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浙教版5.1 分式同步训练题
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这是一份浙教版5.1 分式同步训练题，共27页。
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分。每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,不选、多选、错选均不得分)
1．（2023春·江苏无锡·八年级校联考期中）下列各式中，属于分式的是（ ）
A．+3B．C．D．
2．（2023春·江苏盐城·八年级统考期中）要使分式有意义，则x的取值范围是 （ ）
A．B．C．D．
3．（2023年天津市滨海新区中考一模数学试题）计算的结果为（ ）
A．1B．C．D．
4．（2023·河南信阳·统考一模）纳米是一种长度单位，它用来表示微小的长度，纳米为十亿分之一米，即米．一种新型病毒，长度仅纳米左右（约为人类头发直径的百分之一），“纳米”用科学记数法表示为（ ）
A．米B．米C．米D．米
5．（2023·福建福州·福建省福州延安中学校考二模）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分100元钱，每人分得若干，若再加上5人，平分150元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第二次分钱的人数．设第二次分钱的人数为x人，则可列方程为（ ）
A．B．C．D．
6．（2023春·江苏宿迁·七年级统考期中）把下列各数代入中，等式成立的有（ ），①；②；③；④；⑤．
A．①②③B．②③④C．①②⑤D．①④⑤
7．（2023春·江苏·八年级专题练习）关于的方程有增根，则的值是（ ）
A．3B．0或3C．7D．
8．（2023春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）定义运算“”：．如果，那么a的值为（ ）
A．6B．9C．或9D．6或
9．（2023春·重庆·九年级重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知关于的不等式组的解集是，关于的分式方程的解为非负数，则所有符合条件的整数的和为（ ）．
A．B．C．D．
10．（2023春·重庆万州·九年级重庆市万州第一中学校联考期中）已知两个分式：，：将这两个分式进行如下操作：
第一次操作：将这两个分式相乘，结果记为；相除，结果记为；
（即，）
第二次操作：将，相乘，结果记为；相除，结果记为；
（即，）
第三次操作：将，相乘，结果记为；相除，结果记为；
（即，）…（依此类推）
将每一次操作的结果再相乘，相除，继续依次操作下去，通过实际操作，有以下结论：
①； ②若，则；
③在第2n（n为正整数）次操作的结果中：，
④当时，一定成立（n为正整数）．
⑤在第n（n为正整数）次和第次操作的结果中：为定值；
以上结论正确的个数有（ ）个．
A．5B．4C．3D．2
二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分)
11．（2023春·广东广州·九年级华南师大附中校考阶段练习）分式方程的解是___________．
12．（2023春·广东深圳·八年级统考期中）若分式的值为0，则_______．
13．（2023·江西南昌·统考一模）为陶冶孩子情操，磨炼孩子意志，某父母鼓励自己的两个孩子利用寒假时间练好中国字，哥哥寒假要写8000字，弟弟寒假要写6000字，哥哥每天比弟弟多写100字，哥哥和弟弟完成各自任务的天数相同，设哥哥每天写x字，则可列方程为_______________．
14．（2023·山东烟台·统考一模）对于正数，规定，例如，则的值是______．
15．（2023春·江苏南京·八年级南京外国语学校校考期中）若关于x的方程无解，则m的值是______.
16．（2022·福建·九年级统考竞赛）若正数a，b，c满足abc1，，则______．
三、解答题(本大题共7小题,共66分)
17．（2023春·江苏无锡·八年级校联考期中）计算：
(1)；
(2)
18．（2023秋·四川绵阳·八年级统考期末）解分式方程：
(1)
(2)
19．（2023春·江苏无锡·八年级校联考期中）先化简：，然后从0，2，2023中选择一个合适的数代入求值．
20．（2023·安徽蚌埠·统考二模）某公司为迎接哈洽会请甲乙两个广告公司布置展厅，若两公司合作天就可以完成任务，若甲公司先做天，剩余部分再由两公司合做，还需天才能完成任务．
(1)甲公司与乙公司单独完成这项任务各需多少天？
(2)甲公司每天所有费用为万元，乙公司每天所有费用为万元，要使这项工作的总费用不超过万元，则甲公司至多工作多少天？
21．（2023春·江苏·八年级期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，，则和都是“和谐分式”．
(1)下列式子中，属于“和谐分式”的是______(填序号)；
①；②；③；④
(2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：=______；
(3)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数．
22．（2023春·上海·八年级专题练习）杭州丝绸历史悠久，质地轻软，色彩绮丽，早在汉代，就已通过“丝绸之路”远销国外．小汪在网上开设杭州丝绸专卖店，专卖丝巾、旗袍等，发现一张进货单上的一个信息是：款丝巾的进货单价比款丝巾多40元，花960元购进款丝巾的数量与花720元购进款丝巾的数量相同．
(1)问，款丝巾的进货单价分别是多少元？
(2)小汪在销售单上记录了两天的数据，如下表所示：
问：两款丝巾的销售单价分别是多少？
(3)根据（1）（2）所给的信息，小汪要花费1400元购进，两款丝巾若干条，问：有哪几种进货方案？根据计算说明哪种进货方案的总利润最高．
23．（2023春·江苏扬州·八年级校联考期中）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可以化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． ，这样的分式就是假分式；再如：这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：；
解决下列问题：
(1)分式 是________________（填“真分式”或“假分式”）；
(2)将假分式化为整式与真分式的和的形式： =____________；
(3)若假分式的值为正整数，则整数的值为________________；
(4)将假分式化为带分式（写出完整过程）．
