2024-2025学年度北师版七上数学-总复习-期末复习课（五）【课件】

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数学 七年级上册 BS版
（第五章　一元一次方程）
1. 一元一次方程.在一个方程中，只含有 未知数，且未知数的次数都 是 ，这样的方程叫作一元一次方程.标准形式是 ⁠ ⁠.2. 方程的解.使方程左、右两边的值 的未知数的值，叫作方程的解.
ax ＋ b
＝0（ a ， b 是常数，且 a ≠0）　
3. 解一元一次方程.
4. 列方程解应用题的一般步骤.（1）审题；（2）设未知数；（3）找 ⁠；（4） ；（5）解方程；（6）检验；（7）答.
类型一　一元一次方程的概念
【思路导航】根据一元一次方程的概念得出关于 k 的方程，即可 解答.
【解析】因为（ k －5） x｜ k｜－4－6＝0是关于 x 的一元一次方 程，所以｜ k ｜－4＝1，且 k －5≠0.解得 k ＝－5.故答案为－5.
【点拨】判断一个方程是否为一元一次方程，不仅要看原方 程，还要看化简后的方程.原方程必须具备：①等号两边是整 式；②只含有一个未知数.化简后的方程必须具备：①只含有一 个未知数；②未知数的次数为1；③未知数的系数不为0.以上条 件缺一不可.
已知关于 x 的方程（｜ n ｜－1） x2＋ nx － x ＋8＝0是一元一次方 程，则 n ＝ ⁠.
类型二　一元一次方程的解法
解下列方程：
【点拨】解一元一次方程时，注意在去分母过程中，方程两端 同乘各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项，同时要 把分子（如果是一个多项式）作为一个整体加上括号.
类型三　一元一次方程中的参数问题
【思路导航】求出第一个方程的解，并代入第二个方程，求解 即可.
【点拨】解一元一次方程的参数问题的关键是根据题意列出关 于参数的方程.
新定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个 方程为“美好方程”.例如：方程4 x ＝8和 x ＋1＝0为“美好方 程”.（1）若关于 x 的一元一次方程3 x ＋ m ＝0与4 x －2＝ x ＋10是 “美好方程”，求 m 的值；
（2）若关于 x 的两个一元一次方程是“美好方程”，且两个解 的差为8，其中一个解为 x ＝ n ，求 n 的值.
类型四　一元一次方程的同解问题
（1）求 a ， b 的值；
【思路导航】（1）由一元一次方程的概念即可求出 a 的值，根 据两方程解相同即可求得 b 的值；
（2）若关于 y 的方程｜ m －1｜ y ＋ n ＝ a ＋1＋2 by 有无数个 解，求 m ， n 的值.【思路导航】（2）根据题意得出关于 m ， n 的方程，求解即可.
（2）由题可知，方程为｜ m －1｜ y ＋ n ＝－2＋1＋2 y ，所以（｜ m －1｜－2） y ＝－ n －1.因为方程有无数个解，所以－ n －1＝0，｜ m －1｜＝2.所以 n ＝－1， m ＝3或 m ＝－1.
【点拨】熟练掌握一元一次方程的解法，理解同解方程的意义 是解题的关键.
（1）求 m ， n 的值；
（2）若关于 y 的方程｜ a ｜ y ＋ a ＝ m ＋1－2 ny 无解，求 a 的值.
解：（2）把 m ＝3， n ＝－2代入｜ a ｜ y ＋ a ＝ m ＋1－2 ny ，得｜ a ｜ y ＋ a ＝4＋4 y .因为关于 y 的方程｜ a ｜ y ＋ a ＝4＋4 y 无解，所以｜ a ｜－4＝0，且4－ a ≠0.所以 a ＝－4.
类型五　一元一次方程在实际问题中的应用
为鼓励居民节约用水，某主城区居民生活用水实行每月阶 梯水费的收费制度，具体执行方案如下.
（1）若小明家二月份用水8m3，则需缴水费 元；【思路导航】（1）根据分段计费原则直接计算即可；
（1）【解析】因为每户每月用水量不超过12.5m3的部分，价格 为4.2元/m3，所以小明家需缴水费8×4.2＝33.6（元）.故答案 为33.6.
（2）若小明家三月份缴纳水费67元，则小明家三月份的用水量 为多少立方米？【思路导航】（2）设用水量为 x m3，先根据题意确定 x 的取值范围，再列方程求解即可.
（2）解：设小明家三月份的用水量为 x m3.因为12.5×4.2＝52.5（元），（17.5－12.5）×5.8＋52.5＝ 81.5（元），且52.5＜67＜81.5，所以12.5＜ x ＜17.5.根据题意，得12.5×4.2＋5.8（ x －12.5）＝67.解得 x ＝15.所以小明家三月份的用水量为15m3.
【点拨】涉及到分段计费问题需要读懂题意，在解决问题时注 意问题中变量所在的范围，准确找出对应的等量关系.
