考点19圆的相关概念与性质（精讲）-2024年中考数学一轮复习之核心考点精讲精练（全国通用）原卷版+解析版

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圆的相关概念及性质在中考数学中，小题通常考查圆的基本概念、垂径定理、圆周角定理、圆内接四边形等基础考点，难度一般在中档及以下，而在解答题中，圆的基本性质还可以和相似、三角形函数、特殊四边形等结合出题，难度中等或偏上。在整个中考中的占比也不是很大，通常都是一道小题一道大题，分值在8-10分左右，属于中考中的中档考题。所以考生在复习这块考点的时候，要充分掌握圆的基本性质的各个概念、性质以及推论。
【知识清单】
1．与圆有关的概念（☆）
1）圆：平面上到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的所有点组成的图形。
2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦。
3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，符号：；小于半圆的弧叫劣弧，大于半圆的弧叫优弧。
4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。
5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角。
6）弦心距：圆心到弦的距离，叫弦心距。
7）同圆：圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；等圆：半径相等的圆叫做等圆；同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆。
8）在同圆或等圆中能够互相重合的弧是等弧，度数或长度相等的弧不一定是等弧。
2：二圆的相关性质及推理（☆☆☆）
1）圆的对称性
（1）圆既是轴对称图形，又是中心对称图形。其中直径所在的直线都是圆的对称轴；圆心是圆的对称中心，将圆绕圆心旋转任意角度都能与自身重合，这说明圆具有旋转不变性。
（2）圆是一个特殊的对称图形，它的许多性质都可以由它的对称性推出。
2）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
解题技巧：关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形。
3）推论
1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
3）如图，可得①AB过圆心；②AB⊥CD；③CE=DE；④；⑤。
总结：垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：（1）过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦（被平分的弦不是直径）；（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧。若已知五个条件中的两个，那么可推出其中三个，简称“知二得三”，解题过程中应灵活运用该定理。
4）弧、弦、圆心角的关系
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。
解题技巧：运用这些相等关系，可以实现线段相等与角相等之间的相互转化。
5）圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
注意：圆的一条弧（弦）只对着一个圆心角，对应的圆周角有无数个，但圆周角的度数只有两个，这两个度数和为180°。
6）圆内接四边形：如果四边形的四个顶点均在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形。这个圆叫做这个四边形的外接圆。
性质：（1）圆内接四边形对角互补；（2）圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角。
解题技巧：（1）在证明圆周角相等或弧相等时，通常“由等角找等弧”或“由等弧找等角”；（2）当已知圆的直径时，常构造直径所对的圆周角；（3）在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化。比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等。
【易错点归纳】
1.求两条弦间的距离时要分类讨论两条弦与圆心的相对位置：两弦在圆心的同侧，两弦在圆心的异侧。
2.圆周角定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角。
【核心考点】
核心考点1. 圆的有关概念
例1：（2023·安徽安庆·九年级统考期末）下列说法中正确的是（ ）
A．直径是弦，半圆不是弧B．相等的圆心角所对的弧也相等
C．周长相等的两个圆是等圆D．圆是轴对称图形，每一条直径都是它的对称轴
变式1．（2023·江苏宿迁·九年级校联考期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．半圆是弧，弧也是半圆 B．长度相等的弧是等弧 C．弦是直径 D．在一个圆中，直径是最长的弦
变式2.（2023·福建·校考二模）生活中经常把井盖做成圆形的，这样井盖就不会掉进井里去，这是因为（ ）
A．同样长度的线段围成的平面图形中圆的面积最大 B．同一个圆所有的直径都相等
C．圆的周长是直径的倍 D．圆是轴对称图形
例2：（2023·江苏连云港·统考中考真题）如图，甲是由一条直径、一条弦及一段圆弧所围成的图形：乙是由两条半径与一段圆弧所围成的图形；丙是由不过圆心O的两条线段与一段圆弧所围成的图形，下列叙述正确的是（ ）
A．只有甲是扇形B．只有乙是扇形C．只有丙是扇形D．只有乙、丙是扇形
变式1．（2023上·河北沧州·九年级校考期中）如图，由点P引出的为的四条弦，其中最长的是（ ）
A． B． C． D．
变式2.（2023·浙江绍兴·校联考三模）计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比．下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图：若圆半径为1，当任务完成的百分比为x时，线段MN的长度记为d（x）．下列描述正确的是（ ）

A． B．当时，
C．当时，D．当时，
例3：（2023年江苏省徐州市中考数学真题）两汉文化看徐州，桐桐在徐州博物馆“天工汉玉”展厅参观时了解到；玉壁，玉环为我国的传统玉器，通常为正中带圆孔的扇圆型器物，据《尔雅·释器》记载：“肉倍好，谓之璧；肉好若一，调之环．”如图1，“肉”指边（阴影部分），“好”指孔，其比例关系见图示，以考古发现看，这两种玉器的“肉”与“好”未必符合该比例关系．
(1)若图1中两个大圆的直径相等，则璧与环的“肉”的面积之比为 ；
(2)利用圆规与无刻度的直尺，解决下列问题（保留作图痕迹，不写作法）．
①图2为徐州狮子山楚王墓出土的“雷纹玉环”及其主视图，试判断该件玉器的比例关系是否符合“肉好若一”？②图3表示一件圆形玉坯，若将其加工成玉璧，且比例关系符合“肉倍好”，请画出内孔．
变式1．（2021·江苏徐州·统考中考真题）如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为3：1，则圆的面积约为正方形面积的（ ）
A．27倍B．14倍C．9倍D．3倍
变式2．（2023·山东德州·统考二模）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的面积为2，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的周长为 ．