24．（2023春·八年级单元测试）如果两个分式M与N的和为常数k，且k正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如分式，，，则M与N互为“和整分式”，“和整值”．
(1)已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k；
(2)已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”，若x为正整数，分式D的值为正整数t．
①求G所代表的代数式；
②求x的值；
(3)在（2）的条件下，已知分式，，且，若该关于x的方程无解，求实数m的值．
日期
款丝巾（条）
款丝巾（条）
销售总额（元）
12月10日
4
6
2160
12月11日
6
8
3040
第5章 分式 章末重难点检测卷
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共24题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分。每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,不选、多选、错选均不得分)
1．（2023春·江苏无锡·八年级校联考期中）下列各式中，属于分式的是（ ）
A．+3B．C．D．
【答案】D
【分析】根据分式的定义逐项分析即可．
【详解】解：A．分母中不含有字母，不是分式，故本选项不符合题意；
B．分母中不含有字母，不是分式，故本选项不符合题意；
C．分母中不含有字母，不是分式，故本选项不符合题意；
D．分母中含有字母，是分式，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查分式的定义，熟练掌握分式的定义是解答本题的关键．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．注意π不是字母，是常数，所以分母中含π的代数式不是分式，是整式．
2．（2023春·江苏盐城·八年级统考期中）要使分式有意义，则x的取值范围是 （ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据分式有意义的条件，列出不等式求解即可．
【详解】解：要使分式有意义，则，
解得，
故选：C．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，解题关键是明确分式有意义的条件是分母不为0．
3．（2023年天津市滨海新区中考一模数学试题）计算的结果为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【分析】根据分式加减运算法则进行计算即可．
【详解】解：，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了分式加减运算，解题的关键是熟练掌握分式加减运算法则，准确计算．
4．（2023·河南信阳·统考一模）纳米是一种长度单位，它用来表示微小的长度，纳米为十亿分之一米，即米．一种新型病毒，长度仅纳米左右（约为人类头发直径的百分之一），“纳米”用科学记数法表示为（ ）
A．米B．米C．米D．米
【答案】A
【分析】绝对值小于的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
【详解】解：纳米米，
纳米米米．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
5．（2023·福建福州·福建省福州延安中学校考二模）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分100元钱，每人分得若干，若再加上5人，平分150元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第二次分钱的人数．设第二次分钱的人数为x人，则可列方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设第二次分钱的人数为人，则第一次分钱的人数为人，根据两次每人分得的钱数相同，即可得出关于的分式方程，此题得解．
【详解】解：设第二次分钱的人数为人，则第一次分钱的人数为人，
依题意得：．
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
6．（2023春·江苏宿迁·七年级统考期中）把下列各数代入中，等式成立的有（ ），①；②；③；④；⑤．
A．①②③B．②③④C．①②⑤D．①④⑤
【答案】D
【分析】分（n是正整数），（n是偶数），计算即可．
【详解】解：当（n是正整数）时，，
解得，
故①正确；
当（n是偶数）时，，
解得，
此时，符合题意，
故④正确；
当时，，
解得，
此时，符合题意，
故⑤正确；
故选D．
【点睛】本题考查了幂运算，零指数幂的运算，熟练掌握运算的法则是解题的关键．
7．（2023春·江苏·八年级专题练习）关于的方程有增根，则的值是（ ）
A．3B．0或3C．7D．
【答案】D
【分析】先去分母，再将增根代入，求解即可．
【详解】解：
去分母，得，
∵关于x的方程有增根，
∴，
解得，
故选：D．
【点睛】本题考查了分式方程的增根，熟练掌握分式方程的增根是解题的关键．
8．（2023春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）定义运算“”：．如果，那么a的值为（ ）
A．6B．9C．或9D．6或
【答案】D
【分析】分和，两种情况进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：
当时，，
解得：；经检验，是分式方程的解；
当时，，
解得：；经检验，是分式方程的解；
综上，a的值为6或；
故选D．
【点睛】本题考查定义新运算．理解并掌握新运算的规则，是解题的关键．
9．（2023春·重庆·九年级重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知关于的不等式组的解集是，关于的分式方程的解为非负数，则所有符合条件的整数的和为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先解出不等式组，根据解集为：，确定的取值范围，根据分式方程中且，求出的取值，即可．
【详解】解：，
解不等式，得，，解得：，
解不等式，得，，解得：，
∵不等式组的解集为：，
∴，
解得：，
∵的解为非负数，
∴，
∴且，
解得：且，
∴的取值范围为：且，
∴满足的整数为：，，，，，，，，
∴所有符合条件的整数的和为：．
故选：B．
【点睛】本题考查含参的一元一次不等式组和含参的分式方程的解，解题的关键是注意含参的不等式的解法和分式方程的解法．
10．（2023春·重庆万州·九年级重庆市万州第一中学校联考期中）已知两个分式：，：将这两个分式进行如下操作：
第一次操作：将这两个分式相乘，结果记为；相除，结果记为；
（即，）
第二次操作：将，相乘，结果记为；相除，结果记为；
