考点11反比例函数（精练）2024年中考数学一轮复习之核心考点精讲精练（全国通用）原卷版+解析版

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1．（2023·北京朝阳·统考一模）下面的三个问题中都有两个变量：
①矩形的面积一定，一边长与它的邻边；
②某村的耕地面积一定，该村人均耕地面积与全村总人口；
③汽车的行驶速度一定，行驶路程与行驶时间．
其中，两个变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（ ）

A．①②B．①③C．②③D．①②③
【答案】A
【分析】当两个变量的积为定值时，两个变量之间的函数关系可以用形如（k为常数，）的式子表示，由此逐项判断即可．
【详解】解：由函数图象可知，这两个变量之间成反比例函数关系，
①矩形的面积，因此矩形的面积一定时，一边长y与它的邻边x可以用形如的式子表示，即满足所给的函数图象；
②耕地面积，因此耕地面积一定时，该村人均耕地面积S与全村总人口n可以用形如的式子表示，即满足所给的函数图象；
③汽车的行驶速度，因此汽车的行驶速度一定，行驶路程s与行驶时间t不可以用形如的式子表示，即不满足所给的函数图象；综上可知：①②符合要求，故选A．
【点睛】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是掌握反比例函数的定义．
2．（2023·河南信阳·统考一模）下列图象中，函数与在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分别根据一次函数和反比例函数的图象与性质逐项判断即可．
【详解】解：当时，函数的图象在第一、二、三象限，反比例函数的图象在第一、三象限；当时，函数的图象在第二、三、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限，选项B正确，符合题意. 故选：B．
【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的图象与性质，熟练掌握一次函数和反比例函数的图象与性质是解答的关键．
3．（2023·河南南阳·统考二模）已知双曲线经过点，则下面说法错误的是（ ）
A．该双曲线的解析式为B．点在该双曲线上
C．该双曲线在第二、四象限D．当时，y随x增大而减小
【答案】D
【分析】根据反比例函数的性质，对选项逐个判断即可．
【详解】解：双曲线经过点，可得，即，A选项正确，不符合题意；
将代入得，，B选项正确，不符合题意；
∵∴该双曲线在第二、四象限，C选项正确，不符合题意；
当当时，y随x增大而增大，D选项错误，符合题意；故选：D
【点睛】此题考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的有关性质．
4．（2024.湖北校考模拟预测）如图，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来，在中点O的左侧距离中点处挂一个重的物体，在中点O的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．弹簧秤与中点O的距离L（单位：）及弹簧秤的示数F（单位：N）满足．以L的数值为横坐标，F的数值为纵坐标建立直角坐标系．则F关于L的函数图象大致是（ ）

A． B．C． D．
【答案】B
【分析】根据题意代入数据求得，即可求解．
【详解】解：∵，，，∴，∴，函数为反比例函数，
当时，，即函数图象经过点．故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用以及函数图象，根据题意求出函数关系式是解题的关键．
5．（2023·湖北武汉·统考二模）已知，，，为双曲线上的三个点，且，则以下判断正确的是( )
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】B
【分析】根据反比例函数的性质，当时，图象过二四象限，再根据 ，可判断各选项内的取值范围，进而求解．
【详解】解：∵，∴双曲线图象在第二，四象限，
A、当时，不能判断符号，选项错误，不符合题意；
B、当时，则，∴在第二象限，在第四象限，
∴，选项正确，符合题意．
C、当时，不能判断符号，选项错误，不符合题意；
D、当 时，不能判断符号，选项错误，不符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质．熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．
6．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）若点，在反比例函数的图象上，且，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据反比例函数的性质，进行判断即可．
【详解】解：∵，，∴双曲线过一、三象限，在每一象限内，随的增大而减小，
∵，∴在第三象限，在第一象限，∴，解得：；故选D．
【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的性质，是解题的关键．
7．（2023上·山东德州·九年级统考期末）如图，直线与双曲线交于A、B两点．过点A作轴，垂足为M，连结BM．若，则k的值是（ ）
A．2B．C．mD．4
【答案】A
【分析】设A坐标为，根据直线与双曲线的对称性得到点B坐标为，即可得到，根据点A在点第一象限，即可得到．
【详解】解：设点A坐标为，由直线与双曲线的对称性得点A和点B关于原点对称，
∴点B坐标为，∴，
∵点A在点第一象限，∴．故选：A
【点睛】本题主要考查了反比例函数的几何意义和中心对称性，熟知反比例函数的中心对称性根据点A坐标确定点B的坐标是解题关键．
8．（2023·浙江台州·统考一模）若反比例函数的图象经过点，则的取值范围为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】将点代入，求出的值，再根据，即可求出的取值范围．
【详解】反比例函数的图象经过点，
故选D．
【点睛】本题考查了反比例函数，熟知将点坐标代入解析式左右相等是解题的关键．
9．（2023年湖南省张家界市中考数学真题）如图，矩形的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，点D在上，且，反比例函数的图象经过点D及矩形的对称中心M，连接．若的面积为3，则k的值为（ ）

