2023-2024学年云南省普洱市高一年级下学期期末统一检测数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年云南省普洱市高一年级下学期期末统一检测数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合M={0,1,2}，N={−2,0,1}，则( )
A. M∩N={0}B. M∪N=MC. {0}⊆M∩ND. M∪N⊆{0,1}
2.若实数m，n满足m−2i=1+ni，则m−n=( )
A. −3B. 3C. −1D. 1
3.已知sinα=45，则cs(7π2−α)=( )
A. 45B. −45C. 35D. −35
4.随着老龄化时代的到来，某社区为了探讨社区养老模式，在社区内对2400名老年人、2400名中年人、2100名青年人用分层抽样方法随机发放了调查问卷345份，则在老年人中发放的调查问卷份数是( )
A. 110B. 115C. 120D. 125
5.若a=(1,2)，b=(−1,3)，则cs=( )
A. 0B. 12C. 22D. 55
6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a+ccsA=b+ccsB，则△ABC为( )
A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形
7.如图，圆锥的母线长为4，点M为母线AB的中点，从点M处拉一条绳子，绕圆锥的侧面转一周达到B点，这条绳子的长度最短值为2 5，则此圆锥的表面积为( )
A. 4πB. 5πC. 6πD. 8π
8.已知定义在R上的函数f(x)满足f(2−x)=f(x)，且当x2>x1≥1时，恒有f(x2)−f(x1)x2−x1<0，则不等式f(x−1)>f(2x+1)的解集为( )
A. (−2,0)B. (−2,23)
C. (−∞,−2)∪(23,+∞)D. (−∞,−2)∪(0,+∞)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列选项说法错误的是( )
A. 对立事件一定是互斥事件
B. 若A，B为两个事件，则P(A∪B)=P(A)+P(B)
C. 若事件A，B，C彼此互斥，则P(A)+P(B)+P(C)=1
D. 若事件A，B满足P(A)+P(B)=1，则A，B是对立事件
10.如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=AB，D为PB的中点，则下列结论正确的有( )
A. BC⊥平面PABB. AD⊥PCC. AD⊥平面PBCD. PB⊥平面ADC
11.已知定义在R上的函数f(x)与g(x)满足f(x)=g(x+1)+1，且f(1−x)+g(x+1)=1，若f(x+1)为偶函数，则( )
A. f(4)=f(−2)B. g(32)=0
C. g(1−x)=g(1+x)D. f(x)的图象关于原点对称
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.计算 ．
13.已知球O的表面积为16π，球心O到球内一点P的距离为1，则过点P的截面面积的最小值为 ．
14.对定义在非空集合I上的函数f(x)，以及函数g(x)=kx+b(k,b∈R)，俄国数学家切比雪夫将函数y=|f(x)−g(x)|，x∈I的最大值称为函数f(x)与g(x)的“偏差”.若f(x)=x2，x∈[−1,1]，g(x)=x+1，则函数f(x)与g(x)的“偏差”为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
(1)求 1−2sin 40∘cs 40∘ 1−sin2 50∘+cs 140∘的值;
(2)已知tanθ=2，求sin2θ+sinθcsθ的值．
16.(本小题15分)
已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，其中，a=8，tanA=2 2．
(1)求△ABC的外接圆半径;
(2)求△ABC周长的最大值．
17.(本小题15分)
智能手机的出现改变了我们的生活，同时也占用了我们大量的学习时间.某市教育机构从500名手机使用者中随机抽取100名，得到他们每天使用手机时间(单位：分钟)并将其分组为[0,20]，(20,40]，(40,60]，(60,80]，(80,100]，作出频率分布直方图如图所示．
(1)根据频率分布直方图，估计这500名手机使用者使用时间的中位数;(精确到整数)
(2)估计手机使用者平均每天使用手机的时间;(同一组中的数据用这组数据的中点值作代表)
(3)在抽取的100名手机使用者中，在(20,40]和(40,60]中按比例分别抽取2人和3人组成研究小组，然后从研究小组中选出2名组长.求这2名组长分别选自(20,40]和(40,60]的概率．
