浙教版七年级下册5.2分式的基本性质复习练习题

这是一份浙教版七年级下册5.2分式的基本性质复习练习题，共45页。试卷主要包含了掌握分式的变形和分式值的变化；，掌握分值的基本性质；，掌握约分等内容，欢迎下载使用。
1、掌握分式的变形和分式值的变化；
2、掌握分值的基本性质；
3、掌握最简分式与最简公分母的概念；
4、掌握约分、通分的概念；
【知识点】
分式的性质
分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．用式子表示为
注意：
（1）分式的基本性质是分式变形的理论依据，所有分式变形都不得与此相违背，否则分式的值改变；
（2）将分式化简，即约分，要先找出分子、分母的公因式，如果分子、分母是多项式，要先将它们分别分解因式，然后再约分，约分应彻底；
（3）巧用分式的性质，可以解决某些较复杂的计算题，可应用逆向思维，把要求的算式和已知条件由两头向中间凑的方式来求代数式的值．
知识点01 判断分式变形是否正确
【典型例题】
例1．（2023春·江苏·八年级专题练习）下列分式从左到右变形错误的是（ ）
A．B．C．D．
例2．（2023春·江苏·八年级专题练习）在括号内填入适当的代数式，使下列等式成立：
_______;__________
例3．（2021秋·八年级课时练习）不改变分式的值，使下列分式的分子、分母都不含负号．
①；②；③；④．
【即学即练】
1．（2023春·江苏泰州·八年级统考期中）下列各式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023春·江苏·八年级专题练习）下列变形正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2021春·全国·八年级专题练习）已知，则________．
4．（2022秋·八年级课时练习）下列分式的变形中：①（c≠0）②＝，③ ④，错误的是_____．（填序号）
5．（2023春·江苏·八年级期中）“约去”指数：
如
你见过这样的约分吗？面对这荒谬的约分，一笑之后，再认真检验，发现其结果竟然正确！这是什么原因？仔细观察式子，我们可作如下猜想：，试说明此猜想的正确性.（供参考：）
知识点02 利用分式的基本性质判定分式值的变化
【典型例题】
例1．（2023春·浙江·七年级专题练习）下列说法错误的是（ ）
A．若式子有意义，则x的取值范围是或
B．分式中的x、y都扩大原来的2倍，那么分式的值不变
C．分式的值不可能等于0
D．若表示一个整数，则整数x可取值的个数是4个
例2．（2023春·江苏·八年级专题练习）若将分式与分式通分后，分式的分母变为，则分式的分子应变为________．
例3．（2023春·全国·八年级专题练习）一瓶质量为a千克的饮料中，如果含有b千克的糖，则我们就称分式为这种饮料的“甜度”．同学们知道，橙汁饮料是用橙的果肉加工而成的，如果平均每个橙含糖a千克，可榨橙汁n千克．
（1）用100个橙制成A种橙汁，用1000个橙制成B种橙汁，这两种橙汁的“甜度”有什么关系，为什么？
（2）若在（1）中的两种橙汁中都加入1千克的糖，加糖后的两种橙汁的甜度各是多少？哪一种更甜？
【即学即练】
1．（2023春·江苏宿迁·八年级统考期中）把分式，中a、b、c的值都扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ）
A．变为原来的2倍B．变为原来的4倍C．变为原来的D．不变
2．（2023春·江苏·八年级专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．代数式是分式B．分式中x，y都扩大3倍，分式的值不变
C．分式是最简分式D．分式的值为0，则x的值为
3．（2022春·辽宁沈阳·八年级统考期末）在___________上填上适当的整式：．
4．（2022秋·全国·八年级专题练习）若分式 的值为，则把的值均扩大为原来的倍后，这个分式的值为____．
5．（福建泉州·八年级统考期中）（1）计算并填数：
（2）观察上表，描述的值的变化情况．
（3）当非常大时，的值接近于什么数？
知识点03 最简分式与最简公分母
【典型例题】
例1．（2023春·江苏·八年级专题练习）下列各分式中是最简分式的是（ ）
A．B．C．D．
例2．（2023春·江苏·八年级期中）分式，，的最简公分母是 __.
例3．（2021春·八年级课时练习）（1）有两块棉田，第一块xhm2，收棉花mkg；第二块yhm2，收棉花nkg．这两块棉田平均每公顷的棉产量是多少？
（2）一件商品售价x元，利润率为a%（a＞0），则这种商品每件的成本是多少元？
【即学即练】
1．（2022秋·贵州遵义·八年级统考期末）下列各分式中，是最简分式的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校考阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．代数式是分式B．分式是最简分式
C．分式有意义D．分式中x，y都扩大3倍，分式的值不变
3．（2023春·江苏泰州·八年级统考期中）分式和的最简公分母是________．
4．（2021秋·广西南宁·八年级南宁二中校考期中）对分式和进行通分时的最简公分母为___________．
5．（2023春·江苏·八年级专题练习）把下列分式化为最简分式．
（1）；
（2）；
（3）．
知识点04 约分与通分
【典型例题】
例1．（2023春·江苏·八年级专题练习）化简的结果为（ ）
A．B．C．D．
例2．（2023·全国·九年级专题练习）将分式和进行通分时，分母可因式分解为_________，分母可因式分解为_________，因此最简公分母是_________．
例3．（2023春·八年级课时练习）约分：（1）；
通分：（2），．
【即学即练】
1．（2023春·江苏·八年级专题练习）化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·江苏·八年级期中）把，，通分的过程中，不正确的是（ ）
A．最简公分母是B．
C．D．
3．（2023春·江苏·八年级期中）约分：
（1）___________；
（2）___________；
（3）___________．
4．（2023春·江苏·八年级专题练习）定义新运算：a⊕b，若a⊕（﹣b）＝2，则的值是___．
5．（2023春·江苏·八年级期中）（1）约分：
（2）通分：与
题组A 基础过关练
1．（2023春·广东广州·九年级广州市第六十五中学校考阶段练习）计算，结果是（ ）.
