初中数学浙教版七年级下册第一章 平行线1.1平行线同步训练题

这是一份初中数学浙教版七年级下册第一章 平行线1.1平行线同步训练题，共55页。

2.掌握尺规画图作出平行线的方法，掌握平行公理和平行公理的推论；
知识点01 平面内两直线的位置关系
【知识点】
在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交与平行．
平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．“平行”用符号“∥”表示．
思考：定义中为什么要有“在同一平面内”这个条件？
【典型例题】
例1．下列说法正确的是（ ）
A．两条直线的位置关系只有相交、平行两种
B．同一平面内，两条互相垂直的线段不一定相交
C．直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离
D．两条直线没有交点，则这两条直线平行
例2．下列说法中，错误的有（ ）
①若，，则；
②若与相交，与相交，则与相交；
③相等的角是对顶角；
④过一点有且只有一条直线与已知直线平行．
A．个B．个C．个D．个
例3．给出下列说法：
（1）两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
（2）平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交；
（3）相等的两个角是对顶角；
（4）三条直线两两相交，有三个交点；
（5）若a⊥b，b⊥c，则a⊥c．
其中正确的有________个
【即学即练】
1．下列说法正确的是（ ）
A．在同一平面内，两条直线不垂直就平行
B．在同一平面内，没有公共点的两条射线是平行线
C．在同一平面内，两条线段不相交就重合
D．在同一平面内，没有公共点的两条线段也可能互相垂直
2．下列各项正确的是（ ）
A．直线外一点到已知直线的垂线段叫做这点到直线的距离
B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种
D．有公共顶点且相等的两个角是对顶角
3．下列说法中，正确的是（ ）
①两直线相交，若对顶角互补，则这两条直线互相垂直
②同一平面内，有且只有一条直线与已知直线平行
③立方根等于它本身的数是0和1
④两点之间的所有连线中，线段最短
⑤同一平面内，若直线，c⊥a，则c⊥b
A．②③④B．③④⑤C．①②⑤D．①④⑤
4．同一平面内，两条直线相交有__________个交点，两条直线相交的特殊位置关系是__________．
5．在木条转动过程中，存在一条直线a与直线b不相交的情形，这时我们说直线a与b互相__________．记作“a__________b”．
在同一平面内，不相交的两条直线叫做__________．
注意：平行线的定义包含三层意思：
（1）“在同一 __________”是前提条件；
（2）“不相交”就是说两条直线没有__________；
（3）平行线指的是“两条__________”而不是两条射线或两条线段．
6．在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点都叫做格点．已知点A、B、C都在格点上． 按下列要求画图：
（1）过点C和一格点D画直线CD，使AB∥CD；过点C和一格点E画AB的垂线CE，垂足为F，并在图中标出格点D和E；
（2）线段 的长度是点C到AB的距离；
（3）求三角形ABC的面积．
知识点02 立体图形中平行的棱
【典型例题】
例1．如图，在长方体ABCD-EFGH中，与棱AD平行的平面共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
例2．已知长方体ABCD-EFGH如图所示，那么下列各条棱中与棱GC平行的是（ ）
A．棱EA；B．棱AB；C．棱GH；D．棱GF．
例3．如图，在长方体中，与平行的棱是__．
【即学即练】
1．如图所示，在长方体中，与棱异面的棱有（ ）
A．2条B．3条C．4条D．5条
2．已知长方体如图所示，那么下列直线中与直线不平行也不垂直的直线是
A．B．GHC．HCD．
3．观察如图所示的长方体，用符号表示下列两棱的位置关系：________，________，________，________．
你能在教室里找到这些位置关系的实例吗？与同学们讨论一下．
4．如图，是一个长方体，用符号表示下列两棱的位置关系，A1B1_______AB，AA1_______AB．
5．如图是一个长方体的图形，它的每条棱都是一条线段，请你从这些线段所在的直线中找出：（1）一对平行的线段：_____（写出一对即可）；（2）一对不在同一平面内的线段：_____（写出一对即可）．
6．如图，在长方体中，
（1）与棱平行的棱为 ；
（2）与棱平行的平面为 ；
（3）与平面垂直的平面为 ．
知识点03 用直尺、三角板画直线
【知识点】
用三角尺和直尺画平行线的方法：一贴，二靠，三推，四画．（注意：作图题要写结论）
【典型例题】
例1．下面不能检验直线与平面垂直的工具是（ ）
A．铅垂线B．三角尺C．长方形纸片D．合页型折纸
例2．已知三角形ABC，过AC的中点D作AB的平行线，根据语句作图正确的是（ ）
A．B．C．D．
例3．如图，利用三角尺和直尺可以准确的画出直线AB∥CD，下面是某位同学弄乱了顺序的操作步骤：
①沿三角尺的边作出直线CD；
②用直尺紧靠三角尺的另一条边；
③作直线AB，并用三角尺的一条边贴住直线AB；
④沿直尺下移三角尺；正确的操作顺序应是：_____．
【即学即练】
1．如图，已知A、B、C三点，过点A可画直线BC的平行线的条数是（ ）
A．0条B．1条C．2条D．无数条
2．在下列各题中，属于尺规作图的是（ ）
A．用直尺画一工件边缘的垂线
B．用直尺和三角板画平行线
C．利用三角板画的角
D．用圆规在已知直线上截取一条线段等于已知线段
3．下列关于画图的语句正确的是（ ）．
A．画直线
B．画射线
C．已知A、B、C三点，过这三点画一条直线
D．过直线AB外一点画一直线与AB平行
4．作图题：
在如图所示的方格纸中不用量角器与三角尺，仅用直尺．
(1)经过点，画线段平行于所在直线．
(2)过点，画线段垂直于所在直线．
5．如图，请使用三角板与直尺画图：
(1)过点Р作直线，交ON于点A；
(2)过点Р向OM作垂线，垂足为点C，交ON于点D；
6．如图，点P为内一点，按要求完成下列问题：
(1)过点P作射线BC的垂线，垂足为点D；
(2)过点P作射线BA的平行线，交射线BC于点E；
(3)比较线段PD和PE的大小，并说明理由．
知识点04 平行公理及其推论的应用
【知识点】
平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线平行于这条直线.
平行公理的推论：如果两条直线和第三条直线平行，那么这两条直线平行.
【典型例题】
例1．已知直线AB和一点P，过点P画直线与AB平行，可以画（ ）
A．1条B．0条C．0条或1条D．无数条
例2．下列语句中：
①有公共顶点且相等的角是对顶角；
②直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；
③平行于同一直线的两直线平行；
④同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
其中正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
例3．小军在一张纸上画一条直线，再画这条直线的平行线，然后依次画前一条直线的平行线，当他画到第十条直线时，第十条直线与第一条直线的位置关系是________．
【即学即练】
1．若直线l1l，l2l，则（ ）
A．l1l2B．l1⊥l2C．l1与l2相交D．以上都不对
2．在平面内，下列四个说法中，正确的是（ ）
A．经过一点有且只有一条线段与已知直线垂直
B．经过一点有且只有一条线段与已知直线平行
C．经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行
3．下列说法中，错误的是（ ）
①a与c相交，b与c相交，则a与b相交；
②若ab，bc，则ac；
③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；
④在同一平面内，两条直线的位置关系平行、相交、垂直三种．
A．3个B．2个C．1个D．0个
4．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相__________．
几何语言表示：
∵a∥c ， c∥b（已知）
∴__________∥__________（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）
5．在同一平面内有2019条直线，，如果，，那么①的位置关系是__________②的位置关系是_______________
6．直线a∥b，b∥c，直线d与a相交于点A.
