初中数学浙教版七年级下册1.4平行线的性质课后练习题

这是一份初中数学浙教版七年级下册1.4平行线的性质课后练习题，共89页。

2.学会利用平行线的性质求角的度数；
3、掌握平行线的性质在生活中的实际应用；
4、掌握平行线性质的综合性问题；
知识点01 平行线的性质
【知识点】
性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。
简单说成：两直线平行，同位角相等。
几何语言：∵a∥b
∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等）
性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。
简单说成：两直线平行，内错角相等。
几何语言：∵a∥b
∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等）
性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。
简单说成：两直线平行，同旁内角互补。
几何语言：∵a∥b
∴∠3+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补）
【典型例题】
例1．（2022秋·全国·八年级专题练习）一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，第一次拐弯的度数为，第二次拐弯的度数为，到了点后需要继续拐弯，拐弯后与第一次拐弯之前的道路平行，则的度数为（ ）
A．100°B．160°C．140°D．120°
例2．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，，直线交于点，交于点，平分，交于点，，则等于（ ）
A．B．C．D．
例3．（2022春·黑龙江齐齐哈尔·七年级校考阶段练习）如图所示，ABCD，若，，则＝________．
【即学即练】
1．（2022·安徽合肥·校联考三模）如图，直线，，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2022春·浙江宁波·七年级统考期末）如图，直线，将含有45°角的三角板EFP的直角顶点F放在直线CD上，顶点E放在直线AB上，若∠2＝20°，则∠1的度数为（ ）
A．45°B．28°C．25°D．30°
3．（2022春·安徽合肥·七年级统考期末）如图，满足下列条件之一，能够得到的有（ ）个
①
②AG平分∠FAE，且
③
④，且
A．4B．3C．2D．1
4．（2022春·河南商丘·七年级统考期末）如图，，点O在AB上，OE平分∠BOD，，，则∠AOF的度数是______．
5．（2022春·重庆荣昌·七年级校考期中）如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G，点D，C分别折叠到点M，N的位置上，若，则____________．
6．（2022秋·吉林长春·七年级校考期末）【提出问题】若两个角的两边分别平行，则这两个角有怎样的数量关系？
【解决问题】分两种情况进行探究，请结合下图探究这两个角的数量关系．
（1）如图1，，，试证：；
（2）如图2，，，试证：；
【得出结论】由（1）（2）我们可以得到结论：若两个角的两边分别平行，则这两个角的数量关系为_____________；
【拓展应用】
（3）若两个角的两边分别平行，其中一个角比另一个角的2倍少，求这两个角的度数．
（4）同一平面内，若两个角的两边分别垂直，则这两个角的数量关系为_____________．
知识点02 根据平行线的性质求角的度数
【典型例题】
例1．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，直角三角板的直角顶点放在直线b上，且，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
例2．（2021秋·湖南长沙·八年级校考期中）将一副三角尺按如图摆放，点E在上，点D在的延长线上，，，，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
例3．（2022春·山西临汾·七年级统考期末）将一块直角三角板()按如图所示的方式摆放，点A、分别在直线、上，，若，则的度数是______．
【即学即练】
1．（2022秋·陕西汉中·七年级统考期末）一副直角三角板如图放置，点C在的延长线上，，，，，则为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·七年级单元测试）如图，AB∥CD，平分，，，，则下列结论：；平分；；其中正确的有( )
A．①②③④B．①②③C．①③④D．①②④
3．（2022春·山东淄博·六年级统考期末）如图，，，的平分线与的平分线交于点G，当时，（ ）
A．65°B．60°C．55°D．50°
4．（2022·四川成都·统考二模）如图，把三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的度数为______．
5．（2022春·辽宁丹东·七年级校考期末）如图，，与相交于点，且，，若，则______．
6．（2023春·全国·七年级专题练习）【感知】如图①，，，，的度数为______．
【探究】如图②，，点P在射线上运动，，，
（1）当点P在线段上运动时，试探究，，之间的数量关系．
（2）当点P在线段C，D两点外侧运动时（点P与点C，D，O三点不重合），直接写出，，之间的数量关系为______．
知识点03 平行线的性质在生活的应用
【典型例题】
例1．（2022春·山西临汾·七年级统考期中）如图，木条a、b、c通过B、E两处螺丝固定在一起，且，，将木条a、木条b、木条c看作是在同一平面内的三条直线AC、DF、MN，若使直线AC、直线DF达到平行的位置关系，则下列描述正确的是（ ）
A．木条b、c固定不动，木条a绕点B顺时针旋转
B．木条b、c固定不动，木条a绕点B逆时针旋转
C．木条a、c固定不动，木条b绕点E逆时针旋转
D．木条a、c固定不动，木条b绕点E顺时针旋转
例2．（2021·山东潍坊·统考中考真题）如图，一束水平光线照在有一定倾斜角度的平面镜上，若入射光线与出射光线的夹角为60°，则平面镜的垂线与水平地面的夹角α的度数是（ ）
A．15°B．30°C．45°D．60°
例3．（2022春·河南平顶山·七年级统考期末）如图，某工程队从A点出发，沿北偏西67°方向修一条公路AD，在BD路段出现塌陷区，于是改变方向，由B点沿北偏东23°的方向继续修建BC段，到达C点又改变方向，从C点继续修建CE段，若使所修路段，应为______度．
【即学即练】
1．（2021春·全国·七年级期末）如图是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图，再沿折叠成图，则图中的的度数是（ ）
A．102°B．112°C．120°D．128°
2．（2021春·浙江·七年级期末）如图，的两边均为平面反光镜，，在上有一点，从点射出一束光线经上的点反射后，反射光线恰好与平行，这里，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022春·湖南益阳·七年级统考期末）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，如果第一次拐的，第二次拐的，第三次拐的，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022春·云南昆明·七年级统考期末）《七彩云南》少数民族传统艺术表演，是七彩云南欢乐世界的王牌演艺节目，它荟萃云南人文之美，深受观众喜爱．在展演中，舞台上的灯光由灯带上位于点和点的两盏激光灯控制．如图，光线与灯带的夹角，当光线与灯带的夹角______时，．
5．（2021春·江苏南京·七年级南京玄武外国语学校校考阶段练习）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中是平行的光线，在空气中也是平行的，如图，∠1+∠2＝103°，则∠3﹣∠4的度数为_____．
6．（2022秋·全国·八年级专题练习）光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，例如：在图1中，有∠1＝∠2．
(1)如图2，已知镜子MO与镜子ON的夹角∠MON＝90°，请判断入射光线AB与反射光线CD的位置关系，并说明理由；
(2)如图3，有一口井，已知入射光线AO与水平线OC的夹角为50°，当平面镜MN与水平线OC的夹角为 °，能使反射光线OB正好垂直照射到井底；
(3)如图4，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF＝120°，∠DCF＝40°，射线AB、CD分别绕A点、C点以3度/秒和1度/秒的速度同时逆时针转动，设时间为t秒，在射线AB转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得CD与AB平行？若存在，求出所有满足条件的时间t．
知识点04 平行线性质的综合问题
【典型例题】
例1．（2022春·山东青岛·七年级华东师范大学青岛实验中学校联考期中）如图，直线，点E，F分别在直线AB和直线CD上，点P在两条平行线之间，和的角平分线交于点H，已知，则的度数为（ ）
A．92°B．C．D．
例2．（2022春·安徽滁州·七年级校考期末）如图，，，，分别是，的平分线，于．下列结论：①；②；③；④平分；⑤．其中正确结论的个数是（ ）
A．B．C．D．
例3．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF＝110°，CD与AB在直线EF异侧．若∠DCF＝60°，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和6度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t秒，在射线CD转动一周的时间内，当时间t的值为____时，CD与AB平行．
【即学即练】
1．（2021春·浙江绍兴·七年级统考期中）一副直角三角尺叠放如图1所示，现将45°的三角尺固定不动，将含30°的三角尺绕顶点A顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行，如图2，当时，，则（）其它所有可能符合条件的度数为（ ）
A．60°和135°B．60°和105°C．105°和45°D．以上都有可能
2．（2020春·浙江·七年级期中）如图，的平分线的反向延长线和的平分线的反向延长线相交于点，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2020·山西·校联考模拟预测）如图，，，，分别平分，，则的度数为（ ）．
A．B．C．D．
