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数学1.3平行线的判定测试题
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这是一份数学1.3平行线的判定测试题，共71页。试卷主要包含了掌握同位角相等，两直线平行；，掌握内错角相等，两直线平行；，掌握同旁内角互补，两直线平行；等内容，欢迎下载使用。
1.掌握同位角相等，两直线平行；
2.掌握内错角相等，两直线平行；
3.掌握同旁内角互补，两直线平行；
4.掌握垂直同一直线的两条直线互相平行；
知识点01 同位角相等两直线平行
【知识点】
判定方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行
简单说成： 同位角相等，两直线平行。
几何语言：
∵∠1＝∠2
∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
【典型例题】
例1．（2022秋·内蒙古乌兰察布·七年级校考期末）如图是两条直线平行的证明过程，证明步骤被打乱，则下列排序正确的是（ ）
如图，已知，，求证：与平行．证明：
①：；
②：，；
③：；
④：；
⑤：．
A．①②③④⑤B．②③⑤④①C．②④⑤③①D．③②④⑤①
例2．2．（2022春·甘肃陇南·七年级校考阶段练习）如图，两直线，被直线所截，已知，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
例3．（2022春·甘肃陇南·七年级校考期末）如图，，垂足为，，垂足为，＝．在下面括号中填上理由．
因为，，
所以＝＝．
又因为＝( )，
所以＝( )，
即＝．
所以( )
【即学即练】
1．（2022春·浙江温州·七年级瑞安市安阳实验中学校考期中）下列图形中，能由∠1＝∠2得到的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022秋·八年级单元测试）如图，和分别为直线与直线和相交所成角．如果，那么添加下列哪个条件后，可判定．（ ）．
A．B．C．D．
3．（2021·浙江·统考模拟预测）如图，用直尺和三角尺画图：已知点P和直线a，经过点P作直线b，使，其画法的依据是（ ）
A．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．两直线平行，同位角相等
C．同位角相等，两直线平行
D．内错角相等，两直线平行
4．（2022春·天津滨海新·七年级统考期末）李强同学学完“相交线与平行线”一章后，在一本数学读物上看到一种只利用圆规和无刻度直尺作图的方法：
① 以∠AOB的顶点O为圆心，以适当长为半径画弧，交OA边于点M，交OB边于点N；② 作一条射线CD，以点C为圆心，以OM长为半径画弧，与射线CD交于点E；③ 以点E为圆心，以MN长为半径画弧，与②中所画弧交于点F；④ 过点F作射线CP，则∠PCD=∠BOA．如图1：
李强想利用这种方法过平面内一点Q作直线l的平行线a，如图2．
（1）李强同学能借助上述方法作出直线l的平行线a吗？______（填“能”或“不能”）.
（2）如果能，请在图2中作出直线a, 保留作图痕迹，并说明能够证明这两条直线平行的理由：________________．
5．（2020春·广东广州·七年级统考期末）完成下面的证明．
如图，AC⊥BC，DG⊥AC，垂足分别为点C，G，∠1＝∠2．
求证：CD//EF．
证明：∵AC⊥BC，DG⊥AC，（已知）
∴∠DGA＝∠BCA＝90°，（垂直的定义）
∴ // （ ）
∴∠2＝∠BCD，（ ）
又∵∠l＝∠2，（已知）
∴∠1＝∠ ，（等量代换）
∴CD//EF．（同位角相等，两直线平行）
6．（2022秋·全国·八年级专题练习）学习了平行线后，小敏想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的（如图①～④)．从图中操作过程你知道小敏画平行线的依据吗？请把你的想法写出来．
知识点02 内错角相等两直线平行
【知识点】
判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．
简单说成：内错角相等，两直线平行。
∵∠2＝∠3
∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
【典型例题】
例1．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，四边形中，下列条件可以判定的是（ ）
A．B．
C．D．
例2．（2022秋·上海奉贤·八年级校考期中）如图，下列推论正确的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
例3．（2022秋·八年级单元测试）如图，下列条件中能推出的有_______．
①∠3=∠5，②∠1=∠7，③∠2+∠5=180°，④∠1+∠4=180°．
【即学即练】
1．（2022春·新疆乌鲁木齐·七年级乌鲁木齐市第九中学校考期中）如图，下列判断中错误的是（ ）
A．因为∠1=∠2，所以B．因为∠5=∠BAE，所以
C．因为∠3=∠4，所以D．因为∠5=∠BDC，所以
2．（2022春·河北保定·七年级校考阶段练习）如图，若∥，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022春·山东德州·七年级校考阶段练习）如图，下列条件：①；②；③；④，其中能判断直线的有（ ）
A．②④B．③④C．②③D．①④
4．（2022春·上海宝山·七年级校考阶段练习）如图所示，已知∠1＝56°，∠2＝44°，∠3＝80°，那么_____∥_____，判断依据是_____．
5．（2023春·七年级单元测试）如图，在四边形ABCD中，在不添加任何辅助线和字母的情况下，添加一个条件___，使ABDC．（填一个即可）
6．（2022春·湖北武汉·九年级武汉第三寄宿中学校考阶段练习）如图，直线分别交直线、于点、平分交于点若，求证：AB//CD．
知识点03 同旁内角互补两直线平行
【知识点】
判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行
简单说成： 同旁内角互补，两直线平行。
∵∠4＋∠2＝180°
∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
【典型例题】
例1．（2023秋·重庆渝中·七年级重庆巴蜀中学校考期末）如图，下列说法中，正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
例2．（2022秋·全国·八年级专题练习）在铺设铁轨时，两条直轨必须是互相平行的，如图，已经知道是直角，那么再度量图中已标出的哪个角，不能判断两条直轨是否平行( )
A．B．C．D．
例3．（2022秋·八年级课时练习）将一块三角板ABC（∠BAC=90°，∠ABC=30°）按如图方式放置，使A，B两点分别落在直线m，n上，对于给出的五个条件：①∠1=25.5°，∠2=55°；②∠1+∠2=90°；③∠2=2∠1；④∠ACB=∠1+∠3；⑤∠ABC=∠2-∠1．能判断直线mn的有__．（填序号）
【即学即练】
1．（2023春·七年级单元测试）如图，，下列结论正确的是（ ）
①若，则；
②若，则；
③若，则；
④若，则．
A．①②B．②④C．②③④D．②
2．（2022春·广东汕头·七年级统考期末）如图，下列条件中：①∠1=∠3；②∠4=∠5；③∠2+∠4=180°；④∠2=∠6，其中不能判断直线//的是（ ）
A．①②③B．③④C．③D．④
3．（2022秋·八年级课时练习）在探究“过直线外一点P作已知直线a的平行线”的活动中，王玲同学通过如下的折纸方式找到了符合要求的直线，在这个过程中她可能用到的推理依据组合是（ ）
①平角的定义；②邻补角的定义；③角平分线的定义；④同旁内角互补，两直线平行；⑤两直线平行，内错角相等．
A．②④B．③⑤C．①②⑤D．①③④
4．（2021春·全国·七年级专题练习）如图，点是延长线上一点，在下列条件中：①；②；③且平分；④，能判定的有__．（填序号）
5．（2022春·黑龙江绥化·七年级校考期末）一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点B、D重合，若固定三角形AOB，改变三角板ACD的位置（其中A点位置始终不变），下列条件①∠BAD＝30°；②∠BAD＝60°；③∠BAD＝120°；④∠BAD＝150°中，能得到的CD∥AB的有__________．（填序号）
6．（2022秋·全国·八年级专题练习）动手操作：如图①：将一副三角板中的两个直角顶点叠放在一起，其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°．
(1)若∠BCD＝150°，求∠ACE的度数；
(2)试猜想∠BCD与∠ACE的数量关系，请说明理由；
(3)若按住三角板ABC不动，绕顶点C转动三角板DCE，试探究当时，∠BCD等于多少度，并简要说明理由．
知识点04 垂直同一直线的两条直线互相平行
【知识点】
在同一平面内，垂直同一直线的两条直线互相平行；注意强调同一平面内.
【典型例题】
例1．（2022春·内蒙古包头·七年级统考期中）在下列说法中，正确的有（ ）个．
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ②已知、的两边分别平行，那么；
③垂直于同一条直线的两条直线平行； ④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到直线的距离．
A．3B．2C．1D．0
例2．（2021春·内蒙古巴彦淖尔·七年级统考期末）对于同一平面内的三条直线,,，给出下列5个论断：① ； ② ； ③ ； ④ ；⑤ ；以其中两个论断作为题设，一个论断作为结论组成命题，下列命题不正确的是（ ）
A．若①②，则④B．若①②，则⑤C．若②④，则①D．若③⑤，则②
例3．（2021春·全国·七年级期末）下列说法中：
（1）不相交的两条直线叫做平行线；
（2）经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行；
（3）垂直于同一条直线的两直线平行；
（4）直线，，则；
（5）两条直线被第三条直线所截，同位角相等．
其中正确的是________．
【即学即练】
1．（2022春·上海·七年级专题练习）设a、b、c为同一平面内的三条直线，下列判断不正确的是（ ）
A．若a//b，b//c，则a//cB．若a⊥b，b⊥c，则a⊥c
C．若a⊥b，b⊥c，则a//cD．若a//b，b⊥c，则a⊥c
2．（2021春·湖南湘西·七年级统考期末）①a，b，c是直线，若a∥b，b∥c，则a∥c；②a，b，c是直线，若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；③如果∠1＝∠2，∠2＝∠3，那么∠1＝∠3；④互为邻补角的两个角相等．以上四个结论中正确的是（ ）
A．①②B．②③C．③④D．①③
3．（2022秋·八年级课时练习）如图，直线a，b，c被直线l所截，下列条件中：①1=3，4=5；②2+3=，3=7；③1=2，5=6；④2=3，4=5，能确定ac的条件的是 （ ）
A．①②③④B．①②③C．①②D．①②④
4．（2021秋·北京海淀·七年级校考期末）在同一平面内有2021条直线a1，a2，a3，…，a2021，如果a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4，a4∥a5，…，那么a1与a5的位置关系是_____；a1与a2021的位置关系是_____．
5．（2021·云南昆明·统考一模）如图，小红看到工人师傅用角尺画出工件边缘的垂线和，即可得到．请你帮小红从下列真命题中找到工人师傅画图的一个依据．真命题为：①连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；②在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行（选自人教版初中数学教科书七年级下册第14页例）；③在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线；④经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．”这个依据是__________．（只需填序号）
6．（2022春·河南许昌·七年级统考期中）（1）在一次数学活动课上，老师让同学们用两个大小、形状都相同的三角板画平行线、，并说出自己做法的依据．小琛、小萱、小冉三位同学的做法如下：
小琛说：“我的做法的依据是内错角相等，两直线平行”
①小琛说的是否正确？________（回答正确或错误）
②小萱做法的依据是________________________；
③小冉做法的依据是________________________．
（2）如图，如果，，，那么与平行吗？与呢？
题组A 基础过关练
1．（2021春·重庆渝中·七年级重庆市求精中学校校考期中）下列说法错误的是（ ）．
A．同位角相等，两直线平行B．同旁内角互补，两直线平行
C．对顶角互补，两直线垂直D．对顶角相等，两直线平行
2．（2022春·广东江门·七年级江门市福泉奥林匹克学校校考阶段练习）如图，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022秋·八年级单元测试）在同一平面内，将两个完全相同的三角板按如图摆放（直角边重合），可以画出两条互相平行的直线，这样操作的依据是（ ）
A．两直线平行，同位角相等B．同位角相等，两直线平行
C．两直线平行，内错角相等D．内错角相等，两直线平行
4．（2022春·河北保定·七年级统考期末）如图，将木条，与钉在一起，，，要使木条与平行，木条需顺时针旋转的最小度数是（ ）
A．B．C．D．
5．（2021春·辽宁沈阳·七年级沈阳市第一二六中学校考阶段练习）如图，若，则互相平行的线段是___________．
6．（2022春·广东广州·七年级校考期末）如图，∠1=30°，AB⊥AC，要使，需再添加的一个条件是____________．（要求：添加这个条件后，其它条件也必不可少，才能推出结论）
7．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，一个弯形管道，若它的两个拐角，，则管道．这里用到的推理依据是_________．
8．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，已知直线a、直线b和直线c均为直线l所截，∠1=68°，∠2=68°，∠3=112°．
（1）因为∠1=68°，∠2=68°（已知），所以∠1=∠2（等量代换），所以___________（同位角相等，两直线平行）．
（2）因为∠3+∠4=180°（邻补角定义)，∠3=112°，所以∠4=68°．
又因为∠2=68°，所以∠2=∠4（等量代换），所以_____________（同位角相等，两直线平行）．
9．（2022秋·八年级课时练习）学习了两条直线平行的判定方法1后，谢老师接着问：“由同位角相等，可以判断两条直线平行，那么能否利用内错角相等来判定两条直线平行呢？”如图，直线AB和CD被直线EF所截，∠2＝∠3，ABCD吗？说明理由．
现请你补充完下面的说理过程：
答：ABCD
理由如下：
∵∠2＝∠3（已知）
且 （ ）
∴∠1＝∠2
∴ABCD（ ）
10．（2022春·北京延庆·七年级统考期末）如图，∠B+∠BAD=180°，∠1=∠2． 求证：ABCD．请将下面的证明过程补充完整．
证明：
∵∠B+∠BAD=180°（已知），
∠1+∠BAD=180°（ ），
∴∠1=∠B（ ）．
∵∠1=∠2（已知），
∴∠2＝ （ ）．
∴ABCD（ ）．
题组B 能力提升练
1．（2021春·山东济南·七年级统考期中）如图，在下列条件中，不能判定的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023春·七年级单元测试）如图，下列条件中，能够判定的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022秋·全国·八年级专题练习）给出下列说法：
（1）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；
（2）相等的两个角是对顶角；
（3）直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到直线的距离；
（4）垂直于同一条直线的两直线平行；其中正确的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
4．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，将一副三角板按如图放置，则下列结论：①；②；③如果，则有；④．其中正确的序号是（ ）
A．①②③④B．①②④C．①②③D．①③④
5．（2022春·山东滨州·七年级统考期末）如图，下列条件能判断的是__________（多选）．
① ② ③ ④
6．（2022春·山东枣庄·七年级统考期中）平行线在生活中应用很广泛，人们为了准确地画出平行线，往往利用三角尺和直尺按照下面的方法去做：
第一步：作直线AB，并用三角尺的一条边贴住直线AB；
第二步：用直尺紧靠三角尺的另一条边；
第三步：沿直尺下移三角尺；
第四步：沿三角尺的边作出直线CD．这样，就得到．
请写出其中的道理：______．
7．（2022春·江西南昌·七年级统考期末）如图，将一副三角板按如图放置，则下列结论：①；②当时，则有；③当时，则有；④当时，则有．其中正确的序号是______．
8．（2022春·河南许昌·七年级许昌市第一中学校考期中）如图，那么图形中的平行线有______．
9．（2022春·全国·七年级专题练习）光线从空气中射入水中会产生折射现象，同时光线从水中射入空气中也会产生折射现象，如图，光线a从空气中射入水中，再从水中射入空气中，形成光线b，根据光学知识有，，请判断光线a与光线b是否平行，并说明理由．
10．（2022春·甘肃平凉·七年级校考期中）如图，
(1) 等于多少度？
(2)AD与BC平行吗？请说明理由．
题组C 培优拔尖练
1．（2023春·七年级单元测试）如图，下列条件中，能判断的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022春·广东肇庆·七年级校考期中）如图，下列能判定ADBE的条件有（ ）个．
（1）∠B+∠BAD＝180°；（2）∠1＝∠2；（3）∠3＝∠4；（4）∠D＝∠5；（5）∠D+∠BCD＝180°．
A．1B．2C．3D．4
3．（2022春·山东东营·六年级校考期末）小颖学习了平行线的相关知识后，利用如图所示的方法，折出了“过已知直线AB外一点P和已知直线AB平行的直线MN”，下列关于MN∥AB的依据描述正确的是（ ）
A．同位角相等，两直线平行B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行D．以上选项均正确
4．（2021春·浙江杭州·七年级期中）下列说法①两直线被第三条直线所截，同旁内角互补；②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；③对顶角相等；④若∠A的两边和∠B的两边分别平行，且∠A比∠B的2倍少27°，则∠A的度数为69°，其中正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．（2022春·内蒙古通辽·七年级统考阶段练习）如图，直线a，b与直线c相交，给出下列条件：①∠1=∠2；②∠3=∠6；③∠4＋∠7=180°；④∠5＋∠3=180°，其中能判断ab的是________（填序号）．
6．（2023春·七年级单元测试）如图，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．，CD与AB在直线EF异侧．若，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和6度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t秒，在射线CD转动一周的时间内，当时间t的值为______时，CD与AB平行．
7．（2021春·湖南岳阳·七年级统考期末）如图，将一副三角板按如图所示放置，，，，且，则下列结论中：①；②若平分，则有；③将三角形绕点旋转，使得点落在线段上，则此时；④若，则．其中结论正确的选项有______．（写出所有正确结论的序号）
8．（2021秋·山西·八年级统考期末）如图1，在探索“如何过直线外一点作已知直线的平行线”时，小颖利用两块完全相同的三角尺进行如下操作：如图 2 所示，（1）用第一块三角尺的一条边贴住直线 l，第二块三角尺的一条边紧靠第一块三角尺；（2）将第二块三角尺沿第一块三角尺移动，使其另一边经过点 A，沿这边作出直线 AB，直线 AB 即为所求，则小颖的作图依据是________．
9．（2023春·七年级单元测试）如图，已知点O在直线AB上，射线OE平分∠AOC，过点O作OD⊥OE，G是射线OB上一点，连接DG，使∠ODG+∠DOG=90°．
(1)求证：∠AOE=∠ODG；
(2)若∠ODG=∠C，试判断CD与OE的位置关系，并说明理由．
10．（2022秋·全国·八年级专题练习）在三角形中，点在线段上，ED//BC交于点，点在线段上点不与点，，重合，连接，过点作交射线于点．
(1)如图，点在线段上，用等式表示与的数量关系，并证明；
(2)如图，点在线段上，求证：；
(3)当点在线段上时，依题意，在图中补全图形，请直接用等式表示与的数量关系，不需证明．
专题1.3 平行线的判定
1.掌握同位角相等，两直线平行；
2.掌握内错角相等，两直线平行；
3.掌握同旁内角互补，两直线平行；
4.掌握垂直同一直线的两条直线互相平行；
知识点01 同位角相等两直线平行
【知识点】
判定方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行
简单说成： 同位角相等，两直线平行。
几何语言：
∵∠1＝∠2
∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
【典型例题】
例1．（2022秋·内蒙古乌兰察布·七年级校考期末）如图是两条直线平行的证明过程，证明步骤被打乱，则下列排序正确的是（ ）
如图，已知，，求证：与平行．证明：
①：；
②：，；
③：；
④：；
⑤：．
A．①②③④⑤B．②③⑤④①C．②④⑤③①D．③②④⑤①
【答案】B
【分析】先证明，结合，证明，从而可得结论．
【详解】根据平行线的判定解答即可．
证明：∵（已知），（邻补角的定义），
∴（同角的补角相等）．
∵（已知），
∴（等量代换），
∴（同位角相等，两直线平行）．
所以排序正确的是②③⑤④①，
故选：B．
【点睛】本题考查的是补角的性质，平行线的判定，证明是解本题的关键．
例2．2．（2022春·甘肃陇南·七年级校考阶段练习）如图，两直线，被直线所截，已知，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠3的度数，又由邻补角的定义，即可求得∠2的度数．
【详解】解：∵ab，∠1=62°，
∴∠3=∠1=62°，
∴∠2=180°-∠3=118°．
故选：C．
【点睛】此题考查了平行线的性质与邻补角的定义．解题的关键是熟练掌握两直线平行，同位角相等定理的应用．
例3．（2022春·甘肃陇南·七年级校考期末）如图，，垂足为，，垂足为，＝．在下面括号中填上理由．
因为，，
所以＝＝．
又因为＝( )，
所以＝( )，
即＝．
所以( )
【答案】 已知 等量减等量，差相等 同位角相等，两直线平行
【分析】根据垂线的定义，得出＝＝，再根据角的等量关系，得出＝，然后再根据同位角相等，两直线平行，得出，最后根据解题过程的理由填写即可．
【详解】因为，，
所以＝＝．
又因为＝（已知），
所以＝（等量减等量，差相等），
即＝．
所以（同位角相等，两直线平行）．
【点睛】本题考查了垂线的定义、平行线的判定，解本题的关键在熟练掌握平行线的判定定理．
【即学即练】
1．（2022春·浙江温州·七年级瑞安市安阳实验中学校考期中）下列图形中，能由∠1＝∠2得到的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据平行线的判定定理逐一判断即可．
【详解】∵ 中由∠1＝∠2不能得到，
∴不符合题意；
∵ 中由∠1＝∠2得到，
∴不符合题意；
∵ 中由∠1＝∠2不能得到，
∴不符合题意；
∵ 中由∠1＝∠2得到，
∴符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了平行线的判定定理，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．
2．（2022秋·八年级单元测试）如图，和分别为直线与直线和相交所成角．如果，那么添加下列哪个条件后，可判定．（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】通过同位角相等两直线平行进行判定即可.