A．B．C．D．
2．（2023春·江苏·八年级期中）分式，，，中，最简分式有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．（2023春·全国·八年级专题练习）如果把分式中、都扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ）
A．扩大2倍B．扩大4倍C．缩小2倍D．不变
4．（2023春·江苏无锡·八年级校考阶段练习）下列各式中，化简正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023春·江苏无锡·八年级校联考期中）分式，的最简公分母是_______．
6．（2023年河北省石家庄市中考一模数学试卷）化简：__________．
7．（2023春·江苏·八年级姜堰区实验初中校考周测）不改变分式的值，将分式的分子与分母的最高次项的系数化为正整数所得结果为____________．
8．（2023春·江苏无锡·八年级校联考期中）给出下列3个分式：①，②，③．其中是最简分式有______（填写出所有符合要求的分式的序号）．
9．（2023春·江苏·八年级期中）约分：
(1)；
(2)．
10．（2023春·江苏淮安·八年级校考期中）通分：
(1)与；
(2)与．
题组B 能力提升练
1．（2023春·江苏南京·八年级南京外国语学校校考期中）把分式中的m、n都扩大到原来的8倍，那么此分式的值（ ）
A．扩大到原来的8倍B．扩大到原来的4倍C．是原来的D．不变
2．（2022秋·辽宁铁岭·八年级校考期末）如果把分式中的和都扩大到原来的2倍，那么分式的值（ ）
A．扩大2倍B．缩小2倍C．缩小4倍D．扩大4倍
3．（2023春·江苏·八年级专题练习）若分式中的和都扩大到原来的倍，那么这个分式的值（ ）
A．扩大到原来的倍B．扩大到原来的倍
C．缩小为原来的D．不变
4．（2023春·河南周口·八年级统考阶段练习）如果分式中的a和b都扩大到原来的2倍，那么分式的值（ ）
A．不变B．缩小到原来的
C．扩大到原来的2倍D．扩大到原来的4倍
5．（2023春·江苏无锡·八年级无锡市天一实验学校校考期中）与的最简公分母为_________．
6．（2023秋·甘肃庆阳·八年级统考期末）约分：____________．
7．（2022秋·江西南昌·八年级南昌市第十九中学校考期末）约分：______；______；分式，，的最简公分母是______．
8．（2023秋·山东聊城·八年级校考期末）设，则_________
9．（2023春·江苏无锡·八年级校联考期中）约分：
(1)
(2)
10．（2023春·江苏·八年级期中）通分：
(1)，，；
(2)，，．
题组C 培优拔尖练
1．（2023春·江苏无锡·八年级统考期中）将分式中的x，y的值都变为原来的2倍，则该分式的值（ ）
A．变为原来的2倍B．变为原来的4倍C．不变D．变为原来的一半
2．（2023春·江苏·八年级专题练习）如果把分式中的x、y都扩大到原来的5倍，则分式的值（ ）
A．扩大到原来的25倍B．扩大到原来的5倍
C．不变D．缩小到原来的
3．（2023春·八年级课时练习）若，则A、B的值为（ ）．
A．A=3，B=﹣2B．A=2，B=3C．A=3，B=2D．A=﹣2，B=3
4．（2023春·浙江·七年级专题练习）的最简公分母是( )
A．B．C．D．
5．（2023春·江苏·八年级专题练习）化简：______．
6．（2022秋·八年级课时练习）利用分式的基本性质填空：．
7．（2023春·八年级课时练习）已知，则分式的值为_____．
8．（2021春·浙江金华·七年级义乌市绣湖中学教育集团校考阶段练习）如图，一个长宽高分别为，，的长方体纸箱装满了一层高为的圆柱形易拉罐，则纸箱空间的利用率=________．（易拉罐总体积与纸箱容积的比，结果精确到0.1%）
9．（2022秋·全国·八年级专题练习）化简下列分式
(1)
(2)
(3)
(4)
10．（2023春·江苏·八年级专题练习）著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．”
《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂；从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法．
阅读材料：在处理分数和分式的问题时，有时由于分子大于分母，或分子的次数高于分母的次数，在实际运算时难度较大，这时，我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（分式）的和（差）的形式，通过对它的简单分析来解决问题，我们称这种方法为分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效．将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行，如：＝＝x+＝x﹣1+，这样，分式就拆分成一个分式与一个整式x﹣1的和的形式．
根据以上阅读材料，解答下列问题：
(1)假分式可化为带分式_______形式；
(2)利用分离常数法，求分式的取值范围；
(3)若分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：5m﹣11+，则m2+n2+mn的最小值为________．