4．（2022春·福建三明·七年级统考期中）观察下列图形：已知，在第一个图中，可得，根据规律，则______度．
5．（2022春·山东济宁·七年级统考期中）如图是放置在水平操场上的篮球架及其侧面示意图，已知篮球架的横梁EF始终平行于底座AB，主柱AD垂直于地面．调整前，横梁EF与上拉杆CF形成的∠F＝140°，当∠CDB＝25°时，点H，D，B在同一条直线上，此时∠H的度数是______．
6．（2021春·贵州黔东南·七年级校考期末）阅读下在材料：彤彤遇到这样一个问题：已知：如图甲，ABCD，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE，得到∠BED，求证：∠BED=∠B+∠D．彤彤是这样想的：
过点E作EFAB，则有∠BEF=∠B，ABCD，∴EFCD，∴∠FED=∠D，∴∠BED=∠BEF+∠FED，
即∠BED=∠B+∠D．请参照彤彤思考问题的方法，解决下列问题：如图．
已知：直线，点A，B在直线上，点C，D在直线上，连接AD，BC，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，且BE，DE所在直线交于点E．
(1)如图1，当点B在点A的左侧时，若∠ABC=，∠ADC=，求∠BED的度数；
(2)如图2，当点B在点A的右侧时，设∠ABC=，∠ADC=，直接写出∠BED的度数（用含有、的式子表示）
题组A 基础过关练
1．（2022秋·山西临汾·七年级统考期末）如图，两条平行线a，b被第三条直线c所截．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·新疆·模拟预测）如图，直线，被直线，所截，，，，则的大小是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·四川德阳·模拟预测）如图，直线，将三角尺的直角顶点放在直线上，如果，那么的度数为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，小明从处出发沿着北偏东方向行走至处，又沿北偏西方向走至处，此时需把方向调整到与出发时一致（即），则方向的调整应是（ ）
A．左转100°B．右转100°C．左转80°D．右转80°
5．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，和的角平分线交于点E，延长交于点F，，则_________．
6．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，若，EF与AB，CD分别相交于点E，F，，平分线与EP相交于点P，，则__________°．
7．（2022·浙江丽水·一模）如图，直线，分别与直线交于P，Q两点．把一块含的三角板按如图位置摆放，若，则_____________．
8．（2022春·辽宁丹东·七年级校考期末）如图，点是长方形纸片的边上一点，沿折叠纸片交于点，且，则的度数是______．
9．（2023秋·重庆渝中·七年级重庆巴蜀中学校考期末）请把下面证明过程补充完整．
如图，，，，求证：．
证明：∵（已知）
∴__________（__________）
∵（已知）
∴（__________）
∴__________（__________）
∴__________（__________）
∵（已知）
∴__________（等量代换）
∴（内错角相等，两直线平行）
10．（2022秋·安徽亳州·八年级校考阶段练习）如图，已知三角形的顶点，分别在直线和上，且．若，．
(1)当时，求的度数．
(2)设，，求和的数量关系（用含，的等式表示）．
题组B 能力提升练
1．（2022秋·山东青岛·八年级统考期末）如图，，直线交于，，则等于（ ）
A．B．C．D．
2．（2023秋·重庆大渡口·八年级重庆市第九十五初级中学校校考期末）如图， ，，，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，生活中，将一个宽度相等的纸条按图所示折叠一下，如果，那么的度数为（ ）
A．B．C．D．
4．（2022春·重庆秀山·七年级校考阶段练习）如图，给出下列条件．①；②；③，且；④其中，能推出的条作为（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
5．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，直线被直线所截，分别交于点A和点B，过点B的直线交于点C．若，则_________．
6．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，，把三角板的直角顶点放在直线上，若，则的度数为_________
7．（2021春·浙江温州·七年级温州绣山中学校考阶段练习）如图，将三角板与直尺贴在一起，使三角板的直角顶点在直尺的一边上，若，则______ 度．
8．（2022春·江苏南通·七年级统考阶段练习）如图，，BF，CG分别平分，BF与CG的反向延长线交于点F，若，则___________°．
9．（2022秋·辽宁沈阳·八年级沈阳市第一二六中学校考阶段练习）如图，，．
(1)求证：．
(2)若，，则的大小为___________．
10．（2023春·江苏·七年级专题练习）已知 ，点B在直线之间，．
(1)如图1，请直接写出和之间的数量关系：_________．
(2)如图2，和满足怎样的数量关系？请说明理由．
(3)如图3，平分，平分，与交于点G，则的度数为_________．
题组C 培优拔尖练
1．（2022秋·广东深圳·八年级校考期中）如图，若AB∥CD，则α、β、γ之间的关系为（ ）
A．α+β+γ=360°B．α﹣β+γ=180°C．α+β﹣γ=180°D．α+β+γ=180°
2．（2022春·陕西渭南·七年级统考期末）如图，，平分交于，，，、分别是，延长线上的点，点在上，下列结论：①；②；③；④平分，其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．（2022秋·八年级课时练习）如图，已知长方形纸片ABCD，点E和点F分别在边AD和BC上，且∠EFC=37°，点H和点G分别是边AD和BC上的动点，现将点A，B，C，D分别沿EF，GH折叠至点N，M，P，K，若MNPK，则∠KHD的度数为（ ）
A．37°或143°B．74°或96°C．37°或105°D．74°或106°
4．（2022春·广东江门·七年级校考期中）如图，,点E是边DC上一点，连接AE交BC的延长线于点H，点F是边AB上一点，使得，作的角平分线交BH于点G，若，则的度数是（ ）．
A．B．C．D．
5．（2022春·河北石家庄·七年级统考期中）如图，已知，平分，．
（1）的度数为______；
（2）的度数为______．
6．（2022春·辽宁葫芦岛·七年级校考阶段练习）①如图1，ABCD，则∠A+∠E+∠C＝180°；②如图2，ABCD，则∠E＝∠A+∠C；③如图3，若ABEF，则∠x=180°-∠α-∠γ+∠β；④如图4，ABCD，则∠A＝∠C+∠P．以上结论正确的是_____．
7．（2022春·四川德阳·七年级统考期末）一副直角三角板中，，，，现将直角顶点C按照如图方式叠放，点E在直线AC上方，且，能使三角形ADC有一条边与EB平行的所有的度数的和为_______．
8．（2023春·七年级单元测试）如图，直线，点、分别为直线和上的点，点为两条平行线间的一点，连接和，过点作的平分线交直线于点，过点作，垂足为，若，则________．
9．（2022春·广东东莞·七年级东莞市光明中学校考期中）阅读下面内容，并解答问题．
已知：如图1，，直线分别交，于点，．的平分线与的平分线交于点．
(1)求证：；
(2)填空，并从下列①、②两题中任选一题说明理由．我选择 题．
①在图1的基础上，分别作的平分线与的平分线交于点，得到图2，则的度数为 ．
②如图3，，直线分别交，于点，．点在直线，之间，且在直线右侧，的平分线与的平分线交于点，则与满足的数量关系为 ．
10．（2023春·七年级单元测试）问题情境：
在综合实践课上，老师组织七年级（2）班的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图，已知射线，连接，点P是射线上的一个动点（与点A不重合），，分别平分和，分别交射线于点C，D．
探索发现：
“快乐小组”经过探索后发现：
(1)当时，求证：．
(2)不断改变的度数，与却始终存在某种数量关系，
当则_______度，
当时，则_______度，（用含x的代数式表示）
操作探究：
(3)“智慧小组”利用量角器量出和的度数后，探究二者之间的数量关系．他们惊奇地发现，当点P在射线上运动时，无论点P在上的什么位置，与之间的数量关系都保持不变，请写出它们的关系，并说明理由．
专题1.4 平行线的性质
1.掌握平行线的性质，学会用同位角、内错角、同旁内角的关系来证明平行线关系；
2.学会利用平行线的性质求角的度数；
3、掌握平行线的性质在生活中的实际应用；
4、掌握平行线性质的综合性问题；
知识点01 平行线的性质
【知识点】
性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。
简单说成：两直线平行，同位角相等。
几何语言：∵a∥b
∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等）
性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。
简单说成：两直线平行，内错角相等。
几何语言：∵a∥b
∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等）
性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。
简单说成：两直线平行，同旁内角互补。
几何语言：∵a∥b
∴∠3+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补）
【典型例题】
例1．（2022秋·全国·八年级专题练习）一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，第一次拐弯的度数为，第二次拐弯的度数为，到了点后需要继续拐弯，拐弯后与第一次拐弯之前的道路平行，则的度数为（ ）
A．100°B．160°C．140°D．120°
【答案】B
【分析】根据平行线的性质即可求解．
【详解】解：过点作，如图，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
例2．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，，直线交于点，交于点，平分，交于点，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由，，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得的度数，又由平分，求得的度数，然后根据两直线平行，内错角相等，即可求得的度数．