某公园门票价格如下表：
某校七（1）班和七（2）班共100人去游园，其中七（1）班的 人数比40多，但不足50.经估算，若两个班都以班为单位分别购 票，则一共应付1196元.（1）求两个班的人数；
解：（1）设七（1）班有 x 人（40＜ x ＜50），则七（2）班有 （100－ x ）人.根据题意，得13 x ＋11（100－ x ）＝1196.解得 x ＝48.所以100－ x ＝100－48＝52.故七（1）班有48人，七（2）班有52人.
（2）若两个班作为一个团体购票，则可节省多少元？（3）若七（1）班单独组织去游园，如何购票才最省钱？
解：（2）根据题意，两个班作为一个团体购票，可节省1196－ 9×100＝296（元）.
解：（3）若七（1）班单独组织去游园，按实际人数购票，需花费13×48＝624（元）.若购买51张票，需花费11×51＝561（元）.因为561＜624，所以若七（1）班单独组织去游园，直接购买51张票最省钱.
类型六　一元一次方程在数轴中的应用
如图，已知在数轴上点 A 表示的数为 a ，点 B 表示的数为 b ，且 a ， b 满足｜ a ＋10｜＋（ b －5）2＝0.
（1） a ＝ ， b ＝ ⁠.
【思路导航】（1）利用非负数的性质即可求出 a ， b 的值；
（1）【解析】因为｜ a ＋10｜＋（ b －5）2＝0，所以 a ＋10＝0， b －5＝0.所以 a ＝－10， b ＝5.故答案为－10，5.
（2）若点 C 在数轴上表示的数为10，在数轴上存在点 P ，使得 PA ＋ PB ＝ PC ，请求出点 P 表示的数.
【思路导航】（2）设点 P 表示的数为 x ，利用两点之间的距离计算方法列出方程解答；
（2）解：设点 P 表示的数为 x .因为 PA ＋ PB ＝ PC ，所以｜ x －（－10）｜＋｜ x －5｜＝｜ x －10｜.
解得 x ＝－15或 x ＝－5.所以满足 PA ＋ PB ＝ PC 的点 P 表示的数是－15或－5.
（3）若点 A ， B 分别以每秒2个单位长度和每秒3个单位长度的 速度同时向右运动，点 M 从原点 O 以每秒5个单位长度的速度同 时向右运动，是否存在常数 m ，使得3 AM ＋2 OB － mOM 为定 值？若存在，请求出 m 的值以及这个定值；若不存在，请说明 理由.
【思路导航】（3）设经过 t 秒运动，分别用含 t 的式子表示 AM ， OB ， OM 及3 AM ＋2 OB － mOM ，再令 t 的系数为0即可得答案.
解：（3）存在.设经过 t 秒运动，则点 A 运动后表示的数是－10＋2 t ，点 B 运动 后表示的数是5＋3 t ，点 M 运动后表示的数是5 t .则 AM ＝5 t －（－10＋2 t ）＝3 t ＋10， OB ＝5＋3 t ， OM ＝5 t .所以3 AM ＋2 OB － mOM ＝3（3 t ＋10）＋2（5＋3 t ）－ m 5 t ＝ （15－5 m ） t ＋40.所以当15－5 m ＝0，即 m ＝3时，3 AM ＋2 OB － mOM 的值是定 值，定值为40.
【点拨】在数轴上，用含 t 的代数式表示各点表示的数是前提， 用方程的思想解决问题是常用的方法.
已知数轴上 A ， B 两点对应的数分别为 a 和 b ，且 a ， b 满足等式 （ a ＋9）2＋｜7－ b ｜＝0.点 P 为数轴上一动点，对应的数为 x .
（1）填空： a ＝ ， b ＝ ，线段 AB ＝ ⁠.
（1）【解析】因为 a ， b 满足（ a ＋9）2＋｜7－ b ｜＝0，所以 a ＋9＝0，7－ b ＝0.解得 a ＝－9， b ＝7.则线段 AB ＝7－（－9）＝16.故答案为－9，7，16.
（2）数轴上是否存在点 P ，使得 PA ＝3 PB ？若存在，求出 x 的 值；若不存在，请说明理由.
（2）解：存在.①当点 P 在线段 AB 上时， PA ＋ PB ＝ AB . 因为 PA ＝3 PB ，所以3 PB ＋ PB ＝ AB ＝16.所以 PB ＝4.所以7－ x ＝4.解得 x ＝3.②当点 P 在线段 AB 的延长线上时， PA － PB ＝ AB . 因为 PA ＝3 PB ，所以3 PB － PB ＝ AB ＝16.所以 PB ＝8.所以 x ＝7＋8＝15.综上所述，存在点 P ，使得 PA ＝3 PB ，此时 x 的值为3或15.
（3）在（2）的条件下，若点 M ， N 分别是线段 AB ， PB 的中 点，试求线段 MN 的长.
（3）解：①当点 P 在线段 AB 上时，如图1所示.