2024湖州高一下学期6月期末考试数学含解析

这是一份2024湖州高一下学期6月期末考试数学含解析，共23页。

1．本科目考试分试题卷和答题卷，考生须在答题纸上作答．
2．本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共4页，全卷满分150分，考试时间120分钟．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知，是两个单位向量，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数满足（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3. 已知圆锥的母线长为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的底面半径为（ ）
A. B. C. D.
4. 设，是两个平面，是两条直线，则下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D 若，，，则
5. 如图所示的频率分布直方图呈现右拖尾形态，则根据此图作出以下判断，正确的是（ ）
A. 众数<中位数<平均数B. 众数<平均数<中位数
C. 中位数<平均数<众数D. 中位数<众数<平均数
6. 在正方体中，E是的中点，则异面直线DE与AC所成角的余弦值是（ ）
A. 0B. C. D.
7. 湖州东吴国际双子大厦是湖州目前已建成的第一高楼，也被称为浙北第一高楼，是湖州的一个壮观地标．如图，为测量双子大厦的高度CD，某人在大厦的正东方向找到了另一建筑物，其高AB约192m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D共线）处测得建筑物顶A、大厦顶C的仰角分别为45°和60°，在建筑物顶A处测得大厦顶C的仰角为15°，则可估算出双子大厦的高度CD约为（ ）
A. 284mB. 286mC. 288mD. 290m
8. 已知是锐角三角形，若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 某学校为了丰富同学们的课外活动，为同学们举办了四种科普活动：科技展览、科普讲座、科技游艺、科技绘画．记事件：只参加科技游艺活动；事件：至少参加两种科普活动；事件：只参加一种科普活动；事件：一种科普活动都不参加；事件：至多参加一种科普活动，则下列说法正确的是（ ）
A. 与是互斥事件B. 与是对立事件
C. D.
10. 若复数z，w均不为0，则下列结论正确是（ ）
A B.
C. D.
11. 如图，一张矩形白纸，，，E，F分别为AD，BC的中点，BE交AC于点M，DF交AC于点．现分别将，沿BE，DF折起，且点A，C在平面的同侧，则下列命题正确的是（ ）
A. 当平面平面时，平面
B. 当A，C重合于点时，平面
C. 当A，C重合于点时，三棱锥的外接球的表面积为
D. 当A，C重合于点时，四棱锥的体积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知事件和事件相互独立，且，，则__________．
13. 已知向量，，则在上的投影向量的坐标是__________．
14. 已知四面体中，棱BC，AD所在直线所成的角为，且，，，则四面体体积的最大值是__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 若某袋中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球从中不放回地依次随机摸出2个球，记事件“第一次摸到红球”，事件“第二次摸到红球”．
（1）求和的值；
（2）求两次摸到的不都是红球的概率．
16. 在中，角的对边分别为．
（1）求；
（2）若的面积为边上的高为1，求的周长．
17. 某学校组织“防电信诈骗知识”测试，随机调查400名学生，将他们的测试成绩（满分100分）的统计结果按，，…，依次分成第一组至第五组，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求图中x的值；
（2）估计参与这次测试学生成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）和第60百分位数；
（3）现从以上第三组、第四组和第五组中参与测试的学生用分层随机抽样的方法选取15人，担任学校“防电信诈骗知识”的宣传员．若这15名学校宣传员中来自第三组学生的测试成绩的平均数和方差分别为75和5，来自第四组学生的测试成绩的平均数和方差分别为85和10，来自第五组学生的测试成绩的平均数和方差分别为93和5．2，据此估计这次第三组、第四组和第五组所有参与测试学生的成绩的方差．
18. 如图，在四棱台中，底面为菱形，且，，侧棱与底面所成角的正弦值为．若球与三棱台内切（即球与棱台各面均相切）．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正切值；
（3）求四棱台的体积和球的表面积．
19 已知函数，．
（1）写出函数的单调区间；
（2）若函数有两个不同零点，求实数的取值范围；
（3）已知点，是函数图象上的两个动点，且满足，求的取值范围．湖州市2023学年第二学期期末调研测试卷
高一数学
注意事项：
1．本科目考试分试题卷和答题卷，考生须在答题纸上作答．
2．本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共4页，全卷满分150分，考试时间120分钟．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知，是两个单位向量，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用单位向量的定义求解即可.
【详解】单位向量的模长相等，则，故D正确；
且两者并不一定是相同或相反向量，故A错误；两者不一定共线，故B错误；两者不一定垂直，故C错误.
