2023-2024学年山东省日照市校际联考高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年山东省日照市校际联考高一（下）期中数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在0°～360°的范围内，与−520°终边相同的角是( )
A. 310°B. 200°C. 140°D. 20°
2.半径为2的圆中，弧长为2π3的圆弧所对的圆心角的大小为( )
A. π6B. π3C. π2D. 2π3
3.函数y=cs(πx+π6)的最小正周期是( )
A. πB. 2πC. 1D. 2
4.已知向量a和b不共线，向量AB=a+mb，BC=5a+3b，CD=−3a+3b，若A、B、D三点共线，则m=( )
A. 3B. 2C. 1D. −2
5.函数y= 2sinx−1(0≤x≤2π)的定义域为( )
A. [π3,5π6]B. [π3,2π3]C. [π6,5π6]D. [π6,2π3]
6.已知平面向量a=(10sinθ,1)，b=(csθ,3)，若a⊥b，则tanθ=( )
A. −13或−3B. 13或−3C. 13或3D. −13或3
7.△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，2AO=AB+AC，且|OA|=|AB|，则向量CA在向量CB方向上的投影的数量为( )
A. 12B. −32C. −12D. 32
8.已知函数f(x)=2sinx，若存在x1，x2，…，xn，满足0≤x1A. 506B. 507C. 508D. 509
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量e1=(1,1)，e2=(0,1)，则下列命题正确的是( )
A. e1−2e2=(1,−1)B. e1,e2可以作为平面向量的一组基底
C. |e1+e2|=5D. cs〈e1,e2〉=− 22
10.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A. ω=2
B. 函数f(x)的图象关于直线x=−512π对称
C. 函数f(x−2π3)是偶函数
D. 将函数f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数y=2sin(x+π3)的图象
11.已知函数f(x)=|sinx−csx|+12sin2x，则下列说法正确的是( )
A. f(x)是以π为周期的函数
B. 函数f(x)存在无穷多个零点
C. f(π4+x)=f(π4−x)
D. 至少存在三个不同的实数a∈(−1,4)，使得f(x+a)为偶函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若角α的终边与单位圆相交于点P(x0, 32)，则sinα= ______．
13.如图，在△ABC中，∠BAC=π3，AD=23AB，P为CD上一点，且AP=mAC+12AB，若|AC|=2，|AB|=4，则AP⋅AC= ______．
14.已知平面向量a,b,c对任意实数x，y都有|a−xb|≥|a−b|，|a−yc|≥|a−c|成立.若|a|=2，则b⋅(c−a)的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量a=(3,4)，b=(2,1)．
(1)若(λa−b)⊥(a+2b)，求实数λ的值；
(2)求向量a与b夹角的正弦值．
16.(本小题15分)
已知向量m=(sin2x,cs2x)，n=(1,− 3)，函数f(x)=m⋅n,(x∈R)．
(1)求函数f(x)在区间[−π4,π4]上的最值；
(2)求函数f(x)在区间[0,π]上的单调递增区间．
17.(本小题15分)
将函数f(x)=sin(2x+φ)+1(其中|φ|<π2)的图象向左平移π6个单位，得到函数g(x)的图象，且g(x)为偶函数．
(1)求函数g(x)的解析式和对称中心；
(2)若对∀a，b∈[0,m]，当ag(a)−g(b)成立，求实数m的取值范围．
18.(本小题17分)
如图，已知O是△ABC的外心，|AB|=|AC|=2，AB⋅AC=2，BD1=D1D2=D2D3=…=Dn−1Dn=DnC，CE1=E1E2=E2E3=…=En−1En=EnA，AF1=F1F2=F2F3=…=Fn−1Fn=FnB．
