考点07一元二次方程（精练）2024年中考数学一轮复习之核心考点精讲精练（全国通用）原卷版+解析版

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1．（2023·辽宁抚顺·统考一模）若是关于的一元二次方程的解，则的值等于( )
A．－2B．－3C．－1D．－6
【答案】A
【分析】将x=1代入原方程即可求出答案．
【详解】解：将x=1代入原方程可得：1+a+2b=0，∴a+2b=-1，
∴=2(a+2b)=2×(-1)=-2，故选：A．
【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的概念，本题属基础题型．
2．（2023·湖北鄂州市·校考模拟预测）关于x的一元二次方程的两实数根分别为、，且，则m的值为（ ）
A．B．C．D．0
【答案】A
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2=4，代入代数式计算即可．
【详解】解：∵x1+x2=4，∴x1+3x2=x1+x2+2x2=4+2x2=5，∴x2=，
把x2=代入x2-4x+m=0得：（）2-4×+m=0，解得：m=，故选A．
【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2=-，x1•x2=是解题的关键．
4．（2023·湖北·校联考一模）如果方程的三根可作为一个三角形的三边之长，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】方程的三根是一个三角形三边的长，则方程有一根是1，即方程的一边是1，另两边是方程的两个根，根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．则方程的两个根设是和，一定是两个正数，且一定有，结合根与系数的关系，以及根的判别式即可确定m的范围．
【详解】解：∵方程有三根，
∴，有根，方程的，得．
又∵原方程有三根，且为三角形的三边和长．
∴有，，而已成立；
当时，两边平方得：．
即：．解得．∴．故选：D．
【点睛】本题考查了根与系数的关系和三角形三边关系，利用了：①一元二次方程的根与系数的关系，②根的判别式与根情况的关系判断，③三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
4．（2023·安徽·校考模拟预测）若方程中，满足和，则方程的根是（ ）
A．B．C．D．无法确定
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的根的定义，将未知数的值代入方程，计算后即可得出结论．
【详解】解：∵，把代入得：，即方程的一个解是，
把代入得：，即方程的一个解是；故选：A．
【点睛】本题考查了方程的解的定义，掌握方程的解的定义并能准确利用定义进行判断是解题的关键．
5．（2023·浙江杭州·校联考一模）若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“2倍根方程”，以下说法不正确的是（ ）
A．方程x2－3x＋2＝0是2倍根方程
B．若关于x的方程(x－2) (mx＋n)＝0是2倍根方程，则m＋n＝0
C．若m＋n＝0且m≠0，则关于x的方程(x－2) (mx＋n)＝0是2倍根方程
D．若2m＋n＝0且m≠0，则关于x的方程x2＋(m－n)x－mn＝0 是2倍根方程
【答案】B
【分析】通过解一元二次方程可对A进行判断；先解方程得到x1=2，x2=-，然后通过分类讨论得到m和n的关系，则可对B进行判断；先解方程，则利用m+n=0可判断两根的关系，则可对C进行判断；先解方程，则利用2m+n=0可判断两根的关系，则可对D进行判断．
【详解】A. 解方程−3x+2=0得x1=1， x2=2，所以A选项的说法正确但不符合题意；
B. 解方程得x1=2，x2=-，当−=2×2，4m+n=0；当−=×2，则m+n=0所以B选项的说法错误符合题意；C. 解方程得x1=2，x2=−，而m+n=0，则x2=1，所以C选项的说法正确但不符合题意；
D. 解方程得x1=−m，x2=n，而2m+n=0，即n=−2m，所以x1=2x2，所以D选项的说法正确但不符合题意．故本题选B．
【点睛】本题主要考查根与系数的关系及一元二次方程的解，熟悉掌握上述知识点是解答本题关键.