(1)判断a与c的位置关系，并说明理由；
(2)判断c与d的位置关系，并说明理由．
题组A 基础过关练
1．（2022春·浙江台州·七年级校联考阶段练习）在同一个平面内的直线a，b，c，若，，则b与c的关系是（ ）
A．平行B．垂直C．相交D．不能确定
2．（2023秋·重庆渝中·七年级重庆巴蜀中学校考期末）下列说法正确的有（ ）
A．相等的角是对顶角
B．直线外一点到已知直线的垂线段叫做点到该直线的距离
C．两条不相交的直线叫做平行线
D．在同一平面内，若直线，，则直线
3．（2023春·七年级单元测试）如图，在平面内作已知直线a的平行线，可作平行线的条数是( )
A．1条B．2条C．无数条D．无法确定
4．（2022春·湖北恩施·七年级校考期中）下列说法中正确的个数为（ ）
①在平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和垂直；
②在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
④如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
⑤从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离．
A．2个B．3个C．4个D．5个
5．（2022春·河北沧州·七年级校考阶段练习）平行公理的推论：__________________________________________．
6．（2022秋·全国·八年级专题练习）三条直线a、b、c中，若a⊥b，b∥c，则a与c的位置关系是___________．
7．（2022春·河南信阳·七年级校联考期中）下列四个命题：
①对顶角相等；
②等角的补角相等；
③如果b//a，c//a，那么b//c；
④如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等．
其中是真命题的有______．
8．（2022春·湖南永州·七年级统考期中）下列三种说法：
①相等的角是对顶角．
②若线段AB与线段CD没有交点，则ABCD．
③若a、b、c都是直线，且ab，bc，则a与c不相交．
正确的是 _____．
9．（2022秋·吉林长春·七年级长春市解放大路学校校考期末）在如图所示的正方形网格中，网格中纵向和横向线段的交点叫做格点在格点上．按下述要求画图：
(1)画射线AC；
(2)过点B画AC的平行线BD，点D在格点上；
(3)在射线AC上取一点E，画线段BE，使其长度表示点B到AC的距离．
10．（2022春·上海静安·七年级统考期中）按下列要求画图并填空
已知直线AB、CD相交于点O，点P为这两条直线外一点
(1)过点P画直线PE⊥AB，垂足为E
(2)过点P画直线PF⊥CD，垂足为F
(3)过点P画直线PM∥AB，交CD于点M
(4)点P到直线CD的距离是线段 的长
(5)直线PM与AB间的距离是线段 的长
题组B 能力提升练
1．（2022春·广东韶关·七年级校考期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B．直线外的一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离
C．不相交的两条直线互相平行
D．过直线外的一点有且只有一条直线与已知直线平行
2．（2022春·北京·七年级校考期中）下列语句正确的有（ ）
①量出直线外一点到直线的距离；
②在同一平面内，两条不同直线有且只有一个公共点
③从直线外一点到这条直线的垂线段叫作直线的距离
④两条直线有相交、垂直、平行三种位置关系
A．个B．个C．个D．个
3．（2022秋·七年级课时练习）下列说法正确的是（ ）
①若直线与没有交点，则；②平行于同一条直线的两条直线平行；③不相等的角一定不是对顶角；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行；⑤过直线外一点作直线的垂线段，叫做点到直线的距离．
A．①③④B．③⑤C．②③D．②④
4．（2022秋·全国·八年级专题练习）有下列说法：①两条不相交的直线叫平行线；②同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③两条直线相交所成的四个角中，如果有两个角相等，那么这两条直线互相垂直；④有公共顶点的两个角是对顶角．其中说法正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．（2021春·山东济宁·七年级统考期中）下列命题：①相等的角是对顶角；②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④同角或等角的余角相等，其中假命题是___（填序号）．
6．（2021春·青海海东·七年级统考期末）观察如图所示的长方体，用符号（“”或“”）表示下列两棱的位置关系：_____，_____，_____．
7．（2019春·江西抚州·七年级临川一中校考期中）如图，在的正方形网格，点、、、、、都在格点上，连接、、、中任意两点得到的所有线段中，与线段平行的线段是__________，与线段垂直的线段是__________．
8．（2021春·全国·七年级期末）下列说法正确的是________（填序号）．
①同位角相等；②对顶角相等；③在同一平面内，不相交也不重合的两条射线一定平行；④过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；⑤如果直线，那么；⑥垂线段最短；⑦过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
9．（2022春·湖北宜昌·七年级统考期末）按要求完成下列问题，其中画图不写作法．
(1)画出从点P到水渠边的最短距离，并说明道理．
(2)过点P画出的平行线，这样的平行线有几条，为什么？
（1）道理： ．
（2）理由： ．
10．（2022春·河南商丘·七年级统考期末）如图，直线CD与直线AB相交与点O，直线外有一点P．
(1)过点P画，交AB于点M，过点P画，垂足为N；
(2)若、求∠COM的度数．
题组C 培优拔尖练
1．（2022·全国·七年级专题练习）下列说法中是真命题正确的个数有（ ）个
（1）若ab，bd，则ad；（2）过一点有且只有一条直线与已知直线平行；（3）两条直线不相交就平行；（4）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（2022秋·七年级课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．在同一平面内，，，是直线，且，则
B．在同一平面内，，，是直线，且，，则
C．在同一平面内，，，是直线，且，则
D．在同一平面内，，，是直线，且，则
3．（2020·江西宜春·七年级江西省丰城中学校考期中）若整数使关于的方程有负整数解，且也是四条直线在平面内交点的个数，则满足条件的所有的个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
4．（2022秋·七年级课时练习）下列说法正确的是（ ）
①平面内，不相交的两条直线是平行线；
②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
④相等的角是对顶角；
⑤P是直线a外一点，A、B、C分别是a上的三点，PA＝1，PB＝2，PC＝3，则点P到直线a的距离一定是1．
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．（2022春·浙江绍兴·七年级校联考期中）下列说法正确的有（填序号）：_____．
①同位角相等；
②在同一平面内，两条不相交的线段是平行线；
③在同一平面内，如果a//b，b//c，则a//c；
④在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
6．（2021春·贵州黔西·七年级校考阶段练习）下列说法中正确的有 __________ ．（填写序号）
①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
②在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交、平行两种；
③在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
7．（2021春·辽宁沈阳·七年级沈阳市第一二六中学校考阶段练习）下列说法中错误的是___________（填序号）
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行
②在同一平面内，两条不相交的线段是平行线段
③两条直线没有交点，则这两条直线平行
④在同一平面内，若直线AB∥CD，直线AB与EF相交，则CD与EF相交
⑤过点A作直线l的垂线，垂足为B，则线段AB是点A到直线l的距离
8．（2023春·七年级单元测试）下列说法中：
①若对于任意有理数x，则存在最大值为6；
②如果关于x的二次多项式的值与x的取值无关，则的值为8；
③在同一平面内，一条直线平行于两条平行线中的一条，则这条直线也平行于另一条；
④在同一平面内，四条直线两两相交，如果最多有m个交点，最少有n个交点，则的值为5．
其中正确的有_______（填序号）．
9．（2022春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，如图点、、、、、均为格点请用无刻度的直尺完成下列作图（画图过程用虚线，结果用实线）
(1)如图，过点作直线的平行线；
(2)如图，点为线段上一动点，连接、，作出当最小时，点位置；
(3)如图，在线段上找一点不与点重合，使得．
10．（2023春·七年级单元测试）如图，P是∠AOB的OB边上的一点，点A、O、P都在格点上，在方格纸上按要求画图，并标注相应的字母．
（1）过点P画OB的垂线，交OA于点C；过点P画OA的垂线，垂足为D；并完成填空：
①线段 的长度表示点P到直线OA的距离；
②PC OC（填“＞”、“＜”或“＝”）
（2）过点A画OB的平行线AE．
专题1.1 平行线
1.掌握平行线的概念，了解平面内两直线的位置关系；学会找到立体图形中平行的棱和面；
2.掌握尺规画图作出平行线的方法，掌握平行公理和平行公理的推论；
知识点01 平面内两直线的位置关系
【知识点】