【详解】A.∵，∴∠3=180 º-∠2=62 º=∠1，∴能判定，此选项正确；
B.∵，∴∠3=180 º-∠4=52 º≠∠1，∴不能判定，此选项错误；
C.∵，∴∠3≠∠1，∴不能判定，此选项错误；
D.∵，∴∠3=∠28º≠∠1，∴不能判定，此选项错误；
故选：A
【点睛】此题考查平行线的判定，掌握同位角相等两直线平行是解答此题的关键.
3．（2021·浙江·统考模拟预测）如图，用直尺和三角尺画图：已知点P和直线a，经过点P作直线b，使，其画法的依据是（ ）
A．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．两直线平行，同位角相等
C．同位角相等，两直线平行
D．内错角相等，两直线平行
【答案】C
【分析】根据平行线的判定定理即可得出结论．
【详解】解：由画法可知，其画法的依据是同位角相等，两直线平行．
故选：C．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．
4．（2022春·天津滨海新·七年级统考期末）李强同学学完“相交线与平行线”一章后，在一本数学读物上看到一种只利用圆规和无刻度直尺作图的方法：
① 以∠AOB的顶点O为圆心，以适当长为半径画弧，交OA边于点M，交OB边于点N；② 作一条射线CD，以点C为圆心，以OM长为半径画弧，与射线CD交于点E；③ 以点E为圆心，以MN长为半径画弧，与②中所画弧交于点F；④ 过点F作射线CP，则∠PCD=∠BOA．如图1：
李强想利用这种方法过平面内一点Q作直线l的平行线a，如图2．
（1）李强同学能借助上述方法作出直线l的平行线a吗？______（填“能”或“不能”）.
（2）如果能，请在图2中作出直线a, 保留作图痕迹，并说明能够证明这两条直线平行的理由：________________．
【答案】 能 图见解析，同位角相等，两直线平行
【分析】（1）根据题目中所列的方法即可判断；
（2）根据题目中所列的方法即可画出图形
【详解】解：（1）根据题目中的方法，作出角与已知角相等，再由平行线的判定从而得到平行线，即可用上述方法作出直线l的平行线a；
（2）如图所示，
证明这两条直线平行的理由：同位角相等，两直线平行
故答案为：能；图见解析；同位角相等，两直线平行．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
5．（2020春·广东广州·七年级统考期末）完成下面的证明．
如图，AC⊥BC，DG⊥AC，垂足分别为点C，G，∠1＝∠2．
求证：CD//EF．
证明：∵AC⊥BC，DG⊥AC，（已知）
∴∠DGA＝∠BCA＝90°，（垂直的定义）
∴ // （ ）
∴∠2＝∠BCD，（ ）
又∵∠l＝∠2，（已知）
∴∠1＝∠ ，（等量代换）
∴CD//EF．（同位角相等，两直线平行）
【答案】DG，BC，同位角相等，两直线平行，两直线平行，内错角相等，BCD．
【分析】根据垂直的定义求出∠DGA＝∠BCA＝90°，根据平行线的判定得出DG//BC，根据平行线的性质得出∠2＝∠BCD，求出∠1＝∠BCD，根据平行线的判定得出即可．
【详解】∵AC⊥BC，DG⊥AC（已知），
∴∠DGA＝∠BCA＝90°，（垂直的定义），
∴DG//BC（同位角相等，两直线平行），
∴∠2＝∠BCD（两直线平行，内错角相等），
又∵∠l＝∠2，（已知）
∴∠1＝∠BCD（等量代换），
∴CD//EF（同位角相等，两直线平行），
故答案为：DG，BC，同位角相等，两直线平行，两直线平行，内错角相等，BCD．
【点睛】本题考查平行的证明，解题关键是通过角度的转化，推导得出∠1=∠BCD，从而证明平行．
6．（2022秋·全国·八年级专题练习）学习了平行线后，小敏想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的（如图①～④)．从图中操作过程你知道小敏画平行线的依据吗？请把你的想法写出来．
【答案】见解析
【分析】由折叠的性质可得∠1=∠2=90°，根据同位角相等，即可证明两直线平行．
【详解】由折叠得：AB⊥PE，CD⊥PE，
∴∠1=∠2=90°，
∴．
∴依据是：同位角相等，两直线平行
【点睛】本题考查了折叠的性质及平行线的判定，熟练掌握知识点是解题的关键．
知识点02 内错角相等两直线平行
【知识点】
判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．
简单说成：内错角相等，两直线平行。
∵∠2＝∠3
∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
【典型例题】
例1．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，四边形中，下列条件可以判定的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可．
【详解】解：A．∵，∴，符合题意；
B．∵，∴，不符合题意；
C．不能判定，不符合题意；
D．不能判定，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查的是平行线的判定，用到的知识点为：内错角相等，两直线平行．
例2．（2022秋·上海奉贤·八年级校考期中）如图，下列推论正确的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】利用平行线的判定方法判断即可得到结果．
【详解】解：A、，
∴（内错角相等，两直线平行），不符合题意；
B、，
∴（同位角相等，两直线平行），不符合题意；
C、由无法得到，不符合题意；
D、，
∴（同位角相等，两直线平行），符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．
例3．（2022秋·八年级单元测试）如图，下列条件中能推出的有_______．
①∠3=∠5，②∠1=∠7，③∠2+∠5=180°，④∠1+∠4=180°．
【答案】①②③
【分析】根据平行线的判定依次判断即可．
【详解】解：∵∠3=∠5，
∴（内错角相等，两直线平行），
∴①符合题意；
∵∠1=∠3，∠1=∠7，
∴∠3=∠7，
∴（同位角相等，两直线平行），
∴②符合题意；
∵∠2＋∠1=180°，∠2＋∠5=180°，
∴∠1＝∠5，
∴（同位角相等，两直线平行），
∴③符合题意；
∠1＋∠4=180°，因为两个角是邻补角，不能证明．
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了平行线的判定定理，熟练掌握平行线的判定是解答本题的关键．
【即学即练】
1．（2022春·新疆乌鲁木齐·七年级乌鲁木齐市第九中学校考期中）如图，下列判断中错误的是（ ）
A．因为∠1=∠2，所以B．因为∠5=∠BAE，所以
C．因为∠3=∠4，所以D．因为∠5=∠BDC，所以
【答案】B
【分析】根据平行线的判定定理求解判断即可．
【详解】因为∠1=∠2，所以AE∥BD，故A正确，不符合题意；
因为∠5=∠BAE，所以AB∥CD，故B错误，符合题意；
因为∠3=∠4，所以AB∥CD，故C正确，不符合题意；
因为∠5=∠BDC，所以AE∥BD，故D正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
2．（2022春·河北保定·七年级校考阶段练习）如图，若∥，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】可以从直线DE、AC的截线所组成的“三线八角”图形入手进行判断．
【详解】A.∠EDC＝∠EFC不是两直线被第三条直线所截得到的，因而不能判定两直线平行，故本选项不符合题意；
B.∠AFE＝∠ACD，是EF和BC被AC所截得到的同位角可以判定EF∥BC，但不能判定DE∥AC，故本选项不符合题意；
C.∠3＝∠4这两个角是AC与DE被EC所截得到的内错角，可以判定DE∥AC，符合题意；
D.∠1＝∠2是EF和BC被EC所截得到的同位角和内错角，可以判定EF∥BC，但不能判定DE∥AC，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．
3．（2022春·山东德州·七年级校考阶段练习）如图，下列条件：①；②；③；④，其中能判断直线的有（ ）
A．②④B．③④C．②③D．①④
【答案】A
【分析】根据平行线的判定定理，对各小题进行逐一判断即可．
【详解】解：①由∠1=∠2不能得到l1∥l2，故本条件不合题意；
②∵∠4=∠5，∴l1∥l2，故本条件符合题意；
③由∠6+∠4=180°不能得到l1∥l2，故本条件不合题意；
④∵∠1=∠3，∴l1∥l2，故本条件符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线的判定，掌握平行线的判定定理是解题的关键．
4．（2022春·上海宝山·七年级校考阶段练习）如图所示，已知∠1＝56°，∠2＝44°，∠3＝80°，那么_____∥_____，判断依据是_____．
【答案】 AB CD 内错角相等，两直线平行(答案不唯一)
【分析】根据平行线的判定定理求解即可．
【详解】∵∠1+∠3+∠ABD＝180°，∠1＝56°，∠3＝80°，
∴∠ABD＝180°﹣56°﹣80°＝44°，
∵∠2＝44°，
∴∠2＝∠ABD，
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），
故答案为：AB；CD；内错角相等，两直线平行．
【点睛】此题考查了平行线的判定，熟记“内错角相等，两直线平行”是解题的关键．
5．（2023春·七年级单元测试）如图，在四边形ABCD中，在不添加任何辅助线和字母的情况下，添加一个条件___，使ABDC．（填一个即可）
【答案】BAC=DCA
【分析】根据平行线的逆定理判断即可求解．
【详解】解：给定条件BAC=DCA，
∴ABDC（内错角相等两条直线平行）．
故答案为：BAC=DCA．
【点睛】本题考查了平行线的判定，熟记三种判定平行线的方式是解决此题的关键．
6．（2022春·湖北武汉·九年级武汉第三寄宿中学校考阶段练习）如图，直线分别交直线、于点、平分交于点若，求证：AB//CD．
【答案】见解析
【分析】欲证明，只需推知．
【详解】证明：平分交于点，
．
，
，
．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，掌握定理是解题的关键．
知识点03 同旁内角互补两直线平行
【知识点】
判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行
简单说成： 同旁内角互补，两直线平行。
∵∠4＋∠2＝180°
∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
【典型例题】
例1．（2023秋·重庆渝中·七年级重庆巴蜀中学校考期末）如图，下列说法中，正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】D
【分析】根据平行线的判定条件逐一判断即可得到答案．
【详解】解：A、，不能判断，选项错误；
B、，可以判断，不能判断，选项错误；
C、，可以判断，不能判断，选项错误；
D、，可以判断，选项正确，
故选D．
【点睛】本题考查了平行线的判定，解题关键是掌握平行线的判定条件：①内错角相等，两直线平行；②同位角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行．
例2．（2022秋·全国·八年级专题练习）在铺设铁轨时，两条直轨必须是互相平行的，如图，已经知道是直角，那么再度量图中已标出的哪个角，不能判断两条直轨是否平行( )
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】因为∠2是直角，只要找出与∠2互为同位角、内错角、同旁内角的其他角，根据平行线的判定定理判定即可得到正确答案．
【详解】因为∠2是直角，∠4和∠2是同位角，如果度量出，
根据“同位角相等，两直线平行”，就可以判断两条直轨平行，
∠5和∠2是内错角，如果度量出，
根据“内错角相等，两直线平行”，就可以判断两条直轨平行，
∠3和∠2是同旁内角，如果度量出，
根据“同旁内角互补，两直线平行”，就可以判断两条直轨平行，
所以答案为：A．
【点睛】本题考查两直线平行的判定定理，解决本题的关键是熟练的掌握平行线的判定定理．
例3．（2022秋·八年级课时练习）将一块三角板ABC（∠BAC=90°，∠ABC=30°）按如图方式放置，使A，B两点分别落在直线m，n上，对于给出的五个条件：①∠1=25.5°，∠2=55°；②∠1+∠2=90°；③∠2=2∠1；④∠ACB=∠1+∠3；⑤∠ABC=∠2-∠1．能判断直线mn的有__．（填序号）
【答案】①④⑤
【分析】根据平行线的判定方法和题目中各个小题中的条件，逐一判断是否可以得到m∥n，从而可以解答本题．
【详解】解：∵∠1=25.5°，∠2=55°，∠ABC=30°，
∴∠ABC+∠1=55.5°=55°=∠2，
∴mn，故①符合题意；
∵∠1+∠2=90°，∠ABC=30°，
∴∠1+∠ABC不一定等于∠2，
∴m和n不一定平行，故②不符合题意；
∵∠2=2∠1，∠ABC=30°，
∴∠1+∠ABC不一定等于∠2，
∴m和n不一定平行，故③不符合题意；
过点C作CEm，
∴∠3=∠4，
∵∠ACB=∠1+∠3，∠ACB=∠4+∠5，
∴∠1=∠5，
∴ECn，
∴mn，故④符合题意；
∵∠ABC=∠2-∠1，
∴∠2=∠ABC+∠1，
∴mn，故⑤符合题意；
故答案为：①④⑤．
【点睛】本题考查平行线的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
【即学即练】
1．（2023春·七年级单元测试）如图，，下列结论正确的是（ ）
①若，则；
②若，则；
③若，则；
④若，则．
A．①②B．②④C．②③④D．②
【答案】B
【分析】根据平行线的判定定理，即可一一判定．
【详解】解：由，不能判定，
故①不符合题意；
，，
，
，
故②符合题意；
由，，不能判定，
故③不符合题意；
，，
，
，
故④符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的判定定理，熟练掌握和运用平行线的判定定理是解决本题的关键．
2．（2022春·广东汕头·七年级统考期末）如图，下列条件中：①∠1=∠3；②∠4=∠5；③∠2+∠4=180°；④∠2=∠6，其中不能判断直线//的是（ ）
A．①②③B．③④C．③D．④
【答案】D
【分析】根据平行线的判定方法，对各条件逐一判断即可．
【详解】解：①∵∠1=∠3
∴l1//l2（内错角相等，两直线平行），故本条件不合题意；
②∵∠4=∠5，
∴l1//l2（同位角相等，两直线平行），故本条件不符合题意；
③∵∠2+∠4=180°，
∴l1//l2（同旁内角互补，两直线平行），故本条件不符合题意；
④∵∠2、∠6，无特殊位置关系，
∴由∠2=∠6不能得到l1//l2，故本条件合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了行线的判定方法，解题的关键是熟练掌握平行线的行线的判定方法是解答本题的关键．平行线的判定方法：①两同位角相等，两直线平行； ②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行．
3．（2022秋·八年级课时练习）在探究“过直线外一点P作已知直线a的平行线”的活动中，王玲同学通过如下的折纸方式找到了符合要求的直线，在这个过程中她可能用到的推理依据组合是（ ）
①平角的定义；②邻补角的定义；③角平分线的定义；④同旁内角互补，两直线平行；⑤两直线平行，内错角相等．
A．②④B．③⑤C．①②⑤D．①③④
【答案】D
【分析】如图5，设直线PA与纸片的边相交于点M、点N，直线AB与纸片的边交于点H，根据翻折变换的性质推出∠PAB=∠PAH，∠MPC=∠APC，然后根据平角∠MPA=∠HAB=180°，即可推出∠PAB=∠PAH=90°，∠MPC=∠APC=90°，即得b平行于a．
【详解】解：如图5，设直线PA与纸片的边相交于点M、点N，直线AB与纸片的边交于点H，
∵如题图2，对折后，射线AH与射线AB重合而产生折线AP，
∴∠PAB=∠PAH（角平分线的定义），
∵如题图3，对折后，射线PM和射线PA重合而产生折线PC，
∴∠MPC=∠APC（角平分线的定义），
∵点M、P、A在同一条直线上，点B、A、H在同一条直线上，
∴∠MPA=∠HAB=180°（平角的定义），
∴∠PAB=∠PAH=90°，∠MPC=∠APC=90°．
∴b∥a（同旁内角互补，两直线平行）．
故选：D．
【点睛】本题主要考查翻折变换的性质，关键在于通过相关的性质推出∠PAB=∠PAH，∠MPC=∠APC，确定∠MPA和∠HAB为平角．
4．（2021春·全国·七年级专题练习）如图，点是延长线上一点，在下列条件中：①；②；③且平分；④，能判定的有__．（填序号）
【答案】③④
【分析】根据平行线的判定方法分别判定得出答案．
【详解】①中，，（内错角相等，两直线平行），不合题意；
②中，，（同位角相等，两直线平行），不合题意；
③中，且平分，，，故此选项符合题意；
④中，， （同旁内角互补，两直线平行），故此选项符合题意；
答案：③④．
【点睛】此题主要考查了平行线的判定，正确掌握平行线的判定方法是解题关键．
5．（2022春·黑龙江绥化·七年级校考期末）一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点B、D重合，若固定三角形AOB，改变三角板ACD的位置（其中A点位置始终不变），下列条件①∠BAD＝30°；②∠BAD＝60°；③∠BAD＝120°；④∠BAD＝150°中，能得到的CD∥AB的有__________．（填序号）
【答案】①④
【分析】分两种情况，根据CD∥AB，利用平行线的性质，即可得到∠BAD的度数．
【详解】解：如图所示：当CD∥AB时，∠BAD=∠D=30°；
如图所示，当AB∥CD时，∠C=∠BAC=60°，
∴∠BAD=60°+90°=150°；
∴∠BAD=150°或∠BAD =30°．
故答案为：①④．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由直线的平行关系来寻找角的数量关系．
6．（2022秋·全国·八年级专题练习）动手操作：如图①：将一副三角板中的两个直角顶点叠放在一起，其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°．
(1)若∠BCD＝150°，求∠ACE的度数；
(2)试猜想∠BCD与∠ACE的数量关系，请说明理由；
(3)若按住三角板ABC不动，绕顶点C转动三角板DCE，试探究当时，∠BCD等于多少度，并简要说明理由．
【答案】(1)30°
(2)∠BCD＋∠ACE＝180°；理由见解析
(3)当∠BCD＝120°或60°时，；理由见解析
【分析】（1）依据∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+∠ACD，即可得到∠BCD+∠ACE的度数；
（2）依据∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+∠ACD，即可得到∠BCD+∠ACE的度数；
（3）分两种情况讨论，依据平行线的判定，即可得到当∠BCD等于120°或60°时，．
【详解】（1）解：∵∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+∠ACD，
∴∠BCD+∠ACE
=90°+∠ACD+∠ACE
=90°+90°
=180°
∵∠BCD=150°，
∴∠ACE=180°-150°=30°．
（2）∠BCD+∠ACE=180°，理由如下：
∵∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+∠ACD，
∴∠BCD+∠ACE
=90°+∠ACD+∠ACE
=90°+90°
=180°
（3）当∠BCD＝120°或60°时，．
如图1所示，根据同旁内角互补，两直线平行，
当∠B＋∠BCD＝180°时，，
∴此时∠BCD＝180°－∠B＝180°－60°＝120°；
如图2所示，根据内错角相等，两直线平行，
当∠BCD＝∠B＝60°时，．
综上所述，∠BCD=60°或120°.