A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】设点的坐标为，根据矩形对称中心的性质得出延长恰好经过点B，，确定，后结合图形及反比例函数的意义，得出，代入求解即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，∴，，设点的坐标为，
∵矩形的对称中心M，∴延长恰好经过点B，，

∵点D在上，且，∴，∴，
∴ ∵在反比例函数的图象上，∴，
∵，∴，
解得：，∴，故选C．
【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等知识，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
10．（2023·江苏南通·校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别落在双曲线第一和第三象限的两支上，连接，线段恰好经过原点O，以为腰作等腰三角形，，点C落在第四象限中，且轴，过点C作交x轴于E点，交双曲线第一象限一支于D点，若的面积为，则k的值为（ ）

A．2B．3C．4D．
【答案】A
【分析】设，，则，根据已知条件，求出，，，根据，即可求出，连接，设与轴交于点，根据已知条件证明，得出，根据已知条件证明，过点A作轴于点M，求出，即可求出k的值．
【详解】解：设，，，
∵，轴，，
设AB的函数关系式为：，把代入得：，解得：，
∵，，
设的关系式为：，把代入得：，解得：，
∴的关系式为：，联立，解得：或，
∵点D在第一象限，∴，，
连接，设与轴交于点，，
∵，，
为的中点，，，，∴，
∵，，∴四边形为平行四边形，∴，
∵，∴，∵，，
∵，∴，∴，
过点A作轴于点M，∵，，，
∴，，，，∴．故选：A．

【点睛】本题主要考查了反比例函数k值的意义，平行线的性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，作出辅助线，求出，是解题的关键．
11．（2023·北京丰台·二模）在平面直角坐标系中，反比例函数和的图象如图所示，k的值可以是 ．（写出一个即可）．

【答案】2（答案不唯一）
【分析】先确定的取值范围，然后在范围内去一个值即可．
【详解】如图，在上任取一点，作轴，交与点，作轴，过点作轴，设，则，∴，．

∵，∴．∵，∴．∴k的值可以是2．故答案为：2．（答案不唯一）
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
12．（2023·山东青岛·统考二模）为了预防“流感”，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量与时间成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例（如图）．现测得药物燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为．研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于才有效，那么此次消毒的有效时间是 分钟．

【答案】12
【分析】首先根据题意确定一次函数与反比例函数的解析式，然后代入确定两个自变量的值，差即为有效时间．
【详解】解：药物燃烧时y关于x的函数关系式为
把代入中得；，∴，
∴药物燃烧时y关于x的函数关系式为
设药物燃烧后y关于x的函数关系式为
把代入中得；，∴，
∴药物燃烧后y关于x的函数关系式为
把代入，得：，把代入，得：，
∵，∴那么此次消毒的有效时间是12分钟，故答案为：12．
【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数的实际应用，熟练掌握待定系数法是解题关键．
13．（2023·四川成都·校考三模）在平面直角坐标系中，对于每一象限内的反比例函数图像，的值都随值的增大而增大，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据反比例函数的性质得出关于的不等式，求出的取值范围即可．
【详解】解：对于每一象限内的反比例函数图像，的值都随值的增大而增大，
，解得：，故答案为：．
【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解题的关键．
14．（2023·江苏扬州·统考二模）如图，反比例函数，⊙O的半径为2，则阴影部分的面积为 ．

【答案】
【分析】根据反比例函数的图象的性质可得：图中两个阴影面积的和是圆的面积，再根据扇形面积公式求解即可．
【详解】解：∵反比例函数的图象关于坐标原点对称，是中心对称图形，
∴图中两个阴影面积的和是圆的面积，∴．故答案为：．
【点睛】本题主要考查反比例函数图象的性质和勾股定理，解决本题的关键是利用反比例函数的对称性得到阴影部分与圆之间的关系．
15．（2023·湖北随州·统考模拟预测）如图，C，D两点在双曲线（）上，A、B两点在双曲线（，）上，若轴，且，则三角形的面积 ．

【答案】
【分析】如图，过点C作轴于点F，作轴于点G，过点D作轴于点E，则四边形是矩形，设点C和点D的坐标，得到点A和点B的坐标，得到和的长，然后由列出方程，化简得到a与b的关系，然后用切割法求得五边形的面积，由反比例系数k的几何意义求得、、矩形的面积，从而得到梯形的面积和的面积相等，最后求得的面积．
【详解】解：如图，过点C作轴于点F，过点D作轴于点E，