在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交与平行．
平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．“平行”用符号“∥”表示．
思考：定义中为什么要有“在同一平面内”这个条件？
【典型例题】
例1．下列说法正确的是（ ）
A．两条直线的位置关系只有相交、平行两种
B．同一平面内，两条互相垂直的线段不一定相交
C．直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离
D．两条直线没有交点，则这两条直线平行
【答案】B
【分析】根据两条直线的位置关系、点到直线的距离的定义逐一判断即可．
【详解】A． 在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交、平行两种，故本选项错误；
B． 同一平面内，两条互相垂直的线段不一定相交，故本选项正确；
C． 直线外一点到已知直线的垂线段的长度叫点到直线的距离，故本选项错误；
D． 同一平面内，两条直线没有交点，则这两条直线平行，故本选项错误．
故选：B．
【点睛】此题考查的是两条直线的位置关系、点到直线的距离的定义，掌握两条直线的位置关系、点到直线的距离的定义是解决此题的关键．
例2．下列说法中，错误的有（ ）
①若，，则；
②若与相交，与相交，则与相交；
③相等的角是对顶角；
④过一点有且只有一条直线与已知直线平行．
A．个B．个C．个D．个
【答案】A
【分析】根据平行公理及推论可判断①；若与相交，与相交，则与可能相交或平行，可判断②；对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，可判断③；根据平行公理及推论可判断④．
【详解】解：根据平行线公理及推论可知，①正确；
若与相交，与相交，则与可能相交或平行，②错误；
对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，③错误；
过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，④错误．
故错误的有个，
故选：A．
【点睛】本题考查平行公理及推论、平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解答本题的关键．
例3．给出下列说法：
（1）两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
（2）平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交；
（3）相等的两个角是对顶角；
（4）三条直线两两相交，有三个交点；
（5）若a⊥b，b⊥c，则a⊥c．
其中正确的有________个
【答案】1
【分析】根据各小题的描述情况，判断各小题的正误，即可得到答案．
【详解】解：（1）∵两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故（1）不正确；
（2）∵平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交，故（2）正确；
（3）∵对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故（3）不正确；
（4）∵三条直线两两相交，也可能是交于同一个点，故（4）不正确；
（5）∵若ab，bc，则ac，故（5）不正确，
正确的只有（2）一个选项，
故答案为：1．
【点睛】本题主要考察了平面内直线的位置关系，平行公理的应用、直线相交交点个数问题，解题的关键在于画出题意所示的直线位置图，以此判断说法的正误．
【即学即练】
1．下列说法正确的是（ ）
A．在同一平面内，两条直线不垂直就平行
B．在同一平面内，没有公共点的两条射线是平行线
C．在同一平面内，两条线段不相交就重合
D．在同一平面内，没有公共点的两条线段也可能互相垂直
【答案】D
【分析】根据两条直线的位置关系、平行线、垂直的定义逐项判断即可得．
【详解】解：A、在同一平面内，两条直线不相交就平行，则此项错误，不符合题意；
B、在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线，则此项错误，不符合题意；
C、在同一平面内，两条线段不相交，也有可能不重合，则此项错误，不符合题意；
D、在同一平面内，没有公共点的两条线段也可能互相垂直，则此项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了两条直线的位置关系、平行线、垂直，熟练掌握相交线与平行线是解题关键．
2．下列各项正确的是（ ）
A．直线外一点到已知直线的垂线段叫做这点到直线的距离
B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种
D．有公共顶点且相等的两个角是对顶角
【答案】C
【分析】分别利用点到直线的距离、垂线、两条直线的位置关系、对顶角的定义分别分析得出即可．
【详解】解：A、直线外一点到已知直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，故此选项错误，不合题意；
B、在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故此选项错误，不合题意；
C、同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种，正确，符合题意；
D、有公共顶点且相等的两个角不一定是对顶角，故此选项错误，不合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了点到直线的距离、垂线、两条直线的位置关系、对顶角等定义，正确把握相关定义是解题关键．
3．下列说法中，正确的是（ ）
①两直线相交，若对顶角互补，则这两条直线互相垂直
②同一平面内，有且只有一条直线与已知直线平行
③立方根等于它本身的数是0和1
④两点之间的所有连线中，线段最短
⑤同一平面内，若直线，c⊥a，则c⊥b
A．②③④B．③④⑤C．①②⑤D．①④⑤
【答案】D
【分析】根据对顶角性质和补角定义判定①即可；根据平行公理判定②即可；根据立方根的定义判定③即可；根据两点之间所有连线中线段最短判定④即可；根据平行线的性质判定⑤即可．
【详解】①因为对顶角相等，和为180°的两个角互为补角，所以两直线相交，若对顶角互补，则这两个角都等于90°，所以根据垂线的定义可知，这两条直线互相垂直，故①正确；
②同一平面内，过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，故②错误；
③立方根等于它本身的数是0、1和-1，故③错误；
④两点之间的所有连线中，线段最短，故④正确；
⑤同一平面内，若直线，c⊥a，则c⊥b，故⑤正确；
综上分析可知，①④⑤正确，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了对顶角的性质，补角的定义，立方根的定义，平行公理，熟练掌握相关的定义和性质，是解题的关键．
4．同一平面内，两条直线相交有__________个交点，两条直线相交的特殊位置关系是__________．
【答案】 1 垂直
5．在木条转动过程中，存在一条直线a与直线b不相交的情形，这时我们说直线a与b互相__________．记作“a__________b”．
在同一平面内，不相交的两条直线叫做__________．
注意：平行线的定义包含三层意思：
（1）“在同一 __________”是前提条件；
（2）“不相交”就是说两条直线没有__________；
（3）平行线指的是“两条__________”而不是两条射线或两条线段．
【答案】 平行 ∥ 平行线 平面内 交点 直线
6．在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点都叫做格点．已知点A、B、C都在格点上． 按下列要求画图：
（1）过点C和一格点D画直线CD，使AB∥CD；过点C和一格点E画AB的垂线CE，垂足为F，并在图中标出格点D和E；
（2）线段 的长度是点C到AB的距离；
（3）求三角形ABC的面积．
【答案】（1）见解析；（2）CF；（3）3
【分析】（1）根据网格的特点即可作图，画出直线CD，CE，标出F点的位置；
（2）根据点到直线的距离的定义即可判断；
（3）根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】(1) 如图，直线CD，CE为所求，F点为所求；
(2)由图可知，线段CF的长度是点C到AB的距离；
故答案为：CF；
(3)△ABC的面积为3．
【点睛】此题主要考查直线、线段、垂线的作图，解题的关键是熟知垂线的定义．
知识点02 立体图形中平行的棱
【典型例题】
例1．如图，在长方体ABCD-EFGH中，与棱AD平行的平面共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】先找出不过棱AD的平面，确定平面内有与AD平行的直线即可．
【详解】解：∵在长方体ABCD-EFGH中，AD//EH∥BC，
∴AD∥平面EFGH，AD∥平面BCGF，
∴与棱AD平行的平面共有2个．
故选择：B．
【点睛】本题主要考查立体图形与平行线，利用平行线的定义找出与棱AD平行的平面并准确观察图形是解题的关键．
例2．已知长方体ABCD-EFGH如图所示，那么下列各条棱中与棱GC平行的是（ ）
A．棱EA；B．棱AB；C．棱GH；D．棱GF．
【答案】A
【分析】首先确定与GC平行的棱，再确定选项即可求解．
【详解】解：观察图象可知，与棱GC平行的棱有AE、BF、DH．
故选：A．
【点睛】本题考查认识立体图形，平行线的判定等知识，解题的关键是理解题意，属于基础题．
例3．如图，在长方体中，与平行的棱是__．
【答案】棱，棱，棱．
【分析】在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线．
【详解】在长方体中，与平行的棱是棱，棱，棱，
故答案为：棱，棱，棱．
【点睛】本题主要考查平行线的定义，熟练掌握长方体的结构特点是解答本题的关键．
【即学即练】
1．如图所示，在长方体中，与棱异面的棱有（ ）
A．2条B．3条C．4条D．5条
【答案】C
【分析】根据判断异面直线的方法判断即可.
