＝1m，BD＝1m，AO＝4m，
在Rt△AOB中，根据勾股定理得：AB2＝AO2+OB2＝42+x2，
在Rt△COD中，根据勾股定理得：CD2＝CO2+OD2＝（4﹣1）2+（x+1）2，
∴42+x2＝（4﹣1）2+（x+1）2，
解得：x＝3，
，
即梯子AB的长为5m，
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，由勾股定理得出方程是解题的关键．
10．我国古代数学家赵爽的“勾股方圆图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别是a和b，那么ab的值为（ ）
A．49B．25C．12D．10
【答案】C
【详解】试题解析：如图，∵大正方形的面积是25，
∴c2=25，
∴a2+b2=c2=25，
∵直角三角形的面积是（25-1）÷4=6，
又∵直角三角形的面积是ab=6，
∴ab=12．
故选C.
二、填空题（本大题共8个小题，每题3分，共24分）
11．分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）6、8、10，（2）5、12、13，（3）8、15、17，（4）4、5、6，其中能构成直角三角形的有__．（填序号）
【答案】（1）（2）（3）
【分析】只需计算两短边的平方和是否等于最长边的平方，即可得出答案．
【详解】解：（1）62+82＝102，可以构成直角三角形；
（2）52+122＝132，能构成直角三角形；
（3）82+152＝172，能构成直角三角形；
（4）52+42≠62．不能构成直角三角形；
故答案为：（1）（2）（3）．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，如果两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形，熟记勾股定理的逆定理，正确计算是解题的关键．
12．如图，已知∠B＝45°，AB＝2cm，点P为∠ABC的边BC上一动点，则当BP2＝________cm时，△BAP为直角三角形．
【答案】2或8
【分析】由于直角顶点不能确定，故应分∠APB=90°与∠BAP=90°两种情况进行分类讨论．
【详解】解：①当∠APB＝90°时，
∵∠B＝45°，AB＝2cm，
∴，
∴，
∴；
②当∠BAP＝90°时，
∵∠B＝45°，AB＝2cm，
∴AB＝AP2＝2，
∴．
故本题答案为：2或8．
【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，在解答此题时要注意分类讨论，不要漏解．
13．如图，已知等腰的直角边长为，以它的斜边为直角边画第二个等腰，再以斜边为直角边画第三个等腰，…，依此类推，长为，长为，第个等腰直角三角形斜边长为___________，第个等腰三角形斜边长为__________，则第个等腰直角三角形斜边长为__________．
【答案】
【分析】根据勾股定理就可以求出，，第五个等腰直角三角形的斜边长为，依此类推就可以得出第个等腰直角三角形的斜边长．从而得出结论．
【详解】解：在直角三角形中由勾股定理可以得出：
第一个等腰三角形斜边长为：，
第二个等腰三角形斜边长为：，
第三个等腰三角形斜边长为：，
第四个等腰三角形斜边长为：，
……依此类推，
第个等腰三角形斜边长为：．
故答案为：；；．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，勾股定理，规律探究题的解答方法的应用．根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求出斜边长从而确定其变化规律是解题的关键．
14．如图，每个小正方形的边长都相等，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为___．
【答案】45°
【分析】根据勾股定理得到AB，BC，AC的长度，再判断△ABC是等腰直角三角形，进而得出结论．
【详解】解：如图，连接AC．
由题意，AC＝ ，BC＝，AB＝，
∴AC＝BC，AB2＝AC2+BC2，
∴△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝∠CAB＝45°．
