考点12二次函数（精讲）2024年中考数学一轮复习之核心考点精讲精练（全国通用）原卷版+解析版

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二次函数作为初中三大函数考点最多，出题最多，难度最大的函数，一直都是各地中考数学中最重要的考点，年年都会考查，总分值为15-20分。而对于二次函数图象和性质的考查，也主要集中在二次函数的图象、图象与系数的关系、与方程及不等式的关系、图象上点的坐标特征等几大方面。题型变化较多，考生复习时需要熟练掌握相关知识，熟悉相关题型，认真对待该考点的复习。
【知识清单】
1：二次函数的相关概念（☆☆）
1）二次函数的概念：一般地，形如 y=ax2+bx+c （a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
2）二次函数解析式的三种形式
（1）一般式： y=ax2+bx+c （a，b，c为常数，a≠0）．
（2）顶点式： y=a（x–h）2+k （a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）．
（3）交点式： y=a（x–x1）（x–x2） ，其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0．
2：二次函数的图象与性质（☆☆☆）
（1）二次函数图象的翻折与旋转
抛物线y=a(x-h)²+k，绕顶点旋转180°变为：y= -a(x-h)²+k；绕原点旋转180°变为：y= -a(x+h)²-k；
沿x轴翻折变为：y= -a(x-h)²-k；沿y轴翻折变为：y= a(x+h)²+k；
（2）二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式．
3：二次函数与各项系数之间的关系（☆☆☆）
1）抛物线开口的方向可确定a的符号：
抛物线开口向上，a＞0；抛物线开口向下，a＜0
2）对称轴可确定b的符号（需结合a的符号）：
对称轴在x轴负半轴，则＜0 ，即ab＞0；对称轴在x轴正半轴，则＞0 ，即ab＜0
3）与y轴交点可确定c的符号：与y轴交点坐标为（0，c），
交于y轴负半轴，则c＜0；交于y轴正半轴，则c＞0
4）特殊函数值符号（以x=1的函数值为例）：
若当x=1时，若对应的函数值y在x轴的上方，则a+b+c＞0；若对应的函数值y在x轴上方，则a+b+c=0；若对应的函数值y在x轴的下方，则a+b+c＜0；
5）其他辅助判定条件：
1）顶点坐标；2）若与x轴交点，，则可确定对称轴为：x=；
3）韦达定理： 具体要考虑哪些量，需要视图形告知的条件而定。
4：二次函数与方程、不等式（☆☆）
1）二次函数与一元二次方程的关系
（1）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）。
（2）ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标。
（3）①b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点；
②b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点；
③b2–4ac0为例）:
【易错点归纳】
1. 二次函数的辨别中切记保证a≠0，而b，c可以为任意实数（即可为0）；
2. 抛物线的增减性问题，由a的正负和对称轴同时确定，单一的直接说，y随x的增大而增大（或减小）是不对的，必须附加一定的自变量x取值范围；
3. 抛物线在平移的过程中，a的值不发生变化，变化的只是顶点的位置，且与平移方向有关。
【核心考点】
核心考点1.二次函数的相关概念
例1：（2023·山东济宁·校联考三模）以下函数式二次函数的是（ ）
A．B．C． D．
变式1.（2023·山东济南·模拟预测）若是二次函数，则的值等于（ ）
A．B．C．D．或
例2：（2023上·浙江温州·九年级校联考阶段练习）已知某种产品的成本价为30元/千克，经市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：．设这种产品每天的销售利润为w（元），则w与x之间的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2023年江苏省泰州市中考数学真题）函数y与自变量x的部分对应值如表所示，则下列函数表达式中，符合表中对应关系的可能是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2023·北京·统考二模）如图，某小区有一块三角形绿地，其中．计划在绿地上建造一个矩形的休闲书吧，使点P，M，N分别在边上．记，图中阴影部分的面积为．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（ ）

A．一次函数关系，二次函数关系B．一次函数关系，反比例函数关系
C．二次函数关系，一次函数关系D．反比例函数关系，二次函数关系
核心考点2.二次函数的图象与性质
例3：（2023年四川省成都市数学中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，下列说法正确的是（ ）

A．抛物线的对称轴为直线B．抛物线的顶点坐标为
C．，两点之间的距离为D．当时，的值随值的增大而增大
变式1.（2023年山东省潍坊市中考数学真题）已知抛物线经过点，则下列结论正确的是（ ）（多选题）
A．拋物线的开口向下 B．拋物线的对称轴是
C．拋物线与轴有两个交点 D．当时，关于的一元二次方程有实根
变式2．（2023年江苏省扬州市中考数学真题）已知二次函数（a为常数，且），下列结论：①函数图像一定经过第一、二、四象限；②函数图像一定不经过第三象限；③当时，y随x的增大而减小；④当时，y随x的增大而增大．其中所有正确结论的序号是( )
A．①②B．②③C．②D．③④
例4：（2023年辽宁省沈阳市中考数学真题）二次函数图象的顶点所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
变式1. （2023年上海市中考数学真题）一个二次函数的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是 ．
变式2.（2022·黑龙江哈尔滨·中考真题）抛物线的顶点坐标是（ ）
A．B．C．D．
变式3．（2024上·北京海淀·九年级校考阶段练习）某同学在用描点法画二次函数的图象时，列出了下面的表格：
那么m的值为（ ）
A．B．C．0D．5
例5：（2022·山东泰安·中考真题）如图,函数和(是常数,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
变式1．（2022·广西·中考真题）已知反比例函数的图象如图所示，则一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
例6：（2023年山东省日照市中考数学真题）在平面直角坐标系中，抛物线，满足，已知点，，在该抛物线上，则m，n，t的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
变式1.（2023·四川乐山·统考二模）已知二次函数（为常数，且）．
（1）若点，在函数图像上，则 （填“>”、“0
a0
b2-4ac=0
b2-4ac0的解集情况
xx2
取任意实数
ax2＋bx＋c