2023-2024学年云南省普洱市高一年级下学期期末统一检测数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年云南省普洱市高一年级下学期期末统一检测数学试卷（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合M={0,1,2}，N={−2,0,1}，则( )
A. M∩N={0}B. M∪N=MC. {0}⊆M∩ND. M∪N⊆{0,1}
2.若实数m，n满足m−2i=1+ni，则m−n=( )
A. −3B. 3C. −1D. 1
3.已知sinα=45，则cs(7π2−α)=( )
A. 45B. −45C. 35D. −35
4.随着老龄化时代的到来，某社区为了探讨社区养老模式，在社区内对2400名老年人、2400名中年人、2100名青年人用分层抽样方法随机发放了调查问卷345份，则在老年人中发放的调查问卷份数是( )
A. 110B. 115C. 120D. 125
5.若a=(1,2)，b=(−1,3)，则cs=( )
A. 0B. 12C. 22D. 55
6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a+ccsA=b+ccsB，则△ABC为( )
A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形
7.如图，圆锥的母线长为4，点M为母线AB的中点，从点M处拉一条绳子，绕圆锥的侧面转一周达到B点，这条绳子的长度最短值为2 5，则此圆锥的表面积为( )
A. 4πB. 5πC. 6πD. 8π
8.已知定义在R上的函数f(x)满足f(2−x)=f(x)，且当x2>x1≥1时，恒有f(x2)−f(x1)x2−x1f(2x+1)的解集为( )
A. (−2,0)B. (−2,23)
C. (−∞,−2)∪(23,+∞)D. (−∞,−2)∪(0,+∞)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列选项说法错误的是( )
A. 对立事件一定是互斥事件
B. 若A，B为两个事件，则P(A∪B)=P(A)+P(B)
C. 若事件A，B，C彼此互斥，则P(A)+P(B)+P(C)=1
D. 若事件A，B满足P(A)+P(B)=1，则A，B是对立事件
10.如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=AB，D为PB的中点，则下列结论正确的有( )
A. BC⊥平面PABB. AD⊥PCC. AD⊥平面PBCD. PB⊥平面ADC
11.已知定义在R上的函数f(x)与g(x)满足f(x)=g(x+1)+1，且f(1−x)+g(x+1)=1，若f(x+1)为偶函数，则( )
A. f(4)=f(−2)B. g(32)=0
C. g(1−x)=g(1+x)D. f(x)的图象关于原点对称
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.计算(278)−23+πlg1+lg2⁡23−lg4⁡169= ．
13.已知球O的表面积为16π，球心O到球内一点P的距离为1，则过点P的截面面积的最小值为 ．
14.对定义在非空集合I上的函数f(x)，以及函数g(x)=kx+b(k,b∈R)，俄国数学家切比雪夫将函数y=|f(x)−g(x)|，x∈I的最大值称为函数f(x)与g(x)的“偏差”.若f(x)=x2，x∈[−1,1]，g(x)=x+1，则函数f(x)与g(x)的“偏差”为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
(1)求 1−2sin 40∘cs 40∘ 1−sin2 50∘+cs 140∘的值;
(2)已知tanθ=2，求sin2θ+sinθcsθ的值．
16.(本小题15分)
已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，其中，a=8，tanA=2 2．
(1)求△ABC的外接圆半径;
(2)求△ABC周长的最大值．
17.(本小题15分)
智能手机的出现改变了我们的生活，同时也占用了我们大量的学习时间.某市教育机构从500名手机使用者中随机抽取100名，得到他们每天使用手机时间(单位：分钟)并将其分组为[0,20]，(20,40]，(40,60]，(60,80]，(80,100]，作出频率分布直方图如图所示．
(1)根据频率分布直方图，估计这500名手机使用者使用时间的中位数;(精确到整数)
(2)估计手机使用者平均每天使用手机的时间;(同一组中的数据用这组数据的中点值作代表)
(3)在抽取的100名手机使用者中，在(20,40]和(40,60]中按比例分别抽取2人和3人组成研究小组，然后从研究小组中选出2名组长.求这2名组长分别选自(20,40]和(40,60]的概率．
18.(本小题17分)
已知在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1=AB，点D为AA1的中点，点E在CC1的延长线上，且C1E=13CE．
(1)证明：AC1/​/平面BDE;
(2)求二面角B−DE−C的正切值．
19.(本小题17分)
对于分别定义在D1，D2上的函数f(x)，g(x)以及实数k，若任取x1∈D1，存在x2∈D2，使得f(x1)+g(x2)=k，则称函数f(x)与g(x)具有关系M(k).其中x2称为x1的像．
(1)若f(x)=2sin(2x+π3)，x∈R;g(x)=3cs(3x+π6)，x∈R，判断f(x)与g(x)是否具有关系M(−6)，并说明理由;
(2)若f(x)=2sin(2x+π3)，x∈[0,π3];g(x)=3 3cs(3x+π6)，x∈[0,π]，且f(x)与g(x)具有关系M(5 32)，求x1=π6的像．
