初中数学浙教版七年级下册3.4 乘法公式复习练习题

这是一份初中数学浙教版七年级下册3.4 乘法公式复习练习题，共54页。试卷主要包含了学会利用平方差公式，掌握整式的混合运算；等内容，欢迎下载使用。
1、学会利用平方差公式、完全平方公式进行运算；
2、掌握完全平方公式在几何图形中的应用；
3、掌握整式的混合运算；
知识点01 运用平方差公式进行运算
【知识点】
平方差公式
平方差公式：
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
特别说明：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.
抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：
（1）位置变化：如利用加法交换律可以转化为公式的标准型
（2）系数变化：如
（3）指数变化：如
（4）符号变化：如
（5）增项变化：如
（6）增因式变化：如
【典型例题】
例1．（2022秋·福建福州·八年级校考期中）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如，，即8，16均为“和谐数”），在不超过100的正整数中，所有的“和谐数”之和为（ ）
A．614B．624C．634D．642
例2．（2023春·七年级课时练习）若，则m=______，n=______．
例3．（2023秋·湖北武汉·八年级统考期末）如图①，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分沿线剪开，如图所示，拼成图②的长方形．
(1)【探究】
①请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积__________；__________；
②比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：____________________（用字母表示）；
(2)【应用】请应用这个公式完成计算：．
【即学即练】
1．（2022秋·河北邯郸·八年级校考阶段练习）计算的结果为（ ）
A．B．C．D．
2．（2021春·江苏泰州·七年级校考期中）如果一个数等于两个连续偶数的平方差，那么我们称这个数为“和融数”，如：因为，所以称20为“和融数”，下面4个数中为“和融数”的是（ ）．
A．2018B．2019C．2020D．2021
3．（2023秋·新疆乌鲁木齐·八年级校考期末）小丽在计算时，把3写成后，发现可以连续运用平方差公式进行计算．用类似的方法计算：___________．
4．（2021春·浙江宁波·七年级校考期中）计算：______．
5．（2022秋·福建泉州·八年级校考阶段练习）（1）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式______．（用式子表达）
（2）运用你所得到的公式，计算下列各题：
①
②
知识点02 运用完全平方公式进行运算
【知识点】
完全平方公式
完全平方公式：
两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.
特别说明：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：
添括号法则
添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.
特别说明：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确.
补充公式
；；
；.
【典型例题】
例1．（2023秋·山西朔州·八年级统考期末）下列各式计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
例2．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）已知，则__________．
例3．（2023秋·广东韶关·八年级统考期末）计算：．
【即学即练】
1．（重庆市綦江区2022-2023学年八年级上学期期末数学试题）下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022春·广西·七年级统考阶段练习）若实数，满足，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023秋·福建宁德·八年级校考阶段练习）已知，，则_______．
4．（2022秋·广西南宁·九年级三美学校校考开学考试）阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知，求代数式的值．”可以这样解：．根据阅读材料，解决问题：若是关于的一元一次方程的解，则代数式的值是_____．
5．（2022春·江苏常州·七年级常州市清潭中学校考期中）我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例：如图①可以得到．请解答下列问题：
(1)写出图②中所表示的数学等式；
(2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，求的值；
(3)小明同学又用张边长为的正方形，张边长为的正方形，张边长为的长方形纸片拼出了一个面积为的长方形，求的值．
知识点03 完全平方公式在几何图形中应用
【典型例题】
例1．（2022春·浙江宁波·七年级校联考期中）如图，在一块边长为的正方形花圃中，两纵两横的4条宽度为的人行道把花圃分成 9块，下面是四个计算种花土地总面积的代数式：（1）；（2）；（3）；（4），其中正确的有（ ）
A．（2）B．（1） （3）C．（1） （4）D．（4）
例2．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图1，是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，则每个小长方形的宽为______，然后用四个小长方形拼成如图2所示的正方形，则图中阴影正方形的面积为______．
例3．（2021春·四川成都·七年级校考期中）把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些图形的面积．例如，由图1，可得等式：．
(1)如图2，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形，试用不同的形式表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？，请用等式表示出来．
(2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值．
【即学即练】
1．（2021春·浙江温州·七年级统考期中）如图，将四个长为a，宽为b的小长方形纸片拼成一个大正方形，用两种不同的方法表示这个大正方形的面积，则可以得出一个等式为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022秋·河南郑州·八年级校考阶段练习）如图，麦麦用9张A类正方形卡片、1张B类正方形卡片和6张C类长方形卡片，拼成了一个大正方形，拼成的大正方形的边长是（ ）
A．B．C．D．
3．（2021春·辽宁沈阳·七年级统考期末）如图（1）是一个长为2a，宽为2b的长方形，用剪刀沿图中虚线剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，中间空余部分的面积是16，若a＝b，则原长方形的周长为 _____．
4．（2022秋·河北保定·九年级保定市第十七中学校考阶段练习）4张长为a、宽为b（）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为（）的正方形，图中空白部分的面积为，阴影部分的面积为．
（1）若，，则__________．
（2）若，求a与b满足关系：_________．
5．（2022春·江苏宿迁·七年级统考期中）图（1）是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形．然后按图（2）的形状拼成一个正方形．