故答案为：45°．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定与性质，判断出△ABC是等腰直角三角形是解决本题的关键．
15．如图，点C在A点的北偏东15°方向，点C在B点的北偏东60°方向，则___________．
【答案】45°
【分析】过点C作CE∥MB，根据题意可得∠MBC=60°，∠NAC=15°，然后利用平行线的性质可求出∠BCE，∠ACE的度数，进行计算即可解答．
【详解】解：过点C作CE∥MB，
由题意得：
∠MBC=60°，∠NAC=15°，
∵MB∥CE，
∴∠MBC=∠BCE=60°，
∵NA∥CE，
∴∠NAC=∠ACE=15°，
∴∠BCA=∠BCE-∠ACE=45°，
故答案为：45°．
【点睛】本题考查了方向角，平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
16．如图，∠MON＝90°，△ABC的顶点A、B分别在OM、ON上，当A点从O点出发沿着OM向右运动时，同时点B在ON上运动，连接OC．若AC＝4，BC＝3，AB＝5，则OC的长度的最大值是________．
【答案】5
【详解】试题分析：取AB中点E，连接OE、CE，在直角三角形AOB中，OE=AB，利用勾股定理的逆定理可得△ACB是直角三角形，所以CE=AB，利用OE+CE≥OC，所以OC的最大值为OE+CE，即OC的最大值=AB=5．
考点：勾股定理的逆定理，
17．如图，已知中，，D是的中点，于点E；连接，则下列结论正确的是___________．(写出所有正确结论的序号)
①； ②当E为中点时，﹔
③若，则； ④若，则面积的最大值为2．
【答案】①②③④
【分析】根据直角三角形斜边中线的性质，三角形的外角的性质以及等角的余角相等即可判断①正确；证得△ACD是等边三角形，得出∠BAC=60°，解得BC=AC，即可判断②正确；证得△ADE≌△BDM即可求得DE=DM，解直角三角形即可得到BE=2EM=4DE，即可判断③正确；根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的可得，则，则面积的最大值为2，即可判断④正确．
【详解】解：△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，
∴CD=BD=AD，
∴∠DCB=∠DBC，
∴∠ADC=2∠DCB，
∵AE⊥CD于点E，
∴∠ACE+∠CAE=90°，
∵∠ACE+∠DCB=90°，
∴∠CAE=∠DCB，
∴∠ADC=2∠CAE，故①正确；
当E为CD中点时，∵AE⊥CD，
∴AC=AD，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∴BC=AC，故②正确；
作BM⊥CD，交CD的延长线于点M，则AE∥BM，
∴∠DAE=∠DBM，
∵∠ADE=∠BDM，AD=BD，
∴△ADE≌△BDM（AAS），
∴DE=DM，
若∠BED=60°，则BE=2EM=4DE，故③正确；
∵△ADE≌△BDM，
∴AE=BM，DE=DM，
∴S△ABE=S△BEM=•BM•EM=•AE•2DE=AE•DE，
若AB=4，则AD=2，
在Rt△ADE中，AD2=AE2+DE2，
即的最大值值为1，
∴△ABE面积的最大值为2，故④正确；
故答案为：①②③④．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边的性质，等边三角形的判断和性质，解直角三角形，三角形的全等的判定和性质，勾股定理的应用，三角形的面积，综合运用以上知识是解题的关键．
18．如图，东西海岸线上有、两个码头，相距6千米，灯塔到码头距离为千米．灯塔在码头的北偏东方向，则灯塔与直线的距离为______千米．
【答案】4
【分析】过P作PH⊥AB交AB的延长线于H，在RtΔAPH中利用勾股定理列方程求解.
【详解】解：如图，过P作PH⊥AB交AB的延长线于H，
根据题意可得，∠PBH=45°, AB=6千米，PA=千米，
∴∠PBH=∠BPH=45°,
∴PH=BH，
设PH=x千米，
在RtΔAPH中，由勾股定理得， ,
∴,
解得，x1= 4，x2= -10(不符合题意，舍去）,
∴PH=4千米，
即灯塔与直线的距离为4千米.
故答案为：4
【点睛】本题考查勾股定理的实际应用问题，方位问题，应用勾股定理列方程求解是解答此题的重要思路.
