考点18特殊的平行四边形（精讲）-2024年中考数学一轮复习之核心考点精讲精练（全国通用）原卷版+解析版

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特殊的平行四边形是中考中的考查重点，年年都会考查，分值为15分左右，预计2024年各地中考还将出现，并且在选择、填空题中考查利用特殊四边形性质和判定求角度、长度问题的可能性比较大。解答题中考查特殊四边形的性质和判定，一般和三角形全等（相似）、解直角三角形、二次函数、动态问题综合应用的可能性比较大。对于本考点内容，要注重基础，反复练习，灵活运用。
【知识清单】
1：矩形的判定及性质（☆☆☆）
1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
2）矩形的性质：（1）矩形两组对边平行且相等；（2）矩形的四个角都是直角；（3）对角线互相平分且相等；（4）矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形.矩形的对称中心是矩形对角线的交点；矩形有两条对称轴，矩形的对称轴是过矩形对边中点的直线；矩形的对称轴过矩形的对称中心。
【推论】在直角三角形中斜边的中线，等于斜边的一半。
3）矩形的判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）对角线相等的平行四边形是矩形；
（3）有三个角是直角的四边形是矩形。
矩形的判定思路：要证明一个四边形是矩形，首先要判断四边形是否为平行四边形，若是，则需要再证明对角线相等或有一个角是直角；若不易判断，则可通过证明有三个角是直角来直接证明。
4）矩形的折叠问题：（1）对折叠前后的图形进行细致分析，折叠后的图形与原图形全等，对应边、对应角分别相等，找出各相等的边或角；（2）折痕可看作角平分线（对称线段所在的直线与折痕的夹角相等）；（3) 折痕可看作垂直平分线（互相重合的两点之间的连线被折痕垂直平分）；（4）选择一个直角三角形(不找以折痕为边长的直角三角形)，利用未知数表示其它直角三角形三边，通过勾股定理/相似三角形知识求解。
2：菱形的判定及性质（☆☆☆）
1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
2）菱形的性质：1）具有平行四边形的所有性质；2）四条边都相等；3）两条对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角；4）菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，菱形的对称中心是菱形对角线的交点，菱形的对称轴是菱形对角线所在的直线，菱形的对称轴过菱形的对称中心。
3）菱形的判定：（1）A
对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（2）一组邻边相等的平行四边形是菱形；（3）四条边相等的四边形是菱形。
菱形的判定思路：判定一个四边形是菱形时，可先说明它是平行四边形，再说明它的一组邻边相等或它的对角线互相垂直，也可直接说明它的四条边都相等或它的对角线互相垂直平分。
4）菱形的面积：S=ah=对角线乘积的一半（其中a为边长，h为高）；菱形的周长：周长C=4a。
3：正方形的判定及性质（☆☆☆）
1）正方形的定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形。
2）正方形的性质：（1）正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质；
（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等；（3）正方形对边平行且相等；
（4）正方形的对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角；
（5）正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形，正方形对角线与边的夹角为45°；
（6）正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形。
3）正方形的判定：（1）平行四边形+一组邻边相等+一个角为直角；（2）矩形+一组邻边相等；
（3）矩形+对角线互相垂直；（4）菱形+一个角是直角；（5）菱形+对角线相等.
正方形的判定思路：判定一个四边形是正方形通常先证明它是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直；或者先证明它是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等；还可以先判定四边形是平行四边形，再证明它有一个角为直角和一组邻边相等。
4）正方形的面积：S正方形＝a2＝对角线乘积的一半；正方形的周长：C正方形=4a。
5）平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系：
4：梯形（☆）
1）梯形的定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫梯形。
2）梯形的分类：一般梯形、等腰梯形、直角梯形。
3）等腰梯形性质：（1）等腰梯形的两底平行，两腰相等；（2）等腰梯形的同一底边上的两个角相等；（3）等腰梯形的两条对角线相等；（4）等腰梯形是轴对称图形（底边的中垂线就是它的对称轴）。
4）等腰梯形判定：1）两腰相等的梯形是等腰梯形；2）同一底边上的两个角相等的梯形是等腰梯形；
3）对角线相等的梯形是等腰梯形。
等腰梯形的判定思路：判定一个四边形是等腰梯形,必须先判定四边形是梯形,再证明同一底边上的两个角相等或两腰相等或两条对角线相等。
5）梯形的面积公式：S=×（上底+下底）×高 。
6）解决梯形问题的常用方法（如下图所示）：
（1）作高：使两腰在两个直角三角形中；（2）平移对角线：使两条对角线在同一个三角形中；
（3）延长两腰：构造具有公共角的两个三角形.（4）等积变形：连接梯形上底一端点和另一腰中点，并延长交下底的延长线于一点，构成三角形．并且这个三角形面积与原来的梯形面积相等；
（5）平移腰：过上底端点作一腰的平行线，构造一个平行四边形和三角形；
（6）过上底中点平移两腰：构造两个平行四边形和一个三角形。
【易错点归纳】
1.定义说有一个角是直角的平行四边形才是矩形，不要错误地理解为有一个角是直角的四边形是矩形。
2.定义说有一组邻边相等的平行四边形才是菱形，不要错误地理解为有一组邻边相等的四边形是菱形。
3.在利用对角线长求菱形的面积时，要特别注意不要漏掉计算公式中的。
【核心考点】
核心考点1. 矩形的判定及性质►
例1：（2023·湖北襄阳·统考中考真题）如图，矩形的对角线相交于点，下列结论一定正确的是（ ）
A．平分B．C．D．
变式1．（2023·重庆合川·统考一模）如图，在矩形中，点是上一点，且，，垂足为点，在下列结论中，不一定正确的是（ ）