【详解】解：，
，
，
，
平分，
，
，
故选：C．
【点睛】此题考查了平行线的性质与角平分线的定义，注意掌握两直线平行，同旁内角互补与两直线平行，内错角相等定理的应用．
例3．（2022春·黑龙江齐齐哈尔·七年级校考阶段练习）如图所示，ABCD，若，，则＝________．
【答案】100度##100°
【分析】过点E作EFAB，可得∠BEF+∠ABE=180°，从而得到∠BEF=60°，再由ABCD，可得∠FEC=∠DCE，从而得到∠FEC=40°，即可求解．
【详解】解：如图，过点E作EFAB，
∵EFAB，
∴∠BEF+∠ABE=180°，
∵∠ABE=120°，
∴∠BEF=180°-∠ABE=180°-120°=60°，
∵EFAB，ABCD，
∴EFCD，
∴∠FEC=∠DCE，
∵∠DCE=40°，
∴∠FEC=40°，
∴∠BEC=∠BEF+∠FEC=60°+40°=100°．
故答案为：100°
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等是解题的关键．
【即学即练】
1．（2022·安徽合肥·校联考三模）如图，直线，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由，利用两直线平行，同位角相等得到一对角相等，由的度数求出的度数，再由对顶角相等，由的度数求出的度数，利用三角形的内角和定理即可求出的度数．
【详解】解：∵，
∴，
又∵，
∴．
故选：C．
【点睛】此题考查了平行线的性质，平行线的性质，解题的关键是熟记相关知识点（两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补）．
2．（2022春·浙江宁波·七年级统考期末）如图，直线，将含有45°角的三角板EFP的直角顶点F放在直线CD上，顶点E放在直线AB上，若∠2＝20°，则∠1的度数为（ ）
A．45°B．28°C．25°D．30°
【答案】C
【分析】由题意得∠FEP=45°，∠EFP=90°，从而可得∠FEB=65°，利用平行线的性质可求得∠EFD=115°，即可求∠1的度数．
【详解】解：由题意得：∠FEP=45°，∠EFP=90°，
∵∠2=20°，
∴∠FEB=∠FEP+∠2=65°，
∵，
∴∠EFD+∠FEB=180°，
∴∠EFD=180°-∠FEB=115°，
∴∠1=∠EFD-∠EFP=25°．
故选：C．
【点睛】本题主要考查等腰直角三角形，平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．
3．（2022春·安徽合肥·七年级统考期末）如图，满足下列条件之一，能够得到的有（ ）个
①
②AG平分∠FAE，且
③
④，且
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【分析】根据平行线的判定条件进行分析即可．
【详解】解：①当∠BAC＝∠DCA时，由内错角相等，两直线平行得，故①不符合题意；
②∵AG平分∠FAE，
∴，
∵∠BAC＝∠BCA，
∴∠BCA＝∠DAC，
∴，故②符合题意；
③∵∠CAD＋∠BCG＝180°，∠BCA＋∠BCG＝180°，
∴∠BCA＝∠CAD，
∴，故③符合题意；
④∵，
∴，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠BCD＋∠ADC＝180°，
∴，故④符合题意；
综上所述，符合条件的有②③④，共3个，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查平行线的判定，解答的关键是对平行线的判定条件的掌握与运用．
4．（2022春·河南商丘·七年级统考期末）如图，，点O在AB上，OE平分∠BOD，，，则∠AOF的度数是______．
【答案】35°##35度
【分析】根据平行线的性质求得∠BOD＝∠D＝110°，∠AOD＝70°，由OE平分∠BOD，
得到∠DOE＝55°，由垂直的定义得到∠FOE＝90°，进一步即可求得答案．
【详解】解：∵CDAB，∠D＝110°，
∴∠AOD+∠D＝180°，∠BOD＝∠D＝110°，
∴∠AOD＝70°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠DOE∠BOD＝55°，
∵OF⊥OE，
∴∠FOE＝90°，
∴∠DOF＝90°﹣55°＝35°，
∴∠AOF＝70°﹣35°＝35°．
故答案为：35°．
【点睛】此题考查平行线的性质、垂直的定义、角平分线的相关计算等知识，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．
5．（2022春·重庆荣昌·七年级校考期中）如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G，点D，C分别折叠到点M，N的位置上，若，则____________．
【答案】72°##72度
【分析】利用平角的定义先求出∠EFC，再利用平行线的性质求出∠FED，最后利用折叠的性质和平角的定义求出∠1的度数．
【详解】解：∵∠EFG+∠EFC=180°，∠EFG=54°，
∴∠EFC=126°．
∵四边形ABCD是长方形，
∴DE∥CF．
∴∠EFC+∠FED=180°．
∴∠FED=54°.
∵四边形EFNM是由四边形EFCD折叠而成，
∴∠DEF=∠MEF=54°．
∵∠1+∠DEF+∠MEF=180°，
∴∠1=72°．
故答案为：72°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，弄清线段的和差关系、掌握平角的定义及“两直线平行，同旁内角互补”是解决本题的关键．
6．（2022秋·吉林长春·七年级校考期末）【提出问题】若两个角的两边分别平行，则这两个角有怎样的数量关系？
【解决问题】分两种情况进行探究，请结合下图探究这两个角的数量关系．
（1）如图1，，，试证：；
（2）如图2，，，试证：；
【得出结论】由（1）（2）我们可以得到结论：若两个角的两边分别平行，则这两个角的数量关系为_____________；
【拓展应用】
（3）若两个角的两边分别平行，其中一个角比另一个角的2倍少，求这两个角的度数．
（4）同一平面内，若两个角的两边分别垂直，则这两个角的数量关系为_____________．
【答案】【提出问题】相等或互补【解决问题】（1）证明见解析；（2）证明见解析【得出结论】相等或互补【拓展应用】（3）当一个角为时，另一个角为；当一个角为时，另一个角为；（4）相等或互补
【分析】“提出问题”：根据题意，分两种情况，数形结合讨论即可得到答案；
“解决问题”：（1）由图可知，利用平行线性质，即可得证；（2）由图可知，利用平行线性质，即可得证；
“得出结论”：由【提出问题】【解决问题】可知，若两个角的两边分别平行，则这两个角的数量关系：相等或互补；
“拓展应用”：（3）根据题意，设一个角为，则另一个角为，根据若两个角的两边分别平行，则这两个角的数量关系为相等或互补，列方程求解即可得到答案；（4）根据题意，分两种情况，作出图形，数形结合即可得到答案．
【详解】解：“提出问题”分两种情况，如图所示：
或，即若两个角的两边分别平行，则这两个角的数量关系：相等或互补；
“解决问题”（1）如图所示：
，
，
，
，
；
（2）如图所示：
，
，
，
，
；
“得出结论”由（1）（2）我们可以得到结论：若两个角的两边分别平行，则这两个角的数量关系为相等或互补，
故答案为：相等或互补；
“拓展应用”（3）设一个角为，则另一个角为，
若两个角的两边分别平行，则这两个角的数量关系为相等或互补，
或，
解得或，
当一个角为时，另一个角为；当一个角为时，另一个角为；
（4）如图所示：
由图可知或，
同一平面内，若两个角的两边分别垂直，则这两个角的数量关系为相等或互补，
故答案为：相等或互补．
【点睛】本题考查几何综合，考查了平行线的性质，探究应用类题型，读懂题意，分析情况，熟练掌握相关几何性质求证即可得到答案．
知识点02 根据平行线的性质求角的度数
【典型例题】
例1．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，直角三角板的直角顶点放在直线b上，且，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先根据平行线的性质求出的度数，再由两角互余的性质求出的度数即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等是解题的关键．
例2．（2021秋·湖南长沙·八年级校考期中）将一副三角尺按如图摆放，点E在上，点D在的延长线上，，，，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用互余关系求出，根据平行线的性质，求出，利用即可得解．
【详解】解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴；
故选：B．
【点睛】本题考查三角板中求角的度数问题，以及平行线的性质．熟练掌握直角三角板中角的关系，以及平行线的性质是解题的关键．
例3．（2022春·山西临汾·七年级统考期末）将一块直角三角板()按如图所示的方式摆放，点A、分别在直线、上，，若，则的度数是______．
【答案】50°##50度
【分析】先求得的度数，再利用平行线的性质可求解．
【详解】解：，，

，
直线，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟记性质并灵活运用是解题的关键，两直线平行，同位角相等，同旁内角互补，内错角相等．
【即学即练】
1．（2022秋·陕西汉中·七年级统考期末）一副直角三角板如图放置，点C在的延长线上，，，，，则为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】直接利用三角板的特点结合根据平行线的性质，计算得，，利用邻补角互补可求得，在中可得到
【详解】∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
在中，，，
∴，
故选：C
【点睛】本题考查了根据平行线的性质求角的度数、利用邻补角互补求角度及直角三角板的特点，熟练掌握平行线的性质和利用邻补角互补求角度是解决问题的关键
2．（2023春·七年级单元测试）如图，AB∥CD，平分，，，，则下列结论：；平分；；其中正确的有( )
A．①②③④B．①②③C．①③④D．①②④
【答案】B
【分析】根据平行线的性质和角平分线的性质、垂直的定义，判断各个小题中的结论是否成立，从而解答本题．
【详解】解：，，
，
平分，，
，故①正确；
，，平分，
，，，，
，，故③正确；
平分，故②正确；
，
，
，
而题目中不能得到，故④错误；
故选：B．
【点睛】本题主要考查平行线的性质、垂直、角平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