设，，∴点，，
∴，，，，，
∵，∴，化简得，，
∴，
∵点C和点D在反比例函数上，∴，，
∴，∴，
∵，
∴，故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，切割法求多边形的面积，解题的关键是熟知反比例函数图象上点的坐标特征．
16．（2022·福建三明·统考模拟预测）反比例函数（，为常数）和在第一象限内的图象如图所示，点在的图象上，轴于点，交的图象于点；轴于点，交的图象于点，当点在的图象上运动时，以下结论：
；四边形的面积为；当时，点是的中点；
若，则四边形为正方形．
其中正确的是 ．（把所有正确结论的序号都填在横线上）

【答案】
【分析】由反比例函数的几何意义可得答案；，进行计算即可得到答案；连接，根据已知条件得到，根据三角形的面积公式即可得到结论；由知，，解得：，得到不一定等于，从而得出结论．
【详解】解：轴于点，交的图象于点；轴于点，交的图象于点，轴，轴，
点在反比例函数上，，故正确，符合题意；
点在的图象上，轴于点，轴于点，，
，故正确，符合题意；
连接，，，
，
在函数的图象上，点在的图象上，
，，，，，
点是的中点，故正确，符合题意；
，由知，，解得：，
点在的图象上运动，不一定等于，
四边形不一定为正方形，与的取值无关，故错误；
综上所述，正确的是：，故答案为：．
【点睛】本题主要考查了反比例函数中的几何意义，即过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积为，所得三角形的面积为，熟练掌握此知识点是解题的关键．
17．（2023·广东东莞·校联考一模）已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于和两点．(1)求k和n的值；(2)若点也在反比例函数图象上，求当时，函数值y的取值范围；(3)直接写出关于x的不等式的解集 ．

【答案】(1)(2)(3)或
【分析】（1）将点的坐标代入一次函数解析式及反比例函数解析式即可求出k和n的值；（2）根据反比例函数的增减性解答；（3）即为反比例函数图象在一次函数图象上方，据此解答．
【详解】（1）解：当时，，∴点B的坐标为．
∵反比例函数的图象过点，∴．
（2）∵，∴当时，y随x值增大而减小，
∵时，时，∴当时，；
（3）由图象可知，不等式的解集是或，故答案为或．
18．（2023·山西阳泉·校联考模拟预测）阅读与思考
下面是小宇同学的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务．
今天是2023年5月8日（星期一），在下午数学活动课上，我们“腾飞”小组的同学，参加了一次“探索输出功率与电阻函数关系的数学活动”．
第一步，我们根据物理知识，（表示电压为定值6V，表示电流），通过测量电路中的电流计算电功率．
第二步，通过换用不同定值电阻，使电路中的总电阻成整数倍的变化．
第三步，计算收集数据如下：
第四步，数据分析，以的数值为横坐标，的数值为纵坐标建立平面直角坐标系，在该坐标系中描出以表中数对为坐标的各点，并用光滑的曲线顺次连接这些点．
数据分析中，我发现一组数据可能有明显错误，重新实验，证明了我的猜想正确，并对数据进行了修改.实验结束后，大家有很多收获，每人都撰写了数学日记．
任务：(1)上面日记中，数据分析过程，主要运用的数学思想是______；
A．数形结合 B．类比思想 C．分类讨论 D．方程思想
(2)你认为表中哪组数据是明显错误的；并直接写出关于的函数表达式；
(3)在下面平面直角坐标系中，画出此函数的图象；
(4)请直接写出：若想大于30W，的取值范围．
【答案】(1)A(2)，第五组数据是错误的(3)详见解析(4)
【分析】（1）根据上面日记中，数据分析过程即可得到答案；（2）由和可得关于的函数表达式为，在代入数据即可判断第几组数据是错误的；（3）先描点，在用平滑的曲线连起来即可；（4）若想大于30W，则，解不等式即可得到答案．
【详解】（1）解：上面日记中，数据分析过程，利用函数图象来观察功率与电阻的关系，主要运用的数学思想是数形结合；故答案为：A；
（2）解：由和可得关于的函数表达式为，
，，当时，不在函数表达式上，
时，是明显错误的；P关于R的函数表达式是：；
（3）解：在该坐标系中描出表中前4组数据对为坐标的各点，并用光滑的曲线顺次连接这些点，作出此函数的图象如图所示：
（4）解：若想大于30W，即，则，且，
则的取值范围．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的实际应用，根据题意求出反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数的性质，采用数形结合的思想，是解题的关键．
19．（2023·湖南娄底·统考一模）如图，函数的图象过点和两点．