A． B． C．D．
变式2．（2023·浙江台州·统考中考真题）如图，矩形中，，．在边上取一点E，使，过点C作，垂足为点F，则的长为 ．
变式3．（2023·四川绵阳·统考中考真题）如图，矩形的对角线与交于点，过点作的垂线分别交，于、两点．若，，则的长度为（ ）
A．1B．2C．D．
例2：（2023·四川内江·统考中考真题）出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一、如图，在矩形中，，，对角线与交于点O，点E为边上的一个动点，，，垂足分别为点F，G，则 ．

变式1.（2023·山东滨州·统考中考真题）如图，矩形的对角线相交于点，点分别是线段上的点．若，则的长为 ．

变式2.（2023·贵州·统考中考真题）如图，在矩形中，点为矩形内一点，且，，则四边形的面积是 ．

例3：（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，四边形是矩形，，．点E为边的中点，点F为边上一点，将四边形沿折叠，点A的对应点为点，点B的对应点为点，过点作于点H，若，则的长是 ．

变式1．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）矩形纸片中，，，点在边所在的直线上，且，将矩形纸片折叠，使点与点重合，折痕与，分别交于点，，则线段的长度为 ．
变式2．（2023·山东日照·统考中考真题）如图，矩形中，，点P在对角线上，过点P作，交边于点M，N，过点M作交于点E，连接．下列结论：①；②四边形的面积不变；③当时，；④的最小值是20．其中所有正确结论的序号是 ．

变式3．（2023·江苏泰州·统考中考真题）如图，矩形是一张纸，其中，小天用该纸玩折纸游戏．
游戏1 折出对角线，将点B翻折到上的点E处，折痕交于点G．展开后得到图①，发现点F恰为的中点．
游戏2 在游戏1的基础上，将点C翻折到上，折痕为；展开后将点B沿过点F的直线翻折到上的点H处；再展开并连接后得到图②，发现是一个特定的角．
(1)请你证明游戏1中发现的结论；(2)请你猜想游戏2中的度数，并说明理由．
例4：（2023·上海·统考中考真题）在四边形中，．下列说法能使四边形为矩形的是（ ）
A．B．C．D．
变式1.（2023·山西晋城·统考一模）如图，在中，对角线，相交于点O，点E，F在上，且，连接，，，．若添加一个条件使四边形是矩形，则该条件可以是 ．（填写一个即可）