6.（2023春·江苏南京·九年级专题练习）设，是关于x的一元二次方程的两个实数根．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先将一元二次方程化成一般式，再根据根与系数关系得出x1+x2=-(1-m)=m-1，x1x2=n，，然后根据，得出m-10，即可求解．
【详解】解：∵x2+x+n=mx，∴x2+（1-m）x+n=0，
∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根． ∴x1+x2=-(1-m)=m-1，x1x2=n，
∵，∴x1+x20，∴m-10，∴m0，故选：C．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系“，是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），则x1+x2=-，x1x2=”是解题的关键．
7．（2023·福建宁德·校考模拟预测）在开启全面建设社会主义现代化国家新征程中，人民的生活水平不断提高，家庭轿车的拥有量逐年增加．据统计，某市年月底机动车保有量为万辆，年月底机动车保有量为万辆，如果该市机动车保有量年平均增长率为，符合题意的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用年月底机动车保有量年月底机动车保有量(该市机动车保有量年平均增长率为)，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：依题意得：，故选：．
【点睛】此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题关键．
8．（2023·山东·统考三模）新定义：关于x的一元二次方程a1(x﹣m)2+k＝0与a2(x﹣m)2+k＝0称为“同族二次方程”．如2(x﹣3)2+4＝0与3(x﹣3)2+4＝0是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程2(x﹣1)2+1＝0与(a+2)x2+(b﹣4)x+8＝0是“同族二次方程”，那么代数式ax2+bx+2026能取的最小值是（ ）
A．2020B．2021C．2023D．2018
【答案】B
【分析】根据同族二次方程，可得出a和b的值，从而解得代数式的最小值．
【详解】解：∵2（x﹣1）2+1＝0与（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝0是“同族二次方程”，
∴（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝（a+2）（x﹣1）2+1，
即（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝（a+2）x2﹣2（a+2）x+a+3，
∴，解得：，∴ax2+bx+2026＝5x2﹣10x+2026＝5（x﹣1）2+2021，
则代数式ax2+bx+2026能取的最小值是2021．故选：B．
【点睛】此题主要考查了配方法的应用，解二元一次方程组的方法，理解同族二次方程的规律是解答本题的关键．
9．（2023·陕西西安·校考模拟预测）下表中列出二次函数（，，为常数）的自变量与的几组对应值．
则下列关于方程的说法中，不正确的是（ ）
A．当时，方程有两个不相等的实数根； B．当时，方程有两个相等的实数根；
C．当时，方程有一个根是； D．当时，方程有两个不相等的正实数根．
【答案】B
【分析】利用待定系数法求出二次函数的解析式，再结合一元二次方程的根的判别式，逐项判断即可作答．
【详解】将表格中的三组数据代入二次函数解析式，
可得：，解得：，即二次函数解析式为：，
即方程为：，整理：，
，
∵，∴，方程有两个不相等的实数根，即A项正确，不符合题意；
当时，方程为：，整理：，
∴，方程有两个不相等的实数根，即B项错误，符合题意；
当时，方程为：，整理：，即：，
解得：，，即C项正确，不符合题意；
当时，即方程为：，整理：，
即有：，
∵，∴，∴方程有两个不相等的实数根，即，，
∵，∴，即，，
∴，，即方程有两个不相等的正实数根．即D项正确，不符合题意；故选：B．
【点睛】本题考查了利用待定系数法求出二次函数的解析式，一元二次方程的根的判别式及根与系数关系、因式分解法解一元二次方程的知识，掌握一元二次方程的根的判别式是解答本题的关键．
10．（2023·广东·校考模拟预测）关于x的方程有两个解，则k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣9B．k≤3C．﹣9＜k＜6D．k
【答案】A
【分析】设，再把原方程化为，结合根的判别式可得，再由原方程有两个实数根，可得从而可得答案．
【详解】解：∵∴∴
设t＝|x﹣3|，则原方程变形为，所以Δ＝1﹣4（﹣k﹣9）＞0，解得，
∵原方程有两个解，∴方程有一正根和负根，
∴ 解得k＞﹣9，∴k的取值范围是k＞﹣9．故选：A．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的判别式，根与系数的关系，由原方程有两个解得到方程有一个正根与一个负根是解本题的关键．
11．（2023·四川绵阳·二模）已知实数满足．若，且，则的最小值是（ ）
A．6B．C．3D．0
【答案】A
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，将代数式化简，然后整体代入求解即可
【详解】解：∵实数满足，
∴、是方程的两个根，∴，
∴
∵，且，∴的最小值是，故选：A．
【点睛】题目主要考查一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式及求代数式的值，熟练掌握根与系数的关系是解题关键．
12．（2023·浙江台州·统考二模）已知关于x的一元二次方程（a，b，c为常数，且），此方程的解为，．则关于x的一元二次方程的解为______．
【答案】或##或
【分析】将和分别代入，可求得，，之间的等量关系，代入一元二次方程即可消去参数，从而解一元二次方程即可．
【详解】解：一元二次方程的解为，，
，解得，一元二次方程可化为，
，，解得，．
一元二次方程的解为或．故答案为：或．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，解决本题的关键是利用一元二次方程的解求得，，之间的等量关系，从而代入求解．
13. （2023·浙江·校考模拟预测）已知实数m，n满足，则代数式的最小值等于_____．
【答案】
【分析】由可得再代入，再利用配方法配方，从而可得答案.
