初中3.3 多项式的乘法课后复习题

这是一份初中3.3 多项式的乘法课后复习题，共70页。试卷主要包含了掌握多项式乘法中的规律性问题；等内容，欢迎下载使用。
1、掌握单项式乘多项式的计算与应用；
2、掌握多项式乘多项式的计算法则与应用；
3、学会利用多项式的乘积不含某项求字母的值；
4、掌握多项式的乘法与图形面积之间的关系；
5、掌握多项式乘法中的规律性问题；
知识点01 单项式乘多项式的应用
【知识点】
单项式与多项式相乘的运算法则
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
即.
特别说明：
（1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题.
（2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同.
（3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号.
（4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果.
【典型例题】
例1．（2022秋·河北邯郸·八年级校考阶段练习）今天数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：□，□的地方被钢笔水弄污了，你认为□内应填写（ ）
A．B．C．D．1
例2．（2022春·四川达州·七年级校考阶段练习）某同学在计算多项式A乘时，因抄错运算符号，算成了加，得到的结果是，那么正确的计算结果是________．
例3．（2022秋·山西运城·九年级山西省运城中学校校考期末）先化简，再求值：，其中．
【即学即练】
1．（2023春·七年级单元测试）要使成立，则，的值分别是（ ）
A．，B．，C．，D．，
2．（2022秋·全国·八年级专题练习）今天数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：□，□的地方被钢笔水弄污了，你认为□内应填写（ ）
A．B．C．D．
3．（2021春·江苏·七年级专题练习）若恒成立，则______．
4．（2022秋·全国·八年级专题练习）已知，则______________．
5．（2023春·全国·七年级专题练习）化简：
(1)；
(2)．
知识点02 计算多项式乘多项式
【知识点】
多项式与多项式相乘的运算法则
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即.
特别说明：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：.
【典型例题】
例1．（2023秋·福建泉州·八年级期末）计算的结果是( )
A．B．C．D．
例2．（2022秋·重庆·八年级校联考阶段练习）若的积中，的系数为5，的系数为1，则的值为________．
例3．（2023春·七年级课时练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【即学即练】
1．（2022秋·河北邯郸·八年级校考阶段练习）若，则的值是（ ）
A．1B．C．9D．
2．（2022秋·广东惠州·八年级校考期末）若，则a，b的值分别为（ ）
A．5，B．5，6C．1，6D．1，
3．（2023春·七年级课时练习）已知，则_____， _____．
4．（2022秋·北京·八年级北京二中校考期中）甲、乙两人共同计算一道整式：，由于甲抄错了的符号，得到的结果是，乙漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果是．则本题的正确结果是__________．
5．（2023春·全国·七年级专题练习）小红准备完成题目：计算，她发现第一个因式的一次项系数被墨水遮挡住了．
(1)她把被遮住的一次项系数猜成3，请你完成计算：；
(2)老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含一次项的，”请通过计算说明原题中被遮住的一次项系数是多少？
知识点03 已知多项式乘积不含某项求字母的值
【典型例题】
例1．（2022秋·山东滨州·八年级校考期末）已知关于x的多项式与的乘积展开式中不含x的二次项，且一次项系数为，则的值为（ ）
A．B．4C．D．3
例2．（2021春·浙江宁波·七年级校考期中）已知在的积中，含项的系数为10，不含项，则的值为______．
例3．（2023春·全国·七年级专题练习）若的积中不含的一次项与的二次项．
(1)求的值；