三、解答题（本大题共8小题，共66分；第19-22每小题6分，第23-24每小题8分，第25小题12分，第26小题14分）
19．如图，，分别是的两条高，点，分别是，的中点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)12
【分析】（1）连接，，根据直角三角形斜边上中线的性质可得，然后根据等腰三角形的三线合一性质即可得证；
（2）由（1）可求DM，ME，然后在Rt△DEM中根据勾股定理即可求出DE．
【详解】（1）证明：如图，连接，，
、分别是的两条高，
，，
，
是的中点，
，，
，
为的中点，
；
（2）解：，
，
点是的中点，，
，
由勾股定理得：．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上中线的性质，等腰三角形三线合一性质以及勾股定理等知识，根据角三角形斜边上中线的性质得出DM=DN是解题的关键．
20．如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
(1)当t＝2秒时，求的长；
(2)求出发时间为几秒时，△PQB是等腰三角形？
(3)若Q沿B→C→A方向运动，则当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．
【答案】(1)
(2)秒
(3)当t为5.5秒或6秒或6.6秒时，△BCQ为等腰三角形
【分析】（1）根据点P、Q的运动速度求出AP，再求出BP和BQ，用勾股定理求得PQ即可；
（2）由题意得出BQ=BP，即2t=8-t，解方程即可；
（3）当点Q在边CA上运动时，能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间有三种情况：①当CQ=BQ时(如图1)，则∠C=∠CBQ，可证明∠A=∠ABQ，则BQ=AQ，则CQ=AQ，从而求得t；②当CQ=BC时(如图2)，则BC+CQ=12(cm)，易求得t；③当BC=BQ时(如图3)，过B点作BE⊥AC于点E，则求出BE，CE，即可得出t．
【详解】（1）解： BQ＝2×2＝4cm，BP＝AB﹣AP＝8﹣2×1＝6cm，
∵∠B＝90°，
∴；
（2）解：根据题意得：BQ＝BP，即2t＝8﹣t，解得：t＝，
即出发时间为秒时，△PQB是等腰三角形；
（3）解：分三种情况：
①当CQ＝BQ时，如图1，
则∠C＝∠CBQ，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBQ＋∠ABQ＝90°，∠A＋∠C＝90°，
∴∠A＝∠ABQ，
∴AQ＝BQ＝CQ，
∵∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，
∴AC＝＝10cm，
∴CQ＝AQ＝AC＝5cm，
∴BC＋CQ＝11cm，
∴t＝11÷2＝5.5秒；
②当CQ＝BC时，如图2，
则BC＋CQ＝12cm，
∴t＝12÷2＝6秒；
③当BC＝BQ时，如图3，过B点作BE⊥AC于点E，则CE=EQ，
则BE＝＝4.8cm，
∴，即CE＝3.6cm，
∴CQ＝2CE＝7.2cm，
∴BC＋CQ＝13.2cm，
∴t＝13.2÷2＝6.6秒．
综上，当t为5.5秒或6秒或6.6秒时，△BCQ为等腰三角形．
【点睛】本题考查了勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的判定和性质；本题有一定难度，注意分类讨论思想的应用．
21．在一条东西走向的河流一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点D（A、D、B在同一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．
(1)求证：；
(2)求原来的路线的长．
【答案】(1)是，理由见解析
(2)路线AC的长为8.45千米
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理解答即可；
（2）设AC＝x千米，则AD＝（x﹣2.5）千米．在直角△ACD中根据勾股定理解答即可．
【详解】（1）证明：∵CB＝6.5千米，CD＝6千米，BD＝2.5千米，
，
∴，
∴△CDB为直角三角形，
∴CD⊥AB；
（2）解：设AC＝x千米，则AD＝（x﹣2.5）千米．
∵CD⊥AB，∠ADC＝90°，
∴，即，
解得：x＝8.45．
答：原来的路线AC的长为8.45千米．
【点睛】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用，掌握定理是解题的关键．
22．在△ABC中，已知三角形的三边长，求这个三角形的面积．
(1)如图1，已知AC＝5，BC＝12，AB＝13，则△ABC的面积是______；
(2)如图2，已知BC＝10，AB＝AC＝13，求△ABC的面积；
(3)如图3，已知AC＝8，BC＝10，AB＝12，求△ABC的面积．
【答案】(1)30
(2)60
(3)15
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理判断△ABC是直角三角形，再求面积即可；