例4：（2022·山东东营·统考中考真题）如图，在中，弦半径，则的度数为 ．
变式1.（2023·湖南·校考二模）如图，点A，B，C均在上，若，，则（ ）

A．B．C．D．
变式2．（2023年江西省中考数学真题）如图，点，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（ ）

A．3个B．4个C．5个D．6个
例5：（2024上·北京丰台·九年级统考期末）如图，点O为线段的中点，，连接，．则下面结论不一定成立的是（ ）

A． B． C． D．平分
变式1．（2023上·江苏无锡·九年级校考阶段练习）如图，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在的上方作，且使，连接，则长的最大值为（ ）
A．B．C．D．
变式2．（2023·广东汕头·统考一模）如图，在等腰中，，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是 ．
核心考点2. 圆的相关性质及推理
例5：（2023·四川德阳·模拟预测）下列语句中，正确的是（ ）
①相等的圆周角所对的弧相等；②同弧或等弧所对的圆周角相等；③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；④圆内接平行四边形一定是矩形．
A．①②B．②③C．②④D．④
变式1.（2023上·内蒙古呼和浩特·九年级校考期中）下列命题错误的有（ ）个
A．弧长相等的两段弧是等弧；B．过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧；C．圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；D．如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点在同一个圆上．
A．1B．2C．3D．4
变式2．（2024上·河南新乡·九年级统考期末）有下列命题：①不在同一条直线上的三个点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弦相等；③同弧（或等弧）所对的圆心角等于该弧所对的圆周角的一半；④三角形内切圆的圆心是三角形的内心，是三边垂直平分线的交点；⑤圆内接四边形的对角互补．其中真命题的个数有 个．
例6：（2023年陕西省中考数学试卷（A卷））陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”（ 图①）的形状示意图．是的一部分，是的中点，连接，与弦交于点，连接，．已知cm，碗深，则的半径为（ ）

A．13cmB．16cmC．17cmD．26cm
变式1．（2023年湖北省宜昌市中考数学真题）如图，都是的半径，交于点D．若，则的长为（ ）．
A．5B．4C．3D．2
变式2．（2024·四川凉山·统考模拟预测）建设中的“乐西高速”是乐山市与西昌市的重要通道，建成后将极大改善区域内交通运输条件，并对沿途各县的经济发展有极大地促进作用，如图是其中一个在建隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，若M是⊙O中弦的中点，经过圆心O交⊙O于点E，且，，则⊙O的半径为（ ）m
A．5B．6.5C．7.5D．8
例7：（2023·辽宁抚顺·校联考一模）如图，四边形内接，平分，则下列结论正确的是（ ）

A．B．C．D．
变式1. （2023·安徽滁州·校联考一模）如图，是⊙O的直径，点C为圆上一点，，D是弧的中点，与交于点E．若E是的中点，则的长为（ ）

A．5B．3C．2D．1
变式2.（2023·四川成都·模拟预测）如图，在中，弦相交于点E，连接，已知．
(1)求证：；(2)如果的半径为5，，求的长．

例8：（2023年浙江省杭州市中考数学真题）如图，在中，半径互相垂直，点在劣弧上．若，则（ ）

A．B．C．D．
变式1．（2023年辽宁省阜新市中考数学真题）如图，A，B，C是上的三点，若，则的度数是（ ）

A．B．C．D．
变式2．（2023年辽宁省鞍山市中考数学真题）如图，为的两条弦，D，G分别为的中点，的半径为2．若，则的长为（ ）

A．2B．C．D．
例9：（2023年山东省枣庄市中考数学真题）如图，在中，弦相交于点P，若，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
变式1.（2023·河北沧州·统考二模）某圆形舞台，圆心为．，是舞台边缘上两个固定位置，由线段及优弧（点是该弧中点）围成的区域是表演区．如图1，在处安装一台监控器，其监控的度为．如图2，若再加一台该型号的监控器，可以监控到表演区的整个区域，则下列方案可行的是（ ）

甲：在处放置；乙：在处放置；丙：在处放置
A．甲、乙B．甲、丙C．乙、丙D．甲、乙、丙
变式2．（2023·辽宁抚顺·统考一模）如图，是的内接三角形，为的直径，平分，交于点D，连接，点E在弦上，且，连接．
(1)求证：；(2)若，，求的长．
例10：（2023年辽宁省营口市中考数学真题）如图所示，是的直径，弦交于点E，连接，若，则的度数是（ ）

A．B．C．D．
变式1．（2023年广东省中考数学真题）如图，是的直径，，则（ ）

A．B．C．D．
变式2.（2023·江苏盐城·统考模拟预测）如图，是的直径，点C是的中点，于点E，交于点(1)求证：；(2)若，求的长度．
例11：（2023年西藏自治区中考数学真题）如图，四边形内接于，E为BC延长线上一点．若，则的度数是（ ）

A．B．C．D．
变式1.（2023年山东省泰安市中考数学真题）如图，是的直径，D，C是上的点，，则的度数是（ ）

A．B．C．D．
变式2．（2023年江苏省淮安市中考数学真题）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，，则的度数是 ．
例12：（2022·山东泰安·统考中考真题）如图，四边形为矩形，，．点P是线段上一动点，点M为线段上一点．，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
变式1．（2023上·江苏苏州·九年级校考阶段练习）如图，以为圆心，半径为2的圆与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，D两点，点E为上一动点，作于点F．当点E从点B出发，顺时针旋转到点D时，点F所经过的路径长为（ ）

A．B．C．D．
变式2．（2023·山东·统考中考真题）如图，在四边形中，，点E在线段上运动，点F在线段上，，则线段的最小值为 ．