答案解析
1.C
【解析】解：M∩N={0,1}，M∪N={−2,0,1,2}，故选C．
2.B
【解析】解：由实数m，n满足：m−2i=1+ni，
则两个复数的实部和虚部分别相等，
所以m=1，n=−2，
故：m−n=1−(−2)=3．
故选：B．
3.B
【解析】解：cs(7π2−α)=cs(3π2−α)=−sinα=−45.故选B．
4.C
【解析】设在老年人中发放的调查问卷份数为x，
则x2400=3452400+2400+2100，解得x=120．
故选C．
5.A
【解析】解：因为a=(1,2)，b=(−1,3)，所以a−b=(2,−1)，
所以cs=a⋅(a−b)|a||a−b|=1×2+2×(−1) 12+22× 22+(−1)2=0．
故选A．
6.D
【解析】解：因为a+ccsA=b+ccsB，
所以由余弦定理得，由余弦定理可得：a+c×b2+c2−a22bc=b+c×a2+c2−b22ac，
即2a2b+ab2+ac2−a3=2ab2+a2b+c2b−b3，
整理得：(a−b)(a2+b2−c2)=0，
得a=b或a2+b2=c2，
所以△ABC为等腰或直角三角形．
故选D．
7.B
【解析】
解：设底面圆半径为 r ，
由母线长 l=4 ，可知侧面展开图扇形的圆心角为 α=2πrl=πr2 ，
将圆锥侧面展开成一个扇形，从点M拉一绳子围绕圆锥侧面转到点B，最短距离为BM；
如图，
在 ▵ABM 中， MB=2 5,AM=2,AB=4 ，
所以 AM2+AB2=MB2 ，
所以 ∠MAB=π2 ，
故 α=πr2=π2 ，解得 r=1 ，
所以圆锥的表面积为 S=πrl+πr2=5π ，
故选：B
8.C
【解析】解：由f(2−x)=f(x)得，f(x)的图象关于直线x=1对称，
令g(x)=f(x+1)，则g(x)是偶函数，
又当x2>x1≥1时，恒有f(x2)−f(x1)x2−x1f(2x+1)⇒g(x−2)>g(2x)⇒|x−2|f(2x+1)的解集为(−∞,−2)∪(23,+∞)，
故选C．
9.BCD
【解析】解：对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件，故A正确；
若A、B为两个互斥事件，则P(A∪B)=P(A)+P(B)，故B不正确；
若事件A、B、C两两互斥，则P(A)+P(B)+P(C)≤1，故C不正确；
若A，B不互斥，尽管P(A)+P(B)=1， 但A，B不是对立事件，故D不正确．
故选BCD．
10.ABC
【解析】解：∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，
PA∩AB=A，PA，AB⊂平面PAB，∴BC⊥平面PAB，故A正确;
由BC⊥平面PAB，AD⊂平面PAB，得BC⊥AD，又PA=AB，D是PB的中点，∴AD⊥PB，
又PB∩BC=B，PB，BC⊂平面PBC，
∴AD⊥平面PBC，又PC⊂平面PBC，∴AD⊥PC，故B，C正确;
由BC⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，得BC⊥PB，因此PB与
CD不垂直，从而PB不与平面ADC垂直，D错误．
故选：ABC．
11.ABC
【解析】解：因为f(x+1)为偶函数，故f(x)的图象关于x=1对称，故f(4)=f(−2)，故A正确；
由f(x)=g(x+1)+1得f(1−x)=g(2−x)+1，代入f(1−x)+g(x+1)=1中，得g(2−x)+g(x+1)=0 ①，令x=12，得g(32)=0，故B正确；
因为f(x+1)为偶函数，故f(x+1)=f(1−x)，故由f(1−x)+g(x+1)=1得f(1+x)+g(x+1)=1，则g(x+2)+1+g(x+1)=1，故g(−x+2)+g(−x+1)=0 ②，
联立 ① ②，可得g(1−x)=g(1+x)，故x=1为g(x)图象的一条对称轴，故C正确；
而f(x)=g(x+1)+1，故f(x)的图象关于y轴对称，故D错误，
故选ABC．
12.49
【解析】
解： (278)−23+πlg1+lg223−lg4169=(23)3×23+π0+lg223−lg243
=(23)2+1+lg2(23×34)=49+1−1=49 ．
故答案为： 49 ．
13.3π
【解析】解：设球O的半径为R，则4πR2=16π，解得R=2，当点P为截面圆的圆心时，
即OP⊥截面时，过点P的截面的面积最小，
设此时截面的半径为r，则r= R2−12= 3，
所以过点P的截面的面积最小值为π⋅( 3)2=3π．
故答案为：3π．
先求出球O的半径R=2，数形结合得到当点P为截面圆的圆心时，过点P的截面的面积最小，利用勾股定理求出最小截面圆的半径，求出答案．
本题考查截面圆的问题，属于中档题．
14.54
【解析】解：y=|f(x)−g(x)|=|x2−x−1|=|(x−12)2−54|，x∈[−1,1]，
因为x∈[−1,1]，
所以(x−12)2−54∈[−54,1]，
则y=|(x−12)2−54|∈[0,54]，
故函数f(x)与g(x)的“偏差”为54．
15.解：(1)依题意 1−2sin 40∘cs 40∘ 1−sin2 50∘+cs 140∘=cs40∘−sin40∘cs50∘−sin50∘=cs40∘−sin40∘sin40∘−cs40∘=−1．
(2)依题意，sin2θ+sinθcsθ=sin2θ+sinθcsθsin2θ+cs2θ=tan2θ+tanθtan2θ+1=65．
【解析】本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，诱导公式，考查了转化思想，属于基础题．
(1)利用诱导公式化简即可得解．
(2)利用同角三角函数基本关系式化简即可得解．
16.解：(1)依题意，{tan⁡A=sinAcsA=2 2sin2A+cs2A=1,0