(2)求式子的值．
【即学即练】
1．（2022·山东德州·德州市同济中学校考模拟预测）如果的展开式中不含x的一次项，则m、n满足（ ）
A．B．C．D．
2．（2022秋·宁夏吴忠·七年级校考期中）已知关于x的多项式中不含项，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·辽宁鞍山·八年级统考期中）已知与所得乘积的结果中不含和的项，则_____．
4．（2022秋·上海浦东新·七年级统考期中）已知展开式中不含项，且的系数为2．则的值为________．
5．（2022秋·重庆·八年级校考阶段练习）已知多项式x+2与另一个多项式A的乘积为多项式B．
(1)若A为关于x的一次多项式x+a，B中x的一次项系数为0，直接写出a的值；
(2)若B为x3+px2+qx+2，求2p﹣q的值．
(3)若A为关于x的二次多项式x2+bx+c，判断B是否可能为关于x的三次二项式，如果可能，请求出b，c的值；如果不可能，请说明理由．
知识点04 多项式乘多项式与图形面积
【典型例题】
例1．（2022秋·山东滨州·八年级校考期末）如图，现有正方形卡片类、类和长方形卡片类各若干张，如果要拼一个长为，宽为的大长方形，那么需要类卡片的张数是（ ）
A．B．C．D．
例2．（2023秋·湖南长沙·八年级统考期末）如图：已知长方形纸片长为，宽为，裁去一个长为，宽为的长方形，则剩余部分面积为__________________．
例3．（2022秋·河南南阳·八年级统考期中）数形结合是一种重要的数学思想方法，利用图中边长分别为、的两个正方形纸片和长为、宽为的长方形纸片，可以拼出一些图形来解释某些等式，如，由图可得．则：
(1)由图可以解释的等式是____________；
(2)用张边长为的正方形纸片，张长为、宽为的长方形纸片，张边长为的正方形纸片拼成一个大正方形，求这个大正方形的边长；
(3)用张长为，宽为的长方形纸片按照图方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分的面积设为、，的长设为．
①请用含的代数式表示：；
②若无论取任何实数时，①的结果始终保持不变，请直接写出与满足的数量关系．
【即学即练】
1．（2022·全国·八年级专题练习）如图，现有正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，如果要拼一个长为，宽为的大长方形，则需要C类卡片（ ）
A．3张B．4张C．5张D．6张
2．（2020秋·广东汕头·八年级校考期末）由图，可得代数恒等式（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023秋·上海浦东新·七年级校考期中）有若干张如图所示的正方形和长方形卡片，如果要拼一个长为，宽为的矩形．则需要A类卡片_________张，类卡片_________张，类卡片_________张．
4．（2023秋·北京西城·八年级统考期末）三个长方形纸片如图1所示无缝隙地拼接在一起，它们的边长分别标记在图1中．现将拼接后的纸片用图2所示方式重新分割成三个长方形A，B，C．根据图2与图1的关系写出一个等式：__________（用含a，b，c，d，e，f的式子表示）．
5．（2022秋·全国·八年级专题练习）根据所学我们知道：可以通过用不同的方法求解长方形面积，从而得到一些数学等式．如图1可以表示的数学等式：，请完成下列问题：
(1)写出图2中所表示的数学等式：______．
(2)从图3可得______．
(3)结合图4，已知，，求的值．
知识点05 多项式乘法中的规律性问题
【典型例题】
例1．（2022秋·湖北武汉·八年级校考阶段练习）我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》给出了在（n为非负整数）的展开式中，把各项系数按一定的规律排成右表（展开后每一项按a的次数由大到小的顺序排列）．人们把这个表叫做“杨辉三角”．据此规律，则展开式中含项的系数是（ ）
A．2016B．2017C．2018D．2019
例2．（2022秋·四川凉山·八年级校考阶段练习）观察下列各式的规律：
；
；
；
……
根据以上规律，可得到_______．
例3．（2022秋·吉林白城·八年级统考期末）（1）计算并观察下列各式：
第1个： ；
第2个： ；
第3个： ；
……
这些等式反映出多项式乘法的某种运算规律．
（2）猜想：若n为大于1的正整数，则 ；
（3）利用（2）的猜想计算： ．
（4）拓广与应用： ．
【即学即练】