故选：D.
2. 已知复数满足（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由共轭复数的定义求出，即可得对应点的坐标得答案．
【详解】∵，
∴，则
∴复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限．
故选：D．
3. 已知圆锥的母线长为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的底面半径为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长，圆锥的母线长即为侧面展开图半圆的半径，列出方程，求解即可．
【详解】设圆锥的母线长为，底面半径为，
则，所以，所以.
故选：A.
4. 设，是两个平面，是两条直线，则下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，对ABD找到反例即可，对C由线面平行的性质分析即可判断正确.
【详解】根据题意，依次分析选项：
对A，若，，，直线可能平行、相交或异面，故错误；
对B，若，，，平面可能相交或平行，故错误；
对C：如图，若，，，过直线作两个平面，，根据线面平行的性质可得可得，则，
因为，，则，又因为，，则，则，故C正确；
对D，若，，，则，故D错误.
故选：C.
5. 如图所示的频率分布直方图呈现右拖尾形态，则根据此图作出以下判断，正确的是（ ）
A. 众数<中位数<平均数B. 众数<平均数<中位数
C. 中位数<平均数<众数D. 中位数<众数<平均数
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用众数、中位数的意义，结合频率分布直方图呈现右拖尾形态时，中位数与平均数的关系判断即可.
【详解】由频率分布直方图知，数据组的众数为左起第2个小矩形下底边中点值，
显然在过该中点垂直于横轴的直线及左侧的矩形面积和小于0.5，则众数<中位数，
由频率分布直方图呈现右拖尾形态，得中位数<平均数，
所以众数<中位数<平均数.
故选：A
6. 在正方体中，E是的中点，则异面直线DE与AC所成角的余弦值是（ ）
A. 0B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意分析可得异面直线DE与AC所成角为（或的补角），在中利用余弦定理运算求解.
【详解】取的中点，连接，
因为//，且，则为平行四边形，可得//，
又因为分别为的中点，则//，
所以//，
故异面直线DE与AC所成角为（或的补角），
设正方体的棱长为2，则，
在中，由余弦定理，
所以异面直线DE与AC所成角的余弦值是.
故选：D.
7. 湖州东吴国际双子大厦是湖州目前已建成的第一高楼，也被称为浙北第一高楼，是湖州的一个壮观地标．如图，为测量双子大厦的高度CD，某人在大厦的正东方向找到了另一建筑物，其高AB约192m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D共线）处测得建筑物顶A、大厦顶C的仰角分别为45°和60°，在建筑物顶A处测得大厦顶C的仰角为15°，则可估算出双子大厦的高度CD约为（ ）
A. 284mB. 286mC. 288mD. 290m
【答案】C
【解析】
【分析】先求出，然后在中用正弦定理求出，最后求出.
【详解】因为是等腰直角三角形，所以，
在中，，，
所以，由正弦定理可知：，
在中，.
故选：C
8. 已知是锐角三角形，若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先利用正弦定理与余弦定理的边角变换，结合三角函数的恒等变换求得，再求得角的范围，结合正弦定理边角变换与倍角公式即可得解.
【详解】已知，由正弦定理得，得，
由余弦定理，则，即，
由正弦定理得，
因为，则
所以，即.
因为为锐角三角形，，则，
又在上单调递增，所以，则，
因为为锐角三角形，，解得，
所以
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 某学校为了丰富同学们的课外活动，为同学们举办了四种科普活动：科技展览、科普讲座、科技游艺、科技绘画．记事件：只参加科技游艺活动；事件：至少参加两种科普活动；事件：只参加一种科普活动；事件：一种科普活动都不参加；事件：至多参加一种科普活动，则下列说法正确的是（ ）
A. 与是互斥事件B. 与是对立事件
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据互斥事件和对立事件的概念判断AB的真假，根据事件的交、并的概念判断CD的真假.
【详解】对A：互斥事件表示两事件的交集为空集.事件：只参加科技游艺活动，
与事件：一种科普活动都不参加，二者不可能同时发生，交集为空集，故A正确；
对B：对立事件表示两事件互斥且必定有一个发生. 事件和事件满足两个特点，故B正确；
对C：表示：至多参加一种科普活动，即为事件，故C正确；
对D：表示：只参加一种科普活动，但不一定是科技游艺活动，故D错误.
故选：ABC
10. 若复数z，w均不为0，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据复数的四则运算，结合模长公式即可根据选项逐一求解.
