2023-2024学年福建省泉州市惠安县七年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年福建省泉州市惠安县七年级（下）期末数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.方程4x=−2的解是( )
A. x=−2B. x=2C. x=−12D. x=12
2.正六边形的外角和是( )
A. 720°B. 540°C. 360°D. 180°
3.将一副三角板按如图所示叠放在一起，则图中∠1的度数是( )
A. 20°
B. 10°
C. 15°
D. 5°
4.如图所示，为估计池塘岸边A、B的距离，在池塘的一侧选取一点O，测得OA=12米，OB=9米，设AB=a米，则a的取值范围是( )
A. 95.剪纸是我国具有独特艺术风格的民间艺术，反映了劳动人民对现实生活的深刻感悟.下列剪纸中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
6.下列用数轴表示不等式组x≥1x<2的解集正确的是( )
A. B.
C. D.
7.若(k+2)x+y|k|−1=0是关于x，y的二元一次方程，则k=( )
A. 1B. ±2C. 2D. −2
8.使不等式−2a>1成立的a值中，最大的整数是( )
A. a=1B. a=0C. a=−1D. a=−2
9.明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：隔墙听得客分银，不知人数不知银；七两分之多四两，九两分之少半斤．其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两，问有多少人，多少银两(注：明代当时1斤=16两，故有“半斤八两”这个成语).设有x人，银子有y两，可列方程组是( )
A. 7x=y+49x=y−8B. 7x=y−49x=y+8C. x=y7−4x=y9+8D. x=y7+4x=y9−8
10.三个边长分别为a，b，c(a≠b≠c)的正方形按如图放置，则图中阴影部分的面积可表示为( )
A. 12(a2+b2+c2)
B. 12a(a+b)
C. 12a(b+c)
D. 12c(a+b)
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.已知2x+y=8，用含x的代数式表示y，则y= ______．
12.写出仅用一种正多边形能把地面铺满的是______．
13.数轴上，点A，B分别表示数2m−1，1+m，且点A在点B的左侧.则m的取值范围为______．
14.已知x=ay=b是二元一次方程2x−y=3的一个解，则代数式−4a+2b的值是______．
15.如图，将Rt△ABC绕点A顺时针旋转α得到△AB′C′，点C恰好落在AB上，连接BB′，若∠BB′C′=30°，则α= ______．
16.如图，四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90°，BC=CD，作CE⊥AB于E，若四边形ABCD的面积是4，则CE= ______．
三、解答题：本题共6小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
如图，平行四边形ABCD中，EF过对角线的交点O，且与边AB、CD分别相交于E、F．
(1)判断图形的面积关系：S四边形AEFD= ______S四边形ABCD；
(2)若AB=5，AD=3，OF=1.3，求四边形BCFE的周长．
18.(本小题8分)
为了加强体育锻炼，班级准备购进一批排球和篮球.已知排球的单价比篮球的单价少20元，用1200元购买篮球的数量和用900元购买排球的数量相等．
(1)求篮球和排球的单价；
(2)若班级准备购买篮球和排球共12个，且排球不超过篮球数量的两倍，设购买篮球和排球所需总费用为y元，购买排球a个，求y与a之间的函数关系式，并设计一种费用最少的购买方案．
19.(本小题10分)
矩形ABCD中，AB=4，BC=8．
(1)尺规作图：求作一点E，使得△AEC和△ABC关于对角线AC对称；(不写作法，保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下，设CE与AD相交于点F，求△ACF的面积．
20.(本小题10分)
