2023-2024学年江西省萍乡市萍乡中学高二下学期期末考试数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江西省萍乡市萍乡中学高二下学期期末考试数学试卷（含解析），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x|3−x≥x+1}，B={x|y=lnx}，则A∩B=( )
A. [0,2]B. (0,2]C. (0,1]D. [0,1]
2.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(x)=f′(2)x2+3x，则f′(2)=( )
A. 2B. −2C. 1D. −1
3.在数列{an}中，anan+1=6，若a1=2，则a2024=( )
A. 2B. 3C. 12D. 4028
4.已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=10+100q，单价p与产量q的函数关系式为p=2800−19q2，则利润最大时，q=( )
A. 80B. 90C. 100D. 110
5.“a∈(0,1)”是“对任意x∈R，ax2−2ax+1>0恒成立”的( )
A. 充要条件B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件
6.已知函数f(x+1)=x2+x，且函数f(x+1)的定义域为[−1,1]，则( )
A. f(x)=x2+3x+1，x∈[−2,0]B. f(x)=x2+3x+1，x∈[0,2]
C. f(x)=x2−x，x∈[−2,0]D. f(x)=x2−x，x∈[0,2]
7.《九章算术》是我国古代数学名著，其中记载了关于家畜偷吃禾苗的问题.假设有羊、骡子、马、牛吃了别人的禾苗，禾苗的主人要求羊的主人、骡子的主人、马的主人、牛的主人共赔偿12斗粟.羊的主人说：“羊吃得最少，羊和骡子吃的禾苗总数只有马和牛吃的禾苗总数的一半.”骡子的主人说：“骡子吃的禾苗只有羊和马吃的禾苗总数的一半.”马的主人说：“马吃的禾苗只有骡子和牛吃的禾苗总数的一半.”若按照此比率偿还，则羊的主人应赔偿的粟的斗数为( )
A. 1B. 32C. 2D. 52
8.在平面直角坐标系中，如果将函数y=f(x)的图象绕坐标原点逆时针旋转π3后，所得曲线仍然是某个函数的图象，那么称f(x)为“旋转函数”.下列四个函数中“旋转函数”的个数为( ) ①y=−x;
②y=ex−1;
③y=ln(x+1);
④y= x+1−1(x≥0)．
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)，且f(1)=2，则( )
A. f(0)=1B. f(−2)=−4
C. f(x)为奇函数D. f(x)可能在R上单调递增
10.对于函数f(x)=x3ex，下列说法正确的是( )
A. f(x)有最小值但没有最大值
B. 对于任意的x∈(−∞,0)，恒有f(x)<0
C. f(x)仅有一个零点
D. f(x)有两个极值点
11.已知数列{an}满足an≠±1，且an+1an+an+1=2，bn=|an+2an−1|，则下列说法正确的是( )
A. 数列{an}可能为常数列
B. 数列{bn}可能为等比数列
C. 若a1=2，则i=120 bi=221−2
D. 若a1=−52，记Sn是数列{1bn}的前n项积，则Sn的最大值为S3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在等比数列{an}中，a7a8=8a12，则a3= ．
13.已知x1和x2分别是函数f(x)=ax3+x2+ax+1的极大值点和极小值点.若x1>x2，则a的取值范围是 ．
14.已知函数f(x)=ex−1+e1−x+x2−2x+m恰有一个零点，则m= ，不等式f(x)四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知数列{an}的前n项和是Sn，且Sn=5an+4．