(1)判断△ABC的形状，且求n=3时|AB+AD1+AD2+AD3+AC|的值；
(2)当n=8时，
①求ODi⋅OEj+OEj⋅OFk的值(用含i，j，k的式子表示)；
②若P={x|x=ODi⋅OEj+OEj⋅OFk,3≤i,j,k≤6,i,j,k∈N+}，求集合P中的最小元素．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=−2sin2x+2csx+3t，其中t为常数．
(1)当t=23，x∈(π2,3π2)时，若f(x)=0，求x的值；
(2)设函数f(x)在(−π,−π2)上有两个零点m，n，
①求t的取值范围；
②证明：m+n>−3π2．
答案解析
1.B
【解析】解：与−520°终边相同的角可以表示为360°k−520°(k∈Z)，
由题意可知0°<360°k−520°<360°⇒139因为k∈Z，所以k=2，
于是有360°×2−520°=200°．
故选：B．
根据终边相同角的性质进行求解即可．
本题主要考查终边相同角的性质，属于基础题．
2.B
【解析】解：由弧长公式l=α⋅r，
得α=lr=2π32=π3．
故选：B．
根据弧长公式求解即可．
本题考查了弧长公式应用问题，是基础题．
3.D
【解析】解：y=cs(πx+π6)的最小正周期为T=2ππ=2．
故选：D．
由已知结合余弦函数的周期公式即可求解．
本题主要考查了余弦函数周期公式的应用，属于基础题．
4.A
【解析】解：∵向量a和b不共线，向量AB=a+mb，BC=5a+3b，CD=−3a+3b，A、B、D三点共线，∴BD=BC+CD=2a+6b=λAB=λ(a+mb)，解得m=3．
故选：A．
5.C
【解析】解：由题意得2sinx−1≥0，即sinx≥12，
因为0≤x≤2π，
所以π6≤x≤5π6．
故选：C．
由已知可得sinx≥12，然后结合正弦函数的性质即可求解．
本题主要考查了三角不等式的求解，属于基础题．
6.A
【解析】解：平面向量a=(10sinθ,1)，b=(csθ,3)，a⊥b，
则10sinθcsθ+3=0，即10sinθcsθ+3sin2θ+3cs2θ=0，即10tanθ+3tan2θ+3=0，解得tanθ=−13或−3．
故选：A．
根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解．
本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
7.D
【解析】解：由题意可得：(AB−AO)+(AC−AO)=0，即：OB+OC=0,OB=−OC，
即外接圆的圆心O为边BC的中点，则△ABC是以BC为斜边的直角三角形，
结合|OA|=|AB|=1有：∠ACB=π6,|CA|= 3，
则向量CA在向量CB方向上的投影为|CA|csπ6= 3× 32=32．
故选：D．
由题意得到△ABC是以BC为斜边的直角三角形，根据投影向量公式即可计算．
本题考查了向量的投影向量的计算，属于基础题．
8.B
【解析】解：∵函数f(x)=2sinx，对∀m≥2，m∈N∗，都有|f(xm−1)−f(xm)|≤f(x)max−f(x)min≤2−(−2)=4，
∴要使实数m的值最小，应尽可能多让xi(i=1,2,…,m)取得最值点，
∵0≤x1在一个周期2π上|f(xm−1)−f(xm)|的最大值为4，且2024=506×4，
∴x1取一个零点，xm取最后一个零点时，m才能最小，
∴x1=0，x2=π2，x3=3π2，x4=5π2，x5=7π2，…，x507=(2×506−1)π2．
∴m的最小值为507．
故选：B．
根据正弦函数的图象与性质，利用f(x)的最值进行分析，从而求出m的最小值．
本题考查了正弦函数模型应用问题，也考查了转化思想，是中档题．
9.AB
【解析】解：对于A，由e1=(1,1)、e2=(0,1)，可得e1−2e2=(1,1)−(0,2)=(1,−1)，故A项正确；
对于B，因为e1,e2不共线，所以可以用e1,e2表示坐标平面内的任意向量，
因此e1,e2可以作为平面向量的一组基底，故B项正确；
对于C，由e1=(1,1)、e2=(0,1)，得e1+e2=(1,2)，所以|e1+e2|= 12+22= 5，故C项不正确；
对于D，由e1=(1,1)、e2=(0,1)，得e1⋅e2=1×0+1×1=1，|e1|= 2，|e2|=1，