【详解】解： ，

所以的最小值是 故答案为：
【点睛】本题考查的是代数式的最值，配方法的应用，熟练的运用配方法求解代数式的最值是解本题关键.
14．（2023·广东九年级课时练习）将关于x的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且x＞0，则的值为______．
【答案】
【分析】先利用得到，再利用的一次式表示出和，则化为，然后解方程得，从而得到的值．
【详解】解：，
,
解得，
，故答案为：．
【点睛】本题考查了高次方程：通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解，所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程，也有的通过因式分解来解，通过把一元二次方程变形为用一次式表示二次式，从而达到“降次”的目的，这是解决本题的关键．
15. （2023·浙江·校考模拟预测）小丽在解一个三次方程x3－2x＋1＝0时，发现有如下提示：观察方程可以发现有一个根为1，所以原方程可以转化为(x－1)(x2＋bx＋c)＝0．根据这个提示，请你写出这个方程的所有的解______．
【答案】或1
【分析】由(x－1)(x2＋bx＋c)＝0变形为，根据一一对应的原则求得b、c的值，然后运用因式分解和公式法求解即可．
【详解】解：∵(x－1)(x2＋bx＋c)＝0，∴，
又由题意得：，∴解得：
∴，∴，，∴由求根公式得：，
则原方程所有的解为： 或1，故答案为：或1．
【点睛】本题主要考查了方程的解的定义和公式法求解一元二次方程，解题关键是根据一一对应的关系求出b、c的值．
16．（2023·四川泸州·校考一模）喜迎2022年10月16日“二十大”的召开，某公司为了贯彻“发展低碳经济，建设美丽中国”的理念，对其生产设备进行了升级改造，不仅提高了产能，而且大幅降低了碳排放量．已知该公司七月份的产值为200万元，第三季度的产值为720万元，设公司每月产值的平均增长率相同且为，则根据题意列出的方程是______．
【答案】
【分析】可先表示出八月份的营业额，那么八月份的营业额×（1+增长率）=九月份的营业额，等量关系为：七月份的营业额+八月份的营业额+九月份的营业额=900，把相应数值代入即可求解．
【详解】解：∵七月份的营业额为200万元，平均每月的增长率为x，
∴八月份的营业额为万元，∴九月份营业额为万元，
∴可列方程为，故答案为：．
【点睛】此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，掌握求平均变化率的方法是解决问题的关键．注意本题的等量关系为3个月的营业额之和．
17．（2023·四川成都·二模）已知m、n是方程x2+2019x﹣2＝0的两个根，则（m2+2018m﹣3）（n2+2020n﹣1）＝__ ．
【答案】2020
【分析】由于m、n是方程x2+2019x﹣2＝0的两个实数根，根据根与系数的关系可以得到m+n＝﹣2019，mn＝﹣2，并且m2+2019m﹣2＝0，n2+2019n﹣2＝0，将所求的代数式变形后代入即可求出结果．
【详解】解：∵m、n是方程x2+2019x﹣2＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣2019，mn＝﹣2，m2+2019m﹣2＝0，n2+2019n﹣2＝0，
∴（m2+2018m﹣3）（n2+2020n﹣1）＝（m2+2019m﹣2﹣m﹣1）（n2+2019n﹣2+n+1）
＝（﹣m﹣1）（n+1）＝﹣mn﹣m﹣n﹣1＝2+2019﹣1＝2020，故答案为：2020．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系和正确计算．
18．（2023·湖南永州·统考二模）我们学习了一元二次方程和二次函数，综合利用它们的性质解决问题，阅读下列材料，回答问题：
例：已知关于x的方程有实数根，求t的最大值？
解：由题意可知，当t=0时，方程有实数解
当时， 即 ∴
设函数
当时， 综上
(1)已知关于x的方程有实数根，则m的最大值为 ；
(2)已知方程有实数根，则x-2y的最大值为 ．
【答案】
【分析】（1）仿照例题得出，进而根据二次函数的性质即可求解．
（2）令，则，将代入，得，根据题意得出，进而根据二次函数的性质即可求解．
【详解】解：（1）∵关于x的方程，即有实数根，
∴， ，，
即∴
设函数当时， 综上，故答案为：5．
（2）令，则，将代入，
整理得，该方程有实数根，