1．（2022秋·北京丰台·八年级统考期末）“杨辉三角”（如图），也叫“贾宪三角”，是中国古代数学无比睿智的成就之一，被后世广泛运用．用“杨辉三角”可以解释（＝，，，，5，6）的展开式的系数规律．例如，在“杨辉三角”中第3行的3个数，，，恰好对应着展开式中各项的系数；第4行的4个数，，，，恰好对应着展开式中各项的系数，等等．当n是大于6的自然数时，上述规律仍然成立，那么展开式中的系数是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022秋·全国·八年级专题练习）在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”．如记=1+2+3+…+（n﹣1）+n，=（x+3）+（x+4）+…+（x+n）；已知，则m的值是（ ）
A．﹣62B．﹣38C．﹣40D．﹣20
3．（2022春·江苏徐州·七年级统考期中）观察以下等式：
，，……根据你所发现规律，计算：__________．
4．（2021秋·河南信阳·八年级统考期末）观察下列各式
…
则________．
5．（2022秋·广东江门·八年级校考期中）你能求的值吗？遇到这样的问题，我们可以先思考从简单的情形入手．先分别计算下列各式的值．
①；
②；
③；
…
(1)由此我们可以得到：
①______．
②______．
(2)请你利用上面的结论，完成下面的计算；．
知识点06 乘法的混合运算
【典型例题】
例1．．（2022秋·广东深圳·七年级红岭中学校考期末）已知一个多项式的2倍与的和等于，则这个多项式是（ ）
A．B．
C．D．
例2．（2022秋·上海长宁·七年级上海市第三女子初级中学校考期中）若，，，则___________．
例3．（2022秋·四川巴中·八年级统考期末）计算
(1)
(2)
(3)
(4)
【即学即练】
1．（2022秋·河北保定·八年级统考期末）三个连续偶数，中间一个为n，这三个连续偶数之积为（ ）
A．B．C．D．
2．（2021秋·内蒙古赤峰·七年级统考阶段练习）找出以下几组算式的规律．；；；；如果，那么的结果是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022春·四川成都·七年级统考期末）若规定符号的意义是ad﹣bc，则当a2+2a﹣3＝0时，的值为_____．
4．（2022春·全国·七年级专题练习）已知正整数a，b，c（其中a≠1）满足abc＝ab+50，则a+b+c的最小值是_____，最大值是_____．
5．（2022秋·全国·七年级专题练习）已知关于x的多项式A，当A-（x-2）2=x（x+7）时，完成下列各题：
(1)求多项式A；
(2)若x2+x+1=0，求多项式A的值．
题组A 基础过关练
1．（2023秋·北京东城·八年级统考期末）计算，结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022秋·重庆合川·八年级校考期末）已知，则的值为（ ）
A．B．13C．D．5
3．（2023秋·河南新乡·八年级统考期末）根据图 ①的面积可以说明的多项式乘法运算是，那么根据图 ②的面积可以说明的多项式乘法运算是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023春·七年级课时练习）若的展开式中不含的一次项，则的值为（ ）
A．B．C．D．0
5．（2023秋·广东河源·七年级校考期末）_____．
6．（2020秋·吉林长春·七年级校考期中）若关于x，y的多项式不含的项，则______．
7．（2022秋·河南新乡·九年级统考期中）已知“”是一种数学运算符号：为正整数，，如，，若，则______．
8．（2022秋·北京朝阳·八年级统考期末）图中的四边形均为长方形，根据图形面积写出一个正确的等式：_____________．
9．（2021秋·海南省直辖县级单位·八年级校考阶段练习）计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
10．（2023秋·陕西渭南·八年级统考期末）聪聪和同学们用2张型卡片、2张型卡片和1张型卡片拼成了如图所示的长方形．其中型卡片是边长为的正方形；型卡片是长方形；型卡片是边长为的正方形．
(1)请用含a、b的代数式分别表示出型卡片的长和宽；
(2)如果，，请求出他们用5张卡片拼出的这个长方形的面积．
题组B 能力提升练
1．（2022秋·河南南阳·八年级校考阶段练习）下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022秋·重庆沙坪坝·八年级校考期中）若，则m的值为（ ）
A．1B．C．5D．