【详解】由题意得：
与棱AD异面的棱有：BB1,CC1,A1B1,C1D1
故选C.
【点睛】本题考查异面直线的概念：过平面外一点和平面内一点与平面内不经过该点的直线是异面直线，熟记概念是本题关键.
2．已知长方体如图所示，那么下列直线中与直线不平行也不垂直的直线是
A．B．GHC．HCD．
【答案】C
【详解】解：A、EA是长方体的棱，与AB互相垂直，故本选项错误；
B、GH是长方体的棱，与AB互相平行，故本选项错误；
C、HC不是长方体的棱，与AB不平行也不垂直，故本选项正确；
D、EF是长方体的棱，与AB互相平行，故本选项错误．
故选C．
3．观察如图所示的长方体，用符号表示下列两棱的位置关系：________，________，________，________．
你能在教室里找到这些位置关系的实例吗？与同学们讨论一下．
【答案】 ， ， ，
【分析】在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线；当两条直线所交的四个角中，有一个角是直角时，我们就说这两条直线互相垂直．根据两条直线平行和垂直的定义判断即可．
【详解】解：由两条直线平行和垂直的定义知：，，，
【点睛】本题考查两条直线相交和垂直的定义，根据内容解题是关键．
4．如图，是一个长方体，用符号表示下列两棱的位置关系，A1B1_______AB，AA1_______AB．
【答案】 // ⊥
【分析】根据在长方体中，棱与面，面与面之间的关系有平行和垂直两种，填空即可.
【详解】A1B1和AB可以看作是一个长方形的两条对边,所以平行; AA1，AB可看做是一个长方形的两条邻边，所以垂直.
故答案为∥，⊥.
【点睛】本题借助于几何体的特征考查了矩形的性质．注意，在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交(重合除外，其中垂直是相交的特例)．
5．如图是一个长方体的图形，它的每条棱都是一条线段，请你从这些线段所在的直线中找出：（1）一对平行的线段：_____（写出一对即可）；（2）一对不在同一平面内的线段：_____（写出一对即可）．
【答案】 ； AD与BG．
【分析】(1)根据平行线的定义直接回答即可；
(2)根据平面内线段的位置关系回答即可.
【详解】解：(1)AB∥FG(答案不唯一)；
(2)AD与BG不在同一平面内(答案不唯一).
故答案为(1)AB∥FG；(2)AD与BG.
【点睛】本题考查了平面内两直线的位置关系.
6．如图，在长方体中，
（1）与棱平行的棱为 ；
（2）与棱平行的平面为 ；
（3）与平面垂直的平面为 ．
【答案】（1）棱，，；（2）平面，平面；（3）平面，平面，平面，平面
【分析】根据平行线的定义，平行的平面的定义，平面与平面垂直的定义等知识解答即可．
【详解】解：（1）与棱平行的棱为棱，，．
（2）与棱平行的平面为平面，平面．
（3）与平面垂直的平面为平面，平面，平面，平面．
【点睛】本题考查认识立体图形，平行线的定义，直线与平面平行的定义，平面与平面垂直的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
知识点03 用直尺、三角板画直线
【知识点】
用三角尺和直尺画平行线的方法：一贴，二靠，三推，四画．（注意：作图题要写结论）
【典型例题】
例1．下面不能检验直线与平面垂直的工具是（ ）
A．铅垂线B．三角尺C．长方形纸片D．合页型折纸
【答案】C
【分析】根据直线与平面垂直的意义进行判断即可．
【详解】解：铅垂线、三角尺、合页型折纸可以检验直线与平面垂直，而长方形纸片是检验直线与平面平行的方法，
故选：C．
【点睛】本题考查垂线，掌握直线与平面垂直的意义是正确判断的前提．
例2．已知三角形ABC，过AC的中点D作AB的平行线，根据语句作图正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据中点的定义，平行线的定义判断即可．
【详解】解：过AC的中点D作AB的平行线，
正确的图形是选项B，
故选：B．
【点睛】本题考查作图——复杂作图，平行线的定义，中点的定义等知识，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
例3．如图，利用三角尺和直尺可以准确的画出直线AB∥CD，下面是某位同学弄乱了顺序的操作步骤：
①沿三角尺的边作出直线CD；
②用直尺紧靠三角尺的另一条边；
③作直线AB，并用三角尺的一条边贴住直线AB；
④沿直尺下移三角尺；正确的操作顺序应是：_____．
【答案】③②④①
【分析】根据同位角相等两直线平行判断即可．
【详解】解：根据同位角相等两直线平行则正确的操作步骤是③②④①，
故答案我③②④①．
【点睛】此题主要考查了复杂作图，关键是掌握同位角相等，两直线平行．
【即学即练】
1．如图，已知A、B、C三点，过点A可画直线BC的平行线的条数是（ ）
A．0条B．1条C．2条D．无数条
【答案】B
【分析】先过B，C两点画直线BC，再根据过直线外一点有且只有1条直线与已知直线平行可求解．
【详解】解：如图，
根据过直线外一点有且只有1条直线与已知直线平行，
故选：B．
【点睛】本题主要考查直线，射线，线段，平行线，掌握过直线外一点有且只有1条直线与已知直线平行的性质是解题的关键．
2．在下列各题中，属于尺规作图的是（ ）
A．用直尺画一工件边缘的垂线
B．用直尺和三角板画平行线
C．利用三角板画的角
D．用圆规在已知直线上截取一条线段等于已知线段
【答案】D
【分析】根据尺规作图的定义：用没有刻度的直尺和圆规作图，只使用圆规和直尺来解决平面几何作图，进行逐一判断即可．
【详解】解：A、用直尺画一工件边缘的垂线，这里没有用到圆规，故此选项不符合题意；
B、用直尺和三角板画平行线，这里没有用到圆规，故此选项不符合题意；
C、利用三角板画45°的角，这里没有用到圆规，故此选项不符合题意；
D、用圆规在已知直线上截取一条线段等于已知线段，是尺规作图，故此选项符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查了尺规作图的定义，解题的关键在于熟知定义．
3．下列关于画图的语句正确的是（ ）．
A．画直线
B．画射线
C．已知A、B、C三点，过这三点画一条直线
D．过直线AB外一点画一直线与AB平行
【答案】D
【分析】直接利用直线、射线的定义分析得出答案．
【详解】解：A、画直线AB＝8cm，直线没有长度，故此选项错误；
B、画射线OA＝8cm，射线没有长度，故此选项错误；
C、已知A、B、C三点，过这三点画一条直线或2条、三条直线，故此选项错误；
D、过直线AB外一点画一直线与AB平行，正确．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了直线、射线的定义及画平行线，正确把握相关定义是解题关键．
4．作图题：
在如图所示的方格纸中不用量角器与三角尺，仅用直尺．
(1)经过点，画线段平行于所在直线．
(2)过点，画线段垂直于所在直线．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】(1)根据平行线的定义，画出图形即可；
(2)根据垂线的定义，画出图形即可．
（1）
解：如图，线段即为所求（答案不唯一）；
（2）
如图，线段即为所求．
【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，平行线，垂线等知识，解题关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
5．如图，请使用三角板与直尺画图：
(1)过点Р作直线，交ON于点A；
(2)过点Р向OM作垂线，垂足为点C，交ON于点D；
【答案】(1)作图见详解；
(2)作图将详解；
【分析】（1）先将三角尺的一直角边紧靠直线OM，边缘与OM重合，再将三角尺的另一条直角边紧贴直尺的一边，最后向上移动三角尺，画一条平行线．
（2）先将直尺与OM重合，再反向延长OM，再将三角板一直角边与直尺重合，再移动三角板使另一直角边过点P，最后过三角板的直角边画CM的垂线．
（1）
解：如图所示：
步骤：（1）将三角尺的一直角边紧靠直线OM，边缘与OM重合，
（2）将三角尺的另一条直角边紧贴直尺的一边，
（3）向下移动三角尺，再次画下一条平行线．
（2）
解：如图所示：
步骤：
（1）将直尺与OM重合，
（2）反向延长OM，
（3）将三角板一直角边与直尺重合，
（4）移动三角板使另一直角边过点P，
（5）过三角板的直角边画CM的垂线．
【点睛】本题考查利用直角和三角板画平行线，和垂线，能够掌握画图原理是解决本题的关键．
6．如图，点P为内一点，按要求完成下列问题：
(1)过点P作射线BC的垂线，垂足为点D；
(2)过点P作射线BA的平行线，交射线BC于点E；
(3)比较线段PD和PE的大小，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)，理由：垂线段最短
【分析】（1）根据垂线的作法作出相应线段即可；
（2）根据平行线的作法作出平行线即可；
（3）根据直线外一点到该直线的所有线段中，垂线段最短即可得出结论．
（1）
解：如图所示，线段PD即为所求；
（2）
如图所示，直线PE即为所求；
（3）
，
理由：直线外一点到该直线的所有线段中，垂线段最短．
【点睛】题目主要考查垂线、平行线的基本作法及垂线段最短的性质，理解垂线及平行线的作法是解题关键．
知识点04 平行公理及其推论的应用
【知识点】
平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线平行于这条直线.