1
2
5
10
1000
10000
专题5.2 分式的基本性质
1、掌握分式的变形和分式值的变化；
2、掌握分值的基本性质；
3、掌握最简分式与最简公分母的概念；
4、掌握约分、通分的概念；
【知识点】
分式的性质
分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．用式子表示为
注意：
（1）分式的基本性质是分式变形的理论依据，所有分式变形都不得与此相违背，否则分式的值改变；
（2）将分式化简，即约分，要先找出分子、分母的公因式，如果分子、分母是多项式，要先将它们分别分解因式，然后再约分，约分应彻底；
（3）巧用分式的性质，可以解决某些较复杂的计算题，可应用逆向思维，把要求的算式和已知条件由两头向中间凑的方式来求代数式的值．
知识点01 判断分式变形是否正确
【典型例题】
例1．（2023春·江苏·八年级专题练习）下列分式从左到右变形错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据分式的基本性质进行计算即可解答．
【详解】解：A、，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质，分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变．
例2．（2023春·江苏·八年级专题练习）在括号内填入适当的代数式，使下列等式成立：
_______;__________
【答案】 4axy x＋y．
【分析】分式的变形的依据是分式的基本性质：在分式的分子、分母上同时乘以或除以同一个非0的数或整式，分式的值不变．要看题目中的空填的式子，就要看从前面的分式到后面的分式是如何变化的．
【详解】第一个式子：由xy变成2ax2y2，是乘以2axy，分子也应进行相同的变化，乘以2axy，则这个空中应填2×2axy＝4axy；
同理，第二个：分子除以x−y，则分母是：（x3−xy2）÷（x−y）＝x（x2−y2）÷（x−y）=x（x＋y）．
故答案为4axy，x＋y．
【点睛】本题依据的是分式的基本性质，分子、分母上同时乘以或除以同一个非0的数或整式，分式的值不变．
例3．（2021秋·八年级课时练习）不改变分式的值，使下列分式的分子、分母都不含负号．
①；②；③；④．
【答案】①；②；③；④
【分析】分式的基本性质：分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数或整式，分式的值不变，利用分式的基本性质逐一分析即可得到答案.
【详解】解：①；
②；
③；
④
【点睛】本题考查的是分式的基本性质，掌握分式的基本性质解决分式的三个符号问题是解题的关键.
【即学即练】
1．（2023春·江苏泰州·八年级统考期中）下列各式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据分式的基本性质：分式的分子、分母同时乘以（或除以同一个不为零）的数，分式的值不变，即可求解．
【详解】解：A.令，则，故A选项错误，不符合题意；
B. ，故B选项错误，不符合题意；
C. 的分子、分母同时乘以，分式的值不变，故C选项正确，符合题意；
D.当时，，故D选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是分式的基本性质，牢记分式的基本性质：分式的分子、分母同时乘以（或除以同一个不为零）的数，分式的值不变，是解题的关键．
2．（2023春·江苏·八年级专题练习）下列变形正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据分式的基本性质求解即可．
【详解】解：A. ，故A选项不正确；
B. ，故B选项不正确；
C. ，故C选项不正确；
D. ，故D选项正确．
故选D．
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，把分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．
3．（2021春·全国·八年级专题练习）已知，则________．
【答案】
【分析】由分式的基本性质进行化简，即可得到答案．
【详解】解：由，得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的性质，解题的关键是掌握分式的性质进行解题．
4．（2022秋·八年级课时练习）下列分式的变形中：①（c≠0）②＝，③ ④，错误的是_____．（填序号）
【答案】③④
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
【详解】解：③原式= ，故③错误；
④原式= ，故④错误；
故答案为③④．
【点睛】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．
5．（2023春·江苏·八年级期中）“约去”指数：
如
你见过这样的约分吗？面对这荒谬的约分，一笑之后，再认真检验，发现其结果竟然正确！这是什么原因？仔细观察式子，我们可作如下猜想：，试说明此猜想的正确性.（供参考：）
【答案】正确. 说明见解析.
【分析】根据公式：，将分子、分母因式分解，再约分即可.
【详解】
，
故正确.
【点睛】此题考查的是分式的化简，掌握分式的基本性质是解决此题的关键.