某数学兴趣小组以“脚长与标准鞋码(欧码)的对应关系”为主题，开展综合实践活动.已知鞋子尺码，又叫鞋号，常见有以下标法：国际、欧洲、美国和英国.国际标准鞋号表示的是脚长的毫米数.中国标准采用毫米数或厘米数为单位来衡量鞋的尺码大小.而欧洲码数(欧码)则以20～0之间的整数作为码数大小.小组同学通过收集数据、建立函数模型来研究该问题，研究过程如下：
(ⅰ)收集数据
(ⅱ)建立模型，在平面直角坐标系中，描出这些数据对应的点，发现这些点大致位于同一个函数图象上，则这个函数最有可能是______；(填“正比例函数”、“一次函数”或“反比例函数”)
(ⅲ)求解模型：为使得所描的点尽可能多地落在函数图象上，根据(ⅱ)所选择的函数类型，求出该函数的表达式；
(ⅳ)解决问题：根据个人脚长，选择购买合适码数的鞋子．
阅读以上材料，解决下面问题：
(1)完成小组同学的研究过程(ⅱ)；(要求在坐标系中描点，画出最恰当的函数图象，并指出其函数类型)
(2)求出对应函数的表达式；
(3)若某同学的脚长为268mm，请为他挑选合脚且尽量宽松的鞋子码数．
21.(本小题12分)
定义：若关于x的一元一次方程ax=b(a≠0的常数)的解满足x=b−a，则称该方程为“差解方程”，例如：方程2x=4的解为x=2，而2=4−2，则方程2x=4为“差解方程”.根据题意，解决下面问题：
(1)方程−2x=4 ______(填“是”或“不是”)“差解方程”；
(2)关于x的一元一次方程3x=2m−1是“差解方程”，求m的值；
(3)若b=ak是“差解方程”，试求k的值．
22.(本小题14分)
小明学习“图形的旋转”以后，对数学很感兴趣，于是亲自动手剪出2块等腰直角△ABC和△CDE纸片，∠ACB=∠DCE=90°，CA=CB，CD=CE，并按如图1放置，进行数学探究．
(1)实践与探究
探究一：如图1，连结AD，将△ACD绕点C逆时针旋转90°，请在图1中画出这对全等三角形，并写出AD与其对应线段的数量关系，即AD= ______；
探究二：如图2，连结AE，BD得到△ACE和△BCD.问这两个三角形的面积是否相等？请说明理由．
(2)发现新结论
探究三：把原来等腰直角△ABC改为一般△ABC如图3所示，分别以△ABC的三边向外侧作正方形ACDE、BCFG和ABMN，发现图中3个阴影三角形的面积之和存在最大值，设AC=a，BC=b，求出其最大值．
答案解析
1.C
【解析】解：方程4x=−2，
解得：x=−12．
故选：C．
2.C
【解析】解：正六边形的外角和是360°．
故选：C．
3.C
【解析】解：由题意可知：
∠ABC=60°，∠F=45°，
∴∠BEF=60°−45°=15°．
故选：C．
4.D
【解析】解：∵OA=12米，OB=9米，设AB=a米，
∴12−9即：3故选：D．
5.C
【解析】解：A.不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
B.是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C.是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
D.是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
故选：C．
6.D
【解析】解：A、不等式组的解集为x≥2，故本选项不合题意；
B、不等式组的解集为x<1，故本选项不合题意；
C、不等式组的解集为1D、不等式组的解集为1≤x<2，故本选项合题意；
故选：D．
选项A根据“同大取大”判断即可；
选项B根据“同小取小”判断即可；
选项C根据“大小小大中间找”，包含实心圆点2，不包含空心圆点1；
选项D根据“大小小大中间找”，包含实心圆点1，不包含空心圆点2．
7.C
【解析】解：由题意得：|k|−1=1且k+2≠0，
解得：k=2，
故选：C．
8.C
【解析】解：−2a>1，
a<−12，
∴该不等式的最大整数解为：−1，
故选：C．
9.B
【解析】解：由题意可得，
7x=y−49x=y+8，
故选：B．
10.B
【解析】解：如下图所示：
依题意得：AE=DE=a，BC=c，AB=a+b+c，EB=b+c，∠AED=∠B=90°，
∴S△ADE=12AE⋅DE=12a2，S△ABC=12AB⋅BC=12(a+b+c)⋅c=12(ac+bc+c2)，
又∵S梯形DEBC=12(DE+BC)⋅EB=12(a+c)(b+c)=12(ab+ac+bc+c2)，
∴S阴影=S△ADE+S梯形DEBC−S△ABC
=12a2+12(ab+ac+bc+c2)−12(ac+bc+c2)