平行公理的推论：如果两条直线和第三条直线平行，那么这两条直线平行.
【典型例题】
例1．已知直线AB和一点P，过点P画直线与AB平行，可以画（ ）
A．1条B．0条C．0条或1条D．无数条
【答案】C
【分析】根据平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行可得答案．过直线上的一点，不能做直线与已知直线平行（互相重合）．
【详解】解：如果点P在直线上，过点P画直线与AB的平行线可画0条，如果点P在直线外，过点P画直线与AB的平行线可画1条，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了平行线公理，注意点P的位置分两种情况表现．
例2．下列语句中：
①有公共顶点且相等的角是对顶角；
②直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；
③平行于同一直线的两直线平行；
④同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
其中正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据对顶角的定义、点到直线的距离、平行线的判定及垂线的判定，即可一一判定．
【详解】解：①有公共顶点且两边互为反向延长线的两个角是对顶角，故该说法错误；
②直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故该说法错误；
③平行于同一直线的两直线平行，正确；
④同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确．
故正确的有2个，
故选：B．
【点睛】本题考查了对顶角的定义、点到直线的距离、平行线的判定及垂线的判定，熟练掌握和理解对顶角的定义、点到直线的距离、平行线的判定及垂线的判定是解决本题的关键．
例3．小军在一张纸上画一条直线，再画这条直线的平行线，然后依次画前一条直线的平行线，当他画到第十条直线时，第十条直线与第一条直线的位置关系是________．
【答案】平行
【分析】根据平行线的推论：平行于同一直线的两条直线互相平行，进行解答即可．
【详解】解：小军在一张纸上画一条直线，再画这条直线的平行线，
然后依次画前一条直线的平行线，当他画到第十条直线时，
第十条直线与第一条直线的位置关系是：平行，
故答案为：平行．
【点睛】本题考查了平行线的推论，熟知平行于同一直线的两条直线互相平行是解本题的关键．
【即学即练】
1．若直线l1l，l2l，则（ ）
A．l1l2B．l1⊥l2C．l1与l2相交D．以上都不对
【答案】A
【分析】根据平行于同一直线的两直线互相平行解答．
【详解】解：∵l1∥l，l2∥l，
∴l1∥l2．
故选：A．
【点睛】本题主要考查直线的平行公理，正确理解题意是解题的关键．
2．在平面内，下列四个说法中，正确的是（ ）
A．经过一点有且只有一条线段与已知直线垂直
B．经过一点有且只有一条线段与已知直线平行
C．经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行
【答案】C
【分析】依据垂线的性质以及平行公理，即可得出结论．
【详解】解：A．经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，不是线段，故本选项错误；
B．经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，既要求经过直线外一点，要是直线，故本选项错误；
C．经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故本选项正确；
D．经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项错误；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了垂线的性质以及平行公理，在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．正确区分垂线的性质和平行公理中对经过的点是否是直线外的一点是解题的关键．
3．下列说法中，错误的是（ ）
①a与c相交，b与c相交，则a与b相交；
②若ab，bc，则ac；
③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；
④在同一平面内，两条直线的位置关系平行、相交、垂直三种．
A．3个B．2个C．1个D．0个
【答案】B
【分析】根据两条直线位置关系的性质对各个选项逐个分析，即可得到答案．
【详解】当a与b平行时， a与c相交，b与c相交，但a与b不相交，故①错误；
在同一平面内，两条直线有两种的位置关系：平行、相交，故④错误；
②③分别是平行公理及推论，正确；
故选：B．
【点睛】本题考查了两条直线位置关系的知识，解题的关键是平行公理及推论、平行线、相交线的性质．
4．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相__________．
几何语言表示：
∵a∥c ， c∥b（已知）
∴__________∥__________（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）
【答案】 平行 a b
5．在同一平面内有2019条直线，，如果，，那么①的位置关系是__________②的位置关系是_______________
【答案】 平行 垂直
【分析】根据平行公理及垂直的定义解答，进而得到规律：与其他直线的位置关系为每4个一循环，垂直、垂直、平行、平行，根据此规律即可判断．
【详解】
如图，，，，
，，，，
依次类推：，，，，
，，，
，故．
故答案为平行；垂直．
【点睛】本题考查了平行公理的推导，作出图形更也有利于规律的发现以及规律的推导，解题的关键是结合图形先判断几组直线的关系，然后找出规律．
6．直线a∥b，b∥c，直线d与a相交于点A.
(1)判断a与c的位置关系，并说明理由；
(2)判断c与d的位置关系，并说明理由．
【答案】 （1）a与c的位置关系是平行，理由详见解析；（2）c与d的位置关系是相交，理由详见解析.
【分析】（1）根据平行线的性质去解答即可（2）根据两直线的位置关系去解答即可.
【详解】(1)a与c的位置关系是平行，
理由是：∵直线a∥b，b∥c，∴a∥c；
(2)c与d的位置关系是相交，
理由是：∵c∥a，直线d与a相交于点A，
∴c与d的位置关系是相交．
【点睛】此题重点考察学生对平行线的性质，两直线的位置关系的理解，掌握平行线的性质和两直线的位置关系是解题的关键.