(1)你认为图（2）中阴影部分的正方形的边长是________（用、表示）；
(2)请用两种不同的方法表示出图（2）中阴影部分的面积：①：________，②：________；
(3)观察图（2），请写出、、之间的一个等量关系________；
(4)根据（3）中的等量关系，解决如下问题：若，，求的值．
知识点04 整式的混合运算
【知识点】
整式的混合运算，也是遵循四则运算法则的，记得结果要化简；
【典型例题】
例1．（2023秋·湖南长沙·八年级统考期末）下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
例2．（2023秋·安徽宣城·八年级统考期末）若​，则​___________ ．
例3．（2022秋·广西南宁·九年级三美学校校考开学考试）先化简，再求值：，其中，．
【即学即练】
1．（2022秋·河南信阳·七年级统考期中）小明化简的过程如下：
解:…①
…②
…③
…④
在化简过程中，他是从第（ ）步开始出错的？
A．①B．②C．③D．④
2．（2022春·甘肃兰州·七年级统考期末）为了求的值，可令，则，因此，所以．仿照以上推理计算出的值是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023春·七年级单元测试）如图，两个正方形边长分别为、，且满足，，图中阴影部分的面积为______．
4．（2022春·浙江绍兴·七年级统考期末）已知，则代数式______．
5．（2023秋·广东湛江·八年级校考期末）已知的展开式中不含x项，常数项是．
(1)求m、n的值：
(2)当m、n取第（1）小题的值时，先化简，再求值：．
题组A 基础过关练
1．（2022秋·江西南昌·八年级统考期末）下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）已知是完全平方式，则常数可以取（ ）
A．-1B．1C．D．2
3．（2023秋·河北唐山·八年级校考期末）若，则（ ）
A．B．14C．7D．
4．（2022秋·全国·八年级专题练习）为了运用平方差公式计算，下列变形正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023秋·江西宜春·八年级统考期末）已知多项式是完全平方式，则_________．
6．（2022秋·湖北孝感·八年级统考期末）若，，则＝_____．
7．（2021秋·内蒙古巴彦淖尔·八年级校考阶段练习）请你观察图形，不再添加辅助线，依据图形面积之间的关系，便可得到一个非常熟悉的公式，写出这个公式______．
8．（2023秋·河北保定·八年级校考期末）现有甲、乙、丙三种不同的长方形纸片（边长如图）．
（1）取甲、乙纸片各1块，其面积和为_____________；
（2）嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片9块，还需取丙纸片___块．
9．（2021秋·四川资阳·八年级统考期末）先化简，再求值：，其中，．
10．（2022秋·上海·七年级上海市建平中学西校校考期中）用乘法公式简便计算：
题组B 能力提升练
1．（2022秋·河北邯郸·八年级校考阶段练习）计算的结果为（ ）
A．B．1C．11D．4027
2．（2022秋·河北邯郸·八年级校考阶段练习）已知，，则的值为（ ）
A．5B．25C．37D．6
3．（2023秋·广东汕头·八年级统考期末）如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，把余下的部分剪成一个长方形，通过计算两个图形（阴影部分、从左图到右图）的面积，验证的公式为（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023春·七年级课时练习）若，，在下列判断结果正确是（ ）．
A．B．C．D．无法判断
5．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）已知，则___________．
6．（2022秋·河南南阳·八年级校考阶段练习）如图，两个正方形边长分别为a、b，如果，则阴影部分的面积为____．
7．（2023秋·四川内江·八年级统考期末）我们经常利用完全平方公式以及变形公式进行代数式变形．已知关于a的代数式，请结合你所学知识，判断下列说法：①当时，；②无论a取任何实数，不等式恒成立；③若，则；正确的有______．
8．（2022秋·湖北恩施·八年级统考期末）在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》（1261年）一书中，用图的三角形解释二项和的乘方规律，我们称这个三角形为“杨辉三角”．这个三角形给出了的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．
根据上面的规律，请写出的第三项：___________．
9．（2023秋·湖北武汉·八年级统考期末）计算：
(1)；
(2)．
10．（2023秋·广东汕头·八年级统考期末）请认真观察图形，解答下列问题：
(1)根据图中条件，用两种方法表示阴影图形的面积的和（只需表示，不必化简）
①________________②________________；
(2)由（1）你能得到怎样的等量关系？请用式子表示：________________
(3)如果图中的满足.
求：①的值 ②的值
题组C 培优拔尖练
1．（2022秋·湖北武汉·八年级统考期末），为实数，整式的最小值是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023秋·广东湛江·八年级统考期末）现有甲，乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）
（1）取甲、乙纸片各1块，其面积和为______．
（2）嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片9块，还需取丙纸片______块．
A．和6B．和5C．和4D．和3
3．（2023秋·福建三明·七年级统考期末）若，，，……，是2022个由1和组成的数，且满足，则的值为（ ）
A．2122B．2422C．3844D．4244
4．（2022秋·重庆江津·九年级校考期中）设a，b是有理数，定义运算，例如：， ， ．下列结论：①；②；③m，n为有理数，当时，则；④x，y为有理数，当时，则；⑤设，，则．其中所有正确的结论有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
5．（2023秋·湖北武汉·八年级统考期末）已知：，则__________．
6．（2021秋·浙江·九年级自主招生）若是完全平方式，与的乘积中不含x的一次项，则的值为__________．
7．（2022秋·天津滨海新·八年级校考期末）已知，则______．
8．（2022春·福建三明·七年级校考阶段练习）若A＝（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）(216＋1)＋1，则A－2022的末位数字是________．
9．（2023秋·湖南长沙·八年级统考期末）【阅读理解】
若满足，求的值．
解：设，则，
，
我们把这种方法叫做换元法．利用换元法达到简化方程的目的，体现了转化的数学思想．
【解决问题】
(1)若满足，则 ；
(2)若满足，求的值；
(3)如图，在长方形中，，点是边上的点，，且，分别以为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积和．
10．（2022秋·河南周口·八年级统考期末）阅读材料：在求多项式的最小值时，小明的解法如下：，因为，所以，即的最小值为4．请仿照以上解法，解决以下问题：
(1)求多项式的最小值；
(2)猜想多项式有最大值还是最小值，并求出这个最值．
专题3.4 乘法公式
1、学会利用平方差公式、完全平方公式进行运算；
2、掌握完全平方公式在几何图形中的应用；
3、掌握整式的混合运算；
知识点01 运用平方差公式进行运算
【知识点】
平方差公式
平方差公式：
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
特别说明：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.
抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：
（1）位置变化：如利用加法交换律可以转化为公式的标准型
（2）系数变化：如
（3）指数变化：如
（4）符号变化：如
（5）增项变化：如
（6）增因式变化：如
【典型例题】
例1．（2022秋·福建福州·八年级校考期中）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如，，即8，16均为“和谐数”），在不超过100的正整数中，所有的“和谐数”之和为（ ）
A．614B．624C．634D．642
【答案】B
【分析】根据，确定小于100的“和谐数”，再求和，根据计算结果的规律性，可得出答案．
【详解】解：依题意设连续的两个奇数为，
∴
解得：
，
在不超过100的正整数中，所有的“和谐数”之和为：
，
故选：B．
【点睛】本题考查平方差公式，理解“和谐数”的意义是解决问题的前提，得出计算结果的规律性是解决问题的关键．
例2．（2023春·七年级课时练习）若，则m=______，n=______．
【答案】 4 8
【分析】根据平方差公式，进行乘法运算，找到m、n的值便可求解．
【详解】解：
故答案为：4，8．
【点睛】本题考查平方差公式，熟练运用平方差公式是解题的关键．
例3．（2023秋·湖北武汉·八年级统考期末）如图①，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分沿线剪开，如图所示，拼成图②的长方形．
(1)【探究】
①请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积__________；__________；
②比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：____________________（用字母表示）；
(2)【应用】请应用这个公式完成计算：．
【答案】(1)①；；②；
(2)3999999．
【分析】（1）①、图①阴影部分的面积为两个正方形面积的差，图②阴影部分的面积是长为，宽为的长方形面积；
②、图①阴影部分的面积和图②阴影部分的面积相等，即可列出式子；
（2）将转化为，根据平方差公式进行计算即可．
【详解】（1）解：①、在图①中：
大正方形的面积为，小正方形的面积为，
阴影部分的面积为：；
在图②中：
阴影部分为长方形，且长为，宽为，
阴影部分的面积为：；
②、图①阴影部分的面积和图②阴影部分的面积相等，
可得到乘法公式：；
（2）原式．
【点睛】本题考查平方差公式的几何意义和平方差公式的应用，用代数式表示阴影部分的面积是得出平方差公式的关键．
【即学即练】
1．（2022秋·河北邯郸·八年级校考阶段练习）计算的结果为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用平方差公式进行计算即可．
【详解】解：
．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握平方差公式．
2．（2021春·江苏泰州·七年级校考期中）如果一个数等于两个连续偶数的平方差，那么我们称这个数为“和融数”，如：因为，所以称20为“和融数”，下面4个数中为“和融数”的是（ ）．
A．2018B．2019C．2020D．2021
【答案】C
【分析】设这两个连续奇数为n，，应用平方差公式进行计算可得，代入计算n的值，即可得出答案．
【详解】解：设这两个连续偶数为n，，
则，
A．，解得，n不是偶数，故不符合题意；
B．，解得，n不是偶数，故不符合题意；
C．，解得，n是偶数，故符合题意；
D．，解得，n不是偶数，故不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式进行求解是解决本题的关键．
3．（2023秋·新疆乌鲁木齐·八年级校考期末）小丽在计算时，把3写成后，发现可以连续运用平方差公式进行计算．用类似的方法计算：___________．
【答案】2
【分析】根据平方差公式解决此题．
【详解】解：
．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式是解决本题的关键．
4．（2021春·浙江宁波·七年级校考期中）计算：______．
【答案】3
【分析】将原式变形为，再根据平方差公式计算即可．
【详解】
故答案为：3
【点睛】本题考查了平方差公式，解决本题的关键是掌握平方差公式，并熟练运用．
5．（2022秋·福建泉州·八年级校考阶段练习）（1）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式______．（用式子表达）
（2）运用你所得到的公式，计算下列各题：
①
②
【答案】（1）；（2）①；②
【分析】（1）根据面积的两种计算方式进而可得到；
（2）①因为，根据（1）的结论即可求得结果；②先添括号再根据（1）的结论化简即可．
【详解】解：（1）∵图1的阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积
∴
故答案为：
（2）①
；
②
【点睛】本题考查了平方差公式的应用，熟记平方差公式是解题的关键．
知识点02 运用完全平方公式进行运算
【知识点】
完全平方公式
完全平方公式：
两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.
特别说明：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：
添括号法则
添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.
特别说明：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确.
补充公式
；；
；.