=12(a2+ab)
=12a(a+b)，
故选：B．
依题意得AE=DE=a，BC=c，AB=a+b+c，EB=b+c，∠AED=∠B=90°，再求出S△ADE=12a2，S△ABC=12AB⋅BC=12(ac+bc+c2)，S梯形DEBC=12(DE+BC)⋅EB=12(ab+ac+bc+c2)，然后再根据S阴影=S△ADE+S梯形DEBC−S△ABC即可得出答案．
11.8−2x
【解析】解：2x+y=8，
移项得：y=8−2x．
故答案为：8−2x．
12.正三角形(正三角形或正方形或正六边形，写出一种即可)
【解析】解：正三角形的每个内角是60°，能整除360°，能密铺；
正方形的每个内角是90°，能整除360°，能密铺；
正六边形的每个内角是120°，能整除360°，能密铺；
故仅用一种正多边形能把地面铺满的是正三角形、正四边形或正六边形．
故答案为：正三角形(正三角形或正方形或正六边形，写出一种即可)；
13.m<2
【解析】解：∵数轴上，点A，B分别表示数2m−1，1+m，且点A在点B的左侧，
∴2m−1<1+m，
2m−m<1+1，
m<2，
故答案为：m<2．
14.−6
【解析】解：根据题意，得：2a−b=3，
则原式=−2(2a−b)=−2×3=−6，
故答案为：−6．
15.60°
【解析】解：∵将Rt△ABC绕点A顺时针旋转α得到△AB′C′，
∴AB=AB′，
∴∠ABB′=∠BB′A，
∵∠BB′C′=30°，∠BC′B′=90°，
∴∠ABB′=∠BB′A=90°−30°=60°，
∴∠AB′C′=60°−30°=30°，
∴∠BAB′=90°−30°=60°，
即α=60°，
故答案为：60°．
16.2
【解析】解：如图，延长AB到点F，使BF=AD，连接CF，AC，
∵∠DAB=∠BCD=90°，
∴∠D+∠ABC=180°，
∵∠CBF+∠ABC=180°，
∴∠D=∠CBF，
在△ADC和△FBC中，
CD=BC∠D=∠CBFAD=BF，
∴△ADC≌△FBC(SAS)，
∴AC=CF，∠DCA=∠BCF，S△ADC=S△FBC，
∴S△ACF=S四边形ABCD=4，
∵∠DCA+∠BCA=90°，
∴∠BCA+∠BCF=90°，
即∠ACF=90°，
∴△ACF是等腰直角三角形，
∴S△ACF=12AC2=4，
∴AC=2 2(负值已舍)，
∴AF= 2AC=4，
∵CE⊥AB于E，
∴AE=12AF=2，
故答案为：2．
17.12
【解析】解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB/​/CD，OA=OC，BC=AD=3，
∴∠OAE=∠OCF，
在△AOE和△COF，
∠OAE=∠OCFOA=OC∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF(ASA)，
∴AE=CF，
∴AB−AE=CD−CF，
即BE=DF，
设平行四边形ABCD的AB边上的高为ℎ，
∵S四边形AEFD=12(DF+AE)⋅ℎ=12(BE+AE)⋅ℎ=12AB⋅ℎ=12S四边形ABCD，
故答案为：12；
(2)由(1)可知，△AOE≌△COF，
∴AE=CF，OE=OF=1.3，
∴EF=2OF=2×1.3=2.6，
∴四边形BCFE的周长=EF+CF+BC+BE=EF+BC+AE+BE=EF+BC+AB=2.6+3+5=10.6．
(1)证明△AOE≌△COF(ASA)，得AE=CF，则BE=DF，设平行四边形ABCD的AB边上的高为ℎ，再由梯形面积公式即可得出结论；
(2)由全等三角形的性质得AE=CF，OE=OF=1.3，则EF=2OF=2×1.3=2.6，即可得出结论．
18.解：(1)设排球的单价为x元，则篮球的单价为(20+x)元，
120020+x=900x，
解得：x=60，
经检验，x=60是分式方程的解，
则20+x=20+60=80，
答：排球的单价为60元，篮球的单价为80元．
(2)∵排球不超过篮球数量的两倍，
∴a≤2(12−a)，
∴a≤8，
y=60a+80(12−a)=−20a+960，
则y与a之间的函数关系式为y=−20a+960，
∵−20<0，
∴y随a的增大而减小，
∴当a=8时，y有最小值，最小值为−20×8+960=800(元)，
∴12−a=12−8=4(个)，
∴购买8个排球和4个篮球，费用最少．
【解析】(1)设排球的单价为x元，则篮球的单价为(20+x)元，根据题意列出方程式，即可作答；