∴∴有最大值
即的最大值为，故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
19．（2023·福建·校考一模）已知关于x的一元二次方程．
(1)判断这个一元二次方程的根的情况．
(2)若等腰三角形的一边长为3，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长．
【答案】(1)一元二次方程有两个不相等的实数根(2)或
【分析】（1）求出判别式的符号，进行判断即可；（2）根据方程有两个不相等的实数根，得到3是等腰三角形的腰长，是方程的一个根，进行求解即可．
【详解】（1）解：；
∴一元二次方程有两个不相等的实数根．
（2）解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴是腰长，是方程的一个根，
∴，整理，得：，解得：或，
当时，，解得，
此时等腰三角形的三边长：，周长；
当时，，解得，
此时等腰三角形的三边长：，周长．
【点睛】本题考查一元二次方程的判别式与根的个数的关系，以及一元二次方程与几何的综合应用．熟练掌握一元二次方程的判别式与根的个数的关系，一元二次方程的解的定义，是解题的关键．
20．（2023.广西九年级期中）某超市经营款新电动玩具进货单价是15元．在1个月的试销阶段，售价是20元，销售量是200件．根据市场调查，销售单价若每再涨1元，1个月就会少售出5件．
（1）若商店在1个月获得了2250元销售利润，求这款玩具销售单价定为多少元时，顾客更容易接受？
（2）若玩具生产厂家规定销售单价不低于22元，且超市每月要完成不少于180件的销售任务，设销售单价为y（y为正整数）元，求该超市销售这款玩具有哪几种方案？哪一种方案利润最高？
【答案】（1）30元；（2）有三种销售方案：方案一：销售价为22元；方案二：销售价为23元；方案三，销售价为24元，第三种方案利润最大．
【分析】（1）根据题意，可以列出相应的一元二次方程，再根据考虑顾客更容易接受的价格，即可得到这款玩具的销售单价；（2）根据题意可以得到利润与销售单价的函数关系，再根据玩具生产厂家规定销售单价不低于22元，且超市每月要完成不少于180件的销售任务，可以得到单价的取值范围，再根据销售单价为整数，计算每种方案的实际利润，选取其中利润最大的方案即可．
【详解】解：（1）设销售单价为x元（），
，解得，，，，
∴销售单价定为30元时，顾客更容易接受；
（2）由题意得，解得：，
因为y取正整数，所以y取22或23或24，所以有三种销售方案：
方案一：销售价为22元，销售利润为（元），
方案二：销售价为23元，销售利润为（元），
方案三，销售价为24元，销售利润为（元），
，第三种方案利润最大．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答可以是解答变得简捷．
21．（2023·浙江温州·校考一模）某科研单位准备将院内一块长30m，宽20m的矩形空地，建成一个矩形花园，要求在花园内修两条纵向平行和一条横向弯折的小道（小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形），剩余的地方种植花草．(1)如图1，要使种植花草的面积为，求小道进出口的宽度为多少米；(2)现将矩形花园的四个角建成休闲活动区，如图2所示，均为全等的直角三角形，其中，设米，竖向道路出口和横向弯折道路出口的宽度都为2m，且竖向道路出口位于和之间，横向弯折道路出口位于和之间．
①求剩余的种植花草区域的面积（用含有a的代数式表示）；
②如果种植花草区域的建造成本是100元/米2、建造花草区域的总成本为42000元，求a的值．
【答案】(1)1米；(2)①；②．
【分析】（1）设小道进出口的宽度为米，然后利用其种植花草的面积为532平方米列出方程求解即可；
（2）①先用a表示出四个直角三角形的面积，从而表示出剩余花草区域的面积；②由①和题目意思列出方程求解即可．
【详解】（1）解：设小道进出口的宽度为米，
依题意得．整理，得．解得，，．
（不合题意，舍去），；答：小道进出口的宽度应为1米；
（2）解：①剩余的种植花草区域的面积为：
②由，得：，
解得：（舍去）．故．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，面积的表示，解题的关键是找到正确的等量关系并列出方程，注意根据实际意义舍根．
22．（2023·湖南长沙·校考三模）已知关于x的一元二次方程（a、b、c为常数，且），我们规定：若该方程的两根满足，则称该方程为“灵粹二次方程”，其中，、称为该“灵粹二次方程”的一对“奋勇向前根”．