18.(本小题17分)
已知在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1=AB，点D为AA1的中点，点E在CC1的延长线上，且C1E=13CE．
(1)证明：AC1/​/平面BDE;
(2)求二面角B−DE−C的正切值．
19.(本小题17分)
对于分别定义在D1，D2上的函数f(x)，g(x)以及实数k，若任取x1∈D1，存在x2∈D2，使得f(x1)+g(x2)=k，则称函数f(x)与g(x)具有关系M(k).其中x2称为x1的像．
(1)若f(x)=2sin(2x+π3)，x∈R;g(x)=3cs(3x+π6)，x∈R，判断f(x)与g(x)是否具有关系M(−6)，并说明理由;
(2)若f(x)=2sin(2x+π3)，x∈[0,π3];g(x)=3 3cs(3x+π6)，x∈[0,π]，且f(x)与g(x)具有关系M(5 32)，求x1=π6的像．
参考答案
1.C
2.B
3.B
4.C
5.A
6.D
7.B
8.C
9.BCD
10.ABC
11.ABC
12.49
13.3π
14.54
15.解：(1)依题意 1−2sin 40∘cs 40∘ 1−sin2 50∘+cs 140∘=cs40∘−sin40∘cs50∘−sin50∘=cs40∘−sin40∘sin40∘−cs40∘=−1．
(2)依题意，sin2θ+sinθcsθ=sin2θ+sinθcsθsin2θ+cs2θ=tan2θ+tanθtan2θ+1=65．
16.解：(1)依题意，
解得sinA=2 23，csA=13，
故△ABC的外接圆半径R=a2sinA=84 23=3 2．
(2)由余弦定理，a2=b2+c2−2bccsA=b2+c2−23bc=(b+c)2−83bc，
因为bc≤(b+c)24，则−83bc≥−2(b+c)23，
则64≥(b+c)2−2(b+c)23=(b+c)23，故b+c≤8 3，
当且仅当b=c=4 3时等号成立，
故△ABC周长的最大值为8+8 3．
17.解：(1)由频率分布直方图得：
[0,40]的频率为：(0.0025+0.01)×20=0.25，
(40,60]的频率为0.015×20=0.3，
∴估计这500名手机使用者中使用时间的中位数是：
40+0.5−0.250.3×20=1703≈57(分钟)．
(2)估计手机使用者平均每天使用手机：
10×0.0025×20+30×0.01×20+50×0.015×20+70×0.01×20+90×0.0125×20=58(分钟)．
(3)在抽取的100名手机使用者中，
在(20,40]和(40,60]中按比例分别抽取2人和3人组成研究小组，分别记作a，b，x，y，z，
然后再从研究小组中选出2名组长，基本事件有ab，ax，ay，az，bx，by，bz，xy，xz，yz，总数n=10，
这2名组长分别选自(20,40]和(40,60]包含的基本事件个数m=6，
∴这2名组长分别选自(20,40]和(40,60]的概率是p=mn=610=35．
18.(1)证明：因为C1E=13CE，所以C1E=12CC1，
又D为AA1的中点，所以AD=12AA1=12CC1，
所以C1E=AD，又C1E//AD，
所以四边形ADEC1为平行四边形，
所以DE//AC1，
因为DE⊂平面BDE，AC1⊄平面BDE，
所以AC1/​/平面BDE．
(2)解：取AC的中点G，连接BG，DG，
因为三棱柱ABC−A1B1C1是正三棱柱且AA1=AB，
所以DG⊥DE，平面ABC⊥平面ACC1A1，平面ABC∩平面ACC1A1=AC，
BG⊥AC，BG⊂平面ABC，则BG⊥平面ACC1A1，
因为DE⊂平面ACC1A1，所以BG⊥DE，
因为BG∩DG=G，BG、DG⊂平面BDG，所以DE⊥平面BDG，
因为BD⊂平面BDG，DE⊥BD，
所以∠BDG就是二面角B−DE−C的平面角，
因为BG= 32AC，DG= 2AG= 22AC，
所以tan∠BDG=BGDG= 32AC 22AC= 62，
即二面角B−DE−C的正切值为 62．

19.解：(1)f(x)的值域为[−2,2]，
当f(x1)=2时，由f(x1)+g(x2)=−6得g(x2)=−6−2=−8，
因为g(x)=3cs(3x+π6)的值域为[−3,3]，
故不存在x2，使f(x1)+g(x2)=−6，即f(x)与g(x)不具有关系M(−6)．
(2)f(π6)= 3，由f(π6)+g(x)=5 32，得 3+3 3cs(3x+π6)=5 32，
即cs(3x+π6)=12，所以3x+π6=2kπ+π3或3x+π6=2kπ−π3，k∈Z，
得x=2kπ3+π18或x=2kπ3−π6，k∈Z，
又x∈[0,π]，得x=π18，π2，13π18，
所以x1=π6的像为π18，π2，13π18．