(2)先根据已知条件求出a的范围，再根据已知条件写出y与a之间的函数关系式，最后根据函数的单调性写出费用最少的购买方案．
19.解：(1)如图，过点B作AC的垂线，交AC于点M，以点M为圆心，BM的长为半径画弧，交射线BM于点E，
则点E即为所求．

(2)∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD=4，BC=AD=8，∠D=90°，AD//BC，
∴∠ACB=∠DAC．
∵△AEC和△ABC关于对角线AC对称，
∴∠ACB=∠ACE，
∴∠DAC=∠ACE，
∴AF=CF．
设AF=CF=m，则DF=8−m，
在Rt△CDF中，由勾股定理得，CF2=CD2+DF2，
即m2=42+(8−m)2，
解得m=5，
∴AF=5，
∴△ACF的面积为12AF⋅CD=12×5×4=10．
【解析】(1)结合轴对称的性质，过点B作AC的垂线，交AC于点M，以点M为圆心，BM的长为半径画弧，交射线BM于点E，则点E即为所求．
(2)结合矩形的性质以及轴对称的性质可得AB=CD=4，BC=AD=8，∠D=90°，AF=CF.设AF=CF=m，则DF=8−m，在Rt△CDF中，由勾股定理得，CF2=CD2+DF2，代入求出m的值，再利用三角形的面积公式计算即可．
20.一次函数
【解析】解：(1)由题意，根据表格数据，码数随着脚长的增大而增大，这个函数最有可能是一次函数．
作图如下．
故答案为：一次函数．
(2)由题意，结合(1)，设函数的表达式为y=kx+b，
又图象过(235,37)，(255,41)，
∴235k+b=37255k+b=41．
∴k=15b=−10．
∴函数的表达式为y=15x−10．
(3)由题意，根据(2)y=15x−10，
又令x=268，
∴y=43.6．
又码数为整数，
∴可以挑选合脚且尽量宽松的鞋子码数为44码．
(1)依据题意，根据表格数据，码数随着脚长的增大而增大，这个函数最有可能是一次函数，再根据表格数据作出图象，进而可以得解；
(2)依据题意，结合(1)，设函数的表达式为y=kx+b，又图象过(235,37)，(255,41)，可得235k+b=37255k+b=41，求出k，b即可得解；
(3)依据题意，根据(2)y=15x−10，又令x=268，求出y=43.6，进而可以判断得解．
21.不是
【解析】解：(1)方程−2x=4，
解得：x=−2，
而−2≠4−(−2)，
∴方程−2x=4不是“差解方程”；
故答案为：不是；
(2)∵一元一次方程3x=2m−1是“差解方程”，
由题意得：x=2m−1−3=2m−4，
又x=2m−13，
∴2m−13=2m−4，
解得：m=114；
(3)∵b=ak，
∴k是方程ax=b(a≠0)的一个解，
∴.x=k，
由定义，得x=ak−a，
∴ak−a=k(a≠0)，
∴.k(a−1)=a(a≠0)，
下面分两种情况讨论：
当a−1=0时，即a=1，
又已知a≠0，
故此方程无解，则k不存在；
当a≠1时，k=aa−1．
(1)求出方程的解，利用“差解方程”判断即可；
(2)利用“差解方程”的定义列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值；
(3)根据“差解方程”的定义求出k的值即可．
22.BE
【解析】解：(1)探究一：如图1，
∵将△ACD绕点C逆时针旋转90°，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD=BE，
故答案为：BE；
探究二：S△BCD=S△ACE理由如下：
如图2，
∵∠ACB=∠ECD=90°，CE=CD，
∴将△ACE绕点C顺时针方向旋转90°得到△A′CD，
∴△ACE≌△A′CD，∠A′CA=90°，
∴AC=A′C=BC，∠A′CA+∠ACB=180°，
即A′、C、B三点共线，
∵DC为△ADB的AB边上的中线．
∴S△BCD=S△A′CD，
∴S△BCD=S△ACE；
(2)如图3，过点A作AQ⊥CB，交BC的延长线于Q，
由探究二可知，S△AEN=S△ABC，S△DCF=S△ABC，S△BMG=S△ABC，
∴S阴影=3S△ABC，
设AC=a，BC=b，
∴S△ABC=12BC⋅AQ=12b⋅AQ，
∵AQ≤a，
∴当ℎ=a，即∠ACB=90°时，S△ABC的最大值为ab2，
∴阴影部分的面积和的最大值为32ab．脚长(单位：mm)
…
235
238
245
253
255
…
对应鞋子的码数(欧码)
…
37
38
39
40
41
…