【详解】不妨设且．
对于A，，故，而，故A错误，
对于B，，,
则,,故，B正确，
对于C,
， ，
故，因此C正确．
对于D，，，故，D正确．
故选：BCD
11. 如图，一张矩形白纸，，，E，F分别为AD，BC的中点，BE交AC于点M，DF交AC于点．现分别将，沿BE，DF折起，且点A，C在平面的同侧，则下列命题正确的是（ ）
A. 当平面平面时，平面
B. 当A，C重合于点时，平面
C. 当A，C重合于点时，三棱锥的外接球的表面积为
D. 当A，C重合于点时，四棱锥的体积为
【答案】AC
【解析】
【分析】对于A，利用面面平行的判定和性质定理可以判断；对于B， 利用反证法可以说明B错误；对于C，根据题意判断出外接球的球心为的中点，可求出外接球半径，进而求出外接球的表面积；对于D，利用平面平面，可求得四棱锥的高，进而计算出体积.
【详解】由题意，将沿折起，且点在平面，
此时、、、四点共面，平面平面，
平面平面，当平面平面，，
由题意得：，所以四边形是平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面，故A正确；
因为，所以，则可得，
即，同理可得，
当重合于点时，如上图，在中，，
又因为，所以，
因为，所以，
所以为等腰三角形，即，，，
故和不垂直，则不垂直于平面，故B错误；
在三棱锥中，，均为直角三角形，所以为外接球直径，
则外接球半径，则三棱锥外接球表面积为，故C正确.
，平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面，
平面平面，过点作，
因为是边长为的等边三角形，所以可得，
由面面垂直性质定理可知平面，即为四棱锥的高，
所以，故D错误.
故选：AC
【点睛】关键点点睛：本题考查了面面平行的判定和性质定理，线面垂直的判定理，几何体的外接球及四棱锥的体积，解题的关键是弄清几何题的结构，利用相关定理去证明判断.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知事件和事件相互独立，且，，则__________．
【答案】##0.125
【解析】
【分析】根据相互独立事件的概率公式即可求解.
【详解】∵事件A与事件B相互独立，则A与事件也相互独立，且，，
∴
故答案为：．
13. 已知向量，，则在上的投影向量的坐标是__________．
【答案】
【解析】
【分析】直接根据投影向量的坐标公式计算即可.
【详解】在方向上的投影向量为.
故答案为：
14. 已知四面体中，棱BC，AD所在直线所成的角为，且，，，则四面体体积的最大值是__________．
【答案】
【解析】
【分析】作出辅助线，找到，求出，由正弦定理得到点在半径为的的外接圆的劣弧上，当平面⊥平面时，点到平面的距离最大，且最大距离为，从而求出三棱锥的体积最大值为，由得到答案.
【详解】在平面内，分别过作的平行线交于点，连接，
则四边形为平行四边形，则，，
则，
在中，，，由正弦定理得，
其中为的外接圆半径，解得
则点在半径为的的外接圆的劣弧上，
作⊥，垂足为，如图1，
则当为的中点，即时，最大，此时，
如图2所示，此时，
当平面⊥平面时，点到平面的距离最大，且最大距离为，
连接，此时三棱锥的体积最大，最大为，
而，故四面体的最大值为
故答案为：
【点睛】关键点点睛，将四面体补形为四棱锥，从而结合异面直线夹角求出三角形面积，再结合点到平面的距离最大值求出体积最大值
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 若某袋中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球从中不放回地依次随机摸出2个球，记事件“第一次摸到红球”，事件“第二次摸到红球”．
（1）求和的值；
（2）求两次摸到的不都是红球的概率．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）利用首先计算样本容量，再计算事件和包含的样本点，即可求解；
（2）利用对立事件概率公式，即可求解.
【小问1详解】
将两个红球编号为1，2，三个黄球编号为3，4，5．
第一次摸球时有5种等可能的结果，对应第一次摸球的每个可能结果，
第二次摸球时都有4种等可能的结果．
将两次摸球的结果配对，组成20种等可能的结果，
第一次摸到红球的可能结果有8种，即，
所以．
第二次摸到红球的可能结果也有8种，即，
所以．
【小问2详解】
事件“两次摸到都是红球”包含2个可能结果，即，
则两次摸到都是红球的概率，
故两次摸到的不都是红球的概率．
16. 在中，角的对边分别为．
（1）求；
（2）若的面积为边上的高为1，求的周长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理和三角恒等变换得，则得到的大小；
（2）利用三角形面积公式得，再结合余弦定理得的值，则得到其周长.