（2）作AD⊥BC于D，由等腰三角形三线合一的性质及勾股定理求出AD的长度，再根据面积公式计算即可；
（3）作CD⊥AB于D，先由勾股定理计算出CD的长度，再根据面积公式计算即可．
【详解】（1）∵AC＝5，BC＝12，AB＝13，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠C＝90°，
∴△ABC的面积＝AC×BC＝×5×12＝30；
故答案为：30；
（2）作AD⊥BC于D，如图2所示：
∵AB＝AC，
∴BD＝CD＝BC＝5，
∴AD＝＝＝12，
∴△ABC的面积＝BC×AD＝×10×12＝60；
（3）作CD⊥AB于D，如图3所示：
由勾股定理得：CD2＝AC2﹣AD2＝BC2﹣BD2，即82﹣AD2＝102﹣（12﹣AD）2，
解得：AD＝，
∴CD＝＝，
∴△ABC的面积＝AB×CD＝×12×＝15．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理、等腰三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
23．新冠疫情期间，为了提高人民群众防疫意识，很多地方的宣讲车开起来了，大喇叭响起来了，宣传横幅挂起来了，电子屏亮起来了，电视、广播、微信、短信齐上阵，防疫标语、宣传金句频出，这传递着打赢疫情防控阻击战的坚定决心．如图，在一条笔直公路MN的一侧点A处有一村庄，村庄A到公路MN的距离AB为800米，若宣讲车周围1000米以内能听到广播宣传，宣讲车在公路MN上沿MN方向行驶．
(1)请问村庄A能否听到宣传？请说明理由；
(2)如果能听到，已知宣讲车的速度是300米/分钟，那么村庄A总共能听到多长时间的宣传？
【答案】(1)村庄能听到宣传，理由详见解析
(2)村庄总共能听到4分钟的宣传
【分析】（1）根据村庄A到公路MN的距离为800米＜1000米，于是得到结论；
（2）根据勾股定理得到BP=BQ=600米，求得PQ=1200米，于是得到结论．
【详解】（1）解：村庄能听到宣传，
理由：∵村庄A到公路MN的距离为800米＜1000米，
∴村庄能听到宣传；
（2）解：如图：假设当宣讲车行驶到P点开始影响村庄，行驶Q点结束对村庄的影响，
则AP=AQ=1000米，AB=800米，
∴BP=BQ==600（米），
∴PQ=1200米，
∴影响村庄的时间为：1200÷300=4（分钟），
∴村庄总共能听到4分钟的宣传．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题时结合生活实际，便于更好的理解题意．
24．已知：在中，，，点D在直线AB上，连接CD，在CD 的右侧作，．
(1)如图1，①点D在AB边上，线段BE和线段AD数量关系是______，位置关系是______；
②直接写出线段AD，BD，DE之间的数量关系______．
(2)如图2，点D在B右侧．AD，BD，DE之间的数量关系是______，若，．直接写出DE的长______．
(3)拓展延伸
如图3，，，，，求出线段EC的长．
【答案】(1)①BE＝AD，BE⊥AD；②
(2)，
(3)
【分析】（1）①证△ACD≌△BCE（SAS），得AD＝BE，∠A＝∠CBE＝45°，则∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝90°，即可得出BE⊥AD；
②由①得AD＝BE，∠ABE＝90°，在Rt△BDE中，由勾股定理得BE2+BD2＝DE2，即可得出结论；
（2）连接BE，证△ACD≌△BCE（SAS），得∠A＝∠CBE＝45°，则∠DBE＝90°，再由勾股定理得，则，进而求解即可；
（3）过C作CA⊥CB交DB于A，证△ACD≌△BCE（ASA），得AD＝BE＝1，AC＝BC，则AB＝BC＝2，再由勾股定理求出DE的长，即可求解．
【详解】（1）解：①∵∠ACB＝90°，BC＝AC，
∴∠A＝∠ABC＝45°，
∵CE⊥CD，
∴∠DCE＝90°＝∠ACB，
∴∠ACB﹣∠BCD＝∠DCE﹣∠BCD，
即∠ACD＝∠BCE，
∵AC＝BC，CD＝CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，∠A＝∠CBE＝45°，
∴∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝90°，
∴BE⊥AD，
故答案为：BE＝AD，BE⊥AD；
②由①得：AD＝BE，∠ABE＝90°，
在Rt△BDE中，由勾股定理得：，
∴，
故答案为：AD2+BD2＝DE2；
（2）解：如图2，连接BE，
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，
即∠ACD＝∠BCE，
∵AC＝BC，CD＝CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，∠A＝∠CBE＝45°，
∵∠A+∠ABC＝90°，
∴∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝90°，