（即，）
第三次操作：将，相乘，结果记为；相除，结果记为；
（即，）…（依此类推）
将每一次操作的结果再相乘，相除，继续依次操作下去，通过实际操作，有以下结论：
①； ②若，则；
③在第2n（n为正整数）次操作的结果中：，
④当时，一定成立（n为正整数）．
⑤在第n（n为正整数）次和第次操作的结果中：为定值；
以上结论正确的个数有（ ）个．
A．5B．4C．3D．2
【答案】C
【分析】利用第一次、第二次、第三次操作，据此找到规律，然后逐项判断即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴
……
，
，
由,即①正确；
由，则，即，故②错误；
由，，故③正确；
由当时，，故④正确；
由，可知不是定值，故⑤错误．
故选C．
【点睛】本题主要考查的分式乘和除法，掌握分式的运算法则、找到运算结果的变化规律是解题的关键．
二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分)
11．（2023春·广东广州·九年级华南师大附中校考阶段练习）分式方程的解是___________．
【答案】
【分析】根据分式方程的求解方法计算即可．
【详解】
，
经经验，是原方程的根，
即：．
【点睛】本题考查了解分式方程的知识，掌握求解分式方程的方法是解答本题的关键．解分式方程时，记得对所求的根进行检验．
12．（2023春·广东深圳·八年级统考期中）若分式的值为0，则_______．
【答案】
【分析】根据分式值为0的条件进行求解即可．
【详解】解：∵分式的值为0，
∴ ，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分式值为0的条件，熟知分式值为0的条件是分子为0分母不为0是解题的关键．
13．（2023·江西南昌·统考一模）为陶冶孩子情操，磨炼孩子意志，某父母鼓励自己的两个孩子利用寒假时间练好中国字，哥哥寒假要写8000字，弟弟寒假要写6000字，哥哥每天比弟弟多写100字，哥哥和弟弟完成各自任务的天数相同，设哥哥每天写x字，则可列方程为_______________．
【答案】
【分析】设哥哥每天写x字，可得弟弟每天写字，根据哥哥寒假要写8000字，弟弟寒假要写6000字，哥哥和弟弟完成各自任务的天数相同，列分式方程即可．
【详解】设哥哥每天写x字，可得弟弟每天写字，由题意得
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了列分式方程解决实际问题，熟练掌握知识点，找出等量关系是解题的关键．
14．（2023·山东烟台·统考一模）对于正数，规定，例如，则的值是______．
【答案】//
【分析】根据已知规定，可得，进而可以解决问题．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，分式的加减计算，正确理解题意得到是解题的关键．
15．（2023春·江苏南京·八年级南京外国语学校校考期中）若关于x的方程无解，则m的值是______.
【答案】1或3/3或1
【分析】将分式方程化为整式方程，可得，根据分式方程无解，可得，或，分情况求解即可．
【详解】解：，
去分母，得，
解得，
方程无解，
，或，
当时，，
解得；
当时，，
即m的值为1或3，
故答案为：1或3．
【点睛】本题主要考查了根据分式方程无解求参数的值，解题的关键是掌握分式方程无解的条件：去分母后所得整式方程无解或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于零．
16．（2022·福建·九年级统考竞赛）若正数a，b，c满足abc1，，则______．
【答案】
【分析】计算，然后整体代入求解即可；或者把已知条件组成方程组，解方程组求出，，代入计算即可．
【详解】解：解法一：因为
所以，
解得．
故答案为：．
解法二：由，得，
因此，．
由此可得，．
所以
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的运算，解题关键是熟练运用分式运算法则进行计算，注意运用整体思想求解．
三、解答题(本大题共7小题,共66分)
17．（2023春·江苏无锡·八年级校联考期中）计算：
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据同分母的分式相加减的法则即可求出答案；
（2）先通分，再根据同分母的分式相加减算括号里面的，再将除法转化为乘法，进行化简约分即可解答．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题主要考查了分式的加减，分式的四则混合运算，同分母分式可直接相加减，异分母分式要先通分再进行加减，熟练掌握分式的四则混合运算法则是解题的关键．
18．（2023秋·四川绵阳·八年级统考期末）解分式方程：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）方程两边同时乘以，化为整式方程，解方程即可求解；
（2）方程两边同时乘以，化为整式方程，解方程即可求解；
【详解】（1）解：
方程两边同时乘以，
得：，
解得．
检验：把代入，
是原方程的解．
（2）解：，
方程两边同时乘以，得
，
解得：，
检验：把代入，
∴是原方程的解．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
19．（2023春·江苏无锡·八年级校联考期中）先化简：，然后从0，2，2023中选择一个合适的数代入求值．
【答案】，
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的的值代入进行计算即可．
【详解】解：
，
当，时，原式没有意义，
当时，．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
20．（2023·安徽蚌埠·统考二模）某公司为迎接哈洽会请甲乙两个广告公司布置展厅，若两公司合作天就可以完成任务，若甲公司先做天，剩余部分再由两公司合做，还需天才能完成任务．
(1)甲公司与乙公司单独完成这项任务各需多少天？
(2)甲公司每天所有费用为万元，乙公司每天所有费用为万元，要使这项工作的总费用不超过万元，则甲公司至多工作多少天？
【答案】(1)甲公司单独完成这项任务需天，乙公司单独完成这项任务需天
(2)甲公司至多工作天
【分析】设甲公司单独完成此项工程天，乙公司天，利用若甲公司先做天，剩余部分再由甲、乙两公司合作，还需要天才能完成，设总工作量为，得出等式方程，求出即可；
设甲公司施工天，利用中所求数据得出甲乙两公司每人一天完成的工作量，进而得出不等式求出即可．
【详解】（1）设甲公司单独完成此项工程天，由题意得
解得：
经检验是原方程的解，
则
答：甲公司单独完成这项任务需天，乙公司单独完成这项任务需天．
（2）设甲公司施工天，由题意得
解得：，
答：甲公司至多工作天．