3．（2022春·山东淄博·六年级统考期末）如图，，，的平分线与的平分线交于点G，当时，（ ）
A．65°B．60°C．55°D．50°
【答案】D
【分析】如图过点G作GN∥BE，根据BE∥DF，可得BE∥GN∥DF，故∠EBG=∠2，∠1=∠GDF，由∠DBE和∠CDF的角平分线交于点G，可知∠EBG=∠GBD，∠CDG=∠FDG，进而可得∠EBD+∠CDF=∠EBG＋∠GBD＋∠CDG＋∠FDG=2∠2＋2∠1=2（∠2＋∠1）=2×65°=130°，则∠BDC=180°－∠EBD－∠CDF=180°－130°=50°．
【详解】解：如图过点G作GN∥BE，
∵BE∥DF，
∴BE∥GN∥DF，
∴∠EBG=∠2，∠1=∠GDF，
∵∠DBE和∠CDF的角平分线交于点G，
∴∠EBG=∠GBD，∠CDG=∠FDG，
∴∠EBD+∠CDF=∠EBG＋∠GBD＋∠CDG＋∠FDG=2∠2＋2∠1=2（∠2＋∠1）=2×65°=130°，
∴∠BDC=180°－∠EBD－∠CDF=180°－130°=50°，
故选：D．
【点睛】本题考查考查平行线的性质，平行的传递性，角平分线的性质，能够熟练应用平行的性质是解决本题的关键．
4．（2022·四川成都·统考二模）如图，把三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的度数为______．
【答案】##58度
【分析】先根据“三角尺的直角顶点放在直尺的一边上”得到，求出，再根据平行线的性质作答即可．
【详解】解：如图，
根据题意可得，
，
根据平行线的性质可得，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，能够根据题意得到是解题的关键．
5．（2022春·辽宁丹东·七年级校考期末）如图，，与相交于点，且，，若，则______．
【答案】3
【分析】过点作，根据平行线的性质可得，再根据平行线的性质可得，，依此即可求解．
【详解】解：如图，过点作，
∵，
∴，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了平行线的性质，关键是熟练掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
6．（2023春·全国·七年级专题练习）【感知】如图①，，，，的度数为______．
【探究】如图②，，点P在射线上运动，，，
（1）当点P在线段上运动时，试探究，，之间的数量关系．
（2）当点P在线段C，D两点外侧运动时（点P与点C，D，O三点不重合），直接写出，，之间的数量关系为______．
【答案】感知：；探究：（1）；（2）或．
【分析】感知：过点P作直线，根据平行线性质知两直线平行同旁内角互补可以求出，和即可；
探究：（1）如图，过点P作直线，而，可得，可得，，从而可得答案；
（2）当在的左侧时，如图，过点P作直线，而，可得，可得，，当在的右边时，如图，过点P作直线，而，，，，再利用角的和差可得答案．
【详解】解：感知：过点P作直线，
∵，
∴．
∴，，
∵，，
∴，，
∴．
∴的度数为．
故答案为：105°；
探究：（1）如图，当点P在线段上运动时，
过点P作直线，而，
∴，
∴，，
∴．
（2）当在的左侧时，如图，过点P作直线，而，
∴，
∴，，
∴．
当在的右边时，如图，过点P作直线，而，
∴，
∴，，
∴．
故答案为：或．
【点睛】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，作出辅助线构建平行线探究角与角之间的联系是解本题的关键．
知识点03 平行线的性质在生活的应用
【典型例题】
例1．（2022春·山西临汾·七年级统考期中）如图，木条a、b、c通过B、E两处螺丝固定在一起，且，，将木条a、木条b、木条c看作是在同一平面内的三条直线AC、DF、MN，若使直线AC、直线DF达到平行的位置关系，则下列描述正确的是（ ）
A．木条b、c固定不动，木条a绕点B顺时针旋转
B．木条b、c固定不动，木条a绕点B逆时针旋转
C．木条a、c固定不动，木条b绕点E逆时针旋转
D．木条a、c固定不动，木条b绕点E顺时针旋转
【答案】C
【分析】根据平行线的判定定理判断求解即可．
【详解】解：A．木条b、c固定不动，木条a绕点B顺时针旋转23°，
∴∠ABE=40°+23°=63°≠∠DEM，
∴AC与DF不平行，
故A不符合题意；
B．木条b、c固定不动，木条a绕点B逆时针旋转103°，
∴∠CBE=180°-（103°-40°）=117°≠∠DEM，
∴AC与DF不平行，
故B不符合题意；
C．木条a、c固定不动，木条b绕点E逆时针旋转37°，
∴∠DEM=77°-37°=40°=∠ABE，
∴AC//DF，
故C符合题意；
D．木条a、c固定不动，木条b绕点E顺时针旋转158°，
∴∠DEM=360°-77°-158°=125°≠∠CBE，
∴AC与DF不平行，
故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
例2．（2021·山东潍坊·统考中考真题）如图，一束水平光线照在有一定倾斜角度的平面镜上，若入射光线与出射光线的夹角为60°，则平面镜的垂线与水平地面的夹角α的度数是（ ）
A．15°B．30°C．45°D．60°
【答案】B
【分析】作CD⊥平面镜，垂足为G，根据EF⊥平面镜，可得CD//EF，根据水平线与底面所在直线平行，进而可得夹角α的度数．
【详解】解：如图，作CD⊥平面镜，垂足为G，
∵EF⊥平面镜，
∴CD//EF，
∴∠CDH＝∠EFH＝α，
根据题意可知：AG∥DF，
∴∠AGC＝∠CDH＝α，
∴∠AGC＝α，
∵∠AGCAGB60°＝30°，
∴α＝30°．
故选：B．
【点睛】本题考查了入射角等于反射角问题，解决本题的关键是法线CG平分∠AGB．
例3．（2022春·河南平顶山·七年级统考期末）如图，某工程队从A点出发，沿北偏西67°方向修一条公路AD，在BD路段出现塌陷区，于是改变方向，由B点沿北偏东23°的方向继续修建BC段，到达C点又改变方向，从C点继续修建CE段，若使所修路段，应为______度．
【答案】90
【分析】根据题意可得BQ∥AP，再利用平行线的性质可得∠DBQ＝67°，从而求出∠DBC＝90°，然后利用平行线的性质进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：BQ∥AP，
∴∠DBQ＝∠DAP＝67°，
∵∠QBC＝23°，
∴∠DBC＝∠DBQ＋∠QBC＝90°，
∵EC∥DB，
∴∠ECB＝180°−∠DBC＝90°，
故答案为：90．
【点睛】本题考查了平行线的性质，方向角，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
【即学即练】
1．（2021春·全国·七年级期末）如图是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图，再沿折叠成图，则图中的的度数是（ ）
A．102°B．112°C．120°D．128°
【答案】A
【分析】根据两条直线平行，内错角相等，则∠BFE=∠DEF=26°，根据平角定义，则∠EFC=154°（图a），进一步求得∠BFC=154°-26°=128°（图b），进而求得∠CFE=128°-26°=102°（图c）．
【详解】解：∵AD∥BC，∠DEF=26°，
∴∠BFE=∠DEF=26°，
∴∠EFC=154°（图a），
∴∠BFC=154°-26°=128°（图b），
∴∠CFE=128°-26°=102°（图c）．
故选：A．
【点睛】本题考查了翻折变换，平行线的性质和平角定义，根据折叠能够发现相等的角是解题的关键．
2．（2021春·浙江·七年级期末）如图，的两边均为平面反光镜，，在上有一点，从点射出一束光线经上的点反射后，反射光线恰好与平行，这里，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】过点D作DF⊥AO交OB于点F．根据题意知，DF是∠CDE的角平分线，可得∠1=∠3；然后又由两直线CD∥OB推知内错角∠1=∠2；最后由三角形的内角和定理求得∠DEB的度数是70°．
【详解】解：过点D作DF⊥AO交OB于点F．
∵入射角等于反射角，
∴∠1=∠3，
∵CD∥OB，
∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等）；
∴∠2=∠3（等量代换）；
在Rt△DOF中，∠ODF=90°，∠AOB=35°，
∴∠2=55°；
∴在△DEF中，∠DEB=180°-2∠2=70°．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质．解答本题的关键是根据题意找到法线，然后由法线的性质来解答问题．
3．（2022春·湖南益阳·七年级统考期末）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，如果第一次拐的，第二次拐的，第三次拐的，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】过点B作直线BD与第一次拐弯的道路平行，由题意可得，进而可得，然后问题可求解．
【详解】解：过点B作直线BD与第一次拐弯的道路平行，如图所示：
∵第三次拐的，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，
∴直线BD与第三次拐弯的道路也平行，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴；
故选D．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
4．（2022春·云南昆明·七年级统考期末）《七彩云南》少数民族传统艺术表演，是七彩云南欢乐世界的王牌演艺节目，它荟萃云南人文之美，深受观众喜爱．在展演中，舞台上的灯光由灯带上位于点和点的两盏激光灯控制．如图，光线与灯带的夹角，当光线与灯带的夹角______时，．
【答案】140°或40°
【分析】当AB与在AC同侧时，CB′∥AB，同旁内角互补；当AB与CB"在AC异侧时，CB"∥AB，内错角相等．
【详解】解：如下图：
当AB与CB′在AC同侧时，
当CB′∥AB时，
∵∠CAB+∠ACB′=180°
∴∠ACB′=140°
当AB与CB"在AC异侧时，
当CB"∥AB时，
∠CAB=∠ACB"=40°
答案：140°或40°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等，同旁内角互补及需要由分论讨论的思想求解．
5．（2021春·江苏南京·七年级南京玄武外国语学校校考阶段练习）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中是平行的光线，在空气中也是平行的，如图，∠1+∠2＝103°，则∠3﹣∠4的度数为_____．
【答案】77°．