变式2.（2022·广西河池·统考一模）要求加工4个长为、宽为的矩形零件．陈师傅对4个零件进行了检测．根据零件的检测结果，图中不合格的零件是（ ）
A．B． C．D．
例5：（2023·山东青岛·统考中考真题）如图，在中，的平分线交于点E，的平分线交于点F，点G，H分别是和的中点．(1)求证：；
(2)连接．若，请判断四边形的形状，并证明你的结论．

变式1．（2023·黑龙江大庆·统考中考真题）如图，在平行四边形中，为线段的中点，连接，，延长，交于点，连接，．
(1)求证：四边形是矩形；(2)若，，求四边形的面积．

变式2．（2023·湖北恩施·统考中考真题）如图，在矩形中，点是的中点，将矩形沿所在的直线折叠，的对应点分别为，，连接交于点．
(1)若，求的度数；(2)连接EF，试判断四边形的形状，并说明理由．

核心考点2. 菱形的判定及性质
例6：（2023·湖南·统考中考真题）如图，菱形中，连接，若，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
变式1．（2023·四川乐山·统考中考真题）如图，菱形的对角线与相交于点O，E为边的中点，连结．若，则（ ）

A．2B．C．3D．4
变式2．（2023·浙江·统考中考真题）如图，在菱形中，，则的长为（ ）

A．B．1C．D．
变式3．（2023·湖南长沙·校考二模）如图，四边形是边长为5的菱形，对角线，的长度分别是一元二次方程的两实数根，是边上的高，则 ．

例7：（2023·广东深圳·校考模拟预测）如图，四边形为菱形，，交的延长线于点，交于点，且．则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论是（ ）
A．①③B．①②④C．②③④D．①②③④
变式1．（2023·山东济南·统考中考真题）如图，将菱形纸片沿过点的直线折叠，使点落在射线上的点处，折痕交于点．若，，则的长等于 ．

变式2．（2023·广东广州·统考一模）如图，菱形中，，点、分别为边、上的点，且，连接、交于点，连接交于点．则下列结论：①，②，③，④中，正确的是 ．（填序号）

例8：（2023·湘西·统考中考真题）如图，四边形是平行四边形，，且分别交对角线于点M，N，连接．(1)求证：；(2)若．求证：四边形是菱形．

变式1．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）如图，在四边形中，，于点．请添加一个条件： ，使四边形成为菱形．

变式2．（2024·陕西西安·校考模拟预测）如图，在矩形中，点E在上，且，延长至点F，使，连接，交、分别于M、N．
(1)求证：四边形为菱形；(2)若且，求的长度．
变式3．（2023·广东湛江·三模）如图，四边形中，对角线相交于点，为的中点，，，(1)四边形是什么特殊的四边形？请证明；
(2)点在上，点在上，且．若，求的长．

核心考点3. 正方形的判定及性质
例9：（2023·四川攀枝花·统考中考真题）如图，已知正方形的边长为3，点是对角线上的一点，于点，于点，连接，当时，则（ ）

A．B．2C．D．
变式1．（2023·广东东莞·三模）如图，正方形的两条对角线，相交于点，点在上，且．则的度数为 ．
变式2．（2023·广西玉林·统考模拟预测）如图，正方形中，，将沿对折至，延长交于点G，G刚好是边的中点，则的长是（ ）
A．3B．4C．4.5D．5
变式3．（2023·广东潮州·三模）如图：正方形中，，为对角线，P为内一点，连接、、，若，，则的长度为 ．
例10：（2023·黑龙江·统考中考真题）如图，在正方形中，点分别是上的动点，且，垂足为，将沿翻折，得到交于点，对角线交于点，连接，下列结论正确的是：①；②；③若，则四边形是菱形；④当点运动到的中点，；⑤．（ ）

A．①②③④⑤B．①②③⑤C．①②③D．①②⑤
变式1．（2023·广东河源·三模）正方形中的边长为6，对角线、交于点，为边上一点，连接交于，于点，连接，若，则 ．