(1)证明：{an}是等比数列．
(2)求数列{−nan}的前n项和Tn．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=lg5(x+5)，g(x)=lg5(5−x)，ℎ(x)=f(x)+g(x)．
(1)求ℎ(x)的定义域;
(2)判断ℎ(x)的奇偶性，并说明理由;
(3)求ℎ(x)的值域．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=ex+mx．
(1)若f(x)在[0,3]上单调递增，求m的取值范围;
(2)若m=1且经过点(1,a)只可作f(x)的两条切线，求a的取值范围．
18.(本小题17分)
已知数列{an}满足a2n+1=a2n−1+d1，a2n+2=a2n+d2，a3n+3=a3n+d3．
(1)判断d1，d2，d3的关系并证明;
(2)证明：{an}是等差数列．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=lnx+x+a的图象在点(1,f(1))处的切线方程为bx−y=0．
(1)求a，b的值;
(2)证明：f(x)答案解析
1.C
【解析】解：A={x|3−x≥x+1}=(−∞,1]，B={x|y=lnx}=(0,+∞)，则A∩B=(0,1]．
2.D
【解析】解：由题意得f′(x)=2f′(2)x+3，令x=2，则f′(2)=4f′(2)+3，得f′(2)=−1．
3.B
【解析】解：a1=2，a2=3，a3=2，a4=3，⋯，
由此可以发现数列{an}的周期是2，
从而a2024=a2=3．
4.B
【解析】解：
设利润为y，则y= pq−C=(2800−19q2) q−(10+100q)=−19q3+2700q−10.因为y′=−13q2+2700，所以当00，当q>90时，y′<0，故利润最大时q=90．故选B．
5.C
【解析】解：当a=0时，不等式1>0恒成立，所以a=0符合要求;
当a≠0时，题意等价于{a>0,Δ<0,即a>0,4a2−4a<0,解得0综上，a的取值范围为[0,1)．
故“a∈(0,1)”是“对任意x∈R，ax2−2ax+1>0恒成立”的充分不必要条件．
6.D
【解析】解：令x+1=t，则x=t−1，得f(t)=(t−1)2+(t−1)=t2−t，
又函数f(x+1)的定义域为[−1,1]，所以函数f(x)的定义域为[0,2]，
所以f(x)=x2−x，x∈[0,2]．
7.B
【解析】解：由题意得羊、骡子、马、牛吃的禾苗数依次成等差数列，
设该数列为{an}，公差为d，则羊、骡子、马、牛吃的禾苗数依次为a1，a2，a3，a4．
由题意得2(a1+a2)=a3+a4,a1+a2+a3+a4=12,即2(2a1+d)=2a1+5d,4a1+6d=12,
解得a1=32,d=1.则羊的主人应赔偿32斗粟．
8.B
【解析】解：由题可知，所给的函数的图象都经过坐标原点，
则y=f(x)的图象与直线y= 33x只能有一个交点， ①符合题意;
y=ex−1在x=0处的切线方程为y=x， ②不符合题意;
y=ln(x+1)在x=0处的切线方程为y=x， ③不符合题意;
y= x+1−1(x≥0)在x=0处的切线方程为y=12x， ④符合题意．
9.BCD
【解析】解：令x=y=0，则f(0)=f(0)+f(0)，解得f(0)=0，故A错误;令y=−x，则f(0)=f(x)+f(−x)=0，即f(x)为奇函数，故C正确;
因为f(x)为奇函数，所以f(−1)=−2，令x=y=−1，则f(−2)=f(−1)+f(−1)=−4，故B正确;不妨设f(x)=2x，满足题意，且在R上单调递增，故D正确．
10.BC
【解析】解：因为f(x)=x3ex，
所以f′(x)=x2(3−x)ex，
当x<3时，f′(x)>0;
当x>3时，f′(x)<0，
所以f(x)在(−∞,3)单调递增，在(3,+∞)单调递减，