【分析】光在水中是平行的光线，在空气中也是平行的，依据平行线的性质进行判断，即可得出图中∠3﹣∠4的度数．
【详解】解：如图，
∵AB∥CD，
∴∠5+∠2＝180°，
∴∠5＝180°﹣∠2，
∵AC∥BD，
∴∠3＝∠5，
∵AE∥BF，
∴∠1＝∠6，
∵EF∥AB，
∴∠4＝∠6，
∴∠3﹣∠4＝∠5-∠6=∠5-∠1=180°﹣∠2﹣∠1＝180°﹣（∠1+∠2）＝77°．
故答案为：77°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行时，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．
6．（2022秋·全国·八年级专题练习）光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，例如：在图1中，有∠1＝∠2．
(1)如图2，已知镜子MO与镜子ON的夹角∠MON＝90°，请判断入射光线AB与反射光线CD的位置关系，并说明理由；
(2)如图3，有一口井，已知入射光线AO与水平线OC的夹角为50°，当平面镜MN与水平线OC的夹角为 °，能使反射光线OB正好垂直照射到井底；
(3)如图4，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF＝120°，∠DCF＝40°，射线AB、CD分别绕A点、C点以3度/秒和1度/秒的速度同时逆时针转动，设时间为t秒，在射线AB转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得CD与AB平行？若存在，求出所有满足条件的时间t．
【答案】(1)ABCD，理由见解析
(2)65或115
(3)在射线AB转动一周的时间内，存在时间t，使得CD与AB平行，其t=10s或100s．
【分析】（1）计算∠ABC+∠BCD的值便可得出结论；
（2）先计算出∠AOB，进而得∠AOM+∠BON的值，再根据入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，得出结果；
（3）分四种情况讨论：当0s≤t≤20s时，当20s＜t≤40s时，当40s＜t≤80s时，当80s＜t≤120s时，根据角度大小变化关系锁确ABCD时的t值．
【详解】（1）解： ABCD．理由如下：
∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠ABC=180°-∠1-∠2=180°-2∠2，∠BCD=180°-∠3-∠4=180°-2∠3，
∴∠ABC+∠BCD=360°-2（∠2+∠3），
∵∠BOC=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴AB∥CD；
（2）解：∵∠AOC=40°，∠BOC=90°，
∴∠AOM+∠BON=180°-90°=40°=50°，
∵∠AOM=∠BON，
∴∠AOM=∠BON=25°，
∴∠COM=25°+40°=65°，∠CON=25°+90°=115°，
∴当平面镜MN与水平线OC的夹角为65°或115°时，能使反射光线OB正好垂直照射到井底，
故答案为：65或115；
（3）解：①当0s≤t≤20s时，如下图，
若ABCD，则∠BAC=∠ACD，
即120+3t=140+t，
解得t=10，
∴当t=10s时ABCD；
②当20s＜t≤40s时，如下图，
有∠BAE＜90°＜∠ACD，则AB与CD不平行；
③当40s＜t≤80s时，如下图，
有∠BAC＜∠ACD，AB与CD不平行；
④当80s＜t≤120s时，如下图，
若ABCD，则∠BAC=∠DCF，
即3t-240=t-40，
解得t=100，
∴当t=100s时，ABCD；
综上可知，在射线AB转动一周的时间内，存在时间t，使得CD与AB平行，其t=10s或100s．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，关键是应用分类讨论思想解决问题．
知识点04 平行线性质的综合问题
【典型例题】
例1．（2022春·山东青岛·七年级华东师范大学青岛实验中学校联考期中）如图，直线，点E，F分别在直线AB和直线CD上，点P在两条平行线之间，和的角平分线交于点H，已知，则的度数为（ ）
A．92°B．C．D．
【答案】C
【分析】过点作//，过点作//，根据平行线的性质得到∠，结合角平分线的定义得到∠，同理可得∠
【详解】解：过点作//，过点作//，
∵//
∴////
∴∠
∵∠
∴∠
∴∠
∵平分∠，平分∠
∴∠
同理可得，∠
故选：C
【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，解决问题的关键是作平行线构造内错角，利用两直线平行内错角相等得出结论
例2．（2022春·安徽滁州·七年级校考期末）如图，，，，分别是，的平分线，于．下列结论：①；②；③；④平分；⑤．其中正确结论的个数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据平行线的性质逐个分析判断即可．
【详解】解：①∵AB//CD
∴
∴不一定等于180°，故①说法不正确；
②∵BF是∠ABC的平分线，CG是∠BCD的平分线，
∴
∵AB//CD
∴
∴，故说法②正确；
③∵BF是∠ABC的平分线，CG是∠BCD的平分线，
∴
∵AB//CD
∴
∴∠FBC=∠BCG
∴BF//CG，故③说法正确；
④∵BC//DE
∴
∵，即
∴
∴
∵CG平分
∴
∴DG平分∠CDE，故④说法正确；
⑤∵AB//CD
∴
又BC//DE
∴
∴
∵BF是∠ABC的平分线
∴
又DG是∠CDE的平分线
∴∠CDE=2∠GDC
∴
∴，故⑤说法正确，
综上，说法正确的结论有②③④⑤共4个，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了平行线的性质运用，熟练掌握平行线的性质是解答此题的关键．
例3．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF＝110°，CD与AB在直线EF异侧．若∠DCF＝60°，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和6度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t秒，在射线CD转动一周的时间内，当时间t的值为____时，CD与AB平行．
【答案】2秒或38秒##38秒或2秒
【分析】分情况讨论：①AB与CD在EF两侧，分别表示出与,然后根据内错角相等两直线平行，列式计算即可求解；②CD旋转到与AB都在EF的右侧，分别表示出与，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可求解；③CD旋转到与AB都在EF的左侧，分别表示出与，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可求解
【详解】存在．分三种情况：
①如图，AB与CD在EF的两侧且CD在EF左侧时：
，
∴ 0＜t＜20，
∵∠BAF＝110°，∠DCF＝60°，
∴，，
要使，则∠ACD＝∠BAF，
即，
解得t＝2符合要求
② CD旋转到与AB都在EF的右侧时，
，
∴，
∵∠BAF＝110°，∠DCF＝60°，
∴，∠BAC＝110°﹣t°，
要使，则∠DCF＝∠BAC，
即，
解得t＝38
③ CD旋转到与AB都在EF的左侧时，
此时t＞50，
∵∠BAF＝110°，∠DCF＝60°，
∴，∠BAC＝t°﹣110°，
要使AB∥CD，则∠DCF＝∠BAC，
即（6t）°﹣300°＝t°﹣110°，
解得t＝38，
∵ 38＜50，
∴ 此情况不存在．
综上所述，当时间t的值为2秒或38秒时，CD与AB平行．
故答案为：2秒或38秒．
【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题关键，要注意分类讨论．
【即学即练】
1．（2021春·浙江绍兴·七年级统考期中）一副直角三角尺叠放如图1所示，现将45°的三角尺固定不动，将含30°的三角尺绕顶点A顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行，如图2，当时，，则（）其它所有可能符合条件的度数为（ ）
A．60°和135°B．60°和105°C．105°和45°D．以上都有可能
【答案】D
【分析】根据题意画出图形，再由平行线的性质定理即可得出结论．
【详解】解：如图
当∥时，；
当∥时，；
当∥ 时，∵，
∴；
当∥时，∵ ，
∴．
故选：．
【点睛】本题考查的是平行线的判定与性质，根据题意画出图形，利用平行线的性质及直角三角板的性质求解是解答此题的关键．
2．（2020春·浙江·七年级期中）如图，的平分线的反向延长线和的平分线的反向延长线相交于点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分别过、作的平行线和，根据平行线的性质和角平分线的性质可用和分别表示出和，从而可找到和的关系，结合条件可求得．
【详解】解：如图，分别过、作的平行线和，
，
，
，，
，
，
，
，
又，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①两直线平行同位角相等，②两直线平行内错角相等，③两直线平行同旁内角互补，④，．
3．（2020·山西·校联考模拟预测）如图，，，，分别平分，，则的度数为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】作CG//AB，PF//AB，可证∠ABC+∠EDC=68°，由角平分线的定义可知∠ABP=∠ABC， ∠EDP=∠EDC，进而可求∠ABP=34°．
【详解】解：作CG//AB，PF//AB，
∵，
∴CG//DE，PF//DE．
∴∠ABC=∠BCG， ∠EDC=∠DCG，
∴∠ABC+∠EDC=∠BCG+∠DCG=，
同理可证：∠BPC=∠ABP+∠EDP．
∵，分别平分，，
∴∠ABP=∠ABC， ∠EDP=∠EDC，
∴∠ABP+∠EDP=(∠ABC+∠EDC)=34°，
∴∠ABP=34°．
故选A．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键． 平行线的性质：①两直线平行同位角相等，②两直线平行内错角相等，③两直线平行同旁内角互补．也考查了角平分线的定义．
19．（2022春·福建三明·七年级统考期中）观察下列图形：已知，在第一个图中，可得，根据规律，则______度．
【答案】
【分析】分别过P1、P2、P3作直线AB的平行线P1E，P2F，P3G，由平行线的性质可得出：∠1+∠MPE=180°，∠3+∠4=180°，∠5+∠6=180°，∠7+∠2=180°，根据规律得到∠1+∠2+∠P1+∠P2+∠P3+∠P4=5×180°．
【详解】解：如图，分别过、、作直线的平行线，，，
，
∴，