【典型例题】
例1．（2023秋·山西朔州·八年级统考期末）下列各式计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据多项式乘以多项式，平方差公式，完全平方公进行计算可得出答案．
【详解】解：A、，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、，原计算正确，故此选项符合题意；
D、，原计算错误，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了整式的运算，正确掌握相关运算法则和乘法公式是解题的关键．
例2．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）已知，则__________．
【答案】17
【分析】根据完全平方公式得出结论即可．
【详解】∵，
∴，
∴，
∴，
∴
故答案为：17
【点睛】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
例3．（2023秋·广东韶关·八年级统考期末）计算：．
【答案】
【分析】根据完全平方公式，平方差公式以及整式的加减运算，求解即可；
【详解】解：原式．
【点睛】此题考查了完全平方公式，平方差公式以及整式的加减运算，解题的关键是掌握整式的相关运算法则．
【即学即练】
1．（重庆市綦江区2022-2023学年八年级上学期期末数学试题）下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据合并同类项，完全平方公式，幂的乘方、积的乘方运算法则逐项分析判断即可．
【详解】解：A、，该选项不符合题意；
B、，该选项不符合题意；
C、，该选项不符合题意；
D、，正确，该选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了合并同类项，完全平方公式，幂的乘方、积的乘方运算法则，掌握运算法则是解题的关键．
2．（2022春·广西·七年级统考阶段练习）若实数，满足，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】通过配方得到，根据非负数的性质得到，，求得a，b的值，于是得到结论．
【详解】解：∵，
∴，
即，
∴，，
∴，，
∴．
故选：B．
【点睛】此题考查配方法的运用，非负数的性质，掌握分组分解与完全平方公式是解决问题的关键．
3．（2023秋·福建宁德·八年级校考阶段练习）已知，，则_______．
【答案】19
【分析】把两边平方得，再代入，即可求解．
【详解】解：把两边平方，
可得：，
把代入得：，
故答案为：19．
【点睛】本题考查代数式求值，熟练掌握和利用完全平方公式是解题的关键，注意整体思维的运用．
4．（2022秋·广西南宁·九年级三美学校校考开学考试）阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知，求代数式的值．”可以这样解：．根据阅读材料，解决问题：若是关于的一元一次方程的解，则代数式的值是_____．
【答案】
【分析】根据是关于的一元一次方程的解，可得：，直接代入所求式即可解答．
【详解】解：∵是关于的一元一次方程的解，
∴，
∴
．
故答案为：．
【点睛】本题考查一元一次方程的解和代数式求值，运用了整体代入的方法．解题的关键是根据解的定义得出、之间的关系式．
5．（2022春·江苏常州·七年级常州市清潭中学校考期中）我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例：如图①可以得到．请解答下列问题：
(1)写出图②中所表示的数学等式；
(2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，求的值；
(3)小明同学又用张边长为的正方形，张边长为的正方形，张边长为的长方形纸片拼出了一个面积为的长方形，求的值．
【答案】(1)．
(2)．
(3)．
【分析】(1)从整体看正方形的边长为，因此可得到正方形的面积；再计算各部分面积的和；
(2)根据(1)的结论化简求值即可；
(3)根据面积的计算方法求出的系数进而得出结果．
【详解】（1）解：∵正方形的边长为：，
∴正方形的面积为：，
∵正方形是由个正方形和个长方形组成，
∴正方形的面积可表示为：，
∴，
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∴．
（3）解：∵，
∴根据题意可知长方形的组成是：张边长为的正方形，张边长为的正方形，张边长为的长方形，
∴，，，
∴．
【点睛】本题考查了整式的乘法运算，多项式乘以多项式与图形面积，掌握多项式的乘法法则是解题的关键．
知识点03 完全平方公式在几何图形中应用
【典型例题】
例1．（2022春·浙江宁波·七年级校联考期中）如图，在一块边长为的正方形花圃中，两纵两横的4条宽度为的人行道把花圃分成 9块，下面是四个计算种花土地总面积的代数式：（1）；（2）；（3）；（4），其中正确的有（ ）
A．（2）B．（1） （3）C．（1） （4）D．（4）
【答案】C
【分析】由平移法可得，种花土地总面积等于边长为（a-2b）的正方形的面积；由图可得，种花土地总面积=a2-4ab+4b2；据此得出结论．
【详解】解：由平移法可得，种花土地总面积=（a-2b）（a-2b）；
由图可得，种花土地总面积=a2-4ab+4b2；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景的应用，解决此类问题的关键是运用几何直观理解，解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．
例2．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图1，是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，则每个小长方形的宽为______，然后用四个小长方形拼成如图2所示的正方形，则图中阴影正方形的面积为______．
【答案】 a （b－a）2或
【分析】根据长方形的长四等分即可得出小长方形的宽，结合图形得出图形中阴影正方形的边长，进而求出面积．
【详解】解：由题意可知，每个小长方形的宽为，长为，
则图中大正方形的边长为，图中4个长方形的面积为，
图中阴影正方形的边长为，
所以图中阴影正方形的面积为
或．
故答案为：a，或．
【点睛】本题考查了列代数式，解题的关键是结合图形得出阴影正方形的边长．