(1)判断：下列方程中，为“灵粹二次方程”的是________（仅填序号）
① ② ③
(2)已知关于x的一元二次方程为“灵粹二次方程”，求：当时，函数的最大值．
(3)直线与直线相交于点A，并分别与x轴相交于B、C两点，若m、n是某“灵粹二次方程”的一对“奋勇向前根”，设D点坐标为（m，n），当点D位于以A、B、C三点所构成的三角形内部时．①试求出m的取值范围．②若m为整数，且“灵粹二次方程”的二次项系数为1，是否存在满足此情况的“灵粹二次方程”？若存在，请直接写出该“灵粹二次方程”；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)② (2)当时，；当时，
(3)①或；②
【分析】（1）分别求出三个方程的根，根据“灵粹二次方程”的定义进行判断即可；
（2）先将t当作已知数，解一元二次方程，得出，，根据此方程是“灵粹二次方程”，得出或，解得或，然后分别求出一元二次方程的最大值即可；
（3）①先求出点A、B、C的坐标，然后分或两种情况，列出关于m的不等式组，然后解不等式组即可；②根据m为整数，先求出m的值，然后根据一元二次方程根与系数的关系，求出b、c的值，即可得出一元二次方程．
(1)解：，
∵，∴此方程无解，不是“灵粹二次方程”；
，解方程得：，，
∵，∴此方程是“灵粹二次方程”；
，解方程得：，
∵，∴此方程不是“灵粹二次方程”；
综上分析可知，是“灵粹二次方程”的为②．故答案为：②．
(2)解一元二次方程得：，，
∵是“灵粹二次方程”，
∴或，解得：或，
当时，函数
∴函数的对称轴为直线， ∵，，
∴当函数上的点距离对称轴越远的点，函数值越大，
∴当或时，函数最大，此时最大值为：；
当时，函数
∴函数的对称轴为直线，∵，，
∴当函数上的点距离对称轴越远的点，函数值越大，
∴当时，函数最大，此时最大值为：；
综上分析可知，当时，；当时，．
(3)①联立，解得：，∴点A的坐标为：，
把分别代入和得：和，
解得：和，
∴点B的坐标为（-3，0），点C的坐标为（1,0），
直线AB的解析式为：，直线AC的解析式为
当时，∵D点坐标为（m，n），∴点D在直线上，
∵点D位于以A、B、C三点所构成的三角形内部，
∴，解得：；
当时，∵D点坐标为（m，n），∴点D在直线上，
∵点D位于以A、B、C三点所构成的三角形内部，
∴，解得：；
综上分析可知，m的取值范围是：或；
②存在；∵m为整数，∴当时，，
∴此时，解得：，“灵粹二次方程”的二次项系数a=1，
∴，即，，
∴，∴该“灵粹二次方程”；
当时，没有符合条件的值，不存在“灵粹二次方程”；
综上分析可知，该“灵粹二次方程”为．
【点睛】本题是一道新定义类题目，求二次函数的最值，解一元二次方程，根与系数的关系，根的判别式，解不等式组，熟练掌握解一元二次方程的方法，理解新定义，是解题的关键．
限时检测2：最新各地中考真题（40分钟）
1．（2022·湖南怀化·中考真题）下列一元二次方程有实数解的是（ ）
A．2x2﹣x+1＝0B．x2﹣2x+2＝0C．x2+3x﹣2＝0D．x2+2＝0
【答案】C
【分析】判断一元二次方程实数根的情况用根的判别式进行判断．
【详解】A选项中，，故方程无实数根；
B选项中，，故方程无实数根；
C选项中，，故方程有两个不相等的实数根；
D选项中，，故方程无实数根；故选C．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程实数根情况的判定方法是解题的关键．
2．（2023·四川泸州·统考中考真题）若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，得到，根据菱形的面积得到，利用勾股定理以及完全平方公式计算可得答案．
【详解】解：设方程的两根分别为a，b，∴，
∵a，b分别是一个菱形的两条对角线长，已知菱形的面积为11，∴，即，
∵菱形对角线垂直且互相平分，∴该菱形的边长为
，故C正确．故选：C．
【点睛】本题考查了根与系数的关系以及菱形的性质，完全平方公式，利用根与系数的关系得出是解题的关键．
3．（2023年浙江省衢州市中考数学真题）某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了人，则可得到方程（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每一轮传染中平均每人传染了人，则第一轮传染了个人，第二轮作为传染源的是人，则传染人，依题意列方程：．