由平行线的性质可得出：，，，，
∴（1），
（2），
（3），
（4），
∴．
故答案为：900°
【点睛】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，利用两直线平行，同旁内角互补是解答此题的关键．
20．（2022春·山东济宁·七年级统考期中）如图是放置在水平操场上的篮球架及其侧面示意图，已知篮球架的横梁EF始终平行于底座AB，主柱AD垂直于地面．调整前，横梁EF与上拉杆CF形成的∠F＝140°，当∠CDB＝25°时，点H，D，B在同一条直线上，此时∠H的度数是______．
【答案】115°##115度
【分析】过D点作DI∥EF，根据两直线平行，同旁内角互补可求∠FDI＝40°，根据平角的定义可求∠ADB＝25°，根据直角三角形的性质可求∠ABH＝65°，再根据两直线平行，同旁内角互补可求∠H＝115°．
【详解】解：过D点作DI∥EF，如图，
∴∠F+∠FDI＝180°，
∵∠F＝140°，
∴∠FDI＝40°，
∵∠CDB＝25°，主柱AD垂直于地面，EF始终平行于底座AB，
∴∠ADB＝180°﹣90°﹣25°﹣40°＝25°，
∴∠ABH＝90°﹣25°＝65°，
∵GH∥AB，
∴∠H+∠ABH＝180°，
∴∠H＝180°﹣65°＝115°．
故答案为：115°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，平行线性质定理有：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
24．（2021春·贵州黔东南·七年级校考期末）阅读下在材料：彤彤遇到这样一个问题：已知：如图甲，ABCD，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE，得到∠BED，求证：∠BED=∠B+∠D．彤彤是这样想的：
过点E作EFAB，则有∠BEF=∠B，ABCD，∴EFCD，∴∠FED=∠D，∴∠BED=∠BEF+∠FED，
即∠BED=∠B+∠D．请参照彤彤思考问题的方法，解决下列问题：如图．
已知：直线，点A，B在直线上，点C，D在直线上，连接AD，BC，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，且BE，DE所在直线交于点E．
(1)如图1，当点B在点A的左侧时，若∠ABC=，∠ADC=，求∠BED的度数；
(2)如图2，当点B在点A的右侧时，设∠ABC=，∠ADC=，直接写出∠BED的度数（用含有、的式子表示）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）过点E作EFAB，当点B在点A的左侧时，根据∠ABC=60°，∠ADC=70°，参照彤彤思考问题的方法即可求∠BED的度数；
（2）过点E作EFAB，当点B在点A的右侧时，∠ABC=α，∠ADC=β，参照彤彤思考问题的方法即可求∠BED的度数．
（1）
如图1，过点作，

，


， ，，
，
（2）
过点E作EFAB，如图2，
则∠BEF+∠EBA=180°，
∴∠BEF=180°-∠EBA，
∵ABCD，
∴EFCD，
∴∠FED=∠EDC，
∴∠BEF+∠FED=180°-∠EBA+∠EDC，即∠BED=180°-∠EBA+∠EDC，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠EBA=∠ABC=α，∠EDC=∠ADC=β，
∴∠BED=180°-∠EBA+∠EDC=180°-α+β．
【点睛】本题考查平行线的判定和性质，解题关键是熟练掌握平行线的判定和性质．
题组A 基础过关练
1．（2022秋·山西临汾·七年级统考期末）如图，两条平行线a，b被第三条直线c所截．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由对顶角相等得到，再由平行线的性质得到．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
∵两条平行线a，b被第三条直线c所截，
∴，
故选：D
【点睛】此题考查了平行线的性质、对顶角相等知识，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
2．（2022·新疆·模拟预测）如图，直线，被直线，所截，，，，则的大小是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据平行线的判定可以得出，根据平行线的性质即可求出．
【详解】解：，，
，
，
，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质，并准确运用是解决本题的关键．
3．（2022·四川德阳·模拟预测）如图，直线，将三角尺的直角顶点放在直线上，如果，那么的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据平行线的性质求出，由平角性质可知即可得出结论．
【详解】如图：
，
，
，
故选：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练运用平行线的性质推理是解题的关键．
4．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，小明从处出发沿着北偏东方向行走至处，又沿北偏西方向走至处，此时需把方向调整到与出发时一致（即），则方向的调整应是（ ）
A．左转100°B．右转100°C．左转80°D．右转80°
【答案】B
【分析】从处出发沿着北偏东方向行走至处，北偏西方向走至处，根据平行的性质可知，把方向调整到与出发时一致（即），则，由此即可求解．
【详解】解：根据题意得，当时，，
根据方向上，点处的平角可知，方向向右转，
即可得到，
故选：．
【点睛】本题主要考查方位角，掌握方位角中方向与偏角的关系，平行线的性质是解题的关键．
5．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，和的角平分线交于点E，延长交于点F，，则_________．
【答案】58°##58度
【分析】依据平行线的性质，以及角平分线的定义，即可得到，进而得出结论．
【详解】解：∵，
∴
∵平分
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
6．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，若，EF与AB，CD分别相交于点E，F，，平分线与EP相交于点P，，则__________°．
【答案】
【分析】由题可求出，然后根据两直线平行，同旁内角互补可知，根据角平分线的定义可得到结果．
【详解】∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的性质与角平分线的定义，以及三角形的内角和定理，注意数形结合思想是解题关键．
7．（2022·浙江丽水·一模）如图，直线，分别与直线交于P，Q两点．把一块含的三角板按如图位置摆放，若，则_____________．
【答案】94°##94度
【分析】根据两条直线平行，同位角相等可得∠1=∠3，再根据平角定义即可求出∠2的度数．
【详解】解：如图，
∵，
∴∠1=∠3=56°，
∵∠4=30°，
∴∠2=180°-∠3-∠4=180°-56°-30°=94°．
故答案为：94°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质．
8．（2022春·辽宁丹东·七年级校考期末）如图，点是长方形纸片的边上一点，沿折叠纸片交于点，且，则的度数是______．
【答案】##38度
【分析】根据题意由平行线的性质可得，再由折叠的性质得即可得出的度数，再由平行线的性质，两直线平行，内错角相等即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
由折叠性质得，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质及图形的对称，熟练应用平行线的性质和图形对称的性质进行求解是解决本题的关键．
9．（2023秋·重庆渝中·七年级重庆巴蜀中学校考期末）请把下面证明过程补充完整．
如图，，，，求证：．
证明：∵（已知）
∴__________（__________）
∵（已知）
∴（__________）
∴__________（__________）
∴__________（__________）
∵（已知）
∴__________（等量代换）
∴（内错角相等，两直线平行）
【答案】；两直线平行，同旁内角互补；等量代换；；同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；
【分析】已知，可以得出，结合可以得出，可以得出，由已知，即可得到结论．
【详解】证明：∵（己知）
∴（两直线平行，同旁内角互补）
∵（已知）
∴（等量代换）
∴（同旁内角互补，两直线平行）
∴（两直线平行，内错角相等）
∵（已知）
∴（等量代换）
∴（内错角相等，两直线平行）
【点睛】本题主要考查平行线的性质和判定，熟记平行线的判定定理和性质，并灵活运用是解题的关键．
10．（2022秋·安徽亳州·八年级校考阶段练习）如图，已知三角形的顶点，分别在直线和上，且．若，．
(1)当时，求的度数．
(2)设，，求和的数量关系（用含，的等式表示）．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补即可求解；
（2）过点过点作，可得，根据两直线平行，同旁内角互补得到，，由此得到，在中，，由此即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，即，
∵，，，
∴，
∴．
（2）解：如图所示，过点作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∵在中，，，
∴，
∴，
∵，，
∴．
【点睛】本题主要考查平行线与三角形的综合运用，掌握平行线的性质，三角形内角和定理是解题的关键．
题组B 能力提升练
1．（2022秋·山东青岛·八年级统考期末）如图，，直线交于，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据平行性质，两直线平行同位角相等得到，再根据互补、互余的定义即可得到的度数，从而得到答案．
【详解】解：，
，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查平行线性质、互余、互补定义求角度，熟记相关性质是解决问题的关键．
2．（2023秋·重庆大渡口·八年级重庆市第九十五初级中学校校考期末）如图， ，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】过点作，根据两直线平行，同旁内角互补可得，再根据两直线平行，内错角相等得出，然后整理即可得解.