题组A 基础过关练
1．（2022春·浙江台州·七年级校联考阶段练习）在同一个平面内的直线a，b，c，若，，则b与c的关系是（ ）
A．平行B．垂直C．相交D．不能确定
【答案】A
【分析】根据“同一个平面内，平行于同一条直线的两条直线平行”分析判断即可．
【详解】解：根据“同一个平面内，平行于同一条直线的两条直线平行”可知，
在同一个平面内的直线a，b，c，若，，
则．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行公理推论，熟练掌握平行公理及其推论是解题关键．
2．（2023秋·重庆渝中·七年级重庆巴蜀中学校考期末）下列说法正确的有（ ）
A．相等的角是对顶角
B．直线外一点到已知直线的垂线段叫做点到该直线的距离
C．两条不相交的直线叫做平行线
D．在同一平面内，若直线，，则直线
【答案】D
【分析】根据平行线的定义与性质、平行公理、对顶角的概念以及点到直线的距离的概念进行判断即可．
【详解】解：A.相等的角不一定是对顶角，对顶角是在两直线相交的前提条件下形成的，原说法错误，不符合题意；
B.从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到直线的距离，原说法错误，不符合题意；
C.同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，原说法错误，不符合题意；
D. 在同一平面内，若直线，，则直线，说法正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了相交线与平行线的一些基本概念，对顶角，正确理解定义是解题的关键．
3．（2023春·七年级单元测试）如图，在平面内作已知直线a的平行线，可作平行线的条数是( )
A．1条B．2条C．无数条D．无法确定
【答案】C
【分析】根据平行线的定义和性质求解即可．
【详解】解：在同一平面内与已知直线平行的直线有无数条，
∴在平面内作已知直线a的平行线，可作平行线的条数是无数条，
故选C．
【点睛】本题主要考查了平行线的定义和性质，熟知相关知识是解题的关键．
4．（2022春·湖北恩施·七年级校考期中）下列说法中正确的个数为（ ）
①在平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和垂直；
②在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
④如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
⑤从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离．
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】A
【分析】根据平行线的判定与性质，点到直线的距离，平行线，平行公理及推论，进行逐一判断即可．
【详解】解：①在平面内，不重合的两条直线的位置关系只有两种：相交和垂直，故①错误；
②在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故②正确；
③经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，故③错误；
④如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，故④正确；
⑤从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到这条直线的距离，故⑤错误．
故正确的是②④，共2个．
故选：A．
【点睛】此题考查平行线的判定与性质，点到直线的距离，平行线，平行公理及推论，正确利用定义是关键．
5．（2022春·河北沧州·七年级校考阶段练习）平行公理的推论：__________________________________________．
【答案】如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
【分析】根据平行公理的推论直接填空即可．
【详解】平行公理的推论为：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
故答案为：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
【点睛】本题考查平行公理的推论．掌握平行公理的推论为如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行是解题关键．
6．（2022秋·全国·八年级专题练习）三条直线a、b、c中，若a⊥b，b∥c，则a与c的位置关系是___________．
【答案】a⊥c（或垂直）
【分析】根据平行公理以及垂直的意义的判断推论即可．
【详解】解：∵三条直线a、b、c中，a⊥b，b∥c，
∴a⊥c，
故答案是：a⊥c（或垂直）．
【点睛】本题考查的是平行公理的推论，掌握平行的定义和垂直的意义是解题的关键．
7．（2022春·河南信阳·七年级校联考期中）下列四个命题：
①对顶角相等；
②等角的补角相等；
③如果b//a，c//a，那么b//c；
④如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等．
其中是真命题的有______．
【答案】①②③
【分析】利用对顶角的性质，余角和补角、平行公理及推理及平行线的性质逐一进行判断后即可得到正确的结论．
【详解】①对顶角相等，正确；
②等角的补角相等，正确；
③根据平行公里的推论可知：如果b∥a，c∥a，那么b∥c，正确；
④如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补，故④错误．
其中是真命题的有①②③．
故答案为：①②③
【点睛】本题考查了对顶角的性质，余角和补角、平行公理及推理及平行线的性质，属于基础定理，应重点掌握．
8．（2022春·湖南永州·七年级统考期中）下列三种说法：
①相等的角是对顶角．
②若线段AB与线段CD没有交点，则ABCD．
③若a、b、c都是直线，且ab，bc，则a与c不相交．
正确的是 _____．
【答案】③
【分析】根据两点间的距离、对顶角、线段和平行线的知识，对选项一一分析，即可求解．
【详解】解：①相等的角不一定是对顶角，故①说法错误；
②在同一平面内，若直线AB与CD没有交点，则ABCD，故②说法错误；
③若直线ab，bc，则ac，a与c不相交，符合平行公理，故③正确．
故答案为：③．
【点睛】本题考查了两点间的距离、对顶角、线段和平行线的知识，掌握以上知识是解题的关键．
9．（2022秋·吉林长春·七年级长春市解放大路学校校考期末）在如图所示的正方形网格中，网格中纵向和横向线段的交点叫做格点在格点上．按下述要求画图：
(1)画射线AC；
(2)过点B画AC的平行线BD，点D在格点上；
(3)在射线AC上取一点E，画线段BE，使其长度表示点B到AC的距离．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【解答】解：（1）如图，射线AC即为所求；
（2）如图，直线BD即为所求；
（3）如图，线段BE即为所求．
10．（2022春·上海静安·七年级统考期中）按下列要求画图并填空
已知直线AB、CD相交于点O，点P为这两条直线外一点
(1)过点P画直线PE⊥AB，垂足为E
(2)过点P画直线PF⊥CD，垂足为F
(3)过点P画直线PM∥AB，交CD于点M
(4)点P到直线CD的距离是线段 的长
(5)直线PM与AB间的距离是线段 的长
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)PF
(5)PE
【分析】（1）根据垂线的定义作图即可；
（2）根据垂线的定义作图即可；
（3）根据平行线的定义作图即可；
（4）点P到直线CD距离是线段PF的长；
（5）点PM与AB的距离是线段PE的长．
（1）
解：如图所示PE即为所求；
（2）
解：如图所示PF即为所求
（3）
解：如图所示PM即为所求
（4）
解：由题意可知
点P到直线CD距离是线段PF的长．
（5）
解：由题意可知
点PM与AB的距离是线段PE的长．
【点睛】本题主要考查了复杂-作图，点到直线的距离以及平行线间的距离，掌握垂线和平行线的定义以及画法是解题的关键．
题组B 能力提升练
1．（2022春·广东韶关·七年级校考期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B．直线外的一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离
C．不相交的两条直线互相平行
D．过直线外的一点有且只有一条直线与已知直线平行
【答案】D
【分析】根据平行线的判定、点到直线的距离、平行公理及推论判断求解即可．
【详解】解：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故A错误，不符合题意；
直线外的一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，故B错误，不符合题意；
在同一平面内，不相交的两条直线互相平行，故C错误，不符合题意；
过直线外的一点有且只有一条直线与已知直线平行，故D正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】此题考查了平行线的判定、点到直线的距离、平行公理及推论，熟练掌握平行线的判定定理、点到直线的距离、平行公理及推论等有关知识是解题的关键．
2．（2022春·北京·七年级校考期中）下列语句正确的有（ ）
①量出直线外一点到直线的距离；
②在同一平面内，两条不同直线有且只有一个公共点
③从直线外一点到这条直线的垂线段叫作直线的距离
④两条直线有相交、垂直、平行三种位置关系
A．个B．个C．个D．个
【答案】A
【分析】根据点到直线的距离、平面内两直线的位置关系求解即可．