【详解】由题意得：，故选：C．
【点睛】本题考查的是根据实际问题列一元二次方程．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．
4．（2023年浙江省湖州市中考数学真题）某品牌新能源汽车2020年的销售量为20万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2022年的销售量比2020年增加了万辆．如果设从2020年到2022年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为x，那么可列出方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设年平均增长率为x，根据2020年销量为20万辆，到2022年销量增加了万辆列方程即可．
【详解】解：设年平均增长率为x，由题意得，故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用—增长率问题，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．
5．（2022·山东临沂·中考真题）方程的根是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】B
【分析】先把方程的左边分解因式化为从而可得答案．
【详解】解：，
或 解得： 故选B
【点睛】本题考查利用因式分解的方法解一元二次方程，掌握“十字乘法分解因式”是解本题的关键．
6．（2023年广东广州中考数学真题）已知关于x的方程有两个实数根，则的化简结果是（ ）
A．B．1C．D．
【答案】A
【分析】首先根据关于x的方程有两个实数根，得判别式，由此可得，据此可对进行化简．
【详解】解：∵关于x的方程有两个实数根，
∴判别式，整理得：，
∴，∴，，∴．故选：A．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质，理解一元二次方程根的判别式是解答此题的关键．
7．（2022·宜宾·中考真题）已知m、n是一元二次方程的两个根，则的值为（ ）
A．0B．－10C．3D．10
【答案】A
【分析】根据一元二次方程根与系数关系得出mn=－5，把x=m代入方程得m2+2m-5=0，即m2+2m=5，代入即可求解．
【详解】解：∵m、n是一元二次方程的两个根，
∴mn=－5，m2+2m-5=0，∴m2+2m=5，∴=5－5=10，故选：A．
【点睛】本题考查代数式求值，一元二次方程根与系数关系，方程解的意义，根据一元二次方程根与系数关系和方程解的意义得出mn=-5，m2+2m=5是解题的关键．
8．（2022·甘肃武威·中考真题）用配方法解方程x2-2x=2时，配方后正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】方程左右两边都加上1，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．
【详解】解：x2-2x=2，x2-2x+1=2+1，即（x-1）2=3．故选：C．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．
9．（2023年西藏自治区中考数学真题）已知一元二次方程的两个根为、，则的值为（ ）
A．－3B．C．1D．
【答案】D
【分析】由根与系数的关系得出两根之和，两根之积，然后把要求的式子变形，代入求值即可．
【详解】解：由一元二次方程根与系数的关系得，，
∴，故选：D．
【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
10．（2022·广西贵港·中考真题）若是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根及m的值分别是（ ）
A．0，B．0，0C．，D．，0
【答案】B
【分析】直接把代入方程，可求出m的值，再解方程，即可求出另一个根．
【详解】解：根据题意，
∵是一元二次方程的一个根，
把代入，则，解得：；
∴，∴，∴，，∴方程的另一个根是；故选：B
【点睛】本题考查了解一元二次方程，方程的解，解题的关键是掌握解一元二次方程的步骤进行计算．
11．（2020·上海中考真题）用换元法解方程+=2时，若设=y，则原方程可化为关于y的方程是( )