【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的性质定理和判定定理，并且能够准确识图，是解题的关键．
知识点04 垂直同一直线的两条直线互相平行
【知识点】
在同一平面内，垂直同一直线的两条直线互相平行；注意强调同一平面内.
【典型例题】
例1．（2022春·内蒙古包头·七年级统考期中）在下列说法中，正确的有（ ）个．
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ②已知、的两边分别平行，那么；
③垂直于同一条直线的两条直线平行； ④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到直线的距离．
A．3B．2C．1D．0
【答案】D
【分析】利用平行公理，平行线的性质定理，点到直线的距离的定义逐项判断即可．
【详解】解：同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，因此①错误；
、的两边分别平行时，或，因此②错误；
同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，因此③错误；
从直线外一点到这条直线所画的垂线段的长度叫做这点到直线的距离，故④错误；
故选：D．
【点睛】本题考查平行公理，平行线的性质定理，点到直线的距离的定义等，解题的关键是熟练掌握上述基本知识，不要漏掉前置条件．
例2．（2021春·内蒙古巴彦淖尔·七年级统考期末）对于同一平面内的三条直线,,，给出下列5个论断：① ； ② ； ③ ； ④ ；⑤ ；以其中两个论断作为题设，一个论断作为结论组成命题，下列命题不正确的是（ ）
A．若①②，则④B．若①②，则⑤C．若②④，则①D．若③⑤，则②
【答案】B
【分析】利用平行线的传递性可对A、B、C进行判定；根据平行线的判定方法可对D进行判定．
【详解】根据平行线的传递性，由①②可得到④，所以A正确，不能得到⑤，则B错误，
根据平行线的传递性，由②④可得到①，所以C正确，
根据平行线的性质和垂直的定义，由③⑤可得②，所以D正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
例3．（2021春·全国·七年级期末）下列说法中：
（1）不相交的两条直线叫做平行线；
（2）经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行；
（3）垂直于同一条直线的两直线平行；
（4）直线，，则；
（5）两条直线被第三条直线所截，同位角相等．
其中正确的是________．
【答案】（4）
【分析】根据平行线的定义，平行线的性质，平行公理的推论解答．
【详解】（1）在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，故该项错误；
（2）过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，故该项错误；
（3）在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，故该项错误；
（4）直线，，则，故该项正确；
（5）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故该项错误．
故选：（4）．
【点睛】此题考查判断语句，熟记平行线的定义，平行线的性质，平行公理的推论是解题的关键．
【即学即练】
1．（2022春·上海·七年级专题练习）设a、b、c为同一平面内的三条直线，下列判断不正确的是（ ）
A．若a//b，b//c，则a//cB．若a⊥b，b⊥c，则a⊥c
C．若a⊥b，b⊥c，则a//cD．若a//b，b⊥c，则a⊥c
【答案】B
【详解】根据平行线的判定定理及垂直的性质逐项进行分析即可解答．
【解答】解：A．根据平行于同一直线的两直线平行，即可推出a//c，则本选项正确，不合题意，
B．根据垂直于同一直线的两直线平行，即可推出a∥c，故本选项错误，符合题意，
C．根据垂直于同一直线的两直线平行，即可推出a∥c，本选项正确，不合题意，
D．根据平行线的性质，即可推出a⊥c，本选项正确，不合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查平行线的判定定理及性质、垂直的性质等知识点，灵活运用相关的性质定理并是解答本题的关键．
2．（2021春·湖南湘西·七年级统考期末）①a，b，c是直线，若a∥b，b∥c，则a∥c；②a，b，c是直线，若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；③如果∠1＝∠2，∠2＝∠3，那么∠1＝∠3；④互为邻补角的两个角相等．以上四个结论中正确的是（ ）
A．①②B．②③C．③④D．①③
【答案】D
【分析】根据平行公理及推论，平行线的判定，邻补角的定义逐个判断即可．
【详解】解：∵a，b，c是直线，a∥b，b∥c，
∴a∥c，故①正确；
当a、b、c在同一平面内时，如下图：
若a⊥b，b⊥c，则a∥c；故②错误；
∵∠1＝∠2，∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，故③正确；
如果∠1和∠2互为邻补角，当∠1＝30°，∠2＝150°也符合，
即互为邻补角的两个角不一定相等，故④错误；
即正确的是①③，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行公理及推论，平行线的判定，垂直的定义，邻补角定义等知识点，能熟记平行公理及推论、平行线的判定、垂直的定义、邻补角定义是解此题的关键．
3．（2022秋·八年级课时练习）如图，直线a，b，c被直线l所截，下列条件中：①1=3，4=5；②2+3=，3=7；③1=2，5=6；④2=3，4=5，能确定ac的条件的是 （ ）
A．①②③④B．①②③C．①②D．①②④
【答案】B
【分析】根据平行线的判定定理逐项分析判断即可．
【详解】解：①∵∠1＝∠3，
∴ab，
∵∠4＝∠5，
∴bc，
∴ac，符合题意；
②∵2+3=，
∴ab，
∵3=4，3=7，
∴4=7，
∴bc，
∴ac，符合题意；
③∵1=2，1＋2＝180°，
∴1=2=90°，
∴a⊥l，
∵5=6，5＋6＝180°，
∴5=6=90°，
∴c⊥l，
∴ac，符合题意；
④由4=5可得bc，但是由2=3，无法推出ab，
故无法得出ac，不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查的是平行线的判定，用到的知识点为：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行．
4．（2021秋·北京海淀·七年级校考期末）在同一平面内有2021条直线a1，a2，a3，…，a2021，如果a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4，a4∥a5，…，那么a1与a5的位置关系是_____；a1与a2021的位置关系是_____．
【答案】 平行 平行
【分析】根据平行线的性质和规律得到：4条直线的位置关系为一个循环．
【详解】如图，a1⊥a2，a2∥a3，
∴a1⊥a3，
∵a3⊥a4，
∴a1∥a4，
∵a4∥a5，
∴a1∥a5，
…，
依此类推，a1⊥a6，a1⊥a7，a1∥a8，a1∥a9，连续4条直线的位置关系为一个循环．
∴2021＝505×4+1，
∴a1∥a2021．
故答案是：平行；平行．
【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是找到直线位置关系的规律．
5．（2021·云南昆明·统考一模）如图，小红看到工人师傅用角尺画出工件边缘的垂线和，即可得到．请你帮小红从下列真命题中找到工人师傅画图的一个依据．真命题为：①连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；②在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行（选自人教版初中数学教科书七年级下册第14页例）；③在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线；④经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．”这个依据是__________．（只需填序号）
【答案】②
【分析】根据垂直于同一条直线的两条直线平行判断即可．
【详解】解：由题意：a⊥AB，b⊥AB，
∴（在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行），
故答案为：②．
【点睛】本题考查平行线的判定，平行公理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
6．（2022春·河南许昌·七年级统考期中）（1）在一次数学活动课上，老师让同学们用两个大小、形状都相同的三角板画平行线、，并说出自己做法的依据．小琛、小萱、小冉三位同学的做法如下：
小琛说：“我的做法的依据是内错角相等，两直线平行”
①小琛说的是否正确？________（回答正确或错误）
②小萱做法的依据是________________________；
③小冉做法的依据是________________________．
（2）如图，如果，，，那么与平行吗？与呢？
【答案】（1）①正确；②同位角相等两直线平行；③同一平面内垂直于同一直线的两条直线平行；
（2）AB∥CD，BC∥DE；
【分析】（1）根据平行线的判定方法判断即可；
（2）根据对顶角的性质，同旁内角互补两直线平行；补角的定义，内错角相等两直线平行；即可证明；
【详解】解：（1）①∵∠BAD=∠CDA，∴AB∥CD，即内错角相等两直线平行；故①正确；
②如图，
∵∠ABD=∠CDE，∴AB∥CD，即同位角相等，两直线平行；
③∵AB⊥BC，DC⊥BC，
∴AB∥CD，即同一平面内垂直于同一直线的两条直线平行；
（2）解∵∠1＝60°，∠ABC＝∠1，
∴∠ABC＝60°，
又∵∠2＝120°，
∴∠ABC+∠2＝180°，
∴AB∥CD，
又∵∠2+∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝60°，
∵∠D＝60°，
∴∠BCD＝∠D，
∴BC∥DE；
【点睛】本题考查了相交线与平行线，掌握平行线的判定方法是解题关键．
题组A 基础过关练
1．（2021春·重庆渝中·七年级重庆市求精中学校校考期中）下列说法错误的是（ ）．
A．同位角相等，两直线平行B．同旁内角互补，两直线平行
C．对顶角互补，两直线垂直D．对顶角相等，两直线平行
【答案】D
【分析】根据平行线的判定方法、对顶角对各选项进行判断．
【详解】解：A、同位角相等，两直线平行，所以A选项正确，不符合题意；
B、同旁内角互补，两直线平行，所以B选项正确，不符合题意；
C、对顶角互补，两直线垂直，所以C选项正确，不符合题意；
D、对顶角相等，不能判断两直线平行，所以D选项错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查平行线的判定方法、对顶角的知识点，掌握平行线的判定方法，对顶角相等是解题的关键．
2．（2022春·广东江门·七年级江门市福泉奥林匹克学校校考阶段练习）如图，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据平行线的判定分别进行分析可得答案．
【详解】解：A、，根据内错角相等，两直线平行可得：，故此选项不符合；
B、，根据内错角相等，两直线平行可得：，故此选项符合；
C、，根据内错角相等，两直线平行可得：，故此选项不符合；
D、，根据同旁内角互补，两直线平行可得：，故此选项不符合．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握平行线的判定定理．
3．（2022秋·八年级单元测试）在同一平面内，将两个完全相同的三角板按如图摆放（直角边重合），可以画出两条互相平行的直线，这样操作的依据是（ ）
A．两直线平行，同位角相等B．同位角相等，两直线平行
C．两直线平行，内错角相等D．内错角相等，两直线平行
【答案】D
【分析】根据内错角相等，两直线平行直接得到答案．
【详解】解：如图，
由题意得 ，根据内错角相等，两直线平行可得．
故选：D．
【点睛】本题考查平行线的判定，解题的关键是掌握内错角的定义及平行线的判定定理．
4．（2022春·河北保定·七年级统考期末）如图，将木条，与钉在一起，，，要使木条与平行，木条需顺时针旋转的最小度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】要使木条a与b平行，那么∠1=∠2，从而可求出木条a至少旋转的度数．
【详解】解：∵当木条a与b平行，
∴∠1=∠2，
∴∠1需变为50°，
∴木条a至少旋转：70º-50º=20º，
故选：B．
【点睛】本题考查了旋转的性质及平行线的性质：①两直线平行同位角相等；②两直线平行内错角相等；③两直线平行同旁内角互补；④夹在两平行线间的平行线段相等.在运用平行线的性质定理时，一定要找准同位角，内错角和同旁内角．
5．（2021春·辽宁沈阳·七年级沈阳市第一二六中学校考阶段练习）如图，若，则互相平行的线段是___________．
【答案】
【分析】因为，所以（内错角相等，两直线平行）．
【详解】解：∵，
∴（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：.