【点睛】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系和不等关系，列方程求解．
21．（2023春·江苏·八年级期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，，则和都是“和谐分式”．
(1)下列式子中，属于“和谐分式”的是______(填序号)；
①；②；③；④
(2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：=______；
(3)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数．
【答案】(1)①③④
(2)
(3)时，该式的值为整数
【分析】（1）根据分式的性质，化简，结合“和谐分式”的定义即可求解；
（2）根据“和谐分式”的定义，将已知等式化简即可求解．
（3）根据“和谐分式”的定义，结合分式的混合运算进行化简，然后根据整除求得的值，根据分式有意义的条件取舍的值，即可求解．
【详解】（1）①，是和谐分式；
②，不是分式，不是和谐分式；
③，是和谐分式；
④，是和谐分式；
故答案为：①③④．
（2）解：；
故答案为：．
（3）解：
，
当或时，分式的值为整数，
此时或或或，
又分式有意义时、、、，
．
【点睛】本题考查了分式混合运算，分式的性质，熟练掌握分式的性质以及分式有意义的条件是解题的关键．
22．（2023春·上海·八年级专题练习）杭州丝绸历史悠久，质地轻软，色彩绮丽，早在汉代，就已通过“丝绸之路”远销国外．小汪在网上开设杭州丝绸专卖店，专卖丝巾、旗袍等，发现一张进货单上的一个信息是：款丝巾的进货单价比款丝巾多40元，花960元购进款丝巾的数量与花720元购进款丝巾的数量相同．
(1)问，款丝巾的进货单价分别是多少元？
(2)小汪在销售单上记录了两天的数据，如下表所示：
问：两款丝巾的销售单价分别是多少？
(3)根据（1）（2）所给的信息，小汪要花费1400元购进，两款丝巾若干条，问：有哪几种进货方案？根据计算说明哪种进货方案的总利润最高．
【答案】(1)款丝巾的进货单价是160元，则款丝巾的进货单价是120元
(2)款丝巾的销售单价是240元，则款丝巾的进货单价是200元
(3)有三种进货方案，方案一：购进款丝巾2条，购进款丝巾9条；方案二：购进款丝巾5条，购进款丝巾5条；方案三：购进款丝巾8条，购进款丝巾1条．选择方案一利润最高．
【分析】（1）设款丝巾的进货单价是元，则款丝巾的进货单价是元，根据题意列出分式方程，求解即可获得答案；
（2）设款丝巾的销售单价是元，则款丝巾的进货单价是元，根据题意列出方程组并求解即可；
（3）设购进款丝巾条，购进款丝巾条，根据题意可列出方程，由均为正整数，确定的值，得到进货方案，再分别求出总利润，比较即可确定答案．
【详解】（1）解：设款丝巾的进货单价是元，则款丝巾的进货单价是元，
根据题意，可得，
解得，
经检验，是该方程的解，
∴，
∴款丝巾的进货单价是160元，则款丝巾的进货单价是120元；
（2）设款丝巾的销售单价是元，则款丝巾的进货单价是元，
根据题意，可得，
解得，
∴款丝巾的销售单价是240元，则款丝巾的进货单价是200元；
（3）设购进款丝巾条，购进款丝巾条，
根据题意，可得 ，
整理，可得，
∴，
∵均为正整数，
∴；；，
即有三种进货方案：
方案一：购进款丝巾2条，购进款丝巾9条，
则利润为：元；
方案二：购进款丝巾5条，购进款丝巾5条，
则利润为：元；
方案三：购进款丝巾8条，购进款丝巾1条，
则利润为：元；
综上所述，选择方案一利润最高．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用、二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，读懂题意，找到等量关系是解题关键．
23．（2023春·江苏扬州·八年级校联考期中）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可以化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． ，这样的分式就是假分式；再如：这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：；
解决下列问题：
(1)分式 是________________（填“真分式”或“假分式”）；
(2)将假分式化为整式与真分式的和的形式： =____________；
(3)若假分式的值为正整数，则整数的值为________________；
(4)将假分式化为带分式（写出完整过程）．
【答案】(1)真分式
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据定义即可求出答案；
（2）根据定义进行化简即可得到答案；
（3）根据题意列出方程即可求出的值；
（4）先化为，在计算即可．
【详解】（1）解：由题意得：
分式 是真分式，
故答案为：真分式；
（2）解：根据题意可得：
，
故答案为：；
（3）解：由（2）可得：，
当为正整数时，
或，
，
故答案为：；
（4）解：根据题意可得：
．
【点睛】本题主要考查分式和新定义问题，解题的关键是正确理解新定义以及分式的运算，本题属于中等题型．
24．（2023春·八年级单元测试）如果两个分式M与N的和为常数k，且k正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如分式，，，则M与N互为“和整分式”，“和整值”．
(1)已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k；
(2)已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”，若x为正整数，分式D的值为正整数t．
①求G所代表的代数式；
②求x的值；
(3)在（2）的条件下，已知分式，，且，若该关于x的方程无解，求实数m的值．
【答案】(1)A与B是互为“和整分式”， “和整值”；
(2)①；②
(3)的值为：或．
【分析】（1）先计算，再根据结果可得结果；
（2）①先求解，结合新定义可得，从而可得答案；②由，且分式D的值为正整数t．x为正整数，可得或，从而可得答案；
（3）由题意可得：，可得，整理得：，由方程无解，可得或方程有增根，再分两种情况求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴
．
∴A与B是互为“和整分式”， “和整值”；
（2）①∵，，
∴
∵C与D互为“和整分式”，且“和整值”，
∴，
∴；
②∵，且分式D的值为正整数t．x为正整数，
∴或，
∴（舍去）；
（3）由题意可得：，
∴，
∴，
∴，
整理得：，
∵方程无解，
∴或方程有增根，
解得：，
当，方程有增根，
∴，
解得：，
综上：的值为：或．
【点睛】本题考查的是新定义运算的理解，分式的加减运算，分式方程的解法，分式方程无解问题，理解题意是解本题的关键．
日期
款丝巾（条）