(1)求和的值；(2)点是双曲线上介于点和点之间的一个动点，若，求点的坐标；
(3)过点作，交轴于点，交轴于点，第二象限内是否存在点，使得是以为腰的等腰直角三角形?若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)和的值分别为，；(2)，(3)点或。
【分析】（1）将、两点的坐标分别代入反比例函数解析式，解方程组得、的值；
（2）设点，过点做轴于点，交于点，以为底，由的面积解出点坐标；（3）先用待定系数法求得进而求出直线的解析式，再分两种情况进行讨论：①以为直角边，为直角顶点；②以为直角边，为直角顶点．再观察图形并利用点的移动特点写出答案．
【详解】（1）解：函数的图像过点和两点，
，解得，故和的值分别为，；
（2）解：，，设直线的解析式为：，
把代入，得，解得，∴直线的解析式为：，
过点作轴于点，交直线于点，

设，，，
，或（不符合题意舍去），
（3）解：，直线的解析式为：，设直线的解析式为：，
点在直线上，，，即，直线的解析式为：；
当时，，∴，当时，，∴，
根据题意，分两种情况进行讨论：①以为直角边，为直角顶点；
如图，过做轴于点，可知：，
，，
又，，又，
，，
故点到点的平移规律是：向左移个单位，向上移个单位得点坐标，
，且在第二象限，即；
②以为直角边，为直角顶点；同①理得，将点向左移个单位，向上移个单位得点坐标，得．综上所述：点或
【点睛】此题考查关于一次函数、反比例函数与动态三角形的综合题，熟练运用待定系数法求函数解析式，准确完整地讨论等腰直角三角形的各种可能的情况是解此题的关键．
20．（2023·四川成都·成都七中校考三模）直线：与y轴交于点C，反比例函数的图象交于点、B．(1)求a的值及B的坐标；(2)在x轴上存在点D，使，求点D的坐标；(3)如图2，将反比例函数的图象沿直线：翻折得到一个封闭图形（图中阴影部分），若直线：与此封闭图形有交点，求出满足条件的k的取值范围．

【答案】(1)；(2)点的坐标为或(3)
【分析】（1）先将点A坐标代入一次函数，求点A的坐标，将点A坐标代入反比例函数，求得的值，再列方程求得点B的坐标即可解答；（2）求出和的长，再利用三角函数求得点到的距离，利用三角形面积公式即可列方程，解答；（3）求出直线：与反比例函数，只有一个交点时的值和交点坐标，利用轴对称的性质，求得该交点坐标在翻折后的对应点坐标，则直线：经过该对应点坐标时，与反比例函数翻折后的解析式也只有一个交点，求出此时的值，即可得到k的取值范围．
【详解】（1）解：代入，可得，解得，，
将代入，可得，解得，反比例函数的解析式为，
列方程，解得，，经检验，，是方程的解，当时，，；
（2）解：如图，画出图形，过点作的垂线段交于点E，当时，得，解得，

当时，得，，，，
设，故，，，
，可得方程，解得，，
点的坐标为或；
（3）解：列方程，整理得，
当和，只有一个交点时，只有一个解，
此时，即，解得，
当时，方程为，解得，和的交点为，
如图，设和的交点为，设与反比例函数的图象沿直线：翻折后的函数的交点为F，连接交于点，过点作轴的平行线交于点，连接，故，，，
当时，可得，解得，，，，
，，，
，点M的横坐标为，
当时，可得，，，
将代入，可得，解得，满足条件的k的取值范围为．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，根据一元二次方程根的情况求系数，轴对称，解直角三角形，正确求出反比例函数，充分利用数形结合的思想是解题的关键．
21．（2023·广东深圳·校考模拟预测）阅读材料：“三等分角”是数学史上一个著名问题．今天人们已经知道，仅用圆规和直尺是不可能作出的．在研究这个问题的过程中，数学家帕普斯借助函数给出了一种“三等分锐角”的方法，如图1，步骤如下：
①建立直角坐标系，将已知锐角的顶点与原点O重合，角的一边与x轴正方向重合；
②在直角坐标系中，绘制函数的图象，图象与已知角的另一边交于点P；
③以P为圆心、以为半径作弧，交函数的图象于点R；
④分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，分别交于点M，点Q；
⑤连接，得到．则．
思考问题：(1)设，，求直线的函数解析式（用含a，b的代数式表示），并说明Q点在直线上；(2)证明：．(3)如图2，若直线与反比例函数交于点C，D为反比例函数第一象限上的一个动点，使得．求用材料中的方法求出满足条件D点坐标．
【答案】(1)，证明见解析(2)见解析(3)或
【分析】（1）由轴，轴，，，即可得出M点的坐标，即可，再将点Q的坐标代入解析式即可判断点Q是否在直线上；（2）连接，交于点S，由矩形的性质和平行线的性质即可得到结论；（3）先求出点，可得，然后分两种情况讨论：当D点在下方时，当D点在上方时，即可求解．
【详解】（1）解：设直线的函数表达式为，由题意得：，
∴四边形为矩形，∵，，∴，，
把点代入得：，∴直线的函数表达式为，
∵的坐标满足，∴点Q在直线上；
（2）解：连接，交于点S，