【点睛】本题主要考查平行线的判定，熟练掌握平行线判定的几种判定方法是解题的关键．
6．（2022春·广东广州·七年级校考期末）如图，∠1=30°，AB⊥AC，要使，需再添加的一个条件是____________．（要求：添加这个条件后，其它条件也必不可少，才能推出结论）
【答案】∠B=60°（答案不唯一）
【分析】由题意可求出∠BAD=120°，再根据“同旁内角互补，两直线平行”即可知需添加的条件为：∠B=60°．
【详解】可添加条件：∠B=60°．
∵∠1=30°，AB⊥AC，
∴∠BAD=30°+90°=120°．
∵∠B=60°，
∴∠B+∠BAD=180°，
∴．
故答案为：∠B=60°．（答案不唯一）
【点睛】本题考查垂线的定义，平行线的判定．掌握同旁内角互补，两直线平行是解题关键．
7．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，一个弯形管道，若它的两个拐角，，则管道．这里用到的推理依据是_________．
【答案】同旁内角互补，两直线平行
【分析】由已知∠ABC＝120°，∠BCD＝60°，即∠ABC＋∠BCD＝120°＋60°＝180°，根据同旁内角互补，两直线平行即可得到．
【详解】解：∵∠ABC＝120°，∠BCD＝60°
∴∠ABC＋∠BCD＝180°，
∴（同旁内角互补，两直线平行），
故答案为：同旁内角互补，两直线平行．
【点睛】本题考查的是平行线的判定，解答本题的关键是掌握平行线的判定定理：同旁内角互补，两直线平行．
8．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，已知直线a、直线b和直线c均为直线l所截，∠1=68°，∠2=68°，∠3=112°．
（1）因为∠1=68°，∠2=68°（已知），所以∠1=∠2（等量代换），所以___________（同位角相等，两直线平行）．
（2）因为∠3+∠4=180°（邻补角定义)，∠3=112°，所以∠4=68°．
又因为∠2=68°，所以∠2=∠4（等量代换），所以_____________（同位角相等，两直线平行）．
【答案】 a b b c
【分析】（1）根据同位角相等，两直线平行直接作答即可；
（2）根据邻补角互补先求出∠4，再根据同位角相等，两直线平行作答即可．
【详解】解：（1）∵∠1=68°，∠2=68°，
∴∠1=∠2，
∴，
故答案为：a，b；
（2）∵∠3+∠4=180°，3=112°，
∴∠4=68°，
∵∠2=68°，
∴∠2=∠4，
∴，
故答案为：b，c．
【点睛】本题主要考查了同位角相等，两直线平行的知识，平行的判定：①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行；④垂直于同一直线的两条直线平行．
9．（2022秋·八年级课时练习）学习了两条直线平行的判定方法1后，谢老师接着问：“由同位角相等，可以判断两条直线平行，那么能否利用内错角相等来判定两条直线平行呢？”如图，直线AB和CD被直线EF所截，∠2＝∠3，ABCD吗？说明理由．
现请你补充完下面的说理过程：
答：ABCD
理由如下：
∵∠2＝∠3（已知）
且 （ ）
∴∠1＝∠2
∴ABCD（ ）
【答案】∠1＝∠3；对顶角相等；同位角相等，两直线平行
【分析】根据已知条件及对顶角相等得出∠1＝∠2，由同位角相等，两直线平行即可证明．
【详解】解：ABCD
理由如下：∵∠2＝∠3（已知）
且∠1＝∠3（对顶角相等）
∴∠1＝∠2
∴ABCD（同位角相等，两直线平行），
故答案为：∠1＝∠3；对顶角相等；同位角相等，两直线平行．
【点睛】题目主要考查对顶角相等及平行线的判定，理解题意，熟练掌握平行线的判定是解题关键．
10．（2022春·北京延庆·七年级统考期末）如图，∠B+∠BAD=180°，∠1=∠2． 求证：ABCD．请将下面的证明过程补充完整．
证明：
∵∠B+∠BAD=180°（已知），
∠1+∠BAD=180°（ ），
∴∠1=∠B（ ）．
∵∠1=∠2（已知），
∴∠2＝ （ ）．
∴ABCD（ ）．
【答案】见解析
【分析】根据平行的判定定理证明即可．
【详解】∵∠B+∠BAD=180°（已知），
∠1+∠BAD=180°（平角定义），
∴∠1=∠B（同角的补角相等）．
∵∠1=∠2（已知），
∴∠2=∠B（等量代换）．
∴ABCD（同位角相等，两条直线平行）．
【点睛】本题考查平行线的判定定理，解题的关键是掌握平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
题组B 能力提升练
1．（2021春·山东济南·七年级统考期中）如图，在下列条件中，不能判定的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；内错角相等，两直线平行；逐项判断即可．
【详解】解：A、因为，所以（同位角相等，两直线平行），故A选项不符合题意．
B、因为，所以（同旁内角互补，两直线平行），故B选项不符合题意．
C、因为，所以（内错角相等，两直线平行），故C选项不符合题意．
D、因为，所以（同位角相等，两直线平行），不能得出，故D选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是正确答题的关键．
2．（2023春·七年级单元测试）如图，下列条件中，能够判定的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据平行线的判定方法，逐一进行判定即可．
【详解】解：A、∵，∴，不能判定，不符合题意；
B、∵，∴，不能判定，不符合题意；
C、∵，∴，符合题意；
D、∵，∴，不能判定，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查平行线的判定．熟练掌握平行线的判定方法，是解题的关键．注意区分截线．
3．（2022秋·全国·八年级专题练习）给出下列说法：
（1）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；
（2）相等的两个角是对顶角；
（3）直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到直线的距离；
（4）垂直于同一条直线的两直线平行；其中正确的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】B
【分析】根据平行线的定义、平行公理、对顶角的概念以及点到直线的距离的概念进行判断即可．
【详解】解：（1）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，说法（1）正确；
（2）相等的两个角不一定是对顶角，对顶角是在两直线相交的前提条件下形成的，故说法（2）错误；
（3）直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到直线的距离，点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，故说法（3）错误；
（4）同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，故说法（4）错误．
故说法正确的有1个．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了相交线与平行线的一些基本概念，解题时注意：对顶角是相对于两个角而言，是指两个角的一种位置关系；点到直线的距离只能量出或求出，而不能说画出；平行公理中要准确理解“有且只有”的含义．
4．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，将一副三角板按如图放置，则下列结论：①；②；③如果，则有；④．其中正确的序号是（ ）
A．①②③④B．①②④C．①②③D．①③④
【答案】B
【分析】根据，，即可得；根据角之间关系即可得；根据角之间关系可得，无法判断BC与AD平行；由题意得，，得；综上，即可得．
【详解】解：∵，，
∴，
故①正确；
∵
故②正确；
∵，
∴，
，
∴BC与AD不平行，
故③错误；
∵，
即，
又∵，
∴
,
故④正确；
综上，①②④正确，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，余角和同角的余角，平行线的判定，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点并认真计算．
5．（2022春·山东滨州·七年级统考期末）如图，下列条件能判断的是__________（多选）．
① ② ③ ④
【答案】①③④
【分析】根据对顶角相等、平行线的判定逐个判断即可得．
【详解】解：①，根据内错角相等，两直线平行可判断；
②，根据同位角相等，两直线平行可判断；
③，根据同旁内角互补，两直线平行可判断；
④，
，根据同旁内角互补，两直线平行可判断；
综上，能判断的是①③④，
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了对顶角相等、平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题关键．
6．（2022春·山东枣庄·七年级统考期中）平行线在生活中应用很广泛，人们为了准确地画出平行线，往往利用三角尺和直尺按照下面的方法去做：
第一步：作直线AB，并用三角尺的一条边贴住直线AB；
第二步：用直尺紧靠三角尺的另一条边；
第三步：沿直尺下移三角尺；
第四步：沿三角尺的边作出直线CD．这样，就得到．
请写出其中的道理：______．
【答案】同位角相等，两直线平行
【分析】根据作图过程可得∠1=∠2，根据平行线的判定可得答案．
【详解】解：如下图所示，
∵∠1=∠2，
∴(同位角相等，两直线平行)，
故答案为：同位角相等，两直线平行
【点睛】本题主要考查了复杂作图，关键是掌握同位角相等，两直线平行．
7．（2022春·江西南昌·七年级统考期末）如图，将一副三角板按如图放置，则下列结论：①；②当时，则有；③当时，则有；④当时，则有．其中正确的序号是______．
【答案】②③④
【分析】根据∠CAB=∠EAD=90°及∠1=∠CAB-∠2，∠3=∠EAD-∠2，根据等量代换即可判断①；当，可得∠2和∠3的度数，利用内错角相等即可判断②；当时，可求得∠1，根据∠1=∠E内错角相等即可判断③；当时，∠3+∠D=90°即可判断④．
【详解】解：∵∠CAB=∠EAD=90°，∠1=∠CAB-∠2，∠3=∠EAD-∠2，
∴∠1=∠3，故①错误；
当，∠2=90°-∠1=45°，∠3=90°-∠2=45°，且∠B=45°，
因此∠B=∠3，
∴，故②正确；
当时，则∠1=90°-∠2=60°，且∠E=60°，
因此∠1=∠E，
∴，故③正确；
当时，则∠3+∠D=60°+30°=90°，
因此，故④正确，
故答案为：②③④．
【点睛】本题考查了三角板中角度的计算、平行线的判定及两直线垂直的判定，熟练掌握其相关判定及性质是解题的关键．
8．（2022春·河南许昌·七年级许昌市第一中学校考期中）如图，那么图形中的平行线有______．
【答案】CD∥EF
【分析】根据内错角相等，两直线平行解答．
【详解】解：∵∠D=∠E，
∴CD∥EF．
故答案为：CD∥EF．
【点睛】本题考查了平行线的判定，熟记判定方法并准确识图是解题的关键．
9．（2022春·全国·七年级专题练习）光线从空气中射入水中会产生折射现象，同时光线从水中射入空气中也会产生折射现象，如图，光线a从空气中射入水中，再从水中射入空气中，形成光线b，根据光学知识有，，请判断光线a与光线b是否平行，并说明理由．
【答案】平行，理由见解析
【分析】根据等角的补角相等求出与的补角相等，再根据，结合内错角相等，两直线平行即可判定．
【详解】解：平行，理由如下：
如图，，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了平行线的判定，解决本题的关键是掌握平行线的判定．
10．（2022春·甘肃平凉·七年级校考期中）如图，
(1) 等于多少度？
(2)AD与BC平行吗？请说明理由．
【答案】(1)∠DAB+∠B=180°
(2)；理由见解析
【分析】（1）由已知可求得∠DAB=120°，从而可求得∠DAB+∠B=180°；
（2）根据同旁内角互补两直线平行可得．
（1）
解：∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°．
又∵∠1=30°，
∴∠BAD=120°，
∵∠B=60°，
∴∠DAB+∠B=180°．
（2）
解：．理由如下：
∵∠DAB+∠B=180°，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，解题的关键是熟练掌握同旁内角互补，两直线平行．
题组C 培优拔尖练
1．（2023春·七年级单元测试）如图，下列条件中，能判断的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】结合图形分析两角的位置关系，根据平行线的判定方法逐项进行判断即可得到结论．
【详解】解：∵，
∴，
故①选项符合题意；
∵，
∴，
故②选项不符合题意；
∵，
∴，
故③选项不符合题意；
∵，不能判定，
故④选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，能根据图形准确找出同位角、内错角和同旁内角是解决问题的关键．
2．（2022春·广东肇庆·七年级校考期中）如图，下列能判定ADBE的条件有（ ）个．
（1）∠B+∠BAD＝180°；（2）∠1＝∠2；（3）∠3＝∠4；（4）∠D＝∠5；（5）∠D+∠BCD＝180°．
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】根据平行线的判定定理分别进行判断即可．
【详解】解：（1）由∠B+∠BAD＝180°，可得ADBE；
（2）由∠1＝∠2，可得ADBE；
（3）由∠3＝∠4，可得ABCD，不能得到ADBE；
（4）由∠D＝∠5，可得ADBE；
（5）由∠D+∠BCD＝180°，可得ADBE．
故选：D．
【点睛】此题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．解题的关键是准确分析判断．
3．（2022春·山东东营·六年级校考期末）小颖学习了平行线的相关知识后，利用如图所示的方法，折出了“过已知直线AB外一点P和已知直线AB平行的直线MN”，下列关于MN∥AB的依据描述正确的是（ ）
A．同位角相等，两直线平行B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行D．以上选项均正确
【答案】D
【分析】先根据折叠的性质得到折痕都垂直于过点P的直线，根据根据平行线的判定方法求解．
【详解】解：如下图，作以下标记E：
第一步的操作可知PE⊥AB，所以∠PEA=∠PEB=90°，第二步的操作可知MN⊥PE，所以∠MPE=∠NPE=90°，所以∠PEA=∠PEB=∠MPE=∠NPE=90°，所以可依据A. 同位角相等，两直线平行、B. 内错角相等，两直线平行、C. 同旁内角互补，两直线平行判断MN∥AB，故A、B、C三个选项都对，
故选D．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
4．（2021春·浙江杭州·七年级期中）下列说法①两直线被第三条直线所截，同旁内角互补；②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；③对顶角相等；④若∠A的两边和∠B的两边分别平行，且∠A比∠B的2倍少27°，则∠A的度数为69°，其中正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】利用对顶角的性质、平行线的性质、平行公理逐个判断即可得．
【详解】两直线被第三条直线所截，同旁内角不一定互补，则说法①错误
在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，则说法②错误
对顶角相等，说法③正确
的两边和的两边分别平行，则和相等或互补
设，则
由角互补的定义得：或，即或
解得或
则的度数为或，说法④错误
综上，正确的个数有1个
故选：A．
【点睛】本题考查了对顶角的性质、平行线的性质、平行公理，熟记各性质与公理是解题关键．
5．（2022春·内蒙古通辽·七年级统考阶段练习）如图，直线a，b与直线c相交，给出下列条件：①∠1=∠2；②∠3=∠6；③∠4＋∠7=180°；④∠5＋∠3=180°，其中能判断ab的是________（填序号）．
【答案】①③④
【分析】根据平行线的判定定理即可一一判定．
【详解】解：①∵∠1=∠2，
∴ab，故①正确；
②由∠3=∠6无法得出ab，故②错误；
③∵∠4＋∠7=180°，
∴ab，故③正确；
④∵∠5＋∠3=180°，∠2=∠3，
∴∠2＋∠5=180°，
∴ab，故此选项正确；
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了平行线的判定定理及对顶角相等，灵活运用平行线的判定定理是解决本题的关键．
6．（2023春·七年级单元测试）如图，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．，CD与AB在直线EF异侧．若，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和6度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t秒，在射线CD转动一周的时间内，当时间t的值为______时，CD与AB平行．
【答案】4秒或40秒
【分析】分①与在的两侧，分别表示出与，然后根据内错角相等两直线平行，列式计算即可得解；
②旋转到与都在的右侧，分别表示出与，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解；
③旋转到与都在的左侧，分别表示出与，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解．
【详解】解：分三种情况：
如图①，与在的两侧时，
∵，，
∴，，
要使，则，
即，
解得t=4；
此时，
∴；
②旋转到与都在的右侧时，
∵，，
要使，则，
即，
解得，
此时，
∴；
③旋转到与都在的左侧时，
∴，，
要使，则，
即，
解得，
此时，
而，
∴此情况不存在．
综上所述，当时间t的值为4秒或40秒时，与平行．
故答案为：4秒或40秒．
【点睛】本题考查了平行线的判定，读懂题意并熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键，要注意分情况讨论．
7．（2021春·湖南岳阳·七年级统考期末）如图，将一副三角板按如图所示放置，，，，且，则下列结论中：①；②若平分，则有；③将三角形绕点旋转，使得点落在线段上，则此时；④若，则．其中结论正确的选项有______．（写出所有正确结论的序号）
【答案】②③④
【分析】①根据同角的余角相等得∠1=∠3，但不一定得45°；②都是根据角平分线的定义、内错角相等，两条直线平行，可得结论；③根据对顶角相等和三角形的外角等于不相邻的两个内角得和，可得结论；④根据三角形内角和定理及同角的余角相等，可得结论．
【详解】解：①如图，
∵∠CAB=∠DAE=90°，
即∠1+∠2=∠3+∠2+90°，
∴∠1=∠3≠45°，
故①不正确；
②∵AD平分∠CAB，
∴∠1=∠2=45°，
∵∠1=∠3，
∴∠3=45°，
又∵∠C=∠B=45°，
∴∠3=∠B，
∴BC∥AE，
故②正确；
③将三角形ADE绕点A旋转，使得点D落在线段AC上，
则∠4=∠ADE-∠ACB=60°-45°=15°，
故③正确；
④∵∠3=2∠2，∠1=∠3，
∴∠1=2∠2，∠1+∠2=90°，
∴3∠2=90°，
∴∠2=30°，
∴∠3=60°，
又∠E=30°，
设DE与AB交于点F，则∠AFE=90°，
∵∠B=45°，
∴∠4=45°，
∴∠C=∠4，
故④正确，
故答案为：②③④．
【点睛】本题主要考查了同角的余角相等、角平分线定义、平行线的判定的运用，解题关键是熟练掌握同角的余角相等及平行线的判定．
8．（2021秋·山西·八年级统考期末）如图1，在探索“如何过直线外一点作已知直线的平行线”时，小颖利用两块完全相同的三角尺进行如下操作：如图 2 所示，（1）用第一块三角尺的一条边贴住直线 l，第二块三角尺的一条边紧靠第一块三角尺；（2）将第二块三角尺沿第一块三角尺移动，使其另一边经过点 A，沿这边作出直线 AB，直线 AB 即为所求，则小颖的作图依据是________．
【答案】内错角相等，两直线平行
【分析】首先对图形进行标注，从而可得到∠1=∠2，然后依据平行线的判定定理进行判断即可．
【详解】解：如图所示：
由平移的性质可知：∠2=∠3．
又∵∠1=∠2，
∴∠3=∠1．
∴EF∥l（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：内错角相等，两直线平行．
【点睛】本题主要考查的是平行线的判定、平移的性质、尺规作图，依据作图过程发现∠1=∠3是解题的关键．
9．（2023春·七年级单元测试）如图，已知点O在直线AB上，射线OE平分∠AOC，过点O作OD⊥OE，G是射线OB上一点，连接DG，使∠ODG+∠DOG=90°．
(1)求证：∠AOE=∠ODG；
(2)若∠ODG=∠C，试判断CD与OE的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)CDOE，理由见解析
【分析】（1）由OD⊥OE得到∠EOC+∠COD=∠AOE+∠DOG=90°，再利用等角的余角相等即可证明∠AOE=∠ODG；
（2）证明∠EOC=∠C，利用内错角相等两直线平行，即可证明CDOE．
【详解】（1）证明：∵OD⊥OE，
∴∠EOC+∠COD=∠AOE+∠DOG=90°，
∵∠ODG+∠DOG=90°，
∴∠AOE=∠ODG；
（2）解：CDOE．理由如下：
由（1）得∠AOE=∠ODG，
∵射线OE平分∠AOC，
∴∠AOE=∠EOC，
∵∠ODG=∠C，
∴∠EOC=∠C，
∴CDOE．
【点睛】本题考查了角平分线定义，垂直的定义，平行线的判定，等角的余角相等，正确识图是解题的关键．
10．（2022秋·全国·八年级专题练习）在三角形中，点在线段上，ED//BC交于点，点在线段上点不与点，，重合，连接，过点作交射线于点．
(1)如图，点在线段上，用等式表示与的数量关系，并证明；
(2)如图，点在线段上，求证：；
(3)当点在线段上时，依题意，在图中补全图形，请直接用等式表示与的数量关系，不需证明．
【答案】(1)，证明见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）结论：，如图中，过点作交于点，利用平行线的性质求解即可．
（2）如图中，过点作交于点，利用平行线的性质求解即可．
（3）作出图形，利用平行线的性质求解即可．
【详解】（1）解：结论：．
理由：如图中，过点作交于点．
，
．
．
，
．
，
．
．
．
（2）证明：如图中，过点作交于点．
．
．
．
，
．
，
．
．
．
．
．
（3）结论：．
理由：设交于．
，
，
，，
【点睛】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．
1.掌握同位角相等，两直线平行；
2.掌握内错角相等，两直线平行；
3.掌握同旁内角互补，两直线平行；
4.掌握垂直同一直线的两条直线互相平行；
知识点01 同位角相等两直线平行
【知识点】
判定方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行
简单说成： 同位角相等，两直线平行。
几何语言：
∵∠1＝∠2
∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
【典型例题】
例1．（2022秋·内蒙古乌兰察布·七年级校考期末）如图是两条直线平行的证明过程，证明步骤被打乱，则下列排序正确的是（ ）
如图，已知，，求证：与平行．证明：
①：；
②：，；
③：；
④：；
⑤：．
A．①②③④⑤B．②③⑤④①C．②④⑤③①D．③②④⑤①
例2．2．（2022春·甘肃陇南·七年级校考阶段练习）如图，两直线，被直线所截，已知，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
例3．（2022春·甘肃陇南·七年级校考期末）如图，，垂足为，，垂足为，＝．在下面括号中填上理由．
因为，，
所以＝＝．
又因为＝( )，
所以＝( )，
即＝．
所以( )
【即学即练】
1．（2022春·浙江温州·七年级瑞安市安阳实验中学校考期中）下列图形中，能由∠1＝∠2得到的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022秋·八年级单元测试）如图，和分别为直线与直线和相交所成角．如果，那么添加下列哪个条件后，可判定．（ ）．
A．B．C．D．
3．（2021·浙江·统考模拟预测）如图，用直尺和三角尺画图：已知点P和直线a，经过点P作直线b，使，其画法的依据是（ ）
A．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．两直线平行，同位角相等
C．同位角相等，两直线平行
D．内错角相等，两直线平行
4．（2022春·天津滨海新·七年级统考期末）李强同学学完“相交线与平行线”一章后，在一本数学读物上看到一种只利用圆规和无刻度直尺作图的方法：
① 以∠AOB的顶点O为圆心，以适当长为半径画弧，交OA边于点M，交OB边于点N；② 作一条射线CD，以点C为圆心，以OM长为半径画弧，与射线CD交于点E；③ 以点E为圆心，以MN长为半径画弧，与②中所画弧交于点F；④ 过点F作射线CP，则∠PCD=∠BOA．如图1：
李强想利用这种方法过平面内一点Q作直线l的平行线a，如图2．
（1）李强同学能借助上述方法作出直线l的平行线a吗？______（填“能”或“不能”）.