知识点02 利用分式的基本性质判定分式值的变化
【典型例题】
例1．（2023春·浙江·七年级专题练习）下列说法错误的是（ ）
A．若式子有意义，则x的取值范围是或
B．分式中的x、y都扩大原来的2倍，那么分式的值不变
C．分式的值不可能等于0
D．若表示一个整数，则整数x可取值的个数是4个
【答案】A
【分析】直接利用分式的定义以及分式的性质、分式有意义的条件分别分析得出答案．
【详解】A. 若式子有意义，则x的取值范围是且，故原选项不正确，符合题意；
B. 分式中的x、y都扩大原来的2倍，，所以分式的值不变，故原选项正确，不符合题意；
C. 分式，当且时，此分式的值不等于0，此时x无解，所以分式的值不可能等于0，故原选项正确，不符合题意；
D. 若表示一个整数，则整数x可取值是，共有4个，故原选项正确，不符合题意；
故选：A
【点睛】此题主要考查了分式的性质、分式的值为0的条件、分式有意义的条件，正确把握相关性质是解题关键．
例2．（2023春·江苏·八年级专题练习）若将分式与分式通分后，分式的分母变为，则分式的分子应变为________．
【答案】
【分析】分式与分式的公分母是，据此即可求解．
【详解】解：因为分式与分式的公分母是，所以分式的分母变为，则分式的分子应变为．
故答案是：．
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，通分，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质．
例3．（2023春·全国·八年级专题练习）一瓶质量为a千克的饮料中，如果含有b千克的糖，则我们就称分式为这种饮料的“甜度”．同学们知道，橙汁饮料是用橙的果肉加工而成的，如果平均每个橙含糖a千克，可榨橙汁n千克．
（1）用100个橙制成A种橙汁，用1000个橙制成B种橙汁，这两种橙汁的“甜度”有什么关系，为什么？
（2）若在（1）中的两种橙汁中都加入1千克的糖，加糖后的两种橙汁的甜度各是多少？哪一种更甜？
【答案】（1）这两种橙汁的“甜度”相同；（2）A种橙汁的甜度：，B种橙汁的甜度：，加糖后的A种橙汁更甜．
【分析】（1）根据已知得出A，B两种橙汁的甜度，进而得出这两种橙汁的“甜度”关系；
（2）根据在（1）中的两种橙汁中都加入1千克的糖，得出两种橙汁的甜度，进而得出大小关系．
【详解】解：（1）由题意得： 100个橙共含糖千克，可榨橙汁共千克，
故甜度为：=，
1000个橙共含糖千克，可榨橙汁共千克，
故甜度为：=，
故这两种橙汁的“甜度”相同；
（2）A种橙汁的甜度：，B种橙汁的甜度：，
此时，，且=，
故＞．
答：A种橙汁的甜度：，B种橙汁的甜度：，两种橙汁中都加入1千克的糖，加糖后的A种橙汁更甜．
【点睛】本题主要考查了分式的应用，分式的值，根据已知得出两种橙汁的甜度是解题的关键．
【即学即练】
1．（2023春·江苏宿迁·八年级统考期中）把分式，中a、b、c的值都扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ）
A．变为原来的2倍B．变为原来的4倍C．变为原来的D．不变
【答案】D
【分析】根据分式的性质可进行求解．
【详解】解：把a、b、c的值都扩大为原来的2倍，则有，所以分式的值不变；
故选D．
【点睛】本题主要考查分式的性质，熟练掌握分式的性质是解题的关键．
2．（2023春·江苏·八年级专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．代数式是分式B．分式中x，y都扩大3倍，分式的值不变
C．分式是最简分式D．分式的值为0，则x的值为
【答案】D
【分析】根据分式的定义及性质依次判断即可求解．
【详解】A. 代数式是整式，故错误；
B. 分式中，都扩大3倍后为，分式的值扩大3倍，故错误；
C. ，分式不是最简分式，故错误；
D. 分式的值为0，且，则x的值为，正确，
故选：D．
【点睛】此题主要考查分式的定义、性质、最简分式以及分式值为0的情况，解题的关键是熟知分式的特点与性质．
3．（2022春·辽宁沈阳·八年级统考期末）在___________上填上适当的整式：．
【答案】
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
【详解】解：∵，
∴原式=
故答案为：
【点睛】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式基本性质进行运算．
4．（2022秋·全国·八年级专题练习）若分式 的值为，则把的值均扩大为原来的倍后，这个分式的值为____．
【答案】8
【分析】根据题意，将分式中的x、y都换成2x、2y，再利用分式的基本性质进行求解即可解答．
【详解】解：由已知，=4，
∵的值均扩大为原来的倍，
∴分式的值为=，
故答案为：8．
【点睛】本题考查分式的基本性质，熟练掌握分式的性质是解答的关键．
5．（福建泉州·八年级统考期中）（1）计算并填数：
（2）观察上表，描述的值的变化情况．
（3）当非常大时，的值接近于什么数？
【答案】（1）表格详见解析；（2）随着的增大，的值也越来越大，并且越来越接近于0；（3）当非常大时，的值接近于1．
【分析】（1）根据x的值，分别求出的值填入表格即可；
（2）根据表格中x与值变化写出即可；
（3）根据表格中x值最大时，找到值接近的数，从而找到接近的数，写出即可.
【详解】解：（1），
，
填表如下：
（2）观察上表，随着的增大，的值也越来越大，则并且越来越接近于0；
（3）当非常大时，越来越接近于0，
则的值接近于1．
【点睛】本题是对分式求值的考查，准确根据代数式求值和找到表格中数值的规律是解决本题的关键.
知识点03 最简分式与最简公分母
【典型例题】
例1．（2023春·江苏·八年级专题练习）下列各分式中是最简分式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】最简分式是分子，分母中不含有公因式，不能再约分的分式．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无公因式．如果有互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
【详解】解：A、，不是最简分式，不符合题意；
B、是最简分式，符合题意；
C、，不是最简分式，不符合题意；
D、，不是最简分式，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查了最简分式，分式的化简过程，首先要把分子分母分解因式，互为相反数的因式是比较易忽视的问题．在解题中一定要引起注意．
例2．（2023春·江苏·八年级期中）分式，，的最简公分母是 __.
【答案】/
【分析】根据最简公分母的定义解决此题.