由题意得四边形是矩形，∴，，，
∴，∴，∴
∵，∴．∴，
∵轴，∴，∴，即．
（3）解：∵直线与反比例函数交于点C，
∴，解得：或（舍去），∴，∴，
当D点在下方时，如图，以C为圆心，为半径画弧，交反比例函数于点E，作轴，作轴，连接并延长交反比例与点F，作，连接，与交于点H，，，，
作于I，则，，，，
则，，即，
同理，当D点在上方时，有．
【点睛】此题在考查三等分角的作法时，综合考查了待定系数法求函数解析式的方法、矩形的性质以及三角形外角的性质等，综合性较强．
限时检测2：最新各地中考真题（60分钟）
1．（2023年浙江省嘉兴市中考数学真题）已知点，，均在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据反比例函数的图象与性质解答即可．
【详解】解：∵，∴图象在一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小，
∵，∴．故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数(k是常数，)的图象是双曲线，当，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当 ，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大．
2．（2023年广东广州中考数学真题）已知正比例函数的图象经过点，反比例函数的图象位于第一、第三象限，则一次函数的图象一定不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【分析】根据正比例函数的图象经过点，在第四象限，推出，根据反比例函数的图象位于第一、第三象限，推出，则一次函数的图象经过第一、二、四象限，即可解答．
【详解】解：∵正比例函数的图象经过点，在第四象限，
∴正比例函数经过二、四象限，∴，
∵反比例函数的图象位于第一、第三象限，∴，
∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，
则一次函数的图象一定不经过第三象限，故选：C．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，解题的关键是掌握一次函数和反比例函数的图象和性质．
3．（2023年山东省泰安市中考数学真题）一次函数与反比例函数（a，b为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可能是（ ）
A．B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据一次函数图象确定a、b的符号，进而求出的符号，由此可以确定反比例函数图象所在的象限，看是否一致即可．
【详解】解：A、∵一次函数图象经过第一、二、三象限，∴，∴，
∴反比例函数的图象见过第一、三象限，这与图形不符合，故A不符合题意；
B、∵一次函数图象经过第一、二、四象限，∴，∴，
∴反比例函数的图象见过第二、四象限，这与图形不符合，故B不符合题意；
C、∵一次函数图象经过第一、三、四象限，∴，∴，
∴反比例函数的图象见过第二、四象限，这与图形不符合，故C不符合题意；
D、∵一次函数图象经过第一、二、四象限，∴，∴，
∴反比例函数的图象见过第二、四象限，这与图形符合，故D符合题意；故选D．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数图象和性质，熟练掌握相关性质与函数图象的关系是解决本题的关键．
4．（2023年浙江省宁波市中考数学真题）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于两点，点的横坐标为1，点的横坐标为，当时，的取值范围是( )

A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】B
【分析】根据不等式与函数图像的关系，当时，的取值范围是指反比例函数在一次函数上方图像对应的的取值范围，数形结合即可得到答案．
【详解】解：由图可知，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于两点，点的横坐标为1，点的横坐标为，
当或时，有反比例函数图像在一次函数图像上方，
即当时，的取值范围是或，故选：B．
【点睛】本题考查由函数图像解不等式，熟练掌握不等式与函数图像的关系是解决问题的关键．
5．（2023年内蒙古通辽市中考数学真题）已知点在反比例函数的图像上，且，则下列结论一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】把点A和点B的坐标代入解析式，根据条件可判断出、的大小关系．
【详解】解：∵点，）是反比例函数的图像上的两点，∴，
∵，∴，即，故D正确．故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征，掌握图像上点的坐标满足函数解析式是解题的关键．
6．（2023年辽宁省大连市中考数学真题）已知蓄电池两端电压为定值，电流与成反比例函数关系．当时，，则当时，的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用待定系数法求出的值，由此即可得．
【详解】解：由题意得：，
∵当时，，，解得，，
则当时，，故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数，熟练掌握待定系数法是解题关键．
7．（2023年吉林省长春市中考数学真题）如图，在平面直角坐标系中，点、在函数的图象上，分别以、为圆心，为半径作圆，当与轴相切、与轴相切时，连结，，则的值为（ ）
A．3B．C．4D．6
【答案】C
【分析】过点分别作轴的垂线，垂足分别为，交于点，得出的横坐标为，的纵坐标为，设，，则，根据，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，交于点，
依题意，的横坐标为，的纵坐标为，设，∴，则，
又∵，，∴
∴（负值已舍去）解得：，故选：C．
【点睛】本题考查了切线的性质，反比例函数的性质，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．
8．（2023年江苏省淮安市中考数学真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于两点，且与反比例函数在第一象限内的图象交于点．若点坐标为，则的值是（ ）．