例3．（2021春·四川成都·七年级校考期中）把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些图形的面积．例如，由图1，可得等式：．
(1)如图2，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形，试用不同的形式表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？，请用等式表示出来．
(2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）此题根据面积的不同求解方法，可得到不同的表示方法．一种可以是3个正方形的面积和6个矩形的面积，一种是大正方形的面积，可得等式；
（2）利用（1）中的等式变形后，直接代入求得答案即可；
【详解】（1）；
（2）∵，，
∴；
【点睛】本题考查了完全平方公式几何意义，解题的关键是注意图形的分割与拼合，会用不同的方法表示同一图形的面积．
【即学即练】
1．（2021春·浙江温州·七年级统考期中）如图，将四个长为a，宽为b的小长方形纸片拼成一个大正方形，用两种不同的方法表示这个大正方形的面积，则可以得出一个等式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据题意表示出图形的边长进而得出其面积．
【详解】解：由图形可得：大正方形的边长为：a＋b，则其面积为：（a＋b）2，
小正方形的边长为：（a－b），则其面积为：（a－b）2，长方形面积为：ab，
正方形的面积又可以表示为（a－b） 2＋4ab，
故（a＋b）2＝（a－b）2＋4ab．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了完全平方公式的几何背景，正确表示出各边长是解题关键．
2．（2022秋·河南郑州·八年级校考阶段练习）如图，麦麦用9张A类正方形卡片、1张B类正方形卡片和6张C类长方形卡片，拼成了一个大正方形，拼成的大正方形的边长是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先计算出16张卡片的总面积，根据完全平方公式即可求解．
【详解】解：由题意可知：16张卡片的总面积，
∵
∴拼成的大正方形的边长
故选：D．
【点睛】本题考查完全平方公式几何意义的理解，解题的关键是熟练掌握完全平方公式形式．
3．（2021春·辽宁沈阳·七年级统考期末）如图（1）是一个长为2a，宽为2b的长方形，用剪刀沿图中虚线剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，中间空余部分的面积是16，若a＝b，则原长方形的周长为 _____．
【答案】96
【分析】中间正方形的面积可看作是大的正方形的面积减去原长方形的面积，从而可求得原长方形的长与宽，即可求原长方形的周长．
【详解】解：由题意得：（a+b）2﹣2a×2b＝16，
∵a＝b，
∴（b+b）2﹣2×b×2b＝16，
解得：b＝10或﹣10（舍去），
∴a＝14，
原长方形的长为：2a＝28，宽为2b＝20，
故原长方形的周长为：2×（28+20）＝96．
故答案为：96．
【点睛】此题主要考查平方根的几何应用，解题的关键是熟知完全平方公式的特点．
4．（2022秋·河北保定·九年级保定市第十七中学校考阶段练习）4张长为a、宽为b（）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为（）的正方形，图中空白部分的面积为，阴影部分的面积为．
（1）若，，则__________．
（2）若，求a与b满足关系：_________．
【答案】
【分析】（1）空白部分的面积为2个直角三角形（直角边为），2个直角三角形（直角边为）和中间正方形（边长为）的面积和，求解即可；
（2）用含有的式子表示出，再根据求解a与b的关系．
【详解】解：（1）由题意可得：空白部分的面积为2个直角三角形（直角边为），2个直角三角形（直角边为）和中间正方形（边长为）的面积和
即
∵，
∴
（2）由（1）得：
正方形的面积为
∴
又，，整理得：
∴
故答案为，
【点睛】本题考查完全平方公式的计算与化简，解题关键是先求出和的面积．
5．（2022春·江苏宿迁·七年级统考期中）图（1）是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形．然后按图（2）的形状拼成一个正方形．
(1)你认为图（2）中阴影部分的正方形的边长是________（用、表示）；
(2)请用两种不同的方法表示出图（2）中阴影部分的面积：①：________，②：________；
(3)观察图（2），请写出、、之间的一个等量关系________；
(4)根据（3）中的等量关系，解决如下问题：若，，求的值．
【答案】(1)
(2)①②
(3)
(4)
【分析】（1）根据观察图形，可得小正方形的边长；
（2）根据正方形的面积公式，可得方法一，根据面积的和差，可得方法二；
（3）根据同一图形的面积的两种表示方法，可得答案；
（4）根据（3）中的等量关系，可得答案．
（1）
图（2）中阴影部分的正方形的边长是，
故答案为：
（2）
请用两种不同的方法表示出图（2）中阴影部分的面积：①，②，
故答案为：；
（3）
由（2）中面积的两种表示方法可得：，
故答案为：
（4）
由（3）得
又∵，
∴
∴
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，准确识图，根据阴影部分的面积的两种不同表示方法得到的代数式的值相等列式是解题的关键．
知识点04 整式的混合运算
【知识点】
整式的混合运算，也是遵循四则运算法则的，记得结果要化简；
【典型例题】
例1．（2023秋·湖南长沙·八年级统考期末）下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据多项式乘多项式，完全平方公式，幂的乘方和积的乘方以及同底数幂的乘法法则分别计算即可判断．
【详解】解：A、，故错误，不符合题意；
B、，故正确，符合题意；
C、，故错误，不符合题意；
D、，故错误，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是掌握多项式乘多项式，完全平方公式，幂的乘方和积的乘方以及同底数幂的乘法法则．
例2．（2023秋·安徽宣城·八年级统考期末）若​，则​___________ ．
【答案】
【分析】令，求出的值，令，求出的值，然后两式相减即可得解．
【详解】解：令，则，
令，则，
得，．
故答案为：．