【详解】解：，
根据最简公分母的定义，
这三个分式的最简公分母为，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查最简公分母的定义，熟练掌握最简公分母的找法是解决本题的关键.
例3．（2021春·八年级课时练习）（1）有两块棉田，第一块xhm2，收棉花mkg；第二块yhm2，收棉花nkg．这两块棉田平均每公顷的棉产量是多少？
（2）一件商品售价x元，利润率为a%（a＞0），则这种商品每件的成本是多少元？
【答案】（1）这两块棉田平均每公顷的棉产量是千克；（2）这种商品每件的成本是元．
【分析】（1）直接利用总产量除以公顷数=平均每公顷的棉产量得出答案；
（2）利用成本（1+a%）=售价，进而得出等式求出答案．
【详解】解：（1）由题意可得：，
答：这两块棉田平均每公顷的棉产量是千克；
（2）设这种商品每件的成本是y元，根据题意可得：
y（1+a%）=x，
则y=，
答：这种商品每件的成本是元．
【点睛】本题主要考查了列代数式，以及分式的化简，正确掌握成本与利润关系是解题关键．
【即学即练】
1．（2022秋·贵州遵义·八年级统考期末）下列各分式中，是最简分式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据最简分式的定义，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、，不是最简分式，故本选项不符合题意；
B、，不是最简分式，故本选项不符合题意；
C、是最简分式，故本选项符合题意；
D、，不是最简分式，故本选项不符合题意；
故选：C
【点睛】本题考查了最简分式的识别，与最简分数的意义类似，当一个分式的分子与分母，除了1以外没有其它的公因式时，这样的分式叫做最简分式．
2．（2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校考阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．代数式是分式B．分式是最简分式
C．分式有意义D．分式中x，y都扩大3倍，分式的值不变
【答案】B
【分析】根据分式的定义，最简分式的定义，分式有意义的条件，分式的基本性质逐项判断即可．
【详解】解：代数式中，分母不含有未知数，不是分式，故A不符合题意；
分式是最简分式，故B符合题意；
当，即时，分式无意义，故C不符合题意；
，故D错误，不符合题意．
故选B．
【点睛】本题考查分式的定义，最简分式的定义，分式有意义的条件，分式的基本性质．熟练掌握上述知识点是解题关键．
3．（2023春·江苏泰州·八年级统考期中）分式和的最简公分母是________．
【答案】
【分析】取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母求解即可．
【详解】解：根据题意可得：
分式和的最简公分母是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了最简公分母，解题的关键是熟记最简公分母为：各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积．
4．（2021秋·广西南宁·八年级南宁二中校考期中）对分式和进行通分时的最简公分母为___________．
【答案】
【分析】确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
【详解】解：分式和的分母分别是和．
则最简公分母是．
故答案是：．
【点睛】本题考查分式的通分，熟练掌握找最简公分母的方法是关键．
5．（2023春·江苏·八年级专题练习）把下列分式化为最简分式．
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】（1）分子分母同除以即可得；
（2）先分别利用平方差公式和十字相乘法对分子分母进行因式分解，再分子分母同除以即可得；
（3）分子分母同除以即可得．
【详解】（1）；
（2）；
（3）．
【点睛】本题考查了分式的基本性质、因式分解，熟练掌握分式的基本性质是解题关键．
知识点04 约分与通分
【典型例题】
例1．（2023春·江苏·八年级专题练习）化简的结果为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分子、分母分别因式分解，约分即可得到结论．
【详解】解：，
故选：C．
【点睛】本题考查了分式的化简，解决问题的关键是熟练应用平方差公式．
例2．（2023·全国·九年级专题练习）将分式和进行通分时，分母可因式分解为_________，分母可因式分解为_________，因此最简公分母是_________．
【答案】
【分析】根据平方差公式即可分解a2－9，再提取公因式可分解9－3a，找系数的最小公倍数，字母的最高次幂，即可得出最简公分母．
【详解】解：∵a2－9＝（a＋3）（a－3），
9－3a＝3（3－a）＝－3（a－3），
∴分式和的最简公分母为－3（a＋3）（a－3）．
故答案为：（a＋3）（a－3），－3（a－3），－3（a＋3）（a－3）．
【点睛】本题考查了分式的通分，通分的关键是分解各个分母，找出最简公分母．
例3．（2023春·八年级课时练习）约分：（1）；
通分：（2），．
【答案】（1）；（2）=，=
【分析】（1）分子分母先进行因式分解，然后再进行约分即可；
（2）先对两个分式的分母进行因式分解，然后再找出最简公分母，进而求解即可．
【详解】解：（1）=；
（2）=，
=．
【点睛】本题主要考查分式的性质，熟练掌握分式的性质是解题的关键．
【即学即练】
1．（2023春·江苏·八年级专题练习）化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先把分式的分子和分母进行因式分解，然后约分即可．
【详解】解∶原式
．
故选：C．
【点睛】本题考查了分式的化简，掌握约分以及因式分解的知识是解题的关键．
2．（2023春·江苏·八年级期中）把，，通分的过程中，不正确的是（ ）
A．最简公分母是B．
C．D．
【答案】D
【分析】按照通分的方法依次验证各选项，找出不正确的答案．
【详解】A、最简公分母为，正确，该选项不符合题意；
B、，通分正确，该选项不符合题意；
C、，通分正确，该选项不符合题意；