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】过点作轴于点，则，可得，进而根据已知条件的，求得直线的解析式，将代入，得出点的坐标，代入反比例函数解析式，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作轴于点，则

∴∴ ∵,∴∴解得：
∵点在上，∴解得：
∴直线的解析式为当时，即
又反比例函数在第一象限内的图象交于点∴,故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的性质与判定，求得点的坐标是解题的关键．
9．（2023年江苏省宿迁市中考数学真题）如图，直线、与双曲线分别相交于点．若四边形的面积为4，则的值是（ ）

A．B．C．D．1
【答案】A
【分析】连接四边形的对角线，过作轴，过作轴，直线与轴交于点，如图所示，根据函数图像交点的对称性判断四边形是平行四边形，由平行四边形性质及平面直角坐标系中三角形面积求法，确定，再求出直线与轴交于点，通过联立求出纵坐标，代入方程求解即可得到答案．
【详解】解：连接四边形的对角线，过作轴，过作轴，直线与轴交于点，如图所示：

根据直线、与双曲线交点的对称性可得四边形是平行四边形，
，
直线与轴交于点，当时，，即，
与双曲线分别相交于点，
联立，即，则，由，解得，
，即，解得，故选：A．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数综合，涉及平行四边形的判定与性质，熟练掌握平面直角坐标系中三角形面积求法是解决问题的关键．
10．（2023年浙江省湖州市中考数学真题）已知在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象的两个交点中，有一个交点的横坐标为1，点和点在函数的图象上(且)，点和点在函数的图象上．当与的积为负数时，t的取值范围是( )
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】D
【分析】将交点的横坐标1代入两个函数，令二者函数值相等，得．令，代入两个函数表达式，并分别将点A、B的坐标和点C、D的坐标代入对应函数，进而分别求出与的表达式，代入解不等式并求出t的取值范围即可．
【详解】解：∵的图象与反比例函数的图象的两个交点中，有一个交点的横坐标为1，∴．令，则，．
将点和点代入，得；
将点和点代入，得．
∴，，
∴，∴．
∵，
∴，∴．
①当时，，∴不符合要求，应舍去；
②当时，，∴符合要求；
③当时，，∴不符合要求，应舍去；
④当时，，∴符合要求；
⑤当时，，∴不符合要求，应舍去．
综上，t的取值范围是或．故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点，解不等式是本题的关键．
11．（2023年山东省青岛市中考数学真题）反比例函数的图象经过点，则反比例函数的表达式为 ．
【答案】
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，列出关于m的方程解出即可．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，∴，∴反比例函数的表达式为．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，点的坐标之积是常数是解题的关键．
12．（2023年江苏省南通市中考数学真题）某型号汽车行驶时功率一定，行驶速度（单位：m/s）与所受阻力（单位：N）是反比例函数关系，其图象如图所示．若该型号汽车在某段公路上行驶时速度为，则所受阻力为 ．

【答案】2500
【分析】根据题意得知函数成反比例函数，由图中数据可以求出反比例函数的解析式，再将代入求的值．
【详解】解：设功率为，由题可知，即，将，代入解得，
即反比例函数为：，将代入，得，故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数，熟练掌握将自变量代入解析式求得函数值是解题的关键．
13．（2023年山东省日照市中考数学真题）已知反比例函数（且）的图象与一次函数的图象共有两个交点，且两交点横坐标的乘积，请写出一个满足条件的k值 ．
【答案】（满足都可以）
【分析】先判断出一次函数的图象必定经过第二、四象限，再根据判断出反比例函数图象和一次函数图象的两个交点在同一象限，从而可以得到反比例函数的图象经过第二、四象限，即，最终选取一个满足条件的值即可．
【详解】解：，一次函数的图象必定经过第二、四象限，
，反比例函数图象和一次函数图象的两个交点在同一象限，
反比例函数（且）的函数图象经过第一、三象限，，∴，
∵，∴，∴满足条件的k值可以为1.5，故答案为：1.5（满足都可以）．
【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的图形性质，解题的关键是根据判断出反比例函数图象和一次函数图象的两个交点在同一象限．
14．（2023年河北省中考数学真题）如图，已知点，反比例函数图像的一支与线段有交点，写出一个符合条件的k的数值： ．