（2）如果能，请在图2中作出直线a, 保留作图痕迹，并说明能够证明这两条直线平行的理由：________________．
5．（2020春·广东广州·七年级统考期末）完成下面的证明．
如图，AC⊥BC，DG⊥AC，垂足分别为点C，G，∠1＝∠2．
求证：CD//EF．
证明：∵AC⊥BC，DG⊥AC，（已知）
∴∠DGA＝∠BCA＝90°，（垂直的定义）
∴ // （ ）
∴∠2＝∠BCD，（ ）
又∵∠l＝∠2，（已知）
∴∠1＝∠ ，（等量代换）
∴CD//EF．（同位角相等，两直线平行）
6．（2022秋·全国·八年级专题练习）学习了平行线后，小敏想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的（如图①～④)．从图中操作过程你知道小敏画平行线的依据吗？请把你的想法写出来．
知识点02 内错角相等两直线平行
【知识点】
判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．
简单说成：内错角相等，两直线平行。
∵∠2＝∠3
∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
【典型例题】
例1．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，四边形中，下列条件可以判定的是（ ）
A．B．
C．D．
例2．（2022秋·上海奉贤·八年级校考期中）如图，下列推论正确的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
例3．（2022秋·八年级单元测试）如图，下列条件中能推出的有_______．
①∠3=∠5，②∠1=∠7，③∠2+∠5=180°，④∠1+∠4=180°．
【即学即练】
1．（2022春·新疆乌鲁木齐·七年级乌鲁木齐市第九中学校考期中）如图，下列判断中错误的是（ ）
A．因为∠1=∠2，所以B．因为∠5=∠BAE，所以
C．因为∠3=∠4，所以D．因为∠5=∠BDC，所以
2．（2022春·河北保定·七年级校考阶段练习）如图，若∥，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022春·山东德州·七年级校考阶段练习）如图，下列条件：①；②；③；④，其中能判断直线的有（ ）
A．②④B．③④C．②③D．①④
4．（2022春·上海宝山·七年级校考阶段练习）如图所示，已知∠1＝56°，∠2＝44°，∠3＝80°，那么_____∥_____，判断依据是_____．
5．（2023春·七年级单元测试）如图，在四边形ABCD中，在不添加任何辅助线和字母的情况下，添加一个条件___，使ABDC．（填一个即可）
6．（2022春·湖北武汉·九年级武汉第三寄宿中学校考阶段练习）如图，直线分别交直线、于点、平分交于点若，求证：AB//CD．
知识点03 同旁内角互补两直线平行
【知识点】
判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行
简单说成： 同旁内角互补，两直线平行。
∵∠4＋∠2＝180°
∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
【典型例题】
例1．（2023秋·重庆渝中·七年级重庆巴蜀中学校考期末）如图，下列说法中，正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
例2．（2022秋·全国·八年级专题练习）在铺设铁轨时，两条直轨必须是互相平行的，如图，已经知道是直角，那么再度量图中已标出的哪个角，不能判断两条直轨是否平行( )
A．B．C．D．
例3．（2022秋·八年级课时练习）将一块三角板ABC（∠BAC=90°，∠ABC=30°）按如图方式放置，使A，B两点分别落在直线m，n上，对于给出的五个条件：①∠1=25.5°，∠2=55°；②∠1+∠2=90°；③∠2=2∠1；④∠ACB=∠1+∠3；⑤∠ABC=∠2-∠1．能判断直线mn的有__．（填序号）
【即学即练】
1．（2023春·七年级单元测试）如图，，下列结论正确的是（ ）
①若，则；
②若，则；
③若，则；
④若，则．
A．①②B．②④C．②③④D．②
2．（2022春·广东汕头·七年级统考期末）如图，下列条件中：①∠1=∠3；②∠4=∠5；③∠2+∠4=180°；④∠2=∠6，其中不能判断直线//的是（ ）
A．①②③B．③④C．③D．④
3．（2022秋·八年级课时练习）在探究“过直线外一点P作已知直线a的平行线”的活动中，王玲同学通过如下的折纸方式找到了符合要求的直线，在这个过程中她可能用到的推理依据组合是（ ）
①平角的定义；②邻补角的定义；③角平分线的定义；④同旁内角互补，两直线平行；⑤两直线平行，内错角相等．
A．②④B．③⑤C．①②⑤D．①③④
4．（2021春·全国·七年级专题练习）如图，点是延长线上一点，在下列条件中：①；②；③且平分；④，能判定的有__．（填序号）
5．（2022春·黑龙江绥化·七年级校考期末）一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点B、D重合，若固定三角形AOB，改变三角板ACD的位置（其中A点位置始终不变），下列条件①∠BAD＝30°；②∠BAD＝60°；③∠BAD＝120°；④∠BAD＝150°中，能得到的CD∥AB的有__________．（填序号）
6．（2022秋·全国·八年级专题练习）动手操作：如图①：将一副三角板中的两个直角顶点叠放在一起，其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°．
(1)若∠BCD＝150°，求∠ACE的度数；
(2)试猜想∠BCD与∠ACE的数量关系，请说明理由；
(3)若按住三角板ABC不动，绕顶点C转动三角板DCE，试探究当时，∠BCD等于多少度，并简要说明理由．
知识点04 垂直同一直线的两条直线互相平行
【知识点】
在同一平面内，垂直同一直线的两条直线互相平行；注意强调同一平面内.
【典型例题】
例1．（2022春·内蒙古包头·七年级统考期中）在下列说法中，正确的有（ ）个．
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ②已知、的两边分别平行，那么；
③垂直于同一条直线的两条直线平行； ④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到直线的距离．
A．3B．2C．1D．0
例2．（2021春·内蒙古巴彦淖尔·七年级统考期末）对于同一平面内的三条直线,,，给出下列5个论断：① ； ② ； ③ ； ④ ；⑤ ；以其中两个论断作为题设，一个论断作为结论组成命题，下列命题不正确的是（ ）
A．若①②，则④B．若①②，则⑤C．若②④，则①D．若③⑤，则②
例3．（2021春·全国·七年级期末）下列说法中：
（1）不相交的两条直线叫做平行线；
（2）经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行；
（3）垂直于同一条直线的两直线平行；
（4）直线，，则；
（5）两条直线被第三条直线所截，同位角相等．
其中正确的是________．
【即学即练】
1．（2022春·上海·七年级专题练习）设a、b、c为同一平面内的三条直线，下列判断不正确的是（ ）
A．若a//b，b//c，则a//cB．若a⊥b，b⊥c，则a⊥c
C．若a⊥b，b⊥c，则a//cD．若a//b，b⊥c，则a⊥c
2．（2021春·湖南湘西·七年级统考期末）①a，b，c是直线，若a∥b，b∥c，则a∥c；②a，b，c是直线，若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；③如果∠1＝∠2，∠2＝∠3，那么∠1＝∠3；④互为邻补角的两个角相等．以上四个结论中正确的是（ ）
A．①②B．②③C．③④D．①③
3．（2022秋·八年级课时练习）如图，直线a，b，c被直线l所截，下列条件中：①1=3，4=5；②2+3=，3=7；③1=2，5=6；④2=3，4=5，能确定ac的条件的是 （ ）
A．①②③④B．①②③C．①②D．①②④
4．（2021秋·北京海淀·七年级校考期末）在同一平面内有2021条直线a1，a2，a3，…，a2021，如果a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4，a4∥a5，…，那么a1与a5的位置关系是_____；a1与a2021的位置关系是_____．
5．（2021·云南昆明·统考一模）如图，小红看到工人师傅用角尺画出工件边缘的垂线和，即可得到．请你帮小红从下列真命题中找到工人师傅画图的一个依据．真命题为：①连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；②在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行（选自人教版初中数学教科书七年级下册第14页例）；③在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线；④经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．”这个依据是__________．（只需填序号）
6．（2022春·河南许昌·七年级统考期中）（1）在一次数学活动课上，老师让同学们用两个大小、形状都相同的三角板画平行线、，并说出自己做法的依据．小琛、小萱、小冉三位同学的做法如下：
小琛说：“我的做法的依据是内错角相等，两直线平行”
①小琛说的是否正确？________（回答正确或错误）
②小萱做法的依据是________________________；
③小冉做法的依据是________________________．
（2）如图，如果，，，那么与平行吗？与呢？
题组A 基础过关练
1．（2021春·重庆渝中·七年级重庆市求精中学校校考期中）下列说法错误的是（ ）．
A．同位角相等，两直线平行B．同旁内角互补，两直线平行
C．对顶角互补，两直线垂直D．对顶角相等，两直线平行
2．（2022春·广东江门·七年级江门市福泉奥林匹克学校校考阶段练习）如图，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022秋·八年级单元测试）在同一平面内，将两个完全相同的三角板按如图摆放（直角边重合），可以画出两条互相平行的直线，这样操作的依据是（ ）
A．两直线平行，同位角相等B．同位角相等，两直线平行
C．两直线平行，内错角相等D．内错角相等，两直线平行
4．（2022春·河北保定·七年级统考期末）如图，将木条，与钉在一起，，，要使木条与平行，木条需顺时针旋转的最小度数是（ ）
A．B．C．D．
5．（2021春·辽宁沈阳·七年级沈阳市第一二六中学校考阶段练习）如图，若，则互相平行的线段是___________．
6．（2022春·广东广州·七年级校考期末）如图，∠1=30°，AB⊥AC，要使，需再添加的一个条件是____________．（要求：添加这个条件后，其它条件也必不可少，才能推出结论）
7．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，一个弯形管道，若它的两个拐角，，则管道．这里用到的推理依据是_________．
8．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，已知直线a、直线b和直线c均为直线l所截，∠1=68°，∠2=68°，∠3=112°．
（1）因为∠1=68°，∠2=68°（已知），所以∠1=∠2（等量代换），所以___________（同位角相等，两直线平行）．
（2）因为∠3+∠4=180°（邻补角定义)，∠3=112°，所以∠4=68°．
又因为∠2=68°，所以∠2=∠4（等量代换），所以_____________（同位角相等，两直线平行）．
9．（2022秋·八年级课时练习）学习了两条直线平行的判定方法1后，谢老师接着问：“由同位角相等，可以判断两条直线平行，那么能否利用内错角相等来判定两条直线平行呢？”如图，直线AB和CD被直线EF所截，∠2＝∠3，ABCD吗？说明理由．
现请你补充完下面的说理过程：
答：ABCD
理由如下：
∵∠2＝∠3（已知）
且 （ ）
∴∠1＝∠2
∴ABCD（ ）
10．（2022春·北京延庆·七年级统考期末）如图，∠B+∠BAD=180°，∠1=∠2． 求证：ABCD．请将下面的证明过程补充完整．
证明：
∵∠B+∠BAD=180°（已知），
∠1+∠BAD=180°（ ），
∴∠1=∠B（ ）．
∵∠1=∠2（已知），
∴∠2＝ （ ）．
∴ABCD（ ）．
题组B 能力提升练
1．（2021春·山东济南·七年级统考期中）如图，在下列条件中，不能判定的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023春·七年级单元测试）如图，下列条件中，能够判定的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022秋·全国·八年级专题练习）给出下列说法：
（1）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；
（2）相等的两个角是对顶角；
（3）直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到直线的距离；
（4）垂直于同一条直线的两直线平行；其中正确的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
4．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，将一副三角板按如图放置，则下列结论：①；②；③如果，则有；④．其中正确的序号是（ ）
A．①②③④B．①②④C．①②③D．①③④
5．（2022春·山东滨州·七年级统考期末）如图，下列条件能判断的是__________（多选）．
① ② ③ ④
6．（2022春·山东枣庄·七年级统考期中）平行线在生活中应用很广泛，人们为了准确地画出平行线，往往利用三角尺和直尺按照下面的方法去做：
第一步：作直线AB，并用三角尺的一条边贴住直线AB；
第二步：用直尺紧靠三角尺的另一条边；
第三步：沿直尺下移三角尺；
第四步：沿三角尺的边作出直线CD．这样，就得到．
请写出其中的道理：______．
7．（2022春·江西南昌·七年级统考期末）如图，将一副三角板按如图放置，则下列结论：①；②当时，则有；③当时，则有；④当时，则有．其中正确的序号是______．
8．（2022春·河南许昌·七年级许昌市第一中学校考期中）如图，那么图形中的平行线有______．
9．（2022春·全国·七年级专题练习）光线从空气中射入水中会产生折射现象，同时光线从水中射入空气中也会产生折射现象，如图，光线a从空气中射入水中，再从水中射入空气中，形成光线b，根据光学知识有，，请判断光线a与光线b是否平行，并说明理由．
10．（2022春·甘肃平凉·七年级校考期中）如图，
(1) 等于多少度？
(2)AD与BC平行吗？请说明理由．
题组C 培优拔尖练
1．（2023春·七年级单元测试）如图，下列条件中，能判断的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022春·广东肇庆·七年级校考期中）如图，下列能判定ADBE的条件有（ ）个．
（1）∠B+∠BAD＝180°；（2）∠1＝∠2；（3）∠3＝∠4；（4）∠D＝∠5；（5）∠D+∠BCD＝180°．
A．1B．2C．3D．4
3．（2022春·山东东营·六年级校考期末）小颖学习了平行线的相关知识后，利用如图所示的方法，折出了“过已知直线AB外一点P和已知直线AB平行的直线MN”，下列关于MN∥AB的依据描述正确的是（ ）
A．同位角相等，两直线平行B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行D．以上选项均正确
4．（2021春·浙江杭州·七年级期中）下列说法①两直线被第三条直线所截，同旁内角互补；②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；③对顶角相等；④若∠A的两边和∠B的两边分别平行，且∠A比∠B的2倍少27°，则∠A的度数为69°，其中正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．（2022春·内蒙古通辽·七年级统考阶段练习）如图，直线a，b与直线c相交，给出下列条件：①∠1=∠2；②∠3=∠6；③∠4＋∠7=180°；④∠5＋∠3=180°，其中能判断ab的是________（填序号）．
6．（2023春·七年级单元测试）如图，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．，CD与AB在直线EF异侧．若，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和6度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t秒，在射线CD转动一周的时间内，当时间t的值为______时，CD与AB平行．
7．（2021春·湖南岳阳·七年级统考期末）如图，将一副三角板按如图所示放置，，，，且，则下列结论中：①；②若平分，则有；③将三角形绕点旋转，使得点落在线段上，则此时；④若，则．其中结论正确的选项有______．（写出所有正确结论的序号）
8．（2021秋·山西·八年级统考期末）如图1，在探索“如何过直线外一点作已知直线的平行线”时，小颖利用两块完全相同的三角尺进行如下操作：如图 2 所示，（1）用第一块三角尺的一条边贴住直线 l，第二块三角尺的一条边紧靠第一块三角尺；（2）将第二块三角尺沿第一块三角尺移动，使其另一边经过点 A，沿这边作出直线 AB，直线 AB 即为所求，则小颖的作图依据是________．
9．（2023春·七年级单元测试）如图，已知点O在直线AB上，射线OE平分∠AOC，过点O作OD⊥OE，G是射线OB上一点，连接DG，使∠ODG+∠DOG=90°．
(1)求证：∠AOE=∠ODG；
(2)若∠ODG=∠C，试判断CD与OE的位置关系，并说明理由．
10．（2022秋·全国·八年级专题练习）在三角形中，点在线段上，ED//BC交于点，点在线段上点不与点，，重合，连接，过点作交射线于点．
(1)如图，点在线段上，用等式表示与的数量关系，并证明；
(2)如图，点在线段上，求证：；
(3)当点在线段上时，依题意，在图中补全图形，请直接用等式表示与的数量关系，不需证明．
专题1.3 平行线的判定
1.掌握同位角相等，两直线平行；
2.掌握内错角相等，两直线平行；
3.掌握同旁内角互补，两直线平行；
4.掌握垂直同一直线的两条直线互相平行；
知识点01 同位角相等两直线平行
【知识点】
判定方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行
简单说成： 同位角相等，两直线平行。
几何语言：
∵∠1＝∠2
∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
【典型例题】
例1．（2022秋·内蒙古乌兰察布·七年级校考期末）如图是两条直线平行的证明过程，证明步骤被打乱，则下列排序正确的是（ ）
如图，已知，，求证：与平行．证明：
①：；
②：，；
③：；
④：；
⑤：．
A．①②③④⑤B．②③⑤④①C．②④⑤③①D．③②④⑤①
【答案】B
【分析】先证明，结合，证明，从而可得结论．
【详解】根据平行线的判定解答即可．
证明：∵（已知），（邻补角的定义），
∴（同角的补角相等）．
∵（已知），
∴（等量代换），
∴（同位角相等，两直线平行）．
所以排序正确的是②③⑤④①，
故选：B．
【点睛】本题考查的是补角的性质，平行线的判定，证明是解本题的关键．
例2．2．（2022春·甘肃陇南·七年级校考阶段练习）如图，两直线，被直线所截，已知，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠3的度数，又由邻补角的定义，即可求得∠2的度数．
【详解】解：∵ab，∠1=62°，
∴∠3=∠1=62°，
∴∠2=180°-∠3=118°．
故选：C．
【点睛】此题考查了平行线的性质与邻补角的定义．解题的关键是熟练掌握两直线平行，同位角相等定理的应用．
例3．（2022春·甘肃陇南·七年级校考期末）如图，，垂足为，，垂足为，＝．在下面括号中填上理由．
因为，，
所以＝＝．
又因为＝( )，
所以＝( )，
即＝．
所以( )
【答案】 已知 等量减等量，差相等 同位角相等，两直线平行
【分析】根据垂线的定义，得出＝＝，再根据角的等量关系，得出＝，然后再根据同位角相等，两直线平行，得出，最后根据解题过程的理由填写即可．
【详解】因为，，
所以＝＝．
又因为＝（已知），
所以＝（等量减等量，差相等），
即＝．
所以（同位角相等，两直线平行）．
【点睛】本题考查了垂线的定义、平行线的判定，解本题的关键在熟练掌握平行线的判定定理．
【即学即练】
1．（2022春·浙江温州·七年级瑞安市安阳实验中学校考期中）下列图形中，能由∠1＝∠2得到的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据平行线的判定定理逐一判断即可．
【详解】∵ 中由∠1＝∠2不能得到，
∴不符合题意；
∵ 中由∠1＝∠2得到，
∴不符合题意；
∵ 中由∠1＝∠2不能得到，
∴不符合题意；
∵ 中由∠1＝∠2得到，
∴符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了平行线的判定定理，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．
2．（2022秋·八年级单元测试）如图，和分别为直线与直线和相交所成角．如果，那么添加下列哪个条件后，可判定．（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】通过同位角相等两直线平行进行判定即可.