【小问1详解】
因为，
由正弦定理，得，
即，即.
因在中，，
所以.
又因为，所以.
【小问2详解】
因为的面积为，
所以，得.
由，即，
所以.由余弦定理，得，即，
化简得，所以，即，
所以的周长为.
17. 某学校组织“防电信诈骗知识”测试，随机调查400名学生，将他们的测试成绩（满分100分）的统计结果按，，…，依次分成第一组至第五组，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求图中x的值；
（2）估计参与这次测试学生成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）和第60百分位数；
（3）现从以上第三组、第四组和第五组中参与测试的学生用分层随机抽样的方法选取15人，担任学校“防电信诈骗知识”的宣传员．若这15名学校宣传员中来自第三组学生的测试成绩的平均数和方差分别为75和5，来自第四组学生的测试成绩的平均数和方差分别为85和10，来自第五组学生的测试成绩的平均数和方差分别为93和5．2，据此估计这次第三组、第四组和第五组所有参与测试学生的成绩的方差．
【答案】（1）
（2）平均值为：，第60百分位数为
（3）
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图性质求值；
（2）根据频率分布直方图平均数公式和百分位数公式计算；
（3）应用分层方差公式计算求解.
【小问1详解】
由题意得，所以；
【小问2详解】
参与测试学生的成绩平均值：
．
第60百分位数为；
【小问3详解】
设第三组，第四组，第五组测试学生成绩的平均数和方差分别为，，，，，，
且三组的频率之比为4：6：5，则这三组的平均数，
所以第三组、第四组和第五组所有参与测试学生的测试成绩的方差
18. 如图，在四棱台中，底面为菱形，且，，侧棱与底面所成角的正弦值为．若球与三棱台内切（即球与棱台各面均相切）．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正切值；
（3）求四棱台的体积和球的表面积．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）四棱台的体积为，球的表面积为．
【解析】
【分析】（1）只需证明和即可；
（2）做出二面角的平面角再做计算.
（3）将四棱台还原为四棱锥，把三棱台的内切球转化为三棱锥的内切球问题.
【小问1详解】
设与、与BD分别交点E，F，连接EF，因为底面为菱形，所以．
在等腰梯形中，因为E，F为底边中点，
所以，又EF与BD相交，平面，所以平面．
【小问2详解】
由（1）可知平面平面，又平面平面，
过点作于，则平面，因为平面，
所以，再作于，又因为，平面，
所以平面，因为平面，所以，则是二面角的平面角．
因为平面，故是侧棱与底面所成角，所以．
在，，，
在，，
在，．
因此二面角的正切值为．
【小问3详解】
将四棱台还原为四棱锥，
由题意可知三棱台为正三棱台，所以三棱锥为正三棱锥，
因此三棱台和三棱锥的内切球为同一个球，设，是和的中心，
由（2）易知在，所以三棱锥为正四面体，所以，
因此平面是四棱锥中截面，则，，
故四棱台的体积．
球的表面积为．
19. 已知函数，．
（1）写出函数的单调区间；
（2）若函数有两个不同零点，求实数的取值范围；
（3）已知点，是函数图象上的两个动点，且满足，求的取值范围．
【答案】（1）的单调递增区间是，单调递减区间是，
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）去掉绝对值化简后结合函数单调性分析即可.
（2）由小问（1）的单调性，画出函数的草图，结合图象分析即可.
（3）由题意得，得出的范围，把两点坐标代入函数得与的关系式，借助关系式用来表示，即，构造函数，分析函数单调性可得值域，即的取值范围.
【小问1详解】
，
则的单调递增区间是，单调递减区间是，．
【小问2详解】
函数在单调递减，在单调递增，
故在的最小值为，
同理，在的最小值为，
故结合图象可得，函数有两个零点时需满足解得：．
或解得：．
综上所述：或．
【小问3详解】
由题意得：，则．
且，则，
因为，，所以，故．
所以．
又，故单调递增，
所以单调递增，故．
因此的取值范围为．
【点睛】方法点睛：要求的范围，未知数较多，遇到未知数多时需要通过减少未知数的个数来降低解决问题的难度；
判断函数单调性的常用方法：
①结合基本初等函数的图象或结合图象变换分析单调性；
②复合函数的单调性；
③多个函数加减的单调性：，，，；