3．（2022秋·福建泉州·八年级校考阶段练习）如果，那么p，q的值为（ ）
A．，B．，C．， D．，
4．（2023春·七年级课时练习）小羽制作了如图所示的卡片类，类，类各张，其中，两类卡片都是正方形，类卡片是长方形，现要拼一个长为，宽为的大长方形，那么所准备的类卡片的张数（ ）
A．够用，剩余4张B．够用，剩余5张
C．不够用，还缺4张D．不够用，还缺5张
5．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）已知，则__________．
6．（2021春·辽宁沈阳·七年级校考期中）在的运算结果中不含项，那么______．
7．（2022秋·全国·八年级期末）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如下图），此图揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．
例如：
，它只有一项，系数为1；
，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；
，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；
，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；
…
根据以上规律，解答下列问题：
（1）展开式共有___________项，系数分别为___________；
（2）展开式共有___________项，系数和为___________．
8．（2022秋·北京·八年级北京二中校考期中）甲、乙两人共同计算一道整式：，由于甲抄错了的符号，得到的结果是，乙漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果是．则本题的正确结果是__________．
9．（2022秋·广西贵港·七年级统考期中）先化简，再求值：，其中，．
10．（2022秋·福建泉州·八年级福建省泉州第一中学校考期中）在数学中，根据几何图形的面积关系可以形象直观地表示多项式的乘法．例如：可以用图（1）表示．
(1)根据图（2），写出一个与多项式乘法有关的等式_________________________________；
(2)有足够多的两种正方形卡片（①号、②号）和一种长方形卡片（③号），如图（3），现选取①号、②号、③号卡片分别为1张、2张、3张，拼成一个长方形（不重叠无缝隙），请画出这个图形的草图，并写出计算它的面积能得到的数学等式．
题组C 培优拔尖练
1．（2023秋·上海浦东新·七年级校考期中）如果，那么、的值分别是（ ）．
A．，B．，
C．，D．，
2．（2022秋·重庆江北·八年级校考期中）关于的三次三项式（其中，，，均为常数），关于的二次三项式（，均为非零常数），下列说法有几个正确（ ）
①当的结果为关于的三次三项式时，则；
②若二次三项式能分解成，则；
③当多项式与的乘积中不含项时，则；
④．
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．（2021春·浙江温州·七年级温州绣山中学校考阶段练习）如图，长方形中，，放入两个边长都为4的正方形 ，正方形及一个边长为8的正方形，，分别表示对应阴影部分的面积，若，则长方形的周长是 （ ）
A．36B．40C．44D．48
4．（2022秋·八年级课时练习）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了（n＝1，2，3，4，…）的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）：
11＝a+b
121＝
1331＝
14641＝
请根据上述规律，写出的展开式中含项的系数是（ ）
A．2021B．4042C．2043231D．2019
5．（2020秋·重庆九龙坡·八年级重庆市杨家坪中学校考期中）已知的乘积项中不含和x项，则______．
6．（2021春·山东青岛·七年级校考期中）观察下列各式的规律：
…
可得到___________．
7．（2022秋·福建厦门·八年级厦门市华侨中学校考期中）已知有甲、乙两个图形，等边三角形是三角形的高，线段长如图所示，长方形边长如图所示，记的面积和长方形的面积分别为、，且请比较与的大小：___________．（用“>”、“”、“
【分析】根据三角形和长方形的面积公式，将三角形和长方形的面积表示出来即可．
【详解】解：∵为等边三角形，
∴，
，
，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：>．
