[数学][期末]浙江省宁波市镇海中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题

这是一份[数学][期末]浙江省宁波市镇海中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题，共5页。试卷主要包含了填写答题卡的内容用2B铅笔填写，提前 xx 分钟收取答题卡等内容，欢迎下载使用。
考试时间：分钟 满分：分
姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________
*注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写
2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。(共8题；共40分)
1. 点是椭圆上一动点，则点到两焦点的距离之和为( )
A . B . C . D .
2. 若是空间中的一组基底，则下列可与向量构成基底的向量是( )
A . B . C . D .
3. 为直线，为平面，则下列条件能作为的充要条件的是( )
A . 平行平面内的无数条直线 B . 平行于平面的法向量 C . 垂直于平面的法向量 D . 与平面没有公共点
4. 已知 ， 则在上的投影向量的坐标为( )
A . B . C . D .
5. 点为直线上不同的两点，则直线与直线的位置关系是( )
A . 相交 B . 平行 C . 重合 D . 不确定
6. 如图，平行六面体各棱长为 ， 且 ， 动点在该几何体内部，且满足 ， 则的最小值为( )
A . B . C . D .
7. 实数满足 ， 则的最小值为( )
A . B . C . D .
8. 在棱长为的正四面体中，棱上分别存在点包含端点 ， 直线与平面 ， 平面所成角为和 ， 则的取值范围是( )
A . B . C . D .
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。(共3题；共15分)
9. 已知椭圆的焦点分别为 ， 焦距为为椭圆上一点，则下列选项中正确的是( )
A . 椭圆的离心率为 B . 的周长为 C . 不可能是直角 D . 当时，的面积为
10. 已知圆 ， 圆则下列选项正确的是( )
A . 直线恒过定点 B . 当圆和圆外切时，若分别是圆上的动点，则 C . 若圆和圆共有条公切线，则 D . 当时，圆与圆相交弦的弦长为
11. 埃舍尔是荷兰著名的版画家，哈利波特盗梦