所以f(x)有极大值f(3)=27e3，且极大值即为最大值，没有极小值，故A，D错误；
当x∈(−∞,0)时，x3<0,ex>0，则对于任意的x∈(−∞,0)，恒有f(x)<0，故B正确；
由f(x)=x3ex=0，得x=0，则f(x)仅有一个零点，故C正确．
故选BC．
11.ABD
【解析】解：假设数列{an}为常数列，设an=m，
则由an+1an+an+1=2，可得：m2+m−2=0，则m=−2或m=1．
因为an≠1，所以an=−2，此时数列{an}为常数列，故A正确；
由an≠−1，且an+1an+an+1=2，可得：an+1=2an+1，
bn+1=an+1+2an+1−1=2an+1+22an+1−1=2an+4−an+1=2an+2an−1=2bn，
若bn≠0，即an≠−2，则数列{bn}是公比为2的等比数列，故B正确；
若a1=2，则b1=a1+2a1−1=4，则i=120bi=41−2201−2=222−4，故C错误；
若a1=−52，则b1=a1+2a1−1=17，数列{1bn}是以7为首项，12为公比的等比数列，
所以1bn=7×12n−1，则1b1=7,1b2=72,1b3=74,1b4=78，
当n⩾4时，1bn<1，则Sn的最大值为S3，故D正确．
12.8
【解析】解：由题意得a7a8=a3a12=8a12，得a3=8．
13.(− 33,0)
【解析】解：由题可知f′(x)=3ax2+2x+a=0有两个变号零点，故△=4−12a2>0，
解得− 33x2，所以a<0，故a的取值范围为(− 33,0)．
14.−1；(12,+∞)
【解析】解：因为函数y=ex−1+e1−x，y=x2−2x+m的图象都关于直线x=1对称，
且函数y=f(x)恰有1个零点，所以f(1)=0，即1+1+1−2+m=0，解得m=−1．
又f′(x)=ex−1−e1−x+2x−2，且当x≥1时，f′(x)≥0，
故f(x)在(−∞,1]上单调递减，在[1,+∞)上单调递增，
故由不等式f(x)12，
故不等式f(x)15.(1)证明：当n=1时，S1=5a1+4，得a1=−1，
当n≥2时，an=Sn−Sn−1=5an+4−(5an−1+4)=5an−5an−1，得anan−1=54，
所以{an}是首项为−1，公比为54的等比数列；
(2)解：由题意得an=−(54)n−1，
则Tn=(54)0+2×54+3×(54)2+⋯+n×(54)n−1， ①
54Tn=54+2×(54)2+3×(54)3+⋯+n×(54)n， ②
①− ②，得−14Tn=(54)0+54+(54)2+(54)3+⋯+(54)n−1−n×(54)n
=1×[1−(54)n]1−54−n×(54)n
=(4−n)×(54)n−4，
所以Tn=(4n−16)×(54)n+16(或Tn=(n−4)5n4n−1+16)．
【解析】本题考查的数列的前n项和及Sn与an的关系，等比数列的证明，错位相减法，属于中档题．
(1)由题意当n≥2时，an=Sn−Sn−1即可得出数列为等比数列；
(2)首先求出数列的通项公式，利用错位相减法求出数列的和．
16.解：(1)ℎ(x)=lg5(x+5)+lg5(5−x)，
由x+5>0,5−x>0,得−5所以ℎ(x)的定义域为(−5,5)．
(2)ℎ(x)为偶函数，
理由如下
因为ℎ(−x)=lg5(−x+5)+lg5(5+x)=ℎ(x)，且(−5,5)关于原点对称，
所以ℎ(x)为偶函数．
(3)由题意得ℎ(x)=lg5(x+5)+lg5(5−x)=lg5(−x2+25)．
因为0<−x2+25≤25，所以ℎ(x)≤lg525=2，
即ℎ(x)的值域为(−∞,2].
【解析】本题考查了函数的定义域、函数的奇偶性和求函数的值域，是基础题．
(1)由函数定义可得函数的定义域；
(2)由函数的奇偶性可判定；
(3)由对数函数性质和二次函数性质可得函数值域．
17.解：(1)由题可知f′(x)=ex+m≥0在[0,3]上恒成立，
因为f′(x)=ex+m在[0,3]上单调递增，所以e0+m≥0，即m≥−1，
所以m的取值范围为[−1,+∞).