【答案】4（答案不唯一，满足均可）
【分析】先分别求得反比例函数图像过A、B时k的值，从而确定k的取值范围，然后确定符合条件k的值即可．
【详解】解：当反比例函数图像过时，；
当反比例函数图像过时，；
∴k的取值范围为∴k可以取4．故答案为4（答案不唯一，满足均可）．
【点睛】本题主要考查了求反比例函数的解析式，确定边界点的k的值是解答本题的关键．
15．（2023年四川省攀枝花市中考数学真题）如图，在直角中，，，将绕点顺时针旋转至的位置，点是的中点，且点在反比例函数的图象上，则的值为 ．

【答案】
【分析】依据题意，在中，，，从而，可得，又结合题意，，进而，故可得点坐标，代入解析式可以得解．
【详解】解：如图，作轴，垂足为．

由题意，在中，，，．．．
又绕点顺时针旋转至的位置，．．
又点是的中点，．
在中，，．，．
又在上，．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，旋转的性质，勾股定理等知识，解题时需要熟练掌握并灵活运用是关键．
16．（2023年湖南省益阳市中考数学真题）我们在学习一次函数、二次函数图象的平移时知道：将一次函数的图象向上平移1个单位得到的图象；将二次函数的图象向左平移2个单位得到的图象．若将反比例函数的图象向下平移3个单位，如图所示，则得到的图象对应的函数表达式是 ．

【答案】
【分析】函数图象的平移规则为：上加下减，左加右减，根据平移规则可得答案．
【详解】解：将反比例函数的图象向下平移3个单位可得平移后的解析式为：
，故答案为：．
【点睛】本题考查的是函数图象的平移，解题的关键是理解并熟记函数图象的平移规则为：上加下减，左加右减．
17．（2023年浙江省杭州市中考数学真题）在直角坐标系中，已知，设函数与函数的图象交于点和点．已知点的横坐标是2，点的纵坐标是．
(1)求的值．(2)过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第二象限交于点；过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第四象限交于点．求证：直线经过原点．

【答案】(1)，(2)见解析
【分析】（1）首先将点的横坐标代入求出点A的坐标，然后代入求出，然后将点的纵坐标代入求出，然后代入即可求出；（2）首先根据题意画出图形，然后求出点C和点D的坐标，然后利用待定系数法求出所在直线的表达式，进而求解即可．
【详解】（1）∵点的横坐标是2，∴将代入
∴，∴将代入得，，∴，
∵点的纵坐标是，∴将代入得，，∴，
∴将代入得，，∴解得，∴；
（2）如图所示，

由题意可得，，，∴设所在直线的表达式为，
∴，解得，∴，∴当时，，∴直线经过原点．
【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数综合，待定系数法求函数表达式等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
18．（2023年山东省枣庄市中考数学真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点．(1)求一次函数的表达式，并在所给的平面直角坐标系中画出这个一次函数的图象；(2)观察图象，直接写出不等式的解集；(3)设直线与x轴交于点C，若为y轴上的一动点，连接，当的面积为时，求点P的坐标．

【答案】(1)，图见解析(2)或(3)或
【分析】（1）先根据反比例函数的解析式，求出的坐标，待定系数法，求出一次函数的解析式即可，连接，画出一次函数的图象即可；（2）图象法求出不等式的解集即可；（3）分点在轴的正半轴和负半轴，两种情况进行讨论求解．
【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，∴，∴，∴，
∴，解得：，∴，图象如图所示：

（2）解：由图象可知：不等式的解集为或；
（3）解：当点在轴正半轴上时：设直线与轴交于点，
∵，当时，，当时，，∴，
∴，∴，解得：；∴；
当点在轴负半轴上时：，

∴解得：或（不合题意，舍去）；
∴．综上：或．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
19．（2023年四川省成都市数学中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与反比例函数的图象的一个交点为，过点B作AB的垂线l．