【详解】A.∵，∴∠3=180 º-∠2=62 º=∠1，∴能判定，此选项正确；
B.∵，∴∠3=180 º-∠4=52 º≠∠1，∴不能判定，此选项错误；
C.∵，∴∠3≠∠1，∴不能判定，此选项错误；
D.∵，∴∠3=∠28º≠∠1，∴不能判定，此选项错误；
故选：A
【点睛】此题考查平行线的判定，掌握同位角相等两直线平行是解答此题的关键.
3．（2021·浙江·统考模拟预测）如图，用直尺和三角尺画图：已知点P和直线a，经过点P作直线b，使，其画法的依据是（ ）
A．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．两直线平行，同位角相等
C．同位角相等，两直线平行
D．内错角相等，两直线平行
【答案】C
【分析】根据平行线的判定定理即可得出结论．
【详解】解：由画法可知，其画法的依据是同位角相等，两直线平行．
故选：C．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．
4．（2022春·天津滨海新·七年级统考期末）李强同学学完“相交线与平行线”一章后，在一本数学读物上看到一种只利用圆规和无刻度直尺作图的方法：
① 以∠AOB的顶点O为圆心，以适当长为半径画弧，交OA边于点M，交OB边于点N；② 作一条射线CD，以点C为圆心，以OM长为半径画弧，与射线CD交于点E；③ 以点E为圆心，以MN长为半径画弧，与②中所画弧交于点F；④ 过点F作射线CP，则∠PCD=∠BOA．如图1：
李强想利用这种方法过平面内一点Q作直线l的平行线a，如图2．
（1）李强同学能借助上述方法作出直线l的平行线a吗？______（填“能”或“不能”）.
（2）如果能，请在图2中作出直线a, 保留作图痕迹，并说明能够证明这两条直线平行的理由：________________．
【答案】 能 图见解析，同位角相等，两直线平行
【分析】（1）根据题目中所列的方法即可判断；
（2）根据题目中所列的方法即可画出图形
【详解】解：（1）根据题目中的方法，作出角与已知角相等，再由平行线的判定从而得到平行线，即可用上述方法作出直线l的平行线a；
（2）如图所示，
证明这两条直线平行的理由：同位角相等，两直线平行
故答案为：能；图见解析；同位角相等，两直线平行．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
5．（2020春·广东广州·七年级统考期末）完成下面的证明．
如图，AC⊥BC，DG⊥AC，垂足分别为点C，G，∠1＝∠2．
求证：CD//EF．
证明：∵AC⊥BC，DG⊥AC，（已知）
∴∠DGA＝∠BCA＝90°，（垂直的定义）
∴ // （ ）
∴∠2＝∠BCD，（ ）
又∵∠l＝∠2，（已知）
∴∠1＝∠ ，（等量代换）
∴CD//EF．（同位角相等，两直线平行）
【答案】DG，BC，同位角相等，两直线平行，两直线平行，内错角相等，BCD．
【分析】根据垂直的定义求出∠DGA＝∠BCA＝90°，根据平行线的判定得出DG//BC，根据平行线的性质得出∠2＝∠BCD，求出∠1＝∠BCD，根据平行线的判定得出即可．
【详解】∵AC⊥BC，DG⊥AC（已知），
∴∠DGA＝∠BCA＝90°，（垂直的定义），
∴DG//BC（同位角相等，两直线平行），
∴∠2＝∠BCD（两直线平行，内错角相等），
又∵∠l＝∠2，（已知）
∴∠1＝∠BCD（等量代换），
∴CD//EF（同位角相等，两直线平行），
故答案为：DG，BC，同位角相等，两直线平行，两直线平行，内错角相等，BCD．
【点睛】本题考查平行的证明，解题关键是通过角度的转化，推导得出∠1=∠BCD，从而证明平行．
6．（2022秋·全国·八年级专题练习）学习了平行线后，小敏想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的（如图①～④)．从图中操作过程你知道小敏画平行线的依据吗？请把你的想法写出来．
【答案】见解析
【分析】由折叠的性质可得∠1=∠2=90°，根据同位角相等，即可证明两直线平行．
【详解】由折叠得：AB⊥PE，CD⊥PE，
∴∠1=∠2=90°，
∴．
∴依据是：同位角相等，两直线平行
【点睛】本题考查了折叠的性质及平行线的判定，熟练掌握知识点是解题的关键．
知识点02 内错角相等两直线平行
【知识点】
判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．
简单说成：内错角相等，两直线平行。
∵∠2＝∠3
∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
【典型例题】
例1．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，四边形中，下列条件可以判定的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可．
【详解】解：A．∵，∴，符合题意；
B．∵，∴，不符合题意；
C．不能判定，不符合题意；
D．不能判定，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查的是平行线的判定，用到的知识点为：内错角相等，两直线平行．
例2．（2022秋·上海奉贤·八年级校考期中）如图，下列推论正确的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】利用平行线的判定方法判断即可得到结果．
【详解】解：A、，
∴（内错角相等，两直线平行），不符合题意；
B、，
∴（同位角相等，两直线平行），不符合题意；
C、由无法得到，不符合题意；
D、，
∴（同位角相等，两直线平行），符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．
例3．（2022秋·八年级单元测试）如图，下列条件中能推出的有_______．
①∠3=∠5，②∠1=∠7，③∠2+∠5=180°，④∠1+∠4=180°．
【答案】①②③
【分析】根据平行线的判定依次判断即可．
【详解】解：∵∠3=∠5，
∴（内错角相等，两直线平行），
∴①符合题意；
∵∠1=∠3，∠1=∠7，
∴∠3=∠7，
∴（同位角相等，两直线平行），
∴②符合题意；
∵∠2＋∠1=180°，∠2＋∠5=180°，
∴∠1＝∠5，
∴（同位角相等，两直线平行），
∴③符合题意；
∠1＋∠4=180°，因为两个角是邻补角，不能证明．
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了平行线的判定定理，熟练掌握平行线的判定是解答本题的关键．
【即学即练】
1．（2022春·新疆乌鲁木齐·七年级乌鲁木齐市第九中学校考期中）如图，下列判断中错误的是（ ）
A．因为∠1=∠2，所以B．因为∠5=∠BAE，所以
C．因为∠3=∠4，所以D．因为∠5=∠BDC，所以
【答案】B
【分析】根据平行线的判定定理求解判断即可．
【详解】因为∠1=∠2，所以AE∥BD，故A正确，不符合题意；
因为∠5=∠BAE，所以AB∥CD，故B错误，符合题意；
因为∠3=∠4，所以AB∥CD，故C正确，不符合题意；
因为∠5=∠BDC，所以AE∥BD，故D正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
2．（2022春·河北保定·七年级校考阶段练习）如图，若∥，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】可以从直线DE、AC的截线所组成的“三线八角”图形入手进行判断．
【详解】A.∠EDC＝∠EFC不是两直线被第三条直线所截得到的，因而不能判定两直线平行，故本选项不符合题意；
B.∠AFE＝∠ACD，是EF和BC被AC所截得到的同位角可以判定EF∥BC，但不能判定DE∥AC，故本选项不符合题意；
C.∠3＝∠4这两个角是AC与DE被EC所截得到的内错角，可以判定DE∥AC，符合题意；
D.∠1＝∠2是EF和BC被EC所截得到的同位角和内错角，可以判定EF∥BC，但不能判定DE∥AC，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．
3．（2022春·山东德州·七年级校考阶段练习）如图，下列条件：①；②；③；④，其中能判断直线的有（ ）
A．②④B．③④C．②③D．①④
【答案】A
【分析】根据平行线的判定定理，对各小题进行逐一判断即可．
【详解】解：①由∠1=∠2不能得到l1∥l2，故本条件不合题意；
②∵∠4=∠5，∴l1∥l2，故本条件符合题意；
③由∠6+∠4=180°不能得到l1∥l2，故本条件不合题意；
④∵∠1=∠3，∴l1∥l2，故本条件符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线的判定，掌握平行线的判定定理是解题的关键．
4．（2022春·上海宝山·七年级校考阶段练习）如图所示，已知∠1＝56°，∠2＝44°，∠3＝80°，那么_____∥_____，判断依据是_____．
【答案】 AB CD 内错角相等，两直线平行(答案不唯一)
【分析】根据平行线的判定定理求解即可．
【详解】∵∠1+∠3+∠ABD＝180°，∠1＝56°，∠3＝80°，
∴∠ABD＝180°﹣56°﹣80°＝44°，
∵∠2＝44°，
∴∠2＝∠ABD，
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），
故答案为：AB；CD；内错角相等，两直线平行．
【点睛】此题考查了平行线的判定，熟记“内错角相等，两直线平行”是解题的关键．
5．（2023春·七年级单元测试）如图，在四边形ABCD中，在不添加任何辅助线和字母的情况下，添加一个条件___，使ABDC．（填一个即可）
【答案】BAC=DCA
【分析】根据平行线的逆定理判断即可求解．
【详解】解：给定条件BAC=DCA，
∴ABDC（内错角相等两条直线平行）．
故答案为：BAC=DCA．
【点睛】本题考查了平行线的判定，熟记三种判定平行线的方式是解决此题的关键．
6．（2022春·湖北武汉·九年级武汉第三寄宿中学校考阶段练习）如图，直线分别交直线、于点、平分交于点若，求证：AB//CD．
【答案】见解析
【分析】欲证明，只需推知．
【详解】证明：平分交于点，
．
，
，
．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，掌握定理是解题的关键．
知识点03 同旁内角互补两直线平行
【知识点】
判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行
简单说成： 同旁内角互补，两直线平行。
∵∠4＋∠2＝180°
∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
【典型例题】
例1．（2023秋·重庆渝中·七年级重庆巴蜀中学校考期末）如图，下列说法中，正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】D
【分析】根据平行线的判定条件逐一判断即可得到答案．
【详解】解：A、，不能判断，选项错误；
B、，可以判断，不能判断，选项错误；
C、，可以判断，不能判断，选项错误；
D、，可以判断，选项正确，
故选D．
【点睛】本题考查了平行线的判定，解题关键是掌握平行线的判定条件：①内错角相等，两直线平行；②同位角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行．
例2．（2022秋·全国·八年级专题练习）在铺设铁轨时，两条直轨必须是互相平行的，如图，已经知道是直角，那么再度量图中已标出的哪个角，不能判断两条直轨是否平行( )
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】因为∠2是直角，只要找出与∠2互为同位角、内错角、同旁内角的其他角，根据平行线的判定定理判定即可得到正确答案．
【详解】因为∠2是直角，∠4和∠2是同位角，如果度量出，
根据“同位角相等，两直线平行”，就可以判断两条直轨平行，
∠5和∠2是内错角，如果度量出，
根据“内错角相等，两直线平行”，就可以判断两条直轨平行，
∠3和∠2是同旁内角，如果度量出，
根据“同旁内角互补，两直线平行”，就可以判断两条直轨平行，
所以答案为：A．
【点睛】本题考查两直线平行的判定定理，解决本题的关键是熟练的掌握平行线的判定定理．
例3．（2022秋·八年级课时练习）将一块三角板ABC（∠BAC=90°，∠ABC=30°）按如图方式放置，使A，B两点分别落在直线m，n上，对于给出的五个条件：①∠1=25.5°，∠2=55°；②∠1+∠2=90°；③∠2=2∠1；④∠ACB=∠1+∠3；⑤∠ABC=∠2-∠1．能判断直线mn的有__．（填序号）
【答案】①④⑤
【分析】根据平行线的判定方法和题目中各个小题中的条件，逐一判断是否可以得到m∥n，从而可以解答本题．
【详解】解：∵∠1=25.5°，∠2=55°，∠ABC=30°，
∴∠ABC+∠1=55.5°=55°=∠2，
∴mn，故①符合题意；
∵∠1+∠2=90°，∠ABC=30°，
∴∠1+∠ABC不一定等于∠2，
∴m和n不一定平行，故②不符合题意；
∵∠2=2∠1，∠ABC=30°，
∴∠1+∠ABC不一定等于∠2，
∴m和n不一定平行，故③不符合题意；
过点C作CEm，
∴∠3=∠4，
∵∠ACB=∠1+∠3，∠ACB=∠4+∠5，
∴∠1=∠5，
∴ECn，
∴mn，故④符合题意；
∵∠ABC=∠2-∠1，
∴∠2=∠ABC+∠1，
∴mn，故⑤符合题意；
故答案为：①④⑤．
【点睛】本题考查平行线的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
【即学即练】
1．（2023春·七年级单元测试）如图，，下列结论正确的是（ ）
①若，则；
②若，则；
③若，则；
④若，则．
A．①②B．②④C．②③④D．②
【答案】B
【分析】根据平行线的判定定理，即可一一判定．
【详解】解：由，不能判定，
故①不符合题意；
，，
，
，
故②符合题意；
由，，不能判定，
故③不符合题意；
，，
，
，
故④符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的判定定理，熟练掌握和运用平行线的判定定理是解决本题的关键．
2．（2022春·广东汕头·七年级统考期末）如图，下列条件中：①∠1=∠3；②∠4=∠5；③∠2+∠4=180°；④∠2=∠6，其中不能判断直线//的是（ ）
A．①②③B．③④C．③D．④
【答案】D
【分析】根据平行线的判定方法，对各条件逐一判断即可．
【详解】解：①∵∠1=∠3
∴l1//l2（内错角相等，两直线平行），故本条件不合题意；
②∵∠4=∠5，
∴l1//l2（同位角相等，两直线平行），故本条件不符合题意；
③∵∠2+∠4=180°，
∴l1//l2（同旁内角互补，两直线平行），故本条件不符合题意；
④∵∠2、∠6，无特殊位置关系，
∴由∠2=∠6不能得到l1//l2，故本条件合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了行线的判定方法，解题的关键是熟练掌握平行线的行线的判定方法是解答本题的关键．平行线的判定方法：①两同位角相等，两直线平行； ②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行．
3．（2022秋·八年级课时练习）在探究“过直线外一点P作已知直线a的平行线”的活动中，王玲同学通过如下的折纸方式找到了符合要求的直线，在这个过程中她可能用到的推理依据组合是（ ）
①平角的定义；②邻补角的定义；③角平分线的定义；④同旁内角互补，两直线平行；⑤两直线平行，内错角相等．
A．②④B．③⑤C．①②⑤D．①③④
【答案】D
【分析】如图5，设直线PA与纸片的边相交于点M、点N，直线AB与纸片的边交于点H，根据翻折变换的性质推出∠PAB=∠PAH，∠MPC=∠APC，然后根据平角∠MPA=∠HAB=180°，即可推出∠PAB=∠PAH=90°，∠MPC=∠APC=90°，即得b平行于a．
【详解】解：如图5，设直线PA与纸片的边相交于点M、点N，直线AB与纸片的边交于点H，
∵如题图2，对折后，射线AH与射线AB重合而产生折线AP，
∴∠PAB=∠PAH（角平分线的定义），
∵如题图3，对折后，射线PM和射线PA重合而产生折线PC，
∴∠MPC=∠APC（角平分线的定义），
∵点M、P、A在同一条直线上，点B、A、H在同一条直线上，
∴∠MPA=∠HAB=180°（平角的定义），
∴∠PAB=∠PAH=90°，∠MPC=∠APC=90°．
∴b∥a（同旁内角互补，两直线平行）．
故选：D．
【点睛】本题主要考查翻折变换的性质，关键在于通过相关的性质推出∠PAB=∠PAH，∠MPC=∠APC，确定∠MPA和∠HAB为平角．
4．（2021春·全国·七年级专题练习）如图，点是延长线上一点，在下列条件中：①；②；③且平分；④，能判定的有__．（填序号）
【答案】③④
【分析】根据平行线的判定方法分别判定得出答案．
【详解】①中，，（内错角相等，两直线平行），不合题意；
②中，，（同位角相等，两直线平行），不合题意；
③中，且平分，，，故此选项符合题意；
④中，， （同旁内角互补，两直线平行），故此选项符合题意；
答案：③④．
【点睛】此题主要考查了平行线的判定，正确掌握平行线的判定方法是解题关键．
5．（2022春·黑龙江绥化·七年级校考期末）一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点B、D重合，若固定三角形AOB，改变三角板ACD的位置（其中A点位置始终不变），下列条件①∠BAD＝30°；②∠BAD＝60°；③∠BAD＝120°；④∠BAD＝150°中，能得到的CD∥AB的有__________．（填序号）
【答案】①④
【分析】分两种情况，根据CD∥AB，利用平行线的性质，即可得到∠BAD的度数．
【详解】解：如图所示：当CD∥AB时，∠BAD=∠D=30°；
如图所示，当AB∥CD时，∠C=∠BAC=60°，
∴∠BAD=60°+90°=150°；
∴∠BAD=150°或∠BAD =30°．
故答案为：①④．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由直线的平行关系来寻找角的数量关系．
6．（2022秋·全国·八年级专题练习）动手操作：如图①：将一副三角板中的两个直角顶点叠放在一起，其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°．
(1)若∠BCD＝150°，求∠ACE的度数；
(2)试猜想∠BCD与∠ACE的数量关系，请说明理由；
(3)若按住三角板ABC不动，绕顶点C转动三角板DCE，试探究当时，∠BCD等于多少度，并简要说明理由．
【答案】(1)30°
(2)∠BCD＋∠ACE＝180°；理由见解析
(3)当∠BCD＝120°或60°时，；理由见解析
【分析】（1）依据∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+∠ACD，即可得到∠BCD+∠ACE的度数；
（2）依据∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+∠ACD，即可得到∠BCD+∠ACE的度数；
（3）分两种情况讨论，依据平行线的判定，即可得到当∠BCD等于120°或60°时，．
【详解】（1）解：∵∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+∠ACD，
∴∠BCD+∠ACE
=90°+∠ACD+∠ACE
=90°+90°
=180°
∵∠BCD=150°，
∴∠ACE=180°-150°=30°．
（2）∠BCD+∠ACE=180°，理由如下：
∵∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+∠ACD，
∴∠BCD+∠ACE
=90°+∠ACD+∠ACE
=90°+90°
=180°
（3）当∠BCD＝120°或60°时，．
如图1所示，根据同旁内角互补，两直线平行，
当∠B＋∠BCD＝180°时，，
∴此时∠BCD＝180°－∠B＝180°－60°＝120°；
如图2所示，根据内错角相等，两直线平行，
当∠BCD＝∠B＝60°时，．
综上所述，∠BCD=60°或120°.