【点睛】本题主要考查了整式乘法，以及用做差法比较大小，解题的关键是熟练掌握整式的乘法法则，以及做差法比较大小的方法．
8．（2022秋·江苏无锡·七年级校联考期中）有6张如图①的长为a，宽为的小长方形纸片，按图②方式不重叠地放在矩形内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则满足的数量关系是_______．
【答案】a=2b
【分析】分别表示出左上角和右下角部分的面积，表示出它们的差，根据差与BC无关得到结果．
【详解】设左上角的长方形的长为AE，则宽为AF=a，右下角长方形的长为PC，则宽为2b，
∵AD=BC，
即AE+ED=AE+4b，BC=BP+PC=a+PC，
∴AE+4b=a+PC，
∴AE=a-4b+PC，
∴阴影部分面积差为：AE·a-PC·2b=a（a-4b+PC）-2bPC=（a-2b）PC+a2-4ab,
∵面积差与PC无关，
故a-2b=0，
所以a=2b，
故答案为a=2b．
【点睛】本题考查整式的混合运算，解题的关键是列出面积差的代数式．
9．（2022秋·河南南阳·八年级校考阶段练习）若的积中不含x项与项，
(1)求p、q的值；
(2)求代数式的值．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）将原式根据多项式乘以多项式法则展开后合并同类项，由积中不含x项与项可知x项与项的系数均等于0，可得关于p、q的方程组，解方程组即可；
（2）由（1）中p、q的值得，将原式整理变形成，再将p、q、的值代入计算即可．
【详解】（1）解：
，
∵积中不含x项与项，
∴，
∴．
（2）解：由（1）得，
．
【点睛】本题主要考查多项式乘以多项式的法则．注意不要漏项、漏字母、有同类项的合并同类项，解题的关键是正确求出p，q的值．
10．（2022春·四川巴中·七年级统考期中）阅读下列材料，解决相应问题：
(1)36和84 “友好数对”．（填“是”或“不是”）
(2)为探究“友好数对”的本质，可设“友好数对”中一个数的十位数字为a，个位数字为b，且；另一个数的十位数字为c，个位数字为d，且，则a，b，c，d之间存在一个等量关系，其探究和说理过程如下，请你将其补充完整．
解：根据题意，“友好数对”中的两个数分别表示为和，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后两个数依次表示为 和 ．
因为它们是友好数对，所以 ．
即a，b，c，d的等量关系为： ．
(3)请从下面A、B两题中任选一题作答，我选择 题．
A．请再写出一对“友好数对”，与本题已给的“友好数对”不同．
B．若有一个两位数，十位数字为，个位数字为x，另一个两位数，十位数字为，个位数字为，且这两个数为“友好数对”，直接写出这两个两位数．
【答案】(1)是
(2)，，，
(3)A：13和93（答案不唯一），B：两个两位数分别为：31和39
【分析】（1）计算和，根据定义判断；
（2）利用“十位数字×10+个位数字×1”表达出交换后的两位数，结合友好数对的的定义列出等量关系，并化简；
（3）A、结合（2）中的等量关系 写出新的“友好数对”； B、根据“”得，解方程得到x，写出两个两位数．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴36和84是友好数对，
故答案为：是．
（2）解：∵一个数的十位数字为a，个位数字为b；另一个数的十位数字为c，个位数字为d，
∴交换后十位数字为b，个位数字为a，另一个的十位数字为d，个位数字为c，
∴两个数依次表示为，，
∵这两个数是友好数对，
∴，
化简得：，
故答案为：，，，．
（3）解：选A，根据，可列举31和39，13和93，12和42，21和24，•••
只要满足十位数字之积等于个位数字之积，且同一个数的个位与十位不同即可，
答案不唯一．
选B，由（2）得：，
∴，
∴，
解得：，
∴两个两位数为：31和39．
选A或选B都可以，只要满足“友好数对”的定义即可．
【点睛】本题以新定义为背景，考查了学生对于数的表示、整式的运算——多项式乘以多项式、解一元一次方程．本题解题的关键是用代数式表达两位数和交换个位和十位后的两位数，然后根据新定义列出方程．
，
……
“友好数对”
已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原两个两位数均不同的新数，若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为“友好数对”．例如，所以43和68与34和86都是“友好数对”．