款丝巾（条）
销售总额（元）
12月10日
4
6
2160
12月11日
6
8
3040
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分。每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,不选、多选、错选均不得分)
1．（2023春·江苏无锡·八年级校联考期中）下列各式中，属于分式的是（ ）
A．+3B．C．D．
2．（2023春·江苏盐城·八年级统考期中）要使分式有意义，则x的取值范围是 （ ）
A．B．C．D．
3．（2023年天津市滨海新区中考一模数学试题）计算的结果为（ ）
A．1B．C．D．
4．（2023·河南信阳·统考一模）纳米是一种长度单位，它用来表示微小的长度，纳米为十亿分之一米，即米．一种新型病毒，长度仅纳米左右（约为人类头发直径的百分之一），“纳米”用科学记数法表示为（ ）
A．米B．米C．米D．米
5．（2023·福建福州·福建省福州延安中学校考二模）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分100元钱，每人分得若干，若再加上5人，平分150元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第二次分钱的人数．设第二次分钱的人数为x人，则可列方程为（ ）
A．B．C．D．
6．（2023春·江苏宿迁·七年级统考期中）把下列各数代入中，等式成立的有（ ），①；②；③；④；⑤．
A．①②③B．②③④C．①②⑤D．①④⑤
7．（2023春·江苏·八年级专题练习）关于的方程有增根，则的值是（ ）
A．3B．0或3C．7D．
8．（2023春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）定义运算“”：．如果，那么a的值为（ ）
A．6B．9C．或9D．6或
9．（2023春·重庆·九年级重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知关于的不等式组的解集是，关于的分式方程的解为非负数，则所有符合条件的整数的和为（ ）．
A．B．C．D．
10．（2023春·重庆万州·九年级重庆市万州第一中学校联考期中）已知两个分式：，：将这两个分式进行如下操作：
第一次操作：将这两个分式相乘，结果记为；相除，结果记为；
（即，）
第二次操作：将，相乘，结果记为；相除，结果记为；
（即，）
第三次操作：将，相乘，结果记为；相除，结果记为；
（即，）…（依此类推）
将每一次操作的结果再相乘，相除，继续依次操作下去，通过实际操作，有以下结论：
①； ②若，则；
③在第2n（n为正整数）次操作的结果中：，
④当时，一定成立（n为正整数）．
⑤在第n（n为正整数）次和第次操作的结果中：为定值；
以上结论正确的个数有（ ）个．
A．5B．4C．3D．2
二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分)
11．（2023春·广东广州·九年级华南师大附中校考阶段练习）分式方程的解是___________．
12．（2023春·广东深圳·八年级统考期中）若分式的值为0，则_______．
13．（2023·江西南昌·统考一模）为陶冶孩子情操，磨炼孩子意志，某父母鼓励自己的两个孩子利用寒假时间练好中国字，哥哥寒假要写8000字，弟弟寒假要写6000字，哥哥每天比弟弟多写100字，哥哥和弟弟完成各自任务的天数相同，设哥哥每天写x字，则可列方程为_______________．
14．（2023·山东烟台·统考一模）对于正数，规定，例如，则的值是______．
15．（2023春·江苏南京·八年级南京外国语学校校考期中）若关于x的方程无解，则m的值是______.
16．（2022·福建·九年级统考竞赛）若正数a，b，c满足abc1，，则______．
三、解答题(本大题共7小题,共66分)
17．（2023春·江苏无锡·八年级校联考期中）计算：
(1)；
(2)
18．（2023秋·四川绵阳·八年级统考期末）解分式方程：
(1)
(2)
19．（2023春·江苏无锡·八年级校联考期中）先化简：，然后从0，2，2023中选择一个合适的数代入求值．
20．（2023·安徽蚌埠·统考二模）某公司为迎接哈洽会请甲乙两个广告公司布置展厅，若两公司合作天就可以完成任务，若甲公司先做天，剩余部分再由两公司合做，还需天才能完成任务．
(1)甲公司与乙公司单独完成这项任务各需多少天？
(2)甲公司每天所有费用为万元，乙公司每天所有费用为万元，要使这项工作的总费用不超过万元，则甲公司至多工作多少天？
21．（2023春·江苏·八年级期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，，则和都是“和谐分式”．
(1)下列式子中，属于“和谐分式”的是______(填序号)；
①；②；③；④
(2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：=______；
(3)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数．
22．（2023春·上海·八年级专题练习）杭州丝绸历史悠久，质地轻软，色彩绮丽，早在汉代，就已通过“丝绸之路”远销国外．小汪在网上开设杭州丝绸专卖店，专卖丝巾、旗袍等，发现一张进货单上的一个信息是：款丝巾的进货单价比款丝巾多40元，花960元购进款丝巾的数量与花720元购进款丝巾的数量相同．
(1)问，款丝巾的进货单价分别是多少元？
(2)小汪在销售单上记录了两天的数据，如下表所示：
问：两款丝巾的销售单价分别是多少？
(3)根据（1）（2）所给的信息，小汪要花费1400元购进，两款丝巾若干条，问：有哪几种进货方案？根据计算说明哪种进货方案的总利润最高．
23．（2023春·江苏扬州·八年级校联考期中）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可以化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． ，这样的分式就是假分式；再如：这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：；
解决下列问题：
(1)分式 是________________（填“真分式”或“假分式”）；
(2)将假分式化为整式与真分式的和的形式： =____________；
(3)若假分式的值为正整数，则整数的值为________________；
(4)将假分式化为带分式（写出完整过程）．
24．（2023春·八年级单元测试）如果两个分式M与N的和为常数k，且k正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如分式，，，则M与N互为“和整分式”，“和整值”．