(1)求点A的坐标及反比例函数的表达式；(2)若点C在直线l上，且的面积为5，求点C的坐标；
(3)P是直线l上一点，连接PA，以P为位似中心画，使它与位似，相似比为m．若点D，E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标及m的值．
【答案】(1)点A的坐标为，反比例函数的表达式为；(2)点C的坐标为或
(3)点P的坐标为；m的值为3
【分析】（1）利用直线解析式可的点C的坐标，将点代入可得a的值，再将点代入反比例函数解析式可得k的值，从而得解；（2）设直线l于y轴交于点M，由点B的坐标和直线l是的垂线先求出点M的坐标，再用待定系数法求直线l的解析式，C点坐标为，根据(分别代表点B与点C的横坐标)可得点C的横坐标，从而得解；
（3） 位似图形的对应点与位似中心三点共线可知点B的对应点也在直线l上，不妨设为点E，则点A的对应点是点D，直线l与双曲线的解析式联立方程组得到，由得到，继而得到直线与直线的解析式中的一次项系数相等，设直线的解析式是：，将代入求得的解析式是：，再将直线与双曲线的解析式联立求得，再用待定系数法求出的解析式是，利用直线的解析式与直线l的解析式联立求得点P的坐标为，再用两点间的距离公式得到，从而求得．
【详解】（1）解：令，则∴点A的坐标为，
将点代入得：解得：∴
将点代入得：解得：∴反比例函数的表达式为；
（2）解：设直线l于y轴交于点M，直线与x轴得交点为N，

令解得：∴，∴，
又∵，∴∵，∴
又∵直线l是的垂线即，，
∴，∴设直线l的解析式是：，
将点，点代入得：解得：
∴直线l的解析式是：，设点C的坐标是
∵，(分别代表点B与点C的横坐标)
解得： 或6，当时，；当时，，
∴点C的坐标为或
（3）∵位似图形的对应点与位似中心三点共线，∴点B的对应点也在直线l上，不妨设为点E，则点A的对应点是点D，∴点E是直线l与双曲线的另一个交点，
将直线l与双曲线的解析式联立得：解得：或∴
画出图形如下：

又∵∴∴
∴直线与直线的解析式中的一次项系数相等，设直线的解析式是：
将点代入得：解得：∴直线的解析式是：
∵点D也在双曲线上，∴点D是直线与双曲线的另一个交点，
将直线与双曲线的解析式联立得：解得：或∴
设直线的解析式是：将点，代入得：解得：
∴直线的解析式是：，
又将直线的解析式与直线l的解析式联立得：解得：
∴点P的坐标为∴
∴
【点睛】本题考查直线与坐标轴的交点，求反比例函数解析式，反比例函数的图象与性质，反比例函数综合几何问题，三角形的面积公式，位似的性质等知识，综合性大，利用联立方程组求交点和掌握位似的性质是解题的关键．
20．（2023年山东省济南市中考数学真题）综合与实践
如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为．
【问题提出】小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？
【问题探究】小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标．
如图2，反比例函数的图象与直线：的交点坐标为和_________，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或___________m，__________m．

（1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空．
【类比探究】（2）若，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由．【问题延伸】当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，当过点时，直线与反比例函数的图象有唯一交点．（3）请在图2中画出直线过点时的图象，并求出的值．
【拓展应用】小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“与图象在第一象限内交点的存在问题”．
（4）若要围出满足条件的矩形地块，且和的长均不小于，请直接写出的取值范围．
【答案】（1）；4；2；（2）不能围出，理由见解析；（3）图见解析，；（4）
【分析】（1）联立反比例函数和一次函数表达式，求出交点坐标，即可解答；
（2）根据得出，，在图中画出的图象，观察是否与反比例函数图像有交点，若有交点，则能围成，否则，不能围成；（3）过点作的平行线，即可作出直线的图象，将点代入，即可求出a的值；（4）根据存在交点，得出方程有实数根，根据根的判别式得出，再得出反比例函数图象经过点，，则当与图象在点左边，点右边存在交点时，满足题意；根据图象，即可写出取值范围．
【详解】解：（1）∵反比例函数，直线：，
∴联立得：，解得：，，
∴反比例函与直线：的交点坐标为和，
当木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或，．
故答案为： 4；2．
（2）不能围出．∵木栏总长为，∴，则，
画出直线的图象，如图中所示：
∵与函数图象没有交点，∴不能围出面积为的矩形；
（3）如图中直线所示，即为图象，
将点代入，得：，解得；

（4）根据题意可得∶ 若要围出满足条件的矩形地块， 与图象在第一象限内交点的存在问题，即方程有实数根，
整理得：，∴，解得：，
把代入得：，∴反比例函数图象经过点，
把代入得：，解得：，∴反比例函数图象经过点，
令，，过点，分别作直线的平行线，
由图可知，当与图象在点A左边，点B右边存在交点时，满足题意；
把代入得：，解得：，∴．
【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数综合，解题的关键是正确理解题意，根据题意得出等量关系，掌握待定系数法，会根据函数图形获取数
...
5
10
15
20
25
...
...
7.2
3.6
2.4
1.8
1.6
...