D、通分不正确，分子应为，该选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查根据分数的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分．解题的关键是通分保证（1）各分式与原分式相等；（2）各分式分母相等．
3．（2023春·江苏·八年级期中）约分：
（1）___________；
（2）___________；
（3）___________．
【答案】
【分析】（1）找出分子分母的公因式，利用分式的基本性质约分即可；
（2）分子分母分解因式后，找出分子分母的公因式，利用分式的基本性质约分即可；
（3）分子分母分解因式后，找出分子分母的公因式，利用分式的基本性质约分即可．
【详解】解：（1）；
故答案为：
（2）；
故答案为：
（3）
故答案为：
【点睛】本题考查了约分，约分的关键是找出分式分子分母的公因式．
4．（2023春·江苏·八年级专题练习）定义新运算：a⊕b，若a⊕（﹣b）＝2，则的值是___．
【答案】
【分析】根据a⊕b求出a和b的值，代入计算即可
【详解】解：
∴b-a=2ab．
即a-b=-2ab．

故答案为：
【点睛】此题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是根据题意掌握新运算的规律．
5．（2023春·江苏·八年级期中）（1）约分：
（2）通分：与
【答案】（1）；（2）与
【分析】（1）直接利用分式的性质化简，进而得出答案；
（2）首先得出最简公分母，进而得出答案．
【详解】解：（1）；
（2）与最简公分母为：，
则：，
．
【点睛】本题主要考查了通分与约分，正确掌握分式的性质是解题关键．
题组A 基础过关练
1．（2023春·广东广州·九年级广州市第六十五中学校考阶段练习）计算，结果是（ ）.
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据分式的约分法则化简即可．
【详解】解：，
故选B．
【点睛】本题考查了分式的约分，解题的关键是能将分子因式分解．
2．（2023春·江苏·八年级期中）分式，，，中，最简分式有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无公因式和有无互为相反数的因式，分别对各项进行判断即可．
【详解】解：分子分母有公因式，
；；这三个是最简分式．
故选：C．
【点睛】本题考查了最简分式的定义，最简分式就是分子和分母没有可以约分的公因式，运用了平方差公式，熟练掌握并灵活运是解题的关键．
3．（2023春·全国·八年级专题练习）如果把分式中、都扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ）
A．扩大2倍B．扩大4倍C．缩小2倍D．不变
【答案】D
【分析】将原式中的、分别用、代替，化简，再与原分式进行比较．
【详解】解：把分式中的与同时扩大为原来的倍，
原式变为：，
这个分式的值不变．
故选：D．
【点睛】本题考查了分式的基本性质．解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．
4．（2023春·江苏无锡·八年级校考阶段练习）下列各式中，化简正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据分式的基本性质逐一判断即可．
【详解】解：A、，故错误，不合题意；
B、，故错误，不合题意；
C、，故错误，不合题意；
D、，故正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了分式的基本性质的应用，要熟练掌握．
5．（2023春·江苏无锡·八年级校联考期中）分式，的最简公分母是_______．
【答案】
【分析】按照找最简公分母的方法步骤进行即可．
【详解】分式，的最简公分母是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了找最简公分母，熟知找最简公分母的步骤是解题的关键．
6．（2023年河北省石家庄市中考一模数学试卷）化简：__________．
【答案】/
【分析】约去分子分母的公因式a即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是约分，掌握分式的约分是解本题的关键．
7．（2023春·江苏·八年级姜堰区实验初中校考周测）不改变分式的值，将分式的分子与分母的最高次项的系数化为正整数所得结果为____________．
【答案】
【分析】运用分式的基本性质在分子分母都乘以即可得出正确答案．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题关键．
8．（2023春·江苏无锡·八年级校联考期中）给出下列3个分式：①，②，③．其中是最简分式有______（填写出所有符合要求的分式的序号）．
【答案】①②/②①
【分析】根据最简分式的定义，即可求解．
【详解】解：①是最简分式，
②是最简分式，
③，原分式不是最简分式，
故答案为：①②．
【点睛】本题主要考查了最简分式，熟练掌握分子分母除了1之外没有其它公因式的分式是最简分式是解题的关键．
9．（2023春·江苏·八年级期中）约分：
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）直接利用分式的性质化简得出答案；
（2）首先将分母括号中的变为，接下来找出分子分母的公因式，分子分母同时除以公因式，即可完成约分．
【详解】（1）解： ；
（2），
，
．
【点睛】此题主要考查了分式的约分，找到分子分母的公因式是解题关键．
10．（2023春·江苏淮安·八年级校考期中）通分：
(1)与；
(2)与．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】先确定分式的最简公分母，再通分即可．
【详解】（1）解：∵与的最简公分母是，
∴=，=；
（2）解：∵与的最简公分母是，
∴=，=．
【点睛】本题考查的是分式的通分，解题的关键是确定最简公分母．
题组B 能力提升练
1．（2023春·江苏南京·八年级南京外国语学校校考期中）把分式中的m、n都扩大到原来的8倍，那么此分式的值（ ）
A．扩大到原来的8倍B．扩大到原来的4倍C．是原来的D．不变
【答案】A
【分析】利用分式的基本性质求解．
【详解】解：m、n都扩大到原来的8倍时，原分式变为：