【详解】量出直线外一点到直线的垂线段的长度即为点到直线的距离，
故正确；
在同一平面内，两条不同直线有一个公共点或没有公共点，
故错误；
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫作点到直线的距离，
故错误；
同一平面内两条直线有相交、平行两种位置关系，
故错误；
故选：．
【点睛】此题考查了平面内两直线的位置关系、点到直线的距离，熟练掌握平面内两直线的位置关系、点到直线的距离是解题的关键．
3．（2022秋·七年级课时练习）下列说法正确的是（ ）
①若直线与没有交点，则；②平行于同一条直线的两条直线平行；③不相等的角一定不是对顶角；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行；⑤过直线外一点作直线的垂线段，叫做点到直线的距离．
A．①③④B．③⑤C．②③D．②④
【答案】C
【分析】根据平行的概念、平行公理及其推论、对顶角的性质、点到直线的距离的概念判断即可．
【详解】同一平面内，若直线与没有交点，则，故①说法错误；由平行公理的推论知：平行于同一条直线的两条直线平行，故②说法正确；由对顶角的性质知：对顶角相等，则不相等的角一定不是对顶角，故③说法正确；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故④说法错误；过直线外一点作直线的垂线段，垂线段的长度叫做点到直线的距离，故⑤说法错误；所以正确的说法有②③．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的概念、平行公理及其推论、对顶角的性质、点到直线的距离的概念，牢固掌握相关概念及性质是关键．
4．（2022秋·全国·八年级专题练习）有下列说法：①两条不相交的直线叫平行线；②同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③两条直线相交所成的四个角中，如果有两个角相等，那么这两条直线互相垂直；④有公共顶点的两个角是对顶角．其中说法正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】根据平行线的定义、垂直的定义及垂线的唯一性、对顶角的含义即可判断．
【详解】同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，故说法①错误；说法②正确；两条直线相交所成的四个角中，如果有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直，当这两个相等的角是对顶角时则不垂直，故说法③错误；根据对顶角的定义知，说法④错误；故正确的说法有1个；
故选：A
【点睛】本题考查了两条直线的位置关系中的相关概念及性质，掌握这些概念是关键．
5．（2021春·山东济宁·七年级统考期中）下列命题：①相等的角是对顶角；②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④同角或等角的余角相等，其中假命题是___（填序号）．
【答案】①
【分析】根据对顶角的性质、垂线的性质、平行公理的推论和余角的性质，分析、判断各小题的正确与否，再作选择．
【详解】解：①相等的角不一定是对顶角，原说法错误；
②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原说法正确；
③平行于同一条直线的两条直线互相平行，原说法正确；
④同角或等角的余角相等，原说法正确．
故答案为：①．
【点睛】本题考查了对顶角的性质、垂线的性质、余角的性质、平行公里等知识；熟练掌握相关的性质是解题的关键．
6．（2021春·青海海东·七年级统考期末）观察如图所示的长方体，用符号（“”或“”）表示下列两棱的位置关系：_____，_____，_____．
【答案】
【分析】根据垂直、平行的定义以及平行公理进行判断即可．
【详解】解：在平面A-B-C-D中，直线AD、BC和AB、CD无公共点，因此AD//BC，AB//CD；
在平面A-B-A1-B1中，直线AB、AA1相交成直角，因此AB⊥AA1；
在平面C-D-D1-C1中，直线CD、D1C1无公共点，则CD//D1C1结合AB//CD得AB//D1C1．
故填：//,⊥，//．
【点睛】本题主要考查了垂直、平行的定义以及平行公理，掌握平行于同一条直线的两条直线相互平行是解答本题的关键．
7．（2019春·江西抚州·七年级临川一中校考期中）如图，在的正方形网格，点、、、、、都在格点上，连接、、、中任意两点得到的所有线段中，与线段平行的线段是__________，与线段垂直的线段是__________．
【答案】 FD DE
【分析】分别画出C、D、E、F中每两点所在直线，再根据平行与垂直的定义结合图形即可．
【详解】解：分别画出C、D、E、F中每两点所在直线，如图所示：
与线段AB平行的线段是FD，与线段AB垂直的线段是DE．
故答案为：FD，DE．
【点睛】此题考查了平行线的判定方法和垂直的定义，画出图形是解决这类题目较好的方法．
8．（2021春·全国·七年级期末）下列说法正确的是________（填序号）．
①同位角相等；②对顶角相等；③在同一平面内，不相交也不重合的两条射线一定平行；④过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；⑤如果直线，那么；⑥垂线段最短；⑦过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
【答案】②④⑥
【分析】根据同位角、对顶角、平行线的性质、垂线的性质即可依次判断．
【详解】①两直线平行，同位角相等，故错误；
②对顶角相等，正确；
③在同一平面内，不相交也不重合的两条直线一定平行，故错误；
④过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，正确；
⑤如果直线，那么a,c的位置关系不确定，故错误；
⑥垂线段最短，正确；
⑦在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故错误．
故答案为：②④⑥．
【点睛】此题主要考查同位角、对顶角、平行线的性质、垂线的性质，解题的关键是熟知各自的性质及特点．
9．（2022春·湖北宜昌·七年级统考期末）按要求完成下列问题，其中画图不写作法．
(1)画出从点P到水渠边的最短距离，并说明道理．
(2)过点P画出的平行线，这样的平行线有几条，为什么？
（1）道理： ．
（2）理由： ．
【答案】(1)图形见解析，道理：点到直线，垂线段最短
(2)图形见解析，理由：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
【分析】（1）根据点到直线，垂线段最短，过点P作PD⊥AB于点D，则PD即为所求；
（2）根据过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，即可求解．
（1）
解：如图，过点P作PD⊥AB于点D，则PD即为所求；
理由：点到直线，垂线段最短；
（2）
解：过点P作PE∥AB，则PE即为所求．
这样的平行线有1条，
理由：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．
【点睛】本题主要考查了点到直线的距离，平行线的公理，熟练掌握点到直线，垂线段最短；过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行是解题的关键．
10．（2022春·河南商丘·七年级统考期末）如图，直线CD与直线AB相交与点O，直线外有一点P．
(1)过点P画，交AB于点M，过点P画，垂足为N；
(2)若、求∠COM的度数．
【答案】(1)详见解析
(2)135°
【分析】（1）直接画平行线和垂线即可；
（2）根据平行线的性质可得同旁内角互补，由已知可得结论．
（1）
解：如图，
（2）
解：∵PMCD，
∴∠PMO+∠COM=180°，
∵∠PMO：∠COM=1：3，
∴∠COM +∠COM=180°，
∴∠COM=135°．
【点睛】本题考查了基本作图以及平行线的性质，培养了学生过直线外一点作已知直线的平行线和垂线的画图能力．
题组C 培优拔尖练
1．（2022·全国·七年级专题练习）下列说法中是真命题正确的个数有（ ）个
（1）若ab，bd，则ad；（2）过一点有且只有一条直线与已知直线平行；（3）两条直线不相交就平行；（4）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】根据平行线的定义与判定、垂线的性质、平行公理对各小题分析判断后即可得解．
【详解】（1）若ab，bd，则ad，故原说法正确；
（2）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原说法错误；
（3）在同一平面内，两条直线不相交就平行，故原说法错误；
（4）同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故原说法错误．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了平行公理，平行线的性质定义，垂线的性质，关键是熟练掌握课本内容．
2．（2022秋·七年级课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．在同一平面内，，，是直线，且，则
B．在同一平面内，，，是直线，且，，则
C．在同一平面内，，，是直线，且，则
D．在同一平面内，，，是直线，且，则
【答案】A
【分析】根据平行线的性质分析判断即可．
【详解】A．在同一平面内，，，是直线，且，则，故选项正确，符合题意．
B．在同一平面内，，，是直线，且，，则，故选项错误，不符合题意．
C．在同一平面内，，，是直线，且，则，故选项错误，不符合题意．