所以cs=e1⋅e2|e1|⋅|e2|=1 2×1= 22，故D项不正确．
故选：AB．
根据向量加减法的坐标运算法则判断出A项的正误；根据向量共线的条件与平面向量基本定理，判断出B项的正误；根据向量的模的公式，判断出C项的正误；根据向量的夹角公式判断出D项的正误．
本题主要考查平面向量数量积的坐标表示、平面向量基本定理、向量的模与夹角公式等知识，属于基础题．
10.ABD
【解析】解：由题意可得，A=2，T=4(π3−π12)=π，
故ω=2，f(x)=2sin(2x+φ)，选项A正确；
又2×π12+φ=π2+2kπ，k∈Z，|φ|<π2，
所以φ=π3，f(x)=2sin(2x+π3)，
因为2×(−5π12)+π3=−π2，此时函数取得最小值，即x=−5π12为函数的一条对称轴，B正确；
f(x−2π3)=2sin(2x−π)=−2sin2x为奇函数，C错误；
将函数f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数y=2sin(x+π3)的图象，D正确．
故选：ABD．
由最值求A，由周期求ω，结合特殊点的三角函数值求φ，进而可求函数解析式，然后结合正弦函数的性质检验各选项即可判断．
本题主要考查了利用函数性质求y=Asin(ωx+φ)的解析式，还考查了正弦函数性质的综合应用，属于中档题．
11.ACD
【解析】解：对于A，f(x+π)=|sin(x+π)−cs(x+π)|+12sin[2(x+π)]
=|−sinx+csx|+12sin(2x+2π)=|sinx−csx|+12sin2x=f(x)，可知f(x)是以π为周期的函数，故A项正确．
对于B，因为f(x)的周期为π，所以研究f(x)在区间[0,π]上的正负，
当x∈[0,π4)时，f(x)=csx−sinx+12sin2x
因为csx−sinx>0且12sin2x≥0，所以f(x)>0在[0,π4)上恒成立；
当x∈[π4,π]时，f(x)=sinx−csx+12sin2x，
设t=sinx−csx，0≤t≤ 2，则f(x)=t+12(1−t2)=−12t2+t+12，当t=1时，f(x)有最大值1，
当t=0时，f(x)=12，且t= 2时，f(x)= 2−12，可知f(x)的最小值为12>0．
综上所述，f(x)在[0,π]上的取值均大于0，f(x)=0没有实数根，
结合f(x)的周期为π，可知f(x)=0在R上没有实数根，即f(x)在R上没有零点，故B项不正确；
对于C，f(π4+x)=|sin(x+π4)−cs(x+π4)|+12sin[2(x+π4)]= 2|sinx|+12cs2x，
f(π4−x)=|sin(π4−x)−cs(π4−x)|+12sin[2(π4−x)]= 2|sinx|+12cs2x，
所以f(π4+x)=f(π4−x)对任意的x∈R成立，故C项正确；
对于D，由C的结论可知f(x)的图象关于直线x=π4对称，
当a=π4时，f(x+a)=f(x+π4)，图象关于y轴对称，此时f(x+a)为偶函数，
结合f(x)的周期为π，可知a=5π4时，f(x+a)为偶函数，
又因为f(−π4+x)=f(−π4−x)=− 2|csx|−12cs2x，
所以f(x)的图象关于直线x=−π4对称，可知a=−π4时，f(x+a)为偶函数，
综上所述，当a∈(−1,4)时，至少存在a=−π4、π4、5π4三个值，使f(x+a)为偶函数，故D项正确．
故选：ACD．
根据诱导公式证出f(x+π)=f(x)，得到f(x)的周期为π，从而判断出A项的正误；通过讨论f(x)在[0,π]上的正负，得到f(x)>0在R上成立，判断出B项的正误；根据两角和与差的三角函数公式与诱导公式，证出f(π4+x)=f(π4−x)，从而判断出C项的正误；根据函数图象的轴对称性，求出f(x)在区间(−1,4)上有三条对称轴，由此判断出D项的正误．
本题主要考查三角恒等变换公式及其性质、三角函数的图象与性质、函数的奇偶性与图象的对称性等知识，属于中档题．
12. 32
【解析】解：∵角α的终边与单位圆相交于点P(x0, 32)，
∴sinα= 32．
故答案为： 32．
由题意利用任意角的三角函数的定义求得sinα的值．
本题主要考查了任意角的三角函数的定义，属于基础题．
13.3
【解析】解：根据题意，可得AB⋅AC=|AB|⋅|AC|csπ3=4，
由AD=23AB，得CD=AD−AC=23AB−AC，
设CP=λCD，则CP=λ(23AB−AC)=2λ3AB−λAC，AP=AC+CP=2λ3AB+(1−λ)AC，