变式2．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，正方形的边长为4，点，分别在边，上，且，平分，连接，分别交，于点，，是线段上的一个动点，过点作垂足为，连接，有下列四个结论：①垂直平分；②的最小值为；③；④．其中正确的是（ ）

A．①②B．②③④C．①③④D．①③
例11：（2023·河北邢台·统考二模）下列四个菱形中分别标注了部分数据，根据所标数据，可以判断菱形是正方形的是（ ）A．B． C．D．
变式1．（2023·陕西渭南·校考一模）如图，四边形的对角线、相交于点，下列条件中，能判定四边形是正方形的是（ ）
A． B．，，
C．， D．，
变式2．（2023·黑龙江·统考模拟预测）如图，在平行四边形中，对角线，交于点，若，请你添加一个条件 ，使四边形是正方形（填一个即可）．

变式3．（2023·广东惠州·统考一模）如图1，正方形的边长为5，点为正方形边上一动点，过点作于点，将绕点逆时针旋转得，连接．
(1)证明：．(2)延长交于点．判断四边形的的形状，并说明理由；
(3)若，求线段的长度
例12：（2023·浙江绍兴·统考中考真题）如图，在矩形中，为对角线的中点，．动点在线段上，动点在线段上，点同时从点出发，分别向终点运动，且始终保持．点关于的对称点为；点关于的对称点为．在整个过程中，四边形形状的变化依次是（ ）
A．菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形
B．菱形→正方形→平行四边形→菱形→平行四边形
C．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形
D．平行四边形→菱形→正方形→平行四边形→菱形
变式1.（2023·山西晋中·统考二模）在平行四边形的复习课上，小明绘制了如下知识框架图，箭头处添加条件错误的是（ ）

A．①：对角线相等B．②：对角互补C．③：一组邻边相等D．④：有一个角是直角
变式2．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（ ）

A．当时，它是正方形B．当时，它是菱形
C．当时，它是矩形D．当时，它是矩形
变式3．（2023·浙江绍兴·统考三模）如图，在四边形中，，，E、F是上的两动点，且，点E从点B出发，当点F移动到点C时，两点停止运动．在四边形形状的变化过程中，依次出现的特殊四边形是（ ）

A．平行四边形→菱形→矩形→平行四边形B．平行四边形→菱形→正方形→平行四边形
C．平行四边形→菱形→正方形→菱形D．平行四边形→矩形→菱形→平行四边形
核心考点4. 梯形
例13：（2023·湖南·统考一模）如图，在梯形中，，，与相交于P．已知，，，则点P的坐标为 ．
变式1.（2023·上海普陀·统考二模）如果用两根长度相同的细竹签作对角线，制作一个四边形的风筝，那么做成的风筝形状不可能是（ ）
A．矩形B．正方形C．等腰梯形D．直角梯形
变式2.（2023·上海·校考二模）依次连接等腰梯形各边的中点得到的四边形是（ ）
A．菱形B．矩形C．正方形D．等腰梯形
例14：（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，四边形中，，，，，则线段的长 ．
变式1．（2023·上海长宁·统考二模）下列命题中，假命题的是（ ）
A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形B．对角线互相垂直的梯形是等腰梯形
C．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形D．对角线平分一组对角的矩形是正方形
例15：（2023·宁夏银川·校考一模）如图，在中，，是边的中点，是内一点，且 连接并延长，交于点若，则的长为（ ）
A．B．C．D．
变式1．（2023·山西晋中·统考一模）如图，在中，，，，延长到点D，使，分别过点B，D作，，连接，点M，N分别是的中点，连接，则 ．
变式2．（2023·江苏南京·校联考模拟预测）如图，四边形中，，E是的中点，过点E作交于F，则的长为 ．
变式3．（2023·上海徐汇·统考二模）如图，在梯形中，已知，，，，，分别以、为直径作圆，这两圆的位置关系是（ ）
A．内切B．外切C．相交D．外离