【详解】过点作，
（两直线平行，内错角相等），
，
（已知），
（平行于同一直线的两直线平行），
（两直线平行，同旁内角互补），
，
.
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，作辅助线构造出平行线是解题的关键.
3．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，生活中，将一个宽度相等的纸条按图所示折叠一下，如果，那么的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用平行线的性质进行求解即可；
【详解】如图，
将一个宽度相等的纸条按右图所示折叠，
，
，
，，
，
，
．
故选：．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，准确结合已知条件进行计算是解题的关键．
4．（2022春·重庆秀山·七年级校考阶段练习）如图，给出下列条件．①；②；③，且；④其中，能推出的条作为（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【答案】C
【分析】根据平行线的判定定理依次判断即可．
【详解】解：①∵，
∴，正确，符合题意；
②∵，
∴，（内错角相等，两直线平行），选项不符合题意；
③∵，，
∴，
∴，正确，符合题意；
④∵，
∴，由同位角相等，两直线平行可得，正确，符合题意；
故能推出的条件为①③④．
故选C．
【点睛】题目主要考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题关键．
5．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，直线被直线所截，分别交于点A和点B，过点B的直线交于点C．若，则_________．
【答案】##70度
【分析】先根据判定，然后根据平行线的性质求出即可．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键．
6．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，，把三角板的直角顶点放在直线上，若，则的度数为_________
【答案】35
【分析】先由直角三角板得，再由直线根据平行线的性质得出即可．
【详解】解：如图：
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为35．
【点睛】题考查了学生对平行线性质的应用，关键是求出．
7．（2021春·浙江温州·七年级温州绣山中学校考阶段练习）如图，将三角板与直尺贴在一起，使三角板的直角顶点在直尺的一边上，若，则______ 度．
【答案】62
【分析】由直角尺两边平行得到一对同位角相等，可得出与互余，即可确定出度数．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
则．
故答案为：62．
【点睛】此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．
8．（2022春·江苏南通·七年级统考阶段练习）如图，，BF，CG分别平分，BF与CG的反向延长线交于点F，若，则___________°．
【答案】40
【分析】过F作，根据角平分线的有关计算、平行线的性质将相关角结合在四边形BECF中进行计算即可得到解答．
【详解】解：过F作，
∵，
∴，
∴，
∵BF，CG分别平分，
∴，
∴，，
∴在四边形BECF中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：40．
【点睛】本题考查了四边形内角和、平行线的性质和角平分线的有关计算，解决本题的关键是正确的做出辅助线．
9．（2022秋·辽宁沈阳·八年级沈阳市第一二六中学校考阶段练习）如图，，．
(1)求证：．
(2)若，，则的大小为___________．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由平行线的性质可得，等量代换即可得出，根据平行线的判定可得，由平行线的性质可得结合对顶角相等可得出；
（2）由平行线的性质，结合已知可得，可求得，根据平行线的性质即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵；
∴，
∴，
∴，
∵
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定定理，解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用．
10．（2023春·江苏·七年级专题练习）已知 ，点B在直线之间，．
(1)如图1，请直接写出和之间的数量关系：_________．
(2)如图2，和满足怎样的数量关系？请说明理由．
(3)如图3，平分，平分，与交于点G，则的度数为_________．
【答案】(1)
(2)，见解析
(3)
【分析】（1）过点B作，利用平行线的性质即可求得结论；
（2）过点B作，利用平行线的性质即可求得结论；
（3）利用（2）的结论和三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和即可求得结论．
【详解】（1）解：过点B作，如图，
∴．
∵，，
∴．
∴．
∵．
∴．
故答案为：；
（2）解：和满足：．理由：
过点B作，如图，
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴．
∵．
∴．
∴．
∴；
（3）解：设与交于点F，如图，
∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
由（2）知：，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了垂线的性质，平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
题组C 培优拔尖练
1．（2022秋·广东深圳·八年级校考期中）如图，若AB∥CD，则α、β、γ之间的关系为（ ）
A．α+β+γ=360°B．α﹣β+γ=180°C．α+β﹣γ=180°D．α+β+γ=180°
【答案】C
【分析】过E作EFABCD，由平行线的质可得∠α+∠AEF=180°，∠ECD=∠γ，由∠β=∠AEF+∠FED即可得∠α、∠β、∠γ之间的关系．
【详解】解：过点E作EFAB，
∴∠α+∠AEF=180°，
∵ABCD，
∴EFCD，
∴∠FEC=∠ECD，
∵∠β=∠AEF+∠FED，又∠γ=∠ECD，
∴∠α+∠β-∠γ=180°．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，根据题意正确作出辅助线是解题的关键．
2．（2022春·陕西渭南·七年级统考期末）如图，，平分交于，，，、分别是，延长线上的点，点在上，下列结论：①；②；③；④平分，其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据AB⊥BC得出∠B=90°，进而得到∠1+∠AEB=90°，因为AE⊥DE，证得∠AEB+∠CED=90°，等量代换得到∠1=∠CED，已知∠1+∠2=90°，则∠CED+∠2=90°，从而得出∠C=90°，证得ABCD，根据平行线的性质和角平分线的性质进一步分析其它结论即可．
【详解】解：∵AB⊥BC，
∴∠B=90°，
∴∠1+∠AEB=90°，
∵AE⊥DE，
∴∠AEB+∠DEC=90°，
∴∠1=∠DEC，
∵∠1+∠2=90°，
∴∠DEC+∠2=90°，
∴∠C=90°，
∴ABCD，故①正确；
∵AE平分∠BAD交BC于E，
∴∠1=∠EAD，
又∵∠1=∠DEC，
∵∠DEC=∠EAD，故②正确；
∵∠AEB=∠2，∠2+∠EDN=180°，
∴∠AEB+∠EDN=180°，
∵∠EDN≠∠ADC，
∴∠AEB+∠ADC≠180°，故③错误；
∵AE⊥DE，
∴∠EAD+∠ADE=90°，
∵∠2+∠DEC=90°，∠DEC=∠EAD，
∴∠2+∠EAD=90°，
∴∠2=∠ADE，
∴DE平分∠ADC，故④正确．
故正确的结论有①②④．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质、角平分线的定义，熟练应用判定定理是解题的关键．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
3．（2022秋·八年级课时练习）如图，已知长方形纸片ABCD，点E和点F分别在边AD和BC上，且∠EFC=37°，点H和点G分别是边AD和BC上的动点，现将点A，B，C，D分别沿EF，GH折叠至点N，M，P，K，若MNPK，则∠KHD的度数为（ ）
A．37°或143°B．74°或96°C．37°或105°D．74°或106°
【答案】D
【分析】分两种情况讨论，①当在上方时，延长、相交于点，根据，推出，得到，求出的度数，再根据即可求解；②当在下方时，延长、相交于点，根据，推出，得到，再根据即可求解．