结合AP=mAC+12AB，得2λ3=12，解得λ=34，所以AP=12AB+14AC，
可得AP⋅AC=(12AB+14AC)⋅AC=12AB⋅AC+14|AC|2=12×4+14×22=3．
故答案为：3．
根据题意，先求出AB⋅AC=4，然后根据平面向量的线性运算法则与平面向量基本定理，将AP用AB、AC线性表示，再根据向量数量积的运算性质，算出AP⋅AC的值．
本题主要考查向量的线性运算法则、平面向量基本定理、向量数量积的定义与运算性质等知识，属于中档题．
14.12
【解析】解：如图，
设a=MA，b=MB，c=MC，
若对任意实数x，y都有|a−xb|≥|a−b|，|a−yc|≥|a−c|成立，
则由向量减法的几何意义可知：AB⊥MB，AC⊥MC，
则B，C在以MA为直径的圆上运动，
过O作OD/​/AC，交MC于E，交圆于D，
则MB在OD上的射影最长为|ED|，b⋅(c−a)=|MB||AC|cs，
设∠AMC=θ，则|AC|=2sinθ，OE|=sinθ，DE|=1−|OE|=1−sinθ，
∴b⋅(c−a)=2sinθ(1−sinθ)=−2sin2θ+2，
则当sinθ=12时，b⋅(c−a)的最大值是12．
故答案为：12．
由题意画出图形，知B，C在以MA为直径的圆上，过O作OD/​/AC，交MC于E，交圆于D，b=MB在OD上的射影最长为|ED|，b⋅(c−a)=b⋅AC=|DE|⋅|AC|，设∠AMC=θ，则|AC|=2sinθ，|OE|=sinθ，可得|DE|=1−|OE|=1−sinθ，代入b⋅(c−a)=|DE|⋅|AC|，整理后利用二次函数求取值范围即可．
本题考查平面向量数量积相关知识，属于中档题．
15.解：(1)因为a=(3,4)，b=(2,1)，
所以λa−b=(3λ−2,4λ−1)，a+2b=(7,6)，
若(λa−b)⊥(a+2b)，
则(λa−b)⋅(a+2b)=21λ−14+24λ−6=0，
解得λ=49；
(2)设向量a与b夹角为α，则0≤α≤π，
所以csα=a⋅b|a|b|=3×2+4×15× 5=2 55，
则sinα= 55．
【解析】(1)由已知结合向量垂直的坐标表示即可求解；
(2)结合向量夹角公式的坐标表示先求出余弦值，然后结合同角平方关系即可求解．
本题主要考查了向量数量积性质的坐标表示，属于基础题．
16.解：(1)由m=(sin2x,cs2x)，n=(1,− 3)，得f(x)=m⋅n=sin2x− 3cs2x
=2(sin2xcsπ3−cs2xsinπ3)=2sin(2x−π3)，
当x∈[−π4,π4]时，2x−π3∈[−5π6,π6]，可得sin(2x−π3)∈[−1,12]，
所以当x=−π12时，f(x)有最小值−2，当x=π4时，f(x)有最大值1，
综上所述，f(x)的最大值为1，最小值为−2；
(2)由(1)得f(x)=2sin(2x−π3)，
令−π2+2kπ≤2x−π3≤π2+2kπ(k∈Z)，解得−π12+kπ≤x≤5π12+kπ(k∈Z)，
所以f(x)在R上的增区间为[−π12+kπ,5π12+kπ](k∈Z)，
与区间[0,π]求交集，得f(x)在区间[0,π]上的单调递增区间为[0,5π12]与[11π12,π]．
【解析】(1)根据向量数量积的坐标表示，可得f(x)=sin2x− 3cs2x，然后利用两角和与差的三角函数公式化简得f(x)=2sin(2x−π3)，再利用正弦函数的图象与性质，求出f(x)在区间[−π4,π4]上的最值；
(2)根据正弦函数的单调性，建立关于x的不等式，解出f(x)的递增区间，然后将单调递增区间与区间[0,π]求交集，即可得到本题的答案．
本题主要考查了平面向量数量积的坐标表示、三角恒等变换公式、三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．
17.解：(1)将f(x)向左平移π6后得g(x)=sin(2(x+π6)+φ)+1=sin(2x+π3+φ)+1，
∵g(x)是偶函数，
∴π3+φ=kπ+π2(k∈Z)，又|φ|<π2，
∴k=0,φ=π6，即f(x)=sin(2x+π6)+1,g(x)=sin(2x+π3+π6)+1=cs2x+1，
由余弦函数的性质可知，g(x)的对称中心为(kπ2+π4,1)，(k∈Z)；
(2)由f(b)−f(a)>g(a)−g(b)得f(b)+g(b)>f(a)+g(a)，