D．在同一平面内，，，是直线，且，则，故选项错误，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，准确分析判断是解题的关键．
3．（2020·江西宜春·七年级江西省丰城中学校考期中）若整数使关于的方程有负整数解，且也是四条直线在平面内交点的个数，则满足条件的所有的个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】从平行线的角度考虑，先考虑四条直线都平行，再考虑三条、两条直至都不平行，作出草图即可看出四条直线在平面内交点的个数；再解方程求出关于a的x的值，根据“方程有负整数解”得出a的值，看是否符合题意，即可得出满足条件的所有的个数．
【详解】解：四条直线在平面内交点的个数有以下几种情况：
（1）当四条直线平行时，无交点，
（2）当三条平行，另一条与这三条不平行时，有三个交点，
（3）当两两直线平行时，有4个交点，
（4）当有两条直线平行，而另两条不平行时，有5个交点，
（5）当有两条直线平行，而另两条不平行并且交点在平行线上时，有3个交点，
（6）当四条直线同交于一点时，只有一个交点，
（7）当四条直线两两相交，且不过同一点时，有6个交点，
故四条直线在平面内交点的个数为：0或1或3或4或5或6；
解方程得：x=，
∵方程组有负整数解，
∴=-1或=-2或=-3或=-4或=-6或=-12，
解得：a=11或5或3或2或1或0，
∵也是四条直线在平面内交点的个数，
∴满足条件的的值有：0，1，3，5共四个，
故选：B．
【点睛】本题考查平行线与相交线的位置关系，没有明确平面上四条不重合直线的位置关系，需要运用分类讨论思想，从四条直线都平行，然后数量上依次递减，直至都不平行，这样可以做到不重不漏，准确找出所有答案．也考查了解一元一次方程，一元一次方程的整数解．
4．（2022秋·七年级课时练习）下列说法正确的是（ ）
①平面内，不相交的两条直线是平行线；
②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
④相等的角是对顶角；
⑤P是直线a外一点，A、B、C分别是a上的三点，PA＝1，PB＝2，PC＝3，则点P到直线a的距离一定是1．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据平行公理及其推理，对顶角的性质，点到直线的距离的概念，即可得出结论．
【详解】①平面内，不相交的两条直线是平行线，说法正确；
②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，说法正确；
③平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故说法错误；
④相等的角不一定是对顶角，故说法错误；
⑤P是直线a外一点，A、B、C分别是a上的三点，PA＝1，PB＝2，PC＝3，则点P到直线a的距离可能是1，故说法错误．
故选：B．
【点睛】考查了平行公理及其推理，对顶角的性质，点到直线的距离的概念，解题时注意平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
5．（2022春·浙江绍兴·七年级校联考期中）下列说法正确的有（填序号）：_____．
①同位角相等；
②在同一平面内，两条不相交的线段是平行线；
③在同一平面内，如果a//b，b//c，则a//c；
④在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
【答案】③④##④③
【分析】根据平行线的性质、平行公理逐个判断即可．
【详解】解：①两直线平行，同位角相等，故①错误；
②在同一平面内，两条不相交的直线是平行线，故②错误；
④在同一平面内，如果a//b，b//c，则a//c，符合平行公理，故③正确；
⑤在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故④正确．
故答案为③④．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质及平行公理，理解平行的性质是解答本题的关键．
6．（2021春·贵州黔西·七年级校考阶段练习）下列说法中正确的有 __________ ．（填写序号）
①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
②在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交、平行两种；
③在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
【答案】②③
【分析】根据平行线、相交线、垂线的性质，对各个选项进行分析，即可得到答案．
【详解】当两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故①错误；
在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交、平行两种，故②正确；
在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故③正确；
故答案为：②③．
【点睛】本题考查了直线的知识；解题的关键是熟练掌握平行线、相交线、垂线的性质，从而完成求解．
7．（2021春·辽宁沈阳·七年级沈阳市第一二六中学校考阶段练习）下列说法中错误的是___________（填序号）
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行
②在同一平面内，两条不相交的线段是平行线段
③两条直线没有交点，则这两条直线平行
④在同一平面内，若直线AB∥CD，直线AB与EF相交，则CD与EF相交
⑤过点A作直线l的垂线，垂足为B，则线段AB是点A到直线l的距离
【答案】①②③⑤
【分析】根据平行线、线段、垂线的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．
【详解】过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故①错误；
在同一平面内，两条不相交的线段可能是平行线段，也可能不是平行线段，故②错误；
在同一平面内，两条直线没有交点，则这两条直线平行，故③错误；
在同一平面内，若直线AB∥CD，直线AB与EF相交，则CD与EF相交，故④正确；
过点A作直线l的垂线，垂足为B，则线段AB的长是点A到直线l的距离，故⑤错误；
故答案为：①②③⑤．
【点睛】本题考查了平行线、直线、线段、垂线的知识；解题的关键是熟练掌握平行线、直线、线段的性质，从而完成求解．
8．（2023春·七年级单元测试）下列说法中：
①若对于任意有理数x，则存在最大值为6；
②如果关于x的二次多项式的值与x的取值无关，则的值为8；
③在同一平面内，一条直线平行于两条平行线中的一条，则这条直线也平行于另一条；
④在同一平面内，四条直线两两相交，如果最多有m个交点，最少有n个交点，则的值为5．
其中正确的有_______（填序号）．
【答案】
【分析】分三种情况去绝对值，从而可判断①；根据关于x的二次多项式的值与x的取值无关，先求解，，从而可判断②；根据平行公理可判断③，在同一平面内，四条直线两两相交，如果最多有6个交点，最少有1个交点，可判断④，从而可得答案.
【详解】解：，在数轴上表示数x的点到表示和4点的距离之差，
当时，，
当时，，
此时，
当时，
，
综上：这个距离之差最大值为6，故①正确；
∵，
而关于x的二次多项式的值与x的取值无关，
∴，，
∴，，
∴，故②错误；
在同一平面内，一条直线平行于两条平行线中的一条，则这条直线也平行于另一条，
这是平行公理的推论，故③正确；
在同一平面内，四条直线两两相交，如果最多有m个交点，最少有n个交点，
则，，
∴，故④正确．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是绝对值的化简，整式的加减运算，多项式中不含某项的含义，平行公理的应用，相交线的交点问题，掌握以上基础知识是解本题的关键.
9．（2022春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，如图点、、、、、均为格点请用无刻度的直尺完成下列作图（画图过程用虚线，结果用实线）
(1)如图，过点作直线的平行线；
(2)如图，点为线段上一动点，连接、，作出当最小时，点位置；
(3)如图，在线段上找一点不与点重合，使得．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）取格点D，作直线CD即可；
（2）作点C关于AB的对称点C′，连接DC′交AB于点M，连接CM，点M即为所求；
（3）取格点J，M，N，连接EJ交AB于点K，连接MN交AB于点P，点P即为所求．
（1）
如图中，直线即为所求；
（2）
如图中，点即为所求；
（3）
如图中，点即为所求．
【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
10．（2023春·七年级单元测试）如图，P是∠AOB的OB边上的一点，点A、O、P都在格点上，在方格纸上按要求画图，并标注相应的字母．
（1）过点P画OB的垂线，交OA于点C；过点P画OA的垂线，垂足为D；并完成填空：
①线段 的长度表示点P到直线OA的距离；
②PC OC（填“＞”、“＜”或“＝”）
（2）过点A画OB的平行线AE．
【答案】（1）图见解析，①PD，②＜；（2）见解析
【分析】（1）①根据要求画出图形，再根据点到直线的距离的定义判断即可．
②根据垂线段最短，可得结论．
（2）取格点E，作直线AE即可．
【详解】解：（1）①如图，直线PC，直线PD即为所求作．线段PD的长度表示点P到直线OA的距离．
故答案为：PD．
②根据垂线段最短可知，PC＜OC．
故答案为：＜．
（2）如图，直线AE即为所求作．
【点睛】本题考查作图-应用与设计，点到直线的距离，平行线的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．