∴∠DBE＝90°，
在Rt△BDE中，由勾股定理得：，
∴，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，
∴AB＝AC＝4，
∴AD＝AB+BD＝4+1＝5，
∴DE＝＝＝，
故答案为：，；
（3）解：过C作CA⊥CB交DB于A，设BD与CE相交于点O，如图3所示：
则∠ACB＝90°＝∠DCE，
∴∠DCE﹣∠ACE＝∠ACB﹣∠ACE，
即∠ACD＝∠BCE，
∵∠DCO＝∠EBO＝90°，∠DOC＝∠EOB，
∴∠CDA＝∠CEB，
又∵CD＝CE，
∴△ACD≌△BCE（ASA），
∴AD＝BE＝1，AC＝BC
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵BC＝，
∴AB＝=BC＝2，
∴BD＝AB+AD＝3，
∵∠DBE＝90°，
∴DE＝＝＝，
∴EC＝DE＝．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、等角的余角相等等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，运用类比方法解答是解题的关键．
25．如图所示，A、B两块试验田相距200m，C为水源地，AC＝160m，BC＝120m，为了方便灌溉，现有两种方案修筑水渠．
甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到A、B；
乙方案；过点C作AB的垂线，垂足为H，先从水源地C修筑一条水渠到AB所在直线上的H处，再从H分别向A、B进行修筑．
（1）请判断△ABC的形状（要求写出推理过程）；
（2）两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明．
【答案】（1）△ABC是直角三角形，理由见解析；（2）（2）甲方案所修的水渠较短；理由见解析
【分析】（1）由勾股定理的逆定理即可得出△ABC是直角三角形；
（2）由△ABC的面积求出CH，得出AC+BC＜CH+AH+BH，即可得出结果．
【详解】解：（1）△ABC是直角三角形；
理由如下：
∴AC2+BC2＝1602+1202＝40000，AB2＝2002＝40000，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；
（2）甲方案所修的水渠较短；
理由如下：
∵△ABC是直角三角形，
∴△ABC的面积＝AB•CH＝AC•BC，
∴CH＝（m），
∵AC+BC＝160+120＝280（m），CH+AH+BH=CH+AB＝96+200＝296（m），
∴AC+BC＜CH+AH+BH，
∴甲方案所修的水渠较短．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理、三角形面积的计算；熟练掌握勾股定理，由勾股定理的逆定理证出△ABC是直角三角形是解决问题的关键．
26．如图（1），是两个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）

（1）用这样的两个三角形构造成如图（2）的图形，利用这个图形，证明：a2+b2=c2；
（2）用这样的两个三角形可以拼出多种四边形，画出周长最大的四边形；当a=2，b=4时，求这个四边形的周长；
（3）当a=1，b=2时，将其中一个直角三角形放入平面直角坐标系中（如图（3）），使直角顶点与原点重合，两直角边a，b分别与x轴、y轴重合．
①请在x轴、y轴上找一点C，使△ABC为等腰三角形；（要求：用尺规画出所有符合条件的点，并用C1，C2，…，Cn在图中标出所找的点．只保留作图痕迹，不写作法）
②写出一个满足条件的在x轴上的点的坐标：_____，写出一个满足条件的在y轴上的点坐标：_____．
【答案】（1）证明见解析；（2）画图见解析，周长为；（3）①作图见解析；②（，0），（0，）（答案不唯一）.
【详解】试题分析：（1）由图知，梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和，用字母表示出来，化简后，即证明勾股定理；
（2）由a与b的值，利用勾股定理求出c的值，拼图后可知如图1所示时周长最大，求出最大周长即可；
（3）①分别以A、B为圆心，AB长为半径画圆，圆与坐标轴的交点即为满足条件的点，再作线段AB的垂直平分线，垂直平分线与坐标轴的交点也是满足条件的点；
②根据①所作的图形即可得.
试题解析：（1）由图可得，×（a+b）（a+b）=ab+c2+ab，
∴a2+2ab+b2=2ab+c2，
∴a2+b2=c2；
（2）当a=2，b=4时，可得：c=，
如图1时：四边形的周长为：8+4；
如图2时，四边形的周长为：12；
如图3时，四边形的周长为：4+4；
综上，图1是周长最大的四边形，周长为：8+4；
（3）①如图所示；
②如上图：
一个满足条件的在x轴上的点的坐标：如C3（﹣1，0）；
一个满足条件的在y轴上的点的坐标：如C5（0，2+）．
故答案为（﹣1，0）；（0，2+）（答案不唯一）.
【点睛】本题考查了勾股定理的证明及应用，尺规作图等，利用数形结合思想、灵活应用所学知识进行解题是关键.