即cs2b+sin(2b+π6)>cs2a+sin(2a+π6)，
令ℎ(x)=cs2x+sin(2x+π6)，
则显然当x∈[0,m]时，由b>a得ℎ(x)是增函数，
ℎ(x)=cs2x+sin(2x+π6)=32cs2x+ 32sin2x= 3sin(2x+π3)，
当x∈[0,m]时，π3≤2x+π3≤2m+π3，
∴π3<2m+π3≤π2，
则0【解析】(1)根据三角函数图象的平移及函数的奇偶性可求g(x)，然后结合正弦函数的对称性即可求；
(2)由已知不等式特点构造函数，结合正弦函数的单调性即可求解．
本题主要考查了函数图象的平移变换及函数的奇偶性，对称性的应用，还考查了由不等式恒成立求解参数范围，属于中档题．
18.解：(1)|AB|=|AC|=2AB⋅AC=|AB|⋅|AC|⋅cs∠BAC=2，
得cs∠BAC=12，∠BAC=π3，∴△ABC为等边三角形；
由题意知BC的中点为D2，
且|AD2|= 3，AB+AC=2AD2，AD1+AD3=2AD2，
故|AB+AD1+AD2+AD3+AC|=5|AD2|=5 3．
(2)①∵△ABC为等边三角形，O为外接圆的圆心，
所以=2π3，OB⊥CA，=π6，=2π3，
|OB|=2 33，OB⋅OC=2 33⋅2 33⋅(−12)=−23，OB⋅CA=0，
BC⋅OC=2⋅2 33⋅ 32=2，BC⋅CA=2⋅2⋅(−12)=−2，
又n=8，∴D1，E3，Fk分别为BC，CA，AB的9等分点，
ODj⋅OEj=(OB+i9BC)⋅(OC+i9CA)=OB⋅OC+j9OB⋅CA+i9BC⋅OC+ij81BC⋅CA=−23+29i−2ij81．
同理OEj⋅OFk=(OC+j9CA)⋅(OA+k9AB)=−23+2j9−2jk81，
ODi⋅OEj+OEj⋅OFk=(OB+i9BC)⋅(OC+j9CA)+(OC+j9)⋅(OA+k9AB)=−23+2i9−2j81−23+2j9−2jk81=−43+2(9i+9j−ij−jk)81．
②令S=9i+9j−ij−jk=(9−j)i+9j−jk，∵3≤i，j，k≤6，∴9−j>0，
S可以看为自变量为i的一次函数，在i=3时取得最小值Smin=27+6j−jk=(6−k)j+27，
同理，∵6−k≥0，S在j=3时取得最小值，
Smin=45−3k，S在k=6时取得最小值Smin=45−3×6=27，
∴ODi⋅OEj+OEj⋅OFk的最小值为−43+2×2781=−23集合P中最小元素为−23．
【解析】(1)根据中点向量公式求解即可；
(2)①根据中点向量公式和数量积定义展开化简即可；
②将S可以看为自变量为i的一次函数求出最值．
本题考查平面向量数量积的定义及其运算，属于难题．
19.解：(1)因为t=23，f(x)=−2sin2x+2csx+2=−2(1−cs2x)+2csx+2=2cs2x+2csx，
当x∈(π2,3π2)时，csx∈[−1,0)，而f(x)=2csx(csx+1)=0，
∴csx=−1或csx=0(舍)，∴x=π，
所以，x的取值为π．
(2)①令k=csx，因为x∈(−π,−π2)，所以csx∈(−1,0)，则k∈(−1,0)，
则2cs2x+2csx+3t−2=2k2+2k+3t−2，k∈(−1,0)，
因为y=csx在(−π,−π2)上单调递增，
所以关于k的方程2k2+2k+3t−2=0在(−1,0)上有两个不相等实数根，
所以3t−2>02×(−1)2+2×(−1)+3t−2>0Δ=4−4×2(3t−2)>0，
解得23②证明：令k1=csm<0，k2=csn<0，则k1，k2为关于k的方程2k2+2k+3t−2=0的两根，
所以k1+k2=−1，k1k2=3t−22，
所以csm+csn=−1,csm⋅csn=3t−22，
所以(csm+csn)2=(−1)2，即cs2m+cs2n=1−2csm⋅csn=1−2⋅3t−22=3−3t，
∴cs2m−sin2n=2−3t，由①得2−3t∈(−12,0)，
∴cs2msinn，
由于−π∴csm>cs(−3π2−n)，
又y=csx在(−π,−π2)上单调递增，所以m>−3π2−n，
即m+n>−3π2．
【解析】(1)利用同角三角函数的关系将方程转化为2csx(csx+1)=0，由x的范围可求得x的值；
(2)①令k=csx，依题意由一元二次方程根的情况列出不等式组即可求解；②由根与系数的关系及余弦函数的性质即可证明．
本题考查了三角函数的性质，考查了函数的零点与方程根的关系，考查了转化思想，属于中档题．