A．y2﹣2y+1=0B．y2+2y+1=0C．y2+y+2=0D．y2+y﹣2=0
【答案】A
【分析】方程的两个分式具备倒数关系，设=y，则原方程化为y+=2，再转化为整式方程y2-2y+1=0即可求解．
【详解】把=y代入原方程得：y+=2，转化为整式方程为y2﹣2y+1=0．故选：A．
【点睛】考查了换元法解分式方程，换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．
12.（2023年四川省内江市中考数学真题）已知a、b是方程的两根，则 ．
【答案】
【分析】利用一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，可得，从而得到，然后代入，即可求解．
【详解】解：∵a，b是方程的两根，
∴，∴，
∴．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解的定义和根与系数的关系是解题的关键．
13. （2022·湖北荆州·中考真题）一元二次方程配方为，则k的值是______．
【答案】1
【分析】将原方程变形成与相同的形式，即可求解．
【详解】解：；；；∴ 故答案为：1．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程中的配方法，掌握配方法的解题步骤是解本题的关键．
14.（2022·云南·中考真题）方程2x2+1=3x的解为________．
【答案】
【分析】先移项，再利用因式分解法解答，即可求解．
【详解】解：移项得：，∴，
∴或，解得：，故答案为：．
【点睛】此题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法，并灵活选用合适的方法解答是解题的关键．
15.（2023年湖南省岳阳市中考数学真题）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数 ．
【答案】3
【分析】利用一元二次方程有两个不相等的实数根求出m的取值范围，由根与系数关系得到，代入，解得的值，根据求得的m的取值范围，确定m的值即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，解得，
∵，，∴，
解得（不合题意，舍去），∴故答案为：3
【点睛】此题考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数关系，熟练掌握根的判别式和根与系数关系的内容是解题的关键．
16．（2023年浙江省金华市中考数学真题）如图是一块矩形菜地，面积为．现将边增加．（1）如图1，若，边减少，得到的矩形面积不变，则的值是 ．
（2）如图2，若边增加，有且只有一个的值，使得到的矩形面积为，则的值是 ．

【答案】 6 /
【分析】（1）根据面积的不变性，列式计算即可．
（2）根据面积，建立分式方程，转化为a一元二次方程，判别式为零计算即可．
【详解】（1）根据题意，得，起始长方形的面积为，变化后长方形的面积为，
∵，边减少，得到的矩形面积不变，∴，解得，故答案为：6．
（2）根据题意，得，起始长方形的面积为，变化后长方形的面积为，
∴，，∴，∴，∴，
∵有且只有一个的值，∴，∴，
解得（舍去），故答案为：．
【点睛】本题考查了图形的面积变化，一元二次方程的应用，正确转化为一元二次方程是解题的关键．
17．（2021·四川南充·统考中考真题）已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根．
（2）如果方程的两个实数根为，，且k与都为整数，求k所有可能的值．
【答案】（1）见解析；（2）0或-2或1或-1
【分析】（1）计算判别式的值，然后根据判别式的意义得到结论；
（2）先利用因式分解法得出方程的两个根，再结合k与都为整数，得出k的值；
【详解】解：（1）
∵△==
∴无论k取何值， 方程都有两个不相等的实数根．
（2）∵ ∴ ∴=0
∴，或，
当，时，
∵k与都为整数，∴k=0或-2
当，时，∴，
∵k与都为整数，∴k=1或-1∴k所有可能的值为0或-2或1或-1
【点睛】本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不等的实数根”；（2）利用因式分解法求出方程的解．
18．（2023年山东省东营市中考数学真题）如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．