【点睛】本题考查求代数式的值，根据系数的特点，令取特殊值是解题的关键，本题难度不大，灵活性较强．
例3．（2022秋·广西南宁·九年级三美学校校考开学考试）先化简，再求值：，其中，．
【答案】，
【分析】先利用乘法的平方差公式、多项式除以单项式法则化简整式，再代入求值．
【详解】解：
．
当，时，
原式．
【点睛】本题考查的是整式的混合运算，化简求值，掌握“利用平方差公式进行简便运算”是解本题的关键．
【即学即练】
1．（2022秋·河南信阳·七年级统考期中）小明化简的过程如下：
解:…①
…②
…③
…④
在化简过程中，他是从第（ ）步开始出错的？
A．①B．②C．③D．④
【答案】B
【分析】根据整式的混合运算法则即可求出答案．
【详解】
，
他是从第②步开始出错
故选：B．
【点睛】本题考查整式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键．
2．（2022春·甘肃兰州·七年级统考期末）为了求的值，可令，则，因此，所以．仿照以上推理计算出的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，可令，则，进行相减即可得．
【详解】解：根据题意，可令，
则，
∴
，
即，
故选：C．
【点睛】本题考查了整式混合运算的应用，解题的关键是理解题意，正确计算．
3．（2023春·七年级单元测试）如图，两个正方形边长分别为、，且满足，，图中阴影部分的面积为______．
【答案】
【分析】用含有、的代数式表示阴影部分的面积，再根据完全平方公式进行代数式的变形，进而求出答案．
【详解】解：
，
∵，，
原式．
故答案为：．
【点睛】本题考查整式的混合运算以及化简求值．熟练掌握完全平方公式及适当的变形是解题的关键．
4．（2022春·浙江绍兴·七年级统考期末）已知，则代数式______．
【答案】4043
【分析】先去括号，再合并同类项，然后把x2-x=2022代入化简后的式子进行计算即可解答．
【详解】解：（x+1）（x-1）+x（x-2）
=x2-1+x2-2x
=2x2-2x-1，
当x2-x=2022时，
原式=2（x2-x）-1
=2×2022-1
=4044-1
=4043，
故答案为：4043．
【点睛】本题考查了代数式求值、整式的混合运算，整体代入是解题的关键．
5．（2023秋·广东湛江·八年级校考期末）已知的展开式中不含x项，常数项是．
(1)求m、n的值：
(2)当m、n取第（1）小题的值时，先化简，再求值：．
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）首先根据整式的乘法运算法则化简，然后根据题意得到，即可求出m、n的值；
（2）首先根据整式的混合运算法则化简，然后代入求解即可．
【详解】（1）
，
∵的展开式中不含x项，常数项是，
∴，
解得；
（2）
，
当时，原式．
【点睛】此题考查了整式的混合运算和化简求值，解题的关键是熟练掌握整式的混合运算法则．
题组A 基础过关练
1．（2022秋·江西南昌·八年级统考期末）下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据同底数幂相乘、积的乘方、乘法公式逐一判断即可．
【详解】解：A．，该项计算错误；
B．，该项计算正确；
C．，该项计算错误；
D．，该项计算错误．
故选：B．
【点睛】本题考查整式乘法，掌握同底数幂相乘、积的乘方、乘法公式是解题的关键．
2．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）已知是完全平方式，则常数可以取（ ）
A．-1B．1C．D．2
【答案】B
【分析】根据完全平方公式得出，解出即可．
【详解】解：∵是完全平方式，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了完全平方式，熟记完全平方公式对解题非常重要．
3．（2023秋·河北唐山·八年级校考期末）若，则（ ）
A．B．14C．7D．
【答案】B
【分析】根据完全平方公式即可求出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选B．
【点睛】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型．
4．（2022秋·全国·八年级专题练习）为了运用平方差公式计算，下列变形正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据平方差公式即可进行解答．
【详解】解：运用平方差公式计算，
应变形为，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平方差公式，解题的关键是熟练掌握平方差公式．
5．（2023秋·江西宜春·八年级统考期末）已知多项式是完全平方式，则_________．
【答案】4
【分析】根据完全平方式的特征列出关系式计算即可．
【详解】解： ，
设，
则多项式为：，
多项式是完全平方式，
，
解得：，
．
故答案为．
【点睛】本题考查了完全平方式，熟记完全平方式的特征是解题关键．
6．（2022秋·湖北孝感·八年级统考期末）若，，则＝_____．
【答案】
【分析】将两边平方，利用完全平方公式化简，将第一个等式代入计算即可求出的值．
【详解】将两边平方得：，
把代入得：，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解题的关键．
7．（2021秋·内蒙古巴彦淖尔·八年级校考阶段练习）请你观察图形，不再添加辅助线，依据图形面积之间的关系，便可得到一个非常熟悉的公式，写出这个公式______．
【答案】
【分析】根据最大的正方形面积等于两个长方形面积加上两个较小的正方形面积进行求解即可．
【详解】解：由题意得，最大的正方形面积为，较大的正方形面积为，最小的正方形面积为，两个长方形面积之和为，
∵最大的正方形面积等于两个长方形面积加上两个较小的正方形面积，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，正确表示出各部分图形的面积是解题的关键．
8．（2023秋·河北保定·八年级校考期末）现有甲、乙、丙三种不同的长方形纸片（边长如图）．
（1）取甲、乙纸片各1块，其面积和为_____________；
（2）嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片9块，还需取丙纸片___块．
【答案】 6
【分析】（1）分别求两个正方形面积再求它们的和；