(2)设切点为A(t,et+t)，f′(x)=ex+1，
所以切线斜率k=et+1=et+t−at−1，
即关于t的方程(t−2)et=1−a有两个不相等的实数根．
设g(t)=(t−2)et，令g′(t)=(t−1)et=0，解得t=1．
当t<1时，g′(t)<0，则g(t)在(−∞,1)上单调递减;
当t>1时，g′(t)>0，则g(t)在(1,+∞)上单调递增．
所以g(t)在t=1处取得最小值，即g(1)=−e，
且当t<2时，g(t)<0，当t>2时，g(t)>0．
若满足方程有两个不相等的实数根，则−e<1−a<0，
解得1故a的取值范围为(1,1+e)．
【解析】本题主要考查导数的应用，属于中档题．
(1)由题可知f′(x)=ex+m≥0在[0,3]上恒成立，然后得到e0+m≥0，即可；
(2)设切点为A(t,et+t)，f′(x)=ex+1，所以切线斜率k=et+1=et+t−at−1，
即关于t的方程(t−2)et=1−a有两个不相等的实数根.设g(t)=(t−2)et，然后利用导数判断即可．
18.证明：(1)由题可知a6=a2+2d2=a3+d3，a12=a2+5d2=a3+3d3，
所以a2−a3=d3−2d2=3d3−5d2，化简可得2d3=3d2，
同理a9=a1+4d1=a3+2d3，a15=a1+7d1=a3+4d3，
所以a1−a3=2d3−4d1=4d3−7d1，化简可得2d3=3d1，
所以d1=d2=23d3．
(2)由(1)可知a2−a3=d3−2d2=−13d3，a1−a3=2d3−4d1=−23d3，
所以a2−a1=13d3.当n=2k−1时，an=a1+d12(n−1)=d33n+a1−d33，
当n=2k时，an=a2+d22(n−2)=d33n+a2−2d33=d33n+a1−d33．
综上，an=d33n+a1−d33，n∈N∗，所以an+1−an=d33，
故{an}是等差数列．
【解析】本题主要考查根据数列的递推公式求数列的项、等差数列的判定或证明等，属于中档题．
(1)由题可知a6=a2+2d2=a3+d3，a12=a2+5d2=a3+3d3，
然后得到d1=d2=23d3即可．
(2)先得到a2−a1=13d3.然后分当n=2k−1时，当n=2k时，分别讨论即可．
19.解：(1)由题意得f′(x)=1x+1，
由切线bx−y=0的斜率为b，得b=f′(1)=2，
则切线方程为2x−y=0，当x=1时，y=2，所以f(1)=1+a=2，得a=1．
(2)证明：由(1)可知f(x)=lnx+x+1，x>0，要证f(x)设g(x)=lnx+x−xex，则g′(x)=1x+1−(x+1)ex=(x+1)(1x−ex).
令ℎ(x)=1x−ex，x>0，易得ℎ(x)是减函数．
因为ℎ(12)=2− e>0，ℎ(1)=1−e<0，所以存在唯一x0∈(12,1)，使得ℎ(x0)=1x0−ex0=0，即x0=1ex0．
当x∈(0,x0)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，当x∈(x0,+∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，
所以g(x)max=g(x0)=lnx0+x0−x0ex0=ln1ex0+x0−1ex0⋅ex0=−x0+x0−1=−1．
设u(x)=xlnx−x，则u′(x)=lnx.
当x∈(0,1)时，u′(x)<0，u(x)单调递减，当x∈(1,+∞)时，u′(x)>0，u(x)单调递增，
所以u(x)min= u(1)=−1．
因为g(x)=lnx+x−xex≤−1，u(x)=xlnx−x≥−1(两个不等式中的等号不能同时成立)，所以lnx+x−xex即f(x)【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数不等式和利用导数研究曲线上某点切线方程，属于较难题．
(1)求出函数的导函数，由切线bx−y=0的斜率为b，得b=f′(1)=2，再代入点求解即可
(2)由(1)得，f(x)=lnx+x+1，x>0，依题意即证lnx+x−xex

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