(1)已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k；
(2)已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”，若x为正整数，分式D的值为正整数t．
①求G所代表的代数式；
②求x的值；
(3)在（2）的条件下，已知分式，，且，若该关于x的方程无解，求实数m的值．
日期
款丝巾（条）
款丝巾（条）
销售总额（元）
12月10日
4
6
2160
12月11日
6
8
3040
第5章 分式 章末重难点检测卷
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共24题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分。每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,不选、多选、错选均不得分)
1．（2023春·江苏无锡·八年级校联考期中）下列各式中，属于分式的是（ ）
A．+3B．C．D．
【答案】D
【分析】根据分式的定义逐项分析即可．
【详解】解：A．分母中不含有字母，不是分式，故本选项不符合题意；
B．分母中不含有字母，不是分式，故本选项不符合题意；
C．分母中不含有字母，不是分式，故本选项不符合题意；
D．分母中含有字母，是分式，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查分式的定义，熟练掌握分式的定义是解答本题的关键．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．注意π不是字母，是常数，所以分母中含π的代数式不是分式，是整式．
2．（2023春·江苏盐城·八年级统考期中）要使分式有意义，则x的取值范围是 （ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据分式有意义的条件，列出不等式求解即可．
【详解】解：要使分式有意义，则，
解得，
故选：C．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，解题关键是明确分式有意义的条件是分母不为0．
3．（2023年天津市滨海新区中考一模数学试题）计算的结果为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【分析】根据分式加减运算法则进行计算即可．
【详解】解：，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了分式加减运算，解题的关键是熟练掌握分式加减运算法则，准确计算．
4．（2023·河南信阳·统考一模）纳米是一种长度单位，它用来表示微小的长度，纳米为十亿分之一米，即米．一种新型病毒，长度仅纳米左右（约为人类头发直径的百分之一），“纳米”用科学记数法表示为（ ）
A．米B．米C．米D．米
【答案】A
【分析】绝对值小于的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
【详解】解：纳米米，
纳米米米．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
5．（2023·福建福州·福建省福州延安中学校考二模）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分100元钱，每人分得若干，若再加上5人，平分150元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第二次分钱的人数．设第二次分钱的人数为x人，则可列方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设第二次分钱的人数为人，则第一次分钱的人数为人，根据两次每人分得的钱数相同，即可得出关于的分式方程，此题得解．
【详解】解：设第二次分钱的人数为人，则第一次分钱的人数为人，
依题意得：．
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
6．（2023春·江苏宿迁·七年级统考期中）把下列各数代入中，等式成立的有（ ），①；②；③；④；⑤．
A．①②③B．②③④C．①②⑤D．①④⑤
【答案】D
【分析】分（n是正整数），（n是偶数），计算即可．
【详解】解：当（n是正整数）时，，
解得，
故①正确；
当（n是偶数）时，，
解得，
此时，符合题意，
故④正确；
当时，，
解得，
此时，符合题意，
故⑤正确；
故选D．
【点睛】本题考查了幂运算，零指数幂的运算，熟练掌握运算的法则是解题的关键．
7．（2023春·江苏·八年级专题练习）关于的方程有增根，则的值是（ ）
A．3B．0或3C．7D．
【答案】D
【分析】先去分母，再将增根代入，求解即可．
【详解】解：
去分母，得，
∵关于x的方程有增根，
∴，
解得，
故选：D．
【点睛】本题考查了分式方程的增根，熟练掌握分式方程的增根是解题的关键．
8．（2023春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）定义运算“”：．如果，那么a的值为（ ）
A．6B．9C．或9D．6或
【答案】D
【分析】分和，两种情况进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：
当时，，
解得：；经检验，是分式方程的解；
当时，，
解得：；经检验，是分式方程的解；
综上，a的值为6或；
故选D．
【点睛】本题考查定义新运算．理解并掌握新运算的规则，是解题的关键．
9．（2023春·重庆·九年级重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知关于的不等式组的解集是，关于的分式方程的解为非负数，则所有符合条件的整数的和为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先解出不等式组，根据解集为：，确定的取值范围，根据分式方程中且，求出的取值，即可．
【详解】解：，
解不等式，得，，解得：，
解不等式，得，，解得：，
∵不等式组的解集为：，
∴，
解得：，
∵的解为非负数，
∴，
∴且，
解得：且，
∴的取值范围为：且，
∴满足的整数为：，，，，，，，，
∴所有符合条件的整数的和为：．
故选：B．
【点睛】本题考查含参的一元一次不等式组和含参的分式方程的解，解题的关键是注意含参的不等式的解法和分式方程的解法．
10．（2023春·重庆万州·九年级重庆市万州第一中学校联考期中）已知两个分式：，：将这两个分式进行如下操作：
第一次操作：将这两个分式相乘，结果记为；相除，结果记为；
（即，）
第二次操作：将，相乘，结果记为；相除，结果记为；
（即，）
第三次操作：将，相乘，结果记为；相除，结果记为；
（即，）…（依此类推）
将每一次操作的结果再相乘，相除，继续依次操作下去，通过实际操作，有以下结论：
①； ②若，则；