（2）根据完全平方公式结构构造完全平方式即可．
【详解】解：（1）甲纸片的面积是，乙纸片的面积是，
甲、乙纸片各1块的面积之和是，
故答案为：；
（2）甲纸片1块和乙纸片9块面积之和为：
，且是完全平方式，
要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形时，还需取丙纸片6块，
故答案为：6．
【点睛】此题考查了完全平方式几何背景问题的解决能力，关键是能根据图形和完全平方式的结构准确列式、构造求解．
9．（2021秋·四川资阳·八年级统考期末）先化简，再求值：，其中，．
【答案】，
【分析】根据完全平方公式，平方差公式，整式的乘除法运算法则即可求解．
【详解】解：
，，，
∴原式．
【点睛】本题主要考查整式乘除法，乘法公式的运用，掌握乘法公式的运算方法，整式的混合运算法则是解题的关键．
10．（2022秋·上海·七年级上海市建平中学西校校考期中）用乘法公式简便计算：
【答案】1
【分析】首先利用平方差公式进行变形，然后去括号求解即可．
【详解】解：
【点睛】本题主要考查平方差公式的应用，掌握平方差公式的结构是解题关键．
题组B 能力提升练
1．（2022秋·河北邯郸·八年级校考阶段练习）计算的结果为（ ）
A．B．1C．11D．4027
【答案】B
【分析】根据题意可以写成，利用平方差公式简便计算出结果．
【详解】解：
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算以及平方差公式，解题的关键是熟练掌握平方差公式，准确计算．
2．（2022秋·河北邯郸·八年级校考阶段练习）已知，，则的值为（ ）
A．5B．25C．37D．6
【答案】B
【分析】利用完全平方公式进行变形计算即可．
【详解】解：∵，，
∴
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式，．
3．（2023秋·广东汕头·八年级统考期末）如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，把余下的部分剪成一个长方形，通过计算两个图形（阴影部分、从左图到右图）的面积，验证的公式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用正方形的面积公式可知剩下的面积，而新形成的矩形长是，宽是，根据两者面积相等，即可验证平方差公式．
【详解】解：由题意得：
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查平方差公式，即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做平方差公式，解决本题的关键是比较两个图形分别表示出面积．
4．（2023春·七年级课时练习）若，，在下列判断结果正确是（ ）．
A．B．C．D．无法判断
【答案】C
【分析】根据完全平方公式的变形，将b化简，进而与a比较即可求解
【详解】解：，
，
故．
故选C．
【点睛】本题考查了完全平方公式的变形，掌握完全平方公式的变形是解题的关键．
5．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）已知，则___________．
【答案】
【分析】利用完全平方公式计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了完全平方公式，，熟记公式是解题的关键．
6．（2022秋·河南南阳·八年级校考阶段练习）如图，两个正方形边长分别为a、b，如果，则阴影部分的面积为____．
【答案】
【分析】由大三角形面积减去小三角形面积表示出阴影部分面积，将代入计算即可求出答案．
【详解】解：根据题意得：
当时，
＝
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了完全平方公式的变形运用及整体法求代数式的值，根据图形正确表示出阴影部分的面积及把完全平方公式变形是关键．
7．（2023秋·四川内江·八年级统考期末）我们经常利用完全平方公式以及变形公式进行代数式变形．已知关于a的代数式，请结合你所学知识，判断下列说法：①当时，；②无论a取任何实数，不等式恒成立；③若，则；正确的有______．
【答案】①②##②①
【分析】把代入计算即可判断①；把代入，利用完全平方公式变形即可判断②；把代入，利用完全平方公式变形即可判断③．
【详解】解：当时，，
∴①符合题意；
∵，
∴②符合题意；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴③不符合题意．
故答案为：①②．
【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键．
8．（2022秋·湖北恩施·八年级统考期末）在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》（1261年）一书中，用图的三角形解释二项和的乘方规律，我们称这个三角形为“杨辉三角”．这个三角形给出了的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．
根据上面的规律，请写出的第三项：___________．
【答案】
【分析】根据图形中的规律即可求出的展开式中的第三项．
【详解】解：找规律发现的第三项为；
的第三项为；
的第三项为；
不难发现的第三项为，
∴的第三项为；
故答案为
【点睛】本题主要考查数字变化规律，通过观察、分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题的能力．
9．（2023秋·湖北武汉·八年级统考期末）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据多项式乘多项式的运算法则直接计算即可．
（2）利用平方差公式、完全平方公式进行计算．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
【点睛】本题主要考查了整式的运算，掌握整式运算法则以及乘法公式是解题的关键．注意去括号时，符号的变化．
10．（2023秋·广东汕头·八年级统考期末）请认真观察图形，解答下列问题：
(1)根据图中条件，用两种方法表示阴影图形的面积的和（只需表示，不必化简）
①________________②________________；
(2)由（1）你能得到怎样的等量关系？请用式子表示：________________
(3)如果图中的满足.