，
可知此分式的值扩大到原来的8倍．
故选A．
【点睛】本题考查分式的基本性质，解题的关键是掌握分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的数或整式，分式的值不变．
2．（2022秋·辽宁铁岭·八年级校考期末）如果把分式中的和都扩大到原来的2倍，那么分式的值（ ）
A．扩大2倍B．缩小2倍C．缩小4倍D．扩大4倍
【答案】D
【分析】分别用和去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可．
【详解】解：∵，
∴分式的值扩大4倍．
故选D．
【点睛】本题考查了分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变．解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．
3．（2023春·江苏·八年级专题练习）若分式中的和都扩大到原来的倍，那么这个分式的值（ ）
A．扩大到原来的倍B．扩大到原来的倍
C．缩小为原来的D．不变
【答案】D
【分析】把分式中的分子，分母中的a，b都同时变成原来的7倍，就是用分别代替式子中的a，b，看得到的式子与原式子的关系．
【详解】解：由题意得：，
∴若分式中的和都扩大到原来的倍，那么这个分式的值不变，
故选：D．
【点睛】本题考查分式的基本性质，解答本题的关键是明确分式的基本性质的含义．
4．（2023春·河南周口·八年级统考阶段练习）如果分式中的a和b都扩大到原来的2倍，那么分式的值（ ）
A．不变B．缩小到原来的
C．扩大到原来的2倍D．扩大到原来的4倍
【答案】C
【分析】直接利用分式的性质分析得出答案．
【详解】解：分式中，，都扩大2倍，
则分式的值为：,
∴分式值扩大到原来的2倍．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了分式的性质，正确把握分式的基本性质是解题关键．
5．（2023春·江苏无锡·八年级无锡市天一实验学校校考期中）与的最简公分母为_________．
【答案】
【分析】根据最简公分母的定义求解即可，确定最简公分母的一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各项系数的最小公倍数和所有字母的最高次幂的积，②如果各分母都是多项式，先把它们分解因式，然后把每个因式当做一个字母，再从系数、相同字母求最简公分母．
【详解】解：分式与的最简公分母为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了最简公分母，掌握确定最简公分母的方法是解题的关键．
6．（2023秋·甘肃庆阳·八年级统考期末）约分：____________．
【答案】
【分析】根据分式的性质，分子分母同时乘以或除以相同因式时分式的值不变即可解题解答．
【详解】解：
故答案为：
【点睛】本题考查了分式的约分，熟悉分式的性质是解题关键，约分的方法是：若分子分母都是单项式，则直接求取分子分母的公因式再化简；若分子或分母是多项式，需要将分子分母因式分解后求取分子分母的公因式再化简
7．（2022秋·江西南昌·八年级南昌市第十九中学校考期末）约分：______；______；分式，，的最简公分母是______．
【答案】
【分析】根据分式的基本性质，取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，分别求解即可．
【详解】解：，
，
分式，，的最简公分母是，
故答案为：①，②，③．
【点睛】本题考查了分式的化简，最简公分母的求法，熟练掌握分式的基本性质，最简公分母的求法是解题的关键．
8．（2023秋·山东聊城·八年级校考期末）设，则_________
【答案】
【分析】设，再根据已知条件得到，由此即可得到答案．
【详解】解：设，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分式的性质，正确根据题意用含k的式子表示出a、b、c是解题的关键．
9．（2023春·江苏无锡·八年级校联考期中）约分：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）找出分子分母的公因式，并给分子、分母同时除以公因式即可得出约分结果；
（2）先对分母、分子因式分解，再找出公因式即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：．
【点睛】本题主要考查约分，解题的关键是找出分子分母的公因式．
10．（2023春·江苏·八年级期中）通分：
(1)，，；
(2)，，．
【答案】(1)，，
(2)，，
【分析】（1）先找出最简公分母，然后通分即可；
（2）先找出最简公分母，然后通分即可．
【详解】（1）解：∵，
，
∴，，的最简公分母为：，
∴三个分式通分为：，，．
（2）解：∵，
，
，
∴分式，，的最简公分母为：，
三个分式通分为：，，．
【点睛】本题主要考查了通分，解题的关键是熟记最简公分母的定义，找出各个分母数字因数的最小公倍数，相同字母以及指数的最高次幂，即可写出各分式的最简公分母．
题组C 培优拔尖练
1．（2023春·江苏无锡·八年级统考期中）将分式中的x，y的值都变为原来的2倍，则该分式的值（ ）
A．变为原来的2倍B．变为原来的4倍C．不变D．变为原来的一半
【答案】A
【分析】把原分式中的x、y分别替换成 2x，2y ，然后利用分式的基本性质化简即可得到答案．
【详解】解：∵分式中x、y的值都变为原来的2倍，
∴分式变为：
则该分式的值变为原来的2倍．
故选：A．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，解决本题的关键是掌握分式的基本性质．
2．（2023春·江苏·八年级专题练习）如果把分式中的x、y都扩大到原来的5倍，则分式的值（ ）
A．扩大到原来的25倍B．扩大到原来的5倍
C．不变D．缩小到原来的
【答案】D
【分析】用和分别替换原分式中的x和y即可得出结果．
【详解】解：，
如果把分式中的x、y都扩大到原来的5倍，那么分式的值缩小到原来的，
故选：D．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练运用分式的基本性质是解题关键，本题属于基础题型．
3．（2023春·八年级课时练习）若，则A、B的值为（ ）．