【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的性质定理和判定定理，并且能够准确识图，是解题的关键．
知识点04 垂直同一直线的两条直线互相平行
【知识点】
在同一平面内，垂直同一直线的两条直线互相平行；注意强调同一平面内.
【典型例题】
例1．（2022春·内蒙古包头·七年级统考期中）在下列说法中，正确的有（ ）个．
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ②已知、的两边分别平行，那么；
③垂直于同一条直线的两条直线平行； ④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到直线的距离．
A．3B．2C．1D．0
【答案】D
【分析】利用平行公理，平行线的性质定理，点到直线的距离的定义逐项判断即可．
【详解】解：同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，因此①错误；
、的两边分别平行时，或，因此②错误；
同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，因此③错误；
从直线外一点到这条直线所画的垂线段的长度叫做这点到直线的距离，故④错误；
故选：D．
【点睛】本题考查平行公理，平行线的性质定理，点到直线的距离的定义等，解题的关键是熟练掌握上述基本知识，不要漏掉前置条件．
例2．（2021春·内蒙古巴彦淖尔·七年级统考期末）对于同一平面内的三条直线,,，给出下列5个论断：① ； ② ； ③ ； ④ ；⑤ ；以其中两个论断作为题设，一个论断作为结论组成命题，下列命题不正确的是（ ）
A．若①②，则④B．若①②，则⑤C．若②④，则①D．若③⑤，则②
【答案】B
【分析】利用平行线的传递性可对A、B、C进行判定；根据平行线的判定方法可对D进行判定．
【详解】根据平行线的传递性，由①②可得到④，所以A正确，不能得到⑤，则B错误，
根据平行线的传递性，由②④可得到①，所以C正确，
根据平行线的性质和垂直的定义，由③⑤可得②，所以D正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
例3．（2021春·全国·七年级期末）下列说法中：
（1）不相交的两条直线叫做平行线；
（2）经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行；
（3）垂直于同一条直线的两直线平行；
（4）直线，，则；
（5）两条直线被第三条直线所截，同位角相等．
其中正确的是________．
【答案】（4）
【分析】根据平行线的定义，平行线的性质，平行公理的推论解答．
【详解】（1）在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，故该项错误；
（2）过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，故该项错误；
（3）在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，故该项错误；
（4）直线，，则，故该项正确；
（5）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故该项错误．
故选：（4）．
【点睛】此题考查判断语句，熟记平行线的定义，平行线的性质，平行公理的推论是解题的关键．
【即学即练】
1．（2022春·上海·七年级专题练习）设a、b、c为同一平面内的三条直线，下列判断不正确的是（ ）
A．若a//b，b//c，则a//cB．若a⊥b，b⊥c，则a⊥c
C．若a⊥b，b⊥c，则a//cD．若a//b，b⊥c，则a⊥c
【答案】B
【详解】根据平行线的判定定理及垂直的性质逐项进行分析即可解答．
【解答】解：A．根据平行于同一直线的两直线平行，即可推出a//c，则本选项正确，不合题意，
B．根据垂直于同一直线的两直线平行，即可推出a∥c，故本选项错误，符合题意，
C．根据垂直于同一直线的两直线平行，即可推出a∥c，本选项正确，不合题意，
D．根据平行线的性质，即可推出a⊥c，本选项正确，不合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查平行线的判定定理及性质、垂直的性质等知识点，灵活运用相关的性质定理并是解答本题的关键．
2．（2021春·湖南湘西·七年级统考期末）①a，b，c是直线，若a∥b，b∥c，则a∥c；②a，b，c是直线，若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；③如果∠1＝∠2，∠2＝∠3，那么∠1＝∠3；④互为邻补角的两个角相等．以上四个结论中正确的是（ ）
A．①②B．②③C．③④D．①③
【答案】D
【分析】根据平行公理及推论，平行线的判定，邻补角的定义逐个判断即可．
【详解】解：∵a，b，c是直线，a∥b，b∥c，
∴a∥c，故①正确；
当a、b、c在同一平面内时，如下图：
若a⊥b，b⊥c，则a∥c；故②错误；
∵∠1＝∠2，∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，故③正确；
如果∠1和∠2互为邻补角，当∠1＝30°，∠2＝150°也符合，
即互为邻补角的两个角不一定相等，故④错误；
即正确的是①③，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行公理及推论，平行线的判定，垂直的定义，邻补角定义等知识点，能熟记平行公理及推论、平行线的判定、垂直的定义、邻补角定义是解此题的关键．
3．（2022秋·八年级课时练习）如图，直线a，b，c被直线l所截，下列条件中：①1=3，4=5；②2+3=，3=7；③1=2，5=6；④2=3，4=5，能确定ac的条件的是 （ ）
A．①②③④B．①②③C．①②D．①②④
【答案】B
【分析】根据平行线的判定定理逐项分析判断即可．
【详解】解：①∵∠1＝∠3，
∴ab，
∵∠4＝∠5，
∴bc，
∴ac，符合题意；
②∵2+3=，
∴ab，
∵3=4，3=7，
∴4=7，
∴bc，
∴ac，符合题意；
③∵1=2，1＋2＝180°，
∴1=2=90°，
∴a⊥l，
∵5=6，5＋6＝180°，
∴5=6=90°，
∴c⊥l，
∴ac，符合题意；
④由4=5可得bc，但是由2=3，无法推出ab，
故无法得出ac，不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查的是平行线的判定，用到的知识点为：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行．
4．（2021秋·北京海淀·七年级校考期末）在同一平面内有2021条直线a1，a2，a3，…，a2021，如果a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4，a4∥a5，…，那么a1与a5的位置关系是_____；a1与a2021的位置关系是_____．
【答案】 平行 平行
【分析】根据平行线的性质和规律得到：4条直线的位置关系为一个循环．
【详解】如图，a1⊥a2，a2∥a3，
∴a1⊥a3，
∵a3⊥a4，
∴a1∥a4，
∵a4∥a5，
∴a1∥a5，
…，
依此类推，a1⊥a6，a1⊥a7，a1∥a8，a1∥a9，连续4条直线的位置关系为一个循环．
∴2021＝505×4+1，
∴a1∥a2021．
故答案是：平行；平行．
【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是找到直线位置关系的规律．
5．（2021·云南昆明·统考一模）如图，小红看到工人师傅用角尺画出工件边缘的垂线和，即可得到．请你帮小红从下列真命题中找到工人师傅画图的一个依据．真命题为：①连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；②在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行（选自人教版初中数学教科书七年级下册第14页例）；③在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线；④经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．”这个依据是__________．（只需填序号）
【答案】②
【分析】根据垂直于同一条直线的两条直线平行判断即可．
【详解】解：由题意：a⊥AB，b⊥AB，
∴（在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行），
故答案为：②．
【点睛】本题考查平行线的判定，平行公理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
6．（2022春·河南许昌·七年级统考期中）（1）在一次数学活动课上，老师让同学们用两个大小、形状都相同的三角板画平行线、，并说出自己做法的依据．小琛、小萱、小冉三位同学的做法如下：
小琛说：“我的做法的依据是内错角相等，两直线平行”
①小琛说的是否正确？________（回答正确或错误）
②小萱做法的依据是________________________；
③小冉做法的依据是________________________．
（2）如图，如果，，，那么与平行吗？与呢？
【答案】（1）①正确；②同位角相等两直线平行；③同一平面内垂直于同一直线的两条直线平行；
（2）AB∥CD，BC∥DE；
【分析】（1）根据平行线的判定方法判断即可；
（2）根据对顶角的性质，同旁内角互补两直线平行；补角的定义，内错角相等两直线平行；即可证明；
【详解】解：（1）①∵∠BAD=∠CDA，∴AB∥CD，即内错角相等两直线平行；故①正确；
②如图，
∵∠ABD=∠CDE，∴AB∥CD，即同位角相等，两直线平行；
③∵AB⊥BC，DC⊥BC，
∴AB∥CD，即同一平面内垂直于同一直线的两条直线平行；
（2）解∵∠1＝60°，∠ABC＝∠1，
∴∠ABC＝60°，
又∵∠2＝120°，
∴∠ABC+∠2＝180°，
∴AB∥CD，
又∵∠2+∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝60°，
∵∠D＝60°，
∴∠BCD＝∠D，
∴BC∥DE；
【点睛】本题考查了相交线与平行线，掌握平行线的判定方法是解题关键．
题组A 基础过关练
1．（2021春·重庆渝中·七年级重庆市求精中学校校考期中）下列说法错误的是（ ）．
A．同位角相等，两直线平行B．同旁内角互补，两直线平行
C．对顶角互补，两直线垂直D．对顶角相等，两直线平行
【答案】D
【分析】根据平行线的判定方法、对顶角对各选项进行判断．
【详解】解：A、同位角相等，两直线平行，所以A选项正确，不符合题意；
B、同旁内角互补，两直线平行，所以B选项正确，不符合题意；
C、对顶角互补，两直线垂直，所以C选项正确，不符合题意；
D、对顶角相等，不能判断两直线平行，所以D选项错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查平行线的判定方法、对顶角的知识点，掌握平行线的判定方法，对顶角相等是解题的关键．
2．（2022春·广东江门·七年级江门市福泉奥林匹克学校校考阶段练习）如图，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据平行线的判定分别进行分析可得答案．
【详解】解：A、，根据内错角相等，两直线平行可得：，故此选项不符合；
B、，根据内错角相等，两直线平行可得：，故此选项符合；
C、，根据内错角相等，两直线平行可得：，故此选项不符合；
D、，根据同旁内角互补，两直线平行可得：，故此选项不符合．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握平行线的判定定理．
3．（2022秋·八年级单元测试）在同一平面内，将两个完全相同的三角板按如图摆放（直角边重合），可以画出两条互相平行的直线，这样操作的依据是（ ）
A．两直线平行，同位角相等B．同位角相等，两直线平行
C．两直线平行，内错角相等D．内错角相等，两直线平行
【答案】D
【分析】根据内错角相等，两直线平行直接得到答案．
【详解】解：如图，
由题意得 ，根据内错角相等，两直线平行可得．
故选：D．
【点睛】本题考查平行线的判定，解题的关键是掌握内错角的定义及平行线的判定定理．
4．（2022春·河北保定·七年级统考期末）如图，将木条，与钉在一起，，，要使木条与平行，木条需顺时针旋转的最小度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】要使木条a与b平行，那么∠1=∠2，从而可求出木条a至少旋转的度数．
【详解】解：∵当木条a与b平行，
∴∠1=∠2，
∴∠1需变为50°，
∴木条a至少旋转：70º-50º=20º，
故选：B．
【点睛】本题考查了旋转的性质及平行线的性质：①两直线平行同位角相等；②两直线平行内错角相等；③两直线平行同旁内角互补；④夹在两平行线间的平行线段相等.在运用平行线的性质定理时，一定要找准同位角，内错角和同旁内角．
5．（2021春·辽宁沈阳·七年级沈阳市第一二六中学校考阶段练习）如图，若，则互相平行的线段是___________．
【答案】
【分析】因为，所以（内错角相等，两直线平行）．
【详解】解：∵，
∴（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：.