【详解】解：①当在上方时，延长、相交于点，如图所示
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∵，
∴
∵翻折
∴
∴
∴
∵
∴
②当在下方时，延长、相交于点，如图所示
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∵，
∴
∵翻折
∴
∴
∴
∵
∴
故选D．
【点睛】本题考查了翻折、平行线的判定和性质、对顶角等知识点，分情况讨论，画出对应图形进行求解是解答本题的关键．
4．（2022春·广东江门·七年级校考期中）如图，,点E是边DC上一点，连接AE交BC的延长线于点H，点F是边AB上一点，使得，作的角平分线交BH于点G，若，则的度数是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】AD∥BC，∠D=∠ABC，则AB∥CD，则∠AEF=180°-∠AED-∠BEG=180°-2β，在△AEF中，100°+2α+180°-2β=180°，故β-α=40°，即可求解．
【详解】解：设FBE=∠FEB=α，则∠AFE=2α，
∠FEH的角平分线为EG，设∠GEH=∠GEF=β，
∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD=180°，
而∠D=∠ABC，
∴∠D+∠BAD=180°，
∴AB∥CD，
∠DEH=100°，则∠CEH=∠FAE=80°，
∠AEF=180°-∠FEG-∠BEG=180°-2β，
在△AEF中，
在△AEF中，80°+2α+180-2β=180°，
故β-α=40°，
而∠BEG=∠FEG-∠FEB=β-α=40°，
故选：B．
【点睛】此题考查平行线的性质，解题关键是落脚于△AEF内角和为180°，即100°+2α+180°-2β=180°，题目难度较大．
5．（2022春·河北石家庄·七年级统考期中）如图，已知，平分，．
（1）的度数为______；
（2）的度数为______．
【答案】 60°##60度 150°##150度
【分析】（1）利用两直线平行，同旁内角互补即可求解；
（2）由（1）求得，由角平分线的定义得，再利用两直线平行，同旁内角互补即可求的度数．
【详解】解：，，
，
，
故答案为：；
平分，，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查平行线的性质和角平分线的定义，解答的关键是会判断同旁内角和熟记平行线的性质并灵活运用．
6．（2022春·辽宁葫芦岛·七年级校考阶段练习）①如图1，ABCD，则∠A+∠E+∠C＝180°；②如图2，ABCD，则∠E＝∠A+∠C；③如图3，若ABEF，则∠x=180°-∠α-∠γ+∠β；④如图4，ABCD，则∠A＝∠C+∠P．以上结论正确的是_____．
【答案】②③④
【分析】①过点E作EFAB，由平行线的性质即可得出结论；
②过点点E作EFAB，由平行线的性质即可得出结论；
③如图3，过点C作CDAB，延长AB到G，由平行线的性质可得出180°-∠ABH+∠HCF-∠EFC=∠BHC；
④过点P作PFAB，由平行线的性质可得出∠A=∠CPF+∠APC=∠C+∠APC．
【详解】解：①如图1，过点E作EFAB，
∵ABCD，
∴ABEFCD，
∴∠A+∠AEF=180°，∠C+∠CEF=180°，
∴∠A+∠AEC+∠C=∠A+∠AEF+∠C+∠CEF=180°+180°=360°，则①错误；
②如图2，过点E作EFAB，
∵ABCD，
∴ABEFCD，
∴∠A=∠AEF，∠C=∠CEF，
∴∠A+∠C=∠CEF+∠AEF=∠AEC，则②正确；
③如图3，过点C作CDAB，延长AB到G，
∵ABEF，
∴ABEFCD，
∴∠DCF=∠EFC，
由②的结论可知∠GBH+∠HCD=∠BHC，
又∵，∠HCD=∠HCF-∠DCF
∴180°-∠ABH+∠HCF-∠DCF=∠BHC，
∴180°-∠ABH+∠HCF-∠EFC=∠BHC，
∴，故③正确；
④如图4，过点P作PFAB，
∵ABCD，
∴ABPFCD，
∴∠A=∠APF，∠C=∠CPF，
∴∠A=∠CPF+∠APC=∠C+∠APC，则④正确；
故答案为：②③④．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．
7．（2022春·四川德阳·七年级统考期末）一副直角三角板中，，，，现将直角顶点C按照如图方式叠放，点E在直线AC上方，且，能使三角形ADC有一条边与EB平行的所有的度数的和为_______．
【答案】345°
【分析】根据平行线的判定定理分情况求解即可．
【详解】解：当∠ACE=∠E=45°时，ACBE，理由如下，如图所示：
∵∠ACE=∠DCB=45°，∠B=45°，
∴BE⊥CD，
又∵AC⊥CD，
∴ACBE；
当∠ACE=135°时，BECD，理由如下，如图所示：
∵∠ACE=135°，
∴∠DCE=135°-90°=45°，
∵∠E=45°，
∴∠DCE=∠E，
∴BECD；
当∠ACE=165°时，BEAD．理由如下：
延长AC交BE于F，如图所示：
∵∠ACE=165°，
∴∠ECF=15°，
∵∠E=45°，
∴∠CFB=∠ECF+∠E=60°，
∵∠A=60°，
∴∠A=∠CFB，
∴BEAD，
综上，三角形ADC有一条边与EB平行的所有∠ACE的度数的和为：45°+135°+165°=345°，
故答案为：345°．
【点睛】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
8．（2023春·七年级单元测试）如图，直线，点、分别为直线和上的点，点为两条平行线间的一点，连接和，过点作的平分线交直线于点，过点作，垂足为，若，则________．
【答案】
【分析】设，过P作，则，用表示，，代入求出，即的值可以解出．
【详解】解：设，
平分，
，
过P作，
，
，
，，
，
，
，
，
，即，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的性质，垂线的性质，熟练运用性质计算是解题的关键．
9．（2022春·广东东莞·七年级东莞市光明中学校考期中）阅读下面内容，并解答问题．
已知：如图1，，直线分别交，于点，．的平分线与的平分线交于点．
(1)求证：；
(2)填空，并从下列①、②两题中任选一题说明理由．我选择 题．
①在图1的基础上，分别作的平分线与的平分线交于点，得到图2，则的度数为 ．
②如图3，，直线分别交，于点，．点在直线，之间，且在直线右侧，的平分线与的平分线交于点，则与满足的数量关系为 ．
【答案】(1)见解析
(2)①；②结论：
【分析】（1）利用平行线的性质解决问题即可；
（2）①利用基本结论求解即可；②利用基本结论，，求解即可．
【详解】（1）证明：如图，过作，
，
，
，
，
平分，平分，
，，
，
在中，，
，
；
（2）解：①如图2中，由题意，，
平分，平分，
，
，
故答案为：；
②结论：．
理由：如图3中，由题意，，，
平分，平分，
，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查平行线的性质和判定，角平分线的性质，垂直的定义，解题的关键是熟练掌握相关的性质．
10．（2023春·七年级单元测试）问题情境：
在综合实践课上，老师组织七年级（2）班的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图，已知射线，连接，点P是射线上的一个动点（与点A不重合），，分别平分和，分别交射线于点C，D．
探索发现：
“快乐小组”经过探索后发现：
(1)当时，求证：．
(2)不断改变的度数，与却始终存在某种数量关系，
当则_______度，
当时，则_______度，（用含x的代数式表示）
操作探究：
(3)“智慧小组”利用量角器量出和的度数后，探究二者之间的数量关系．他们惊奇地发现，当点P在射线上运动时，无论点P在上的什么位置，与之间的数量关系都保持不变，请写出它们的关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)，理由见解析
【分析】（1）根据平行线的性质可求得，再根据角平分线的定义求得即可证得结论；
（2）根据平行线的性质和角平分线的定义推出，进而求解即可；
（3）根据平行线的性质和角平分线的定义得到，，，进而解答即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
又∵，
∴．
∵，分别平分和，
∴，，
∴，
∴．
（2）解：∵，分别平分和，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
当时，则，
当时，则；
故答案为：，；
（3）解：.理由如下：
∵平分，
∴，
∵，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查角平分线的定义、平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，能借助图形进行角度运算是解答的关键．