A．A=3，B=﹣2B．A=2，B=3C．A=3，B=2D．A=﹣2，B=3
【答案】B
【分析】右边较为复杂，可以从右边到左边，因此先将右边通分，使前后形式一致，然后让对应得系数相等，即可求出A，B．
【详解】解：
．
∵，
∴，
∴，
得：，
∴．
将代入①中，解得：，
∴方程组的解为：．
故选B．
【点睛】本题考查分式的基本性质，二元一次方程组的解法，利用通分将右边化成左边的相同形式，并让所得分子的对应系数相等是解题的关键．
4．（2023春·浙江·七年级专题练习）的最简公分母是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】确定最简公分母的一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各项系数的最小公倍数和所有字母的最高次幂的积，②如果各分母都是多项式，先把它们分解因式，然后把每个因式当做一个字母，再从系数、相同字母求最简公分母．
【详解】解：的最简公分母为：．
故选：D．
【点睛】本题考查了最简公分母，掌握求最简公分母的方法是解题的关键．
5．（2023春·江苏·八年级专题练习）化简：______．
【答案】
【分析】把分子分母约去公因式即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的约分，解题的关键是掌握公因式的确定方法，如果分式的分子和分母都是单项式，数字取最大公约数，字母取相同的字母，字母的指数取最小的．
6．（2022秋·八年级课时练习）利用分式的基本性质填空：．
【答案】
【分析】根据平方差公式对等式左边进行因式分解，再根据分式的基本性质进行化简整理，得到，由分式的基本性质得，，最后运用整式乘法进行化简即可．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平方差公式及分式基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
7．（2023春·八年级课时练习）已知，则分式的值为_____．
【答案】/
【分析】先把条件式化为再整体代入代数式求值即可.
【详解】解： ，
去分母得：



故答案为：
【点睛】本题考查的是已知条件式求解分式的值，把条件式变形，再整体代入求值是解本题的关键.
8．（2021春·浙江金华·七年级义乌市绣湖中学教育集团校考阶段练习）如图，一个长宽高分别为，，的长方体纸箱装满了一层高为的圆柱形易拉罐，则纸箱空间的利用率=________．（易拉罐总体积与纸箱容积的比，结果精确到0.1%）
【答案】
【分析】根据题意分别算出纸箱的体积和易拉罐的体积，根据易拉罐总体积与纸箱容积的比求得利用率．
【详解】设沿长边摆放了个易拉罐，沿宽摆放了个易拉罐，
则，
每个易拉罐的体积=，
所以长方体纸箱中圆柱形易拉罐所占的总体积，
又因为长方体纸盒的体积= ，
所以纸箱空间的利用率为
故答案为：
【点睛】本题考查了分式的应用，掌握分式的计算是解题的关键．
9．（2022秋·全国·八年级专题练习）化简下列分式
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）将分子和分母的公因式约去即可；
（2）先将分子和分母分解因式，然后约分即可；
（3）先将分子和分母分解因式，然后约分即可；
（4）先将分子和分母分解因式，然后约分即可.
【详解】（1）解：=
=；
（2）解：=
=；
（3）解：＝
=；
（4）解：=
=．
【点睛】本题考查了约分，规律方法总结：由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分．
10．（2023春·江苏·八年级专题练习）著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．”
《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂；从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法．
阅读材料：在处理分数和分式的问题时，有时由于分子大于分母，或分子的次数高于分母的次数，在实际运算时难度较大，这时，我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（分式）的和（差）的形式，通过对它的简单分析来解决问题，我们称这种方法为分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效．将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行，如：＝＝x+＝x﹣1+，这样，分式就拆分成一个分式与一个整式x﹣1的和的形式．
根据以上阅读材料，解答下列问题：
(1)假分式可化为带分式_______形式；
(2)利用分离常数法，求分式的取值范围；
(3)若分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：5m﹣11+，则m2+n2+mn的最小值为________．
【答案】(1)1+
(2)2＜≤5
(3)27
【分析】（1）根据题意进行求解即可；
（2）根据分离常数法求出，据此求解即可；
（3）根据分离常数法求出m＝x+2，n＝﹣x+4，再根据完全平方公式求出m2+n2+mn＝（x﹣1）2+27，据此求解即可．
【详解】（1）解：＝＝1+，
故答案为：1+；
（2）解：＝＝2+，
∵x2+1≥1，
∴0＜≤3，
∴2＜≤5；
（3）解：∵＝＝5x﹣1﹣，
而分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：5m﹣11+，
∴5x﹣1＝5m﹣11，n﹣6＝﹣（x+2），
∴m＝x+2，n＝﹣x+4，
∴m+n＝6，mn＝（x+2）（﹣x+4）＝﹣x2+2x+8，
而m2+n2+mn＝（m+n）2﹣mn＝36﹣（﹣x2+2x+8）＝x2﹣2x+28＝（x﹣1）2+27，
∵（x﹣1）2≥0，
∴（x﹣1）2+27≥27，
∴当x＝1时，m2+n2+mn最小值是27，
故答案为：27．
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，完全平方公式，正确理解题意掌握分离常数法是解题的关键．
1
2
5
10
1000
10000