【点睛】本题主要考查平行线的判定，熟练掌握平行线判定的几种判定方法是解题的关键．
6．（2022春·广东广州·七年级校考期末）如图，∠1=30°，AB⊥AC，要使，需再添加的一个条件是____________．（要求：添加这个条件后，其它条件也必不可少，才能推出结论）
【答案】∠B=60°（答案不唯一）
【分析】由题意可求出∠BAD=120°，再根据“同旁内角互补，两直线平行”即可知需添加的条件为：∠B=60°．
【详解】可添加条件：∠B=60°．
∵∠1=30°，AB⊥AC，
∴∠BAD=30°+90°=120°．
∵∠B=60°，
∴∠B+∠BAD=180°，
∴．
故答案为：∠B=60°．（答案不唯一）
【点睛】本题考查垂线的定义，平行线的判定．掌握同旁内角互补，两直线平行是解题关键．
7．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，一个弯形管道，若它的两个拐角，，则管道．这里用到的推理依据是_________．
【答案】同旁内角互补，两直线平行
【分析】由已知∠ABC＝120°，∠BCD＝60°，即∠ABC＋∠BCD＝120°＋60°＝180°，根据同旁内角互补，两直线平行即可得到．
【详解】解：∵∠ABC＝120°，∠BCD＝60°
∴∠ABC＋∠BCD＝180°，
∴（同旁内角互补，两直线平行），
故答案为：同旁内角互补，两直线平行．
【点睛】本题考查的是平行线的判定，解答本题的关键是掌握平行线的判定定理：同旁内角互补，两直线平行．
8．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，已知直线a、直线b和直线c均为直线l所截，∠1=68°，∠2=68°，∠3=112°．
（1）因为∠1=68°，∠2=68°（已知），所以∠1=∠2（等量代换），所以___________（同位角相等，两直线平行）．
（2）因为∠3+∠4=180°（邻补角定义)，∠3=112°，所以∠4=68°．
又因为∠2=68°，所以∠2=∠4（等量代换），所以_____________（同位角相等，两直线平行）．
【答案】 a b b c
【分析】（1）根据同位角相等，两直线平行直接作答即可；
（2）根据邻补角互补先求出∠4，再根据同位角相等，两直线平行作答即可．
【详解】解：（1）∵∠1=68°，∠2=68°，
∴∠1=∠2，
∴，
故答案为：a，b；
（2）∵∠3+∠4=180°，3=112°，
∴∠4=68°，
∵∠2=68°，
∴∠2=∠4，
∴，
故答案为：b，c．
【点睛】本题主要考查了同位角相等，两直线平行的知识，平行的判定：①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行；④垂直于同一直线的两条直线平行．
9．（2022秋·八年级课时练习）学习了两条直线平行的判定方法1后，谢老师接着问：“由同位角相等，可以判断两条直线平行，那么能否利用内错角相等来判定两条直线平行呢？”如图，直线AB和CD被直线EF所截，∠2＝∠3，ABCD吗？说明理由．
现请你补充完下面的说理过程：
答：ABCD
理由如下：
∵∠2＝∠3（已知）
且 （ ）
∴∠1＝∠2
∴ABCD（ ）
【答案】∠1＝∠3；对顶角相等；同位角相等，两直线平行
【分析】根据已知条件及对顶角相等得出∠1＝∠2，由同位角相等，两直线平行即可证明．
【详解】解：ABCD
理由如下：∵∠2＝∠3（已知）
且∠1＝∠3（对顶角相等）
∴∠1＝∠2
∴ABCD（同位角相等，两直线平行），
故答案为：∠1＝∠3；对顶角相等；同位角相等，两直线平行．
【点睛】题目主要考查对顶角相等及平行线的判定，理解题意，熟练掌握平行线的判定是解题关键．
10．（2022春·北京延庆·七年级统考期末）如图，∠B+∠BAD=180°，∠1=∠2． 求证：ABCD．请将下面的证明过程补充完整．
证明：
∵∠B+∠BAD=180°（已知），
∠1+∠BAD=180°（ ），
∴∠1=∠B（ ）．
∵∠1=∠2（已知），
∴∠2＝ （ ）．
∴ABCD（ ）．
【答案】见解析
【分析】根据平行的判定定理证明即可．
【详解】∵∠B+∠BAD=180°（已知），
∠1+∠BAD=180°（平角定义），
∴∠1=∠B（同角的补角相等）．
∵∠1=∠2（已知），
∴∠2=∠B（等量代换）．
∴ABCD（同位角相等，两条直线平行）．
【点睛】本题考查平行线的判定定理，解题的关键是掌握平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
题组B 能力提升练
1．（2021春·山东济南·七年级统考期中）如图，在下列条件中，不能判定的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；内错角相等，两直线平行；逐项判断即可．
【详解】解：A、因为，所以（同位角相等，两直线平行），故A选项不符合题意．
B、因为，所以（同旁内角互补，两直线平行），故B选项不符合题意．
C、因为，所以（内错角相等，两直线平行），故C选项不符合题意．
D、因为，所以（同位角相等，两直线平行），不能得出，故D选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是正确答题的关键．
2．（2023春·七年级单元测试）如图，下列条件中，能够判定的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据平行线的判定方法，逐一进行判定即可．
【详解】解：A、∵，∴，不能判定，不符合题意；
B、∵，∴，不能判定，不符合题意；
C、∵，∴，符合题意；
D、∵，∴，不能判定，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查平行线的判定．熟练掌握平行线的判定方法，是解题的关键．注意区分截线．
3．（2022秋·全国·八年级专题练习）给出下列说法：
（1）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；
（2）相等的两个角是对顶角；
（3）直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到直线的距离；
（4）垂直于同一条直线的两直线平行；其中正确的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】B
【分析】根据平行线的定义、平行公理、对顶角的概念以及点到直线的距离的概念进行判断即可．
【详解】解：（1）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，说法（1）正确；
（2）相等的两个角不一定是对顶角，对顶角是在两直线相交的前提条件下形成的，故说法（2）错误；
（3）直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到直线的距离，点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，故说法（3）错误；
（4）同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，故说法（4）错误．
故说法正确的有1个．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了相交线与平行线的一些基本概念，解题时注意：对顶角是相对于两个角而言，是指两个角的一种位置关系；点到直线的距离只能量出或求出，而不能说画出；平行公理中要准确理解“有且只有”的含义．
4．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，将一副三角板按如图放置，则下列结论：①；②；③如果，则有；④．其中正确的序号是（ ）
A．①②③④B．①②④C．①②③D．①③④
【答案】B
【分析】根据，，即可得；根据角之间关系即可得；根据角之间关系可得，无法判断BC与AD平行；由题意得，，得；综上，即可得．
【详解】解：∵，，
∴，
故①正确；
∵
故②正确；
∵，
∴，
，
∴BC与AD不平行，
故③错误；
∵，
即，
又∵，
∴
,
故④正确；
综上，①②④正确，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，余角和同角的余角，平行线的判定，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点并认真计算．
5．（2022春·山东滨州·七年级统考期末）如图，下列条件能判断的是__________（多选）．
① ② ③ ④
【答案】①③④
【分析】根据对顶角相等、平行线的判定逐个判断即可得．
【详解】解：①，根据内错角相等，两直线平行可判断；
②，根据同位角相等，两直线平行可判断；
③，根据同旁内角互补，两直线平行可判断；
④，
，根据同旁内角互补，两直线平行可判断；
综上，能判断的是①③④，
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了对顶角相等、平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题关键．
6．（2022春·山东枣庄·七年级统考期中）平行线在生活中应用很广泛，人们为了准确地画出平行线，往往利用三角尺和直尺按照下面的方法去做：
第一步：作直线AB，并用三角尺的一条边贴住直线AB；
第二步：用直尺紧靠三角尺的另一条边；
第三步：沿直尺下移三角尺；
第四步：沿三角尺的边作出直线CD．这样，就得到．
请写出其中的道理：______．
【答案】同位角相等，两直线平行
【分析】根据作图过程可得∠1=∠2，根据平行线的判定可得答案．
【详解】解：如下图所示，
∵∠1=∠2，
∴(同位角相等，两直线平行)，
故答案为：同位角相等，两直线平行
【点睛】本题主要考查了复杂作图，关键是掌握同位角相等，两直线平行．
7．（2022春·江西南昌·七年级统考期末）如图，将一副三角板按如图放置，则下列结论：①；②当时，则有；③当时，则有；④当时，则有．其中正确的序号是______．
【答案】②③④
【分析】根据∠CAB=∠EAD=90°及∠1=∠CAB-∠2，∠3=∠EAD-∠2，根据等量代换即可判断①；当，可得∠2和∠3的度数，利用内错角相等即可判断②；当时，可求得∠1，根据∠1=∠E内错角相等即可判断③；当时，∠3+∠D=90°即可判断④．
【详解】解：∵∠CAB=∠EAD=90°，∠1=∠CAB-∠2，∠3=∠EAD-∠2，
∴∠1=∠3，故①错误；
当，∠2=90°-∠1=45°，∠3=90°-∠2=45°，且∠B=45°，
因此∠B=∠3，
∴，故②正确；
当时，则∠1=90°-∠2=60°，且∠E=60°，
因此∠1=∠E，
∴，故③正确；
当时，则∠3+∠D=60°+30°=90°，
因此，故④正确，
故答案为：②③④．
【点睛】本题考查了三角板中角度的计算、平行线的判定及两直线垂直的判定，熟练掌握其相关判定及性质是解题的关键．
8．（2022春·河南许昌·七年级许昌市第一中学校考期中）如图，那么图形中的平行线有______．
【答案】CD∥EF
【分析】根据内错角相等，两直线平行解答．
【详解】解：∵∠D=∠E，
∴CD∥EF．
故答案为：CD∥EF．
【点睛】本题考查了平行线的判定，熟记判定方法并准确识图是解题的关键．
9．（2022春·全国·七年级专题练习）光线从空气中射入水中会产生折射现象，同时光线从水中射入空气中也会产生折射现象，如图，光线a从空气中射入水中，再从水中射入空气中，形成光线b，根据光学知识有，，请判断光线a与光线b是否平行，并说明理由．
【答案】平行，理由见解析
【分析】根据等角的补角相等求出与的补角相等，再根据，结合内错角相等，两直线平行即可判定．
【详解】解：平行，理由如下：
如图，，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了平行线的判定，解决本题的关键是掌握平行线的判定．
10．（2022春·甘肃平凉·七年级校考期中）如图，
(1) 等于多少度？
(2)AD与BC平行吗？请说明理由．
【答案】(1)∠DAB+∠B=180°
(2)；理由见解析
【分析】（1）由已知可求得∠DAB=120°，从而可求得∠DAB+∠B=180°；
（2）根据同旁内角互补两直线平行可得．
（1）
解：∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°．
又∵∠1=30°，
∴∠BAD=120°，
∵∠B=60°，
∴∠DAB+∠B=180°．
（2）
解：．理由如下：
∵∠DAB+∠B=180°，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，解题的关键是熟练掌握同旁内角互补，两直线平行．
题组C 培优拔尖练
1．（2023春·七年级单元测试）如图，下列条件中，能判断的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】结合图形分析两角的位置关系，根据平行线的判定方法逐项进行判断即可得到结论．
【详解】解：∵，
∴，
故①选项符合题意；
∵，
∴，
故②选项不符合题意；
∵，
∴，
故③选项不符合题意；
∵，不能判定，
故④选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，能根据图形准确找出同位角、内错角和同旁内角是解决问题的关键．
2．（2022春·广东肇庆·七年级校考期中）如图，下列能判定ADBE的条件有（ ）个．
（1）∠B+∠BAD＝180°；（2）∠1＝∠2；（3）∠3＝∠4；（4）∠D＝∠5；（5）∠D+∠BCD＝180°．
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】根据平行线的判定定理分别进行判断即可．
【详解】解：（1）由∠B+∠BAD＝180°，可得ADBE；
（2）由∠1＝∠2，可得ADBE；
（3）由∠3＝∠4，可得ABCD，不能得到ADBE；
（4）由∠D＝∠5，可得ADBE；
（5）由∠D+∠BCD＝180°，可得ADBE．
故选：D．
【点睛】此题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．解题的关键是准确分析判断．
3．（2022春·山东东营·六年级校考期末）小颖学习了平行线的相关知识后，利用如图所示的方法，折出了“过已知直线AB外一点P和已知直线AB平行的直线MN”，下列关于MN∥AB的依据描述正确的是（ ）
A．同位角相等，两直线平行B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行D．以上选项均正确
【答案】D
【分析】先根据折叠的性质得到折痕都垂直于过点P的直线，根据根据平行线的判定方法求解．
【详解】解：如下图，作以下标记E：
第一步的操作可知PE⊥AB，所以∠PEA=∠PEB=90°，第二步的操作可知MN⊥PE，所以∠MPE=∠NPE=90°，所以∠PEA=∠PEB=∠MPE=∠NPE=90°，所以可依据A. 同位角相等，两直线平行、B. 内错角相等，两直线平行、C. 同旁内角互补，两直线平行判断MN∥AB，故A、B、C三个选项都对，
故选D．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
4．（2021春·浙江杭州·七年级期中）下列说法①两直线被第三条直线所截，同旁内角互补；②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；③对顶角相等；④若∠A的两边和∠B的两边分别平行，且∠A比∠B的2倍少27°，则∠A的度数为69°，其中正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】利用对顶角的性质、平行线的性质、平行公理逐个判断即可得．
【详解】两直线被第三条直线所截，同旁内角不一定互补，则说法①错误
在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，则说法②错误
对顶角相等，说法③正确
的两边和的两边分别平行，则和相等或互补
设，则
由角互补的定义得：或，即或
解得或
则的度数为或，说法④错误
综上，正确的个数有1个
故选：A．
【点睛】本题考查了对顶角的性质、平行线的性质、平行公理，熟记各性质与公理是解题关键．
5．（2022春·内蒙古通辽·七年级统考阶段练习）如图，直线a，b与直线c相交，给出下列条件：①∠1=∠2；②∠3=∠6；③∠4＋∠7=180°；④∠5＋∠3=180°，其中能判断ab的是________（填序号）．
【答案】①③④
【分析】根据平行线的判定定理即可一一判定．
【详解】解：①∵∠1=∠2，
∴ab，故①正确；
②由∠3=∠6无法得出ab，故②错误；
③∵∠4＋∠7=180°，
∴ab，故③正确；
④∵∠5＋∠3=180°，∠2=∠3，
∴∠2＋∠5=180°，
∴ab，故此选项正确；
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了平行线的判定定理及对顶角相等，灵活运用平行线的判定定理是解决本题的关键．
6．（2023春·七年级单元测试）如图，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．，CD与AB在直线EF异侧．若，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和6度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t秒，在射线CD转动一周的时间内，当时间t的值为______时，CD与AB平行．
【答案】4秒或40秒
【分析】分①与在的两侧，分别表示出与，然后根据内错角相等两直线平行，列式计算即可得解；
②旋转到与都在的右侧，分别表示出与，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解；
③旋转到与都在的左侧，分别表示出与，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解．
【详解】解：分三种情况：
如图①，与在的两侧时，
∵，，
∴，，
要使，则，
即，
解得t=4；
此时，
∴；
②旋转到与都在的右侧时，
∵，，
要使，则，
即，
解得，
此时，
∴；
③旋转到与都在的左侧时，
∴，，
要使，则，
即，
解得，
此时，
而，
∴此情况不存在．
综上所述，当时间t的值为4秒或40秒时，与平行．
故答案为：4秒或40秒．
【点睛】本题考查了平行线的判定，读懂题意并熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键，要注意分情况讨论．
7．（2021春·湖南岳阳·七年级统考期末）如图，将一副三角板按如图所示放置，，，，且，则下列结论中：①；②若平分，则有；③将三角形绕点旋转，使得点落在线段上，则此时；④若，则．其中结论正确的选项有______．（写出所有正确结论的序号）
【答案】②③④
【分析】①根据同角的余角相等得∠1=∠3，但不一定得45°；②都是根据角平分线的定义、内错角相等，两条直线平行，可得结论；③根据对顶角相等和三角形的外角等于不相邻的两个内角得和，可得结论；④根据三角形内角和定理及同角的余角相等，可得结论．
【详解】解：①如图，
∵∠CAB=∠DAE=90°，
即∠1+∠2=∠3+∠2+90°，
∴∠1=∠3≠45°，
故①不正确；
②∵AD平分∠CAB，
∴∠1=∠2=45°，
∵∠1=∠3，
∴∠3=45°，
又∵∠C=∠B=45°，
∴∠3=∠B，
∴BC∥AE，
故②正确；
③将三角形ADE绕点A旋转，使得点D落在线段AC上，
则∠4=∠ADE-∠ACB=60°-45°=15°，
故③正确；
④∵∠3=2∠2，∠1=∠3，
∴∠1=2∠2，∠1+∠2=90°，
∴3∠2=90°，
∴∠2=30°，
∴∠3=60°，
又∠E=30°，
设DE与AB交于点F，则∠AFE=90°，
∵∠B=45°，
∴∠4=45°，
∴∠C=∠4，
故④正确，
故答案为：②③④．
【点睛】本题主要考查了同角的余角相等、角平分线定义、平行线的判定的运用，解题关键是熟练掌握同角的余角相等及平行线的判定．
8．（2021秋·山西·八年级统考期末）如图1，在探索“如何过直线外一点作已知直线的平行线”时，小颖利用两块完全相同的三角尺进行如下操作：如图 2 所示，（1）用第一块三角尺的一条边贴住直线 l，第二块三角尺的一条边紧靠第一块三角尺；（2）将第二块三角尺沿第一块三角尺移动，使其另一边经过点 A，沿这边作出直线 AB，直线 AB 即为所求，则小颖的作图依据是________．
【答案】内错角相等，两直线平行
【分析】首先对图形进行标注，从而可得到∠1=∠2，然后依据平行线的判定定理进行判断即可．
【详解】解：如图所示：
由平移的性质可知：∠2=∠3．
又∵∠1=∠2，
∴∠3=∠1．
∴EF∥l（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：内错角相等，两直线平行．
【点睛】本题主要考查的是平行线的判定、平移的性质、尺规作图，依据作图过程发现∠1=∠3是解题的关键．
9．（2023春·七年级单元测试）如图，已知点O在直线AB上，射线OE平分∠AOC，过点O作OD⊥OE，G是射线OB上一点，连接DG，使∠ODG+∠DOG=90°．
(1)求证：∠AOE=∠ODG；
(2)若∠ODG=∠C，试判断CD与OE的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)CDOE，理由见解析
【分析】（1）由OD⊥OE得到∠EOC+∠COD=∠AOE+∠DOG=90°，再利用等角的余角相等即可证明∠AOE=∠ODG；
（2）证明∠EOC=∠C，利用内错角相等两直线平行，即可证明CDOE．
【详解】（1）证明：∵OD⊥OE，
∴∠EOC+∠COD=∠AOE+∠DOG=90°，
∵∠ODG+∠DOG=90°，
∴∠AOE=∠ODG；
（2）解：CDOE．理由如下：
由（1）得∠AOE=∠ODG，
∵射线OE平分∠AOC，
∴∠AOE=∠EOC，
∵∠ODG=∠C，
∴∠EOC=∠C，
∴CDOE．
【点睛】本题考查了角平分线定义，垂直的定义，平行线的判定，等角的余角相等，正确识图是解题的关键．
10．（2022秋·全国·八年级专题练习）在三角形中，点在线段上，ED//BC交于点，点在线段上点不与点，，重合，连接，过点作交射线于点．
(1)如图，点在线段上，用等式表示与的数量关系，并证明；
(2)如图，点在线段上，求证：；
(3)当点在线段上时，依题意，在图中补全图形，请直接用等式表示与的数量关系，不需证明．
【答案】(1)，证明见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）结论：，如图中，过点作交于点，利用平行线的性质求解即可．
（2）如图中，过点作交于点，利用平行线的性质求解即可．
（3）作出图形，利用平行线的性质求解即可．
【详解】（1）解：结论：．
理由：如图中，过点作交于点．
，
．
．
，
．
，
．
．
．
（2）证明：如图中，过点作交于点．
．
．
．
，
．
，
．
．
．
．
．
（3）结论：．
理由：设交于．
，
，
，，
【点睛】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．
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