(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？
(2)羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
【答案】(1)当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈；(2)不能，理由见解析．
【分析】（1）设矩形的边，则边，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解；（2）同（1）的方法建立方程，根据方程无实根即可求解．
【详解】（1）解：设矩形的边，则边．
根据题意，得．化简，得．解得，．
当时，；
当时，．
答：当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈．
（2）解：不能，理由如下：由题意，得．化简，得．
∵，∴一元二次方程没有实数根．
∴羊圈的面积不能达到．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程是解题的关键．
19.（2022·湖北宜昌·中考真题）某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大．该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨．(1)求4月份再生纸的产量；(2)若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸产量比上月增加．5月份每吨再生纸的利润比上月增加，则5月份再生纸项目月利润达到66万元．求的值；(3)若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了．求6月份每吨再生纸的利润是多少元？
【答案】(1)4月份再生纸的产量为500吨(2)的值20(3)6月份每吨再生纸的利润是1500元
【分析】（1）设3月份再生纸产量为吨，则4月份的再生纸产量为吨，然后根据该厂3，4月份共生产再生纸800吨，列出方程求解即可；
（2）根据总利润=每一吨再生纸的利润×数量列出方程求解即可；
（3）设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为，5月份再生纸的产量为吨，根据总利润=每一吨再生纸的利润×数量列出方程求解即可；
【解析】(1)解：设3月份再生纸产量为吨，则4月份的再生纸产量为吨，
由题意得：，解得：，∴，
答：4月份再生纸的产量为500吨；
(2)解：由题意得：，
解得：或（不合题意，舍去） ∴，∴的值20；
(3)解：设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为，5月份再生纸的产量为吨，
∴
答：6月份每吨再生纸的利润是1500元．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，正确理解题意，列出方程求解是解题的关键．
20．（2022·湖北黄石·统考中考真题）阅读材料，解答问题：
材料1：为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．
材料2：已知实数m，n满足，，且，显然m，n是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，．
根据上述材料，解决以下问题：
(1)直接应用：方程的解为_______________________；
(2)间接应用：已知实数a，b满足：，且，求的值；
(3)拓展应用：已知实数x，y满足：，且，求的值．
【答案】(1)，，，(2)或(3)15
【分析】（1）利用换元法降次解决问题；（2）模仿例题解决问题即可；
（3）令=a，-n=b，则+a-7=0， +b=0，再模仿例题解决问题．
【详解】（1）解：令y=，则有-5y+6=0，∴（y-2）（y-3）=0，∴=2，=3，∴=2或3，
∴，，，，故答案为：，，，；
（2）解：∵，∴或
①当时，令，，∴则，，
∴，是方程的两个不相等的实数根，
∴，此时；
②当时，，此时；
综上：或
（3）解：令，，则，，
∵，∴即，∴，是方程的两个不相等的实数根，
∴，故．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，幂的乘方与积的乘方，换元法，解一元二次方程等知识，解题的关键是理解题意，学会模仿例题解决问
…
…
…
…