③在第2n（n为正整数）次操作的结果中：，
④当时，一定成立（n为正整数）．
⑤在第n（n为正整数）次和第次操作的结果中：为定值；
以上结论正确的个数有（ ）个．
A．5B．4C．3D．2
【答案】C
【分析】利用第一次、第二次、第三次操作，据此找到规律，然后逐项判断即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴
……
，
，
由,即①正确；
由，则，即，故②错误；
由，，故③正确；
由当时，，故④正确；
由，可知不是定值，故⑤错误．
故选C．
【点睛】本题主要考查的分式乘和除法，掌握分式的运算法则、找到运算结果的变化规律是解题的关键．
二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分)
11．（2023春·广东广州·九年级华南师大附中校考阶段练习）分式方程的解是___________．
【答案】
【分析】根据分式方程的求解方法计算即可．
【详解】
，
经经验，是原方程的根，
即：．
【点睛】本题考查了解分式方程的知识，掌握求解分式方程的方法是解答本题的关键．解分式方程时，记得对所求的根进行检验．
12．（2023春·广东深圳·八年级统考期中）若分式的值为0，则_______．
【答案】
【分析】根据分式值为0的条件进行求解即可．
【详解】解：∵分式的值为0，
∴ ，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分式值为0的条件，熟知分式值为0的条件是分子为0分母不为0是解题的关键．
13．（2023·江西南昌·统考一模）为陶冶孩子情操，磨炼孩子意志，某父母鼓励自己的两个孩子利用寒假时间练好中国字，哥哥寒假要写8000字，弟弟寒假要写6000字，哥哥每天比弟弟多写100字，哥哥和弟弟完成各自任务的天数相同，设哥哥每天写x字，则可列方程为_______________．
【答案】
【分析】设哥哥每天写x字，可得弟弟每天写字，根据哥哥寒假要写8000字，弟弟寒假要写6000字，哥哥和弟弟完成各自任务的天数相同，列分式方程即可．
【详解】设哥哥每天写x字，可得弟弟每天写字，由题意得
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了列分式方程解决实际问题，熟练掌握知识点，找出等量关系是解题的关键．
14．（2023·山东烟台·统考一模）对于正数，规定，例如，则的值是______．
【答案】//
【分析】根据已知规定，可得，进而可以解决问题．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，分式的加减计算，正确理解题意得到是解题的关键．
15．（2023春·江苏南京·八年级南京外国语学校校考期中）若关于x的方程无解，则m的值是______.
【答案】1或3/3或1
【分析】将分式方程化为整式方程，可得，根据分式方程无解，可得，或，分情况求解即可．
【详解】解：，
去分母，得，
解得，
方程无解，
，或，
当时，，
解得；
当时，，
即m的值为1或3，
故答案为：1或3．
【点睛】本题主要考查了根据分式方程无解求参数的值，解题的关键是掌握分式方程无解的条件：去分母后所得整式方程无解或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于零．
16．（2022·福建·九年级统考竞赛）若正数a，b，c满足abc1，，则______．
【答案】
【分析】计算，然后整体代入求解即可；或者把已知条件组成方程组，解方程组求出，，代入计算即可．
【详解】解：解法一：因为
所以，
解得．
故答案为：．
解法二：由，得，
因此，．
由此可得，．
所以
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的运算，解题关键是熟练运用分式运算法则进行计算，注意运用整体思想求解．
三、解答题(本大题共7小题,共66分)
17．（2023春·江苏无锡·八年级校联考期中）计算：
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据同分母的分式相加减的法则即可求出答案；
（2）先通分，再根据同分母的分式相加减算括号里面的，再将除法转化为乘法，进行化简约分即可解答．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题主要考查了分式的加减，分式的四则混合运算，同分母分式可直接相加减，异分母分式要先通分再进行加减，熟练掌握分式的四则混合运算法则是解题的关键．
18．（2023秋·四川绵阳·八年级统考期末）解分式方程：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）方程两边同时乘以，化为整式方程，解方程即可求解；
（2）方程两边同时乘以，化为整式方程，解方程即可求解；
【详解】（1）解：
方程两边同时乘以，
得：，
解得．
检验：把代入，
是原方程的解．
（2）解：，
方程两边同时乘以，得
，
解得：，
检验：把代入，
∴是原方程的解．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
19．（2023春·江苏无锡·八年级校联考期中）先化简：，然后从0，2，2023中选择一个合适的数代入求值．
【答案】，
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的的值代入进行计算即可．
【详解】解：
，
当，时，原式没有意义，
当时，．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
20．（2023·安徽蚌埠·统考二模）某公司为迎接哈洽会请甲乙两个广告公司布置展厅，若两公司合作天就可以完成任务，若甲公司先做天，剩余部分再由两公司合做，还需天才能完成任务．
(1)甲公司与乙公司单独完成这项任务各需多少天？
(2)甲公司每天所有费用为万元，乙公司每天所有费用为万元，要使这项工作的总费用不超过万元，则甲公司至多工作多少天？
【答案】(1)甲公司单独完成这项任务需天，乙公司单独完成这项任务需天
(2)甲公司至多工作天
【分析】设甲公司单独完成此项工程天，乙公司天，利用若甲公司先做天，剩余部分再由甲、乙两公司合作，还需要天才能完成，设总工作量为，得出等式方程，求出即可；
设甲公司施工天，利用中所求数据得出甲乙两公司每人一天完成的工作量，进而得出不等式求出即可．
【详解】（1）设甲公司单独完成此项工程天，由题意得
解得：
经检验是原方程的解，
则
答：甲公司单独完成这项任务需天，乙公司单独完成这项任务需天．
（2）设甲公司施工天，由题意得
解得：，
答：甲公司至多工作天．
【点睛】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系和不等关系，列方程求解．
21．（2023春·江苏·八年级期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，，则和都是“和谐分式”．