求：①的值 ②的值
【答案】(1)①，②
(2)；
(3)①，②
【分析】(1)根据阴影部分的面积与空白部分的面积关系即可求出结果；
（2）根据阴影部分的面积相等即可求出结果；
（3）根据完全平方式与已知条件即可求出对应值．
【详解】（1）解：∵图中阴影部分的面积由两部分组成，第一部分的面积为，第二部分的面积为： ；
∴阴影部分的面积的第一种表示方法为．
∵大正方形的面积为；空白部分的面积为，
∴阴影部分的面积为：，
故答案为：①；②．
（2）解：由（1）可知阴影部分的面积相等，
∴，
故答案为：；
（3）解：①∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴；
②∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了完全平方式和平方差公式的几何意义，熟练公式法是解题的关键．
题组C 培优拔尖练
1．（2022秋·湖北武汉·八年级统考期末），为实数，整式的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先分组，然后运用配方法得到，最后利用偶次方的非负性得到最小值．
【详解】解：，
∵，
∴当时，原式有最小值，最小值为．
故选：A．
【点睛】本题考查完全平方公式的应用和偶次方的非负性，正确运用该完全平方公式是解答本题的关键．
2．（2023秋·广东湛江·八年级统考期末）现有甲，乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）
（1）取甲、乙纸片各1块，其面积和为______．
（2）嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片9块，还需取丙纸片______块．
A．和6B．和5C．和4D．和3
【答案】A
【分析】（1）分别求两个正方形面积再求它们的和；
（2）根据完全平方式结构构造完全平方式即可．
【详解】解：（1）∵甲纸片的面积是，乙纸片的面积是，
∴甲、乙纸片各1块的面积之和是，
故答案为：；
（2）∵甲纸片1块和乙纸片9块的面积之和为：，且是完全平方式，
∴要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形时，还需取丙纸片6块，
故答案为：6．
故选A．
【点睛】此题考查了完全平方式几何背景问题的解决能力，关键是能根据图形和完全平方式的结构准确列式、构造求解．
3．（2023秋·福建三明·七年级统考期末）若，，，……，是2022个由1和组成的数，且满足，则的值为（ ）
A．2122B．2422C．3844D．4244
【答案】C
【分析】根据完全平方公式展开，整理汇总即可解得．
【详解】解：
故选：C．
【点睛】此题考查了完全平方公式，解题的关键是熟悉完全平方公式．
4．（2022秋·重庆江津·九年级校考期中）设a，b是有理数，定义运算，例如：， ， ．下列结论：①；②；③m，n为有理数，当时，则；④x，y为有理数，当时，则；⑤设，，则．其中所有正确的结论有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】A
【分析】根据已知算式总结出运算规律，分别判断①②③④⑤即可得知答案．
【详解】解： ，故①正确；
，故②错误；
∵，
∴，，
，故③正确；
若，则，
，
，
或，故④错误；
，
同理，
，
…
，
即，故⑤错误；
正确的有①③共2个
故选：A
【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是根据已知算式总结出运算规律．
5．（2023秋·湖北武汉·八年级统考期末）已知：，则__________．
【答案】
【分析】将变形为，然后将，代入求解即可．
【详解】解：∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式，掌握完全平方公式进行运算是关键．
6．（2021秋·浙江·九年级自主招生）若是完全平方式，与的乘积中不含x的一次项，则的值为__________．
【答案】4或16
【分析】利用完全平方公式，以及多项式乘以多项式法则确定出m与n的值，代入原式计算即可求出值．
【详解】解：∵是完全平方式，
∴，
∴或，
∵与的乘积中不含x的一次项，，
∴，
∴，
当，时，；
当，时，，
则或16，
故答案为：4或16．
【点睛】本题考查了完全平方式，以及多项式乘多项式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
7．（2022秋·天津滨海新·八年级校考期末）已知，则______．
【答案】
【分析】首先由已知可得，可得，再由，即可求得．
【详解】解：，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用；能够熟练运用完全平方公式，灵活化简是解题的关键．
8．（2022春·福建三明·七年级校考阶段练习）若A＝（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）(216＋1)＋1，则A－2022的末位数字是________．
【答案】4
【分析】将乘以（2－1），然后用平方差公式计算，再用列举法找出的个位数的规律，推出A的个位数，再代入式子计算即可．
【详解】（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）(216＋1)＋1
＝（2－1）（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）(216＋1)＋1
＝（22－1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）(216＋1)＋1
＝（24－1）（24＋1）（28＋1）(216＋1)＋1
＝（28－1）（28＋1）(216＋1)＋1
＝(216-1)(216＋1)＋1
=232-1+1
＝232；
∵，，，，
，，，；
∴尾数是2，4，8，6，……四个一循环，
∵32÷4=8，
∴232的末位数字是6，
即A的末位数字是6，则A－2022的末位数字是4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了平方差公式、数字规律等知识点，根据题意凑出平方差公式以及发现尾数是2，4，8，6，……四个一循环是解答本题的关键．
9．（2023秋·湖南长沙·八年级统考期末）【阅读理解】
若满足，求的值．
解：设，则，
，
我们把这种方法叫做换元法．利用换元法达到简化方程的目的，体现了转化的数学思想．
【解决问题】
(1)若满足，则 ；
(2)若满足，求的值；
(3)如图，在长方形中，，点是边上的点，，且，分别以为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积和．
【答案】(1)15
(2)
(3)
【分析】（1）根据题目提供的方法，进行计算即可．
（2）根据题意可得，设，，则，，将化成的形式，代入求值即可．
（3）根据题意可得，设，，则，，再由阴影部分的面积，即可求出阴影部分的面积．
【详解】（1）解：设；
则，，
∴，
故答案为：．
（2）解：设，，
则，，
∴
，
故答案为：．
（3）解：由题意得，，，
∵长方形的面积为，
∴，
设，，则，，
∴阴影部分的面积，
，
∴阴影部分的面积和为．
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，阅读理解题目中提供的方法，是类比、推广的前提和关键．
10．（2022秋·河南周口·八年级统考期末）阅读材料：在求多项式的最小值时，小明的解法如下：，因为，所以，即的最小值为4．请仿照以上解法，解决以下问题：
(1)求多项式的最小值；
(2)猜想多项式有最大值还是最小值，并求出这个最值．
【答案】(1)
(2)多项式有最大值，最大值为11，理由见解析
【分析】（1）仿照阅读材料，把原式化为完全平方式与一个数的和的形式，根据偶次方的非负性解答；
（2）利用完全平方式把原式进行变形，根据偶次方的非负性解答即可．
【详解】（1）解：
，
∵，
∴，
∴的最小值为；
（2）解：多项式有最大值，最大值为11，理由如下：
，
∵，
∴，
∴，
∴多项式有最大值，最大值为11．
【点睛】本题主要考查了完全平方式的应用，正确理解题意把给的多项式变形成一个完全平方式与一个数的和或差的形式是解题的关键．