(1)下列式子中，属于“和谐分式”的是______(填序号)；
①；②；③；④
(2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：=______；
(3)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数．
【答案】(1)①③④
(2)
(3)时，该式的值为整数
【分析】（1）根据分式的性质，化简，结合“和谐分式”的定义即可求解；
（2）根据“和谐分式”的定义，将已知等式化简即可求解．
（3）根据“和谐分式”的定义，结合分式的混合运算进行化简，然后根据整除求得的值，根据分式有意义的条件取舍的值，即可求解．
【详解】（1）①，是和谐分式；
②，不是分式，不是和谐分式；
③，是和谐分式；
④，是和谐分式；
故答案为：①③④．
（2）解：；
故答案为：．
（3）解：
，
当或时，分式的值为整数，
此时或或或，
又分式有意义时、、、，
．
【点睛】本题考查了分式混合运算，分式的性质，熟练掌握分式的性质以及分式有意义的条件是解题的关键．
22．（2023春·上海·八年级专题练习）杭州丝绸历史悠久，质地轻软，色彩绮丽，早在汉代，就已通过“丝绸之路”远销国外．小汪在网上开设杭州丝绸专卖店，专卖丝巾、旗袍等，发现一张进货单上的一个信息是：款丝巾的进货单价比款丝巾多40元，花960元购进款丝巾的数量与花720元购进款丝巾的数量相同．
(1)问，款丝巾的进货单价分别是多少元？
(2)小汪在销售单上记录了两天的数据，如下表所示：
问：两款丝巾的销售单价分别是多少？
(3)根据（1）（2）所给的信息，小汪要花费1400元购进，两款丝巾若干条，问：有哪几种进货方案？根据计算说明哪种进货方案的总利润最高．
【答案】(1)款丝巾的进货单价是160元，则款丝巾的进货单价是120元
(2)款丝巾的销售单价是240元，则款丝巾的进货单价是200元
(3)有三种进货方案，方案一：购进款丝巾2条，购进款丝巾9条；方案二：购进款丝巾5条，购进款丝巾5条；方案三：购进款丝巾8条，购进款丝巾1条．选择方案一利润最高．
【分析】（1）设款丝巾的进货单价是元，则款丝巾的进货单价是元，根据题意列出分式方程，求解即可获得答案；
（2）设款丝巾的销售单价是元，则款丝巾的进货单价是元，根据题意列出方程组并求解即可；
（3）设购进款丝巾条，购进款丝巾条，根据题意可列出方程，由均为正整数，确定的值，得到进货方案，再分别求出总利润，比较即可确定答案．
【详解】（1）解：设款丝巾的进货单价是元，则款丝巾的进货单价是元，
根据题意，可得，
解得，
经检验，是该方程的解，
∴，
∴款丝巾的进货单价是160元，则款丝巾的进货单价是120元；
（2）设款丝巾的销售单价是元，则款丝巾的进货单价是元，
根据题意，可得，
解得，
∴款丝巾的销售单价是240元，则款丝巾的进货单价是200元；
（3）设购进款丝巾条，购进款丝巾条，
根据题意，可得 ，
整理，可得，
∴，
∵均为正整数，
∴；；，
即有三种进货方案：
方案一：购进款丝巾2条，购进款丝巾9条，
则利润为：元；
方案二：购进款丝巾5条，购进款丝巾5条，
则利润为：元；
方案三：购进款丝巾8条，购进款丝巾1条，
则利润为：元；
综上所述，选择方案一利润最高．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用、二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，读懂题意，找到等量关系是解题关键．
23．（2023春·江苏扬州·八年级校联考期中）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可以化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． ，这样的分式就是假分式；再如：这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：；
解决下列问题：
(1)分式 是________________（填“真分式”或“假分式”）；
(2)将假分式化为整式与真分式的和的形式： =____________；
(3)若假分式的值为正整数，则整数的值为________________；
(4)将假分式化为带分式（写出完整过程）．
【答案】(1)真分式
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据定义即可求出答案；
（2）根据定义进行化简即可得到答案；
（3）根据题意列出方程即可求出的值；
（4）先化为，在计算即可．
【详解】（1）解：由题意得：
分式 是真分式，
故答案为：真分式；
（2）解：根据题意可得：
，
故答案为：；
（3）解：由（2）可得：，
当为正整数时，
或，
，
故答案为：；
（4）解：根据题意可得：
．
【点睛】本题主要考查分式和新定义问题，解题的关键是正确理解新定义以及分式的运算，本题属于中等题型．
24．（2023春·八年级单元测试）如果两个分式M与N的和为常数k，且k正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如分式，，，则M与N互为“和整分式”，“和整值”．
(1)已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k；
(2)已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”，若x为正整数，分式D的值为正整数t．
①求G所代表的代数式；
②求x的值；
(3)在（2）的条件下，已知分式，，且，若该关于x的方程无解，求实数m的值．
【答案】(1)A与B是互为“和整分式”， “和整值”；
(2)①；②
(3)的值为：或．
【分析】（1）先计算，再根据结果可得结果；
（2）①先求解，结合新定义可得，从而可得答案；②由，且分式D的值为正整数t．x为正整数，可得或，从而可得答案；
（3）由题意可得：，可得，整理得：，由方程无解，可得或方程有增根，再分两种情况求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴
．
∴A与B是互为“和整分式”， “和整值”；
（2）①∵，，
∴
∵C与D互为“和整分式”，且“和整值”，
∴，
∴；
②∵，且分式D的值为正整数t．x为正整数，
∴或，
∴（舍去）；
（3）由题意可得：，
∴，
∴，
∴，
整理得：，
∵方程无解，
∴或方程有增根，
解得：，
当，方程有增根，
∴，
解得：，
综上：的值为：或．
【点睛】本题考查的是新定义运算的理解，分式的加减运算，分式方程的解法，分式方程无解问题，理解题意是解本题的关键．
日期
款丝巾（条）
款丝巾（条）
销售总额（元）
12月10日
4
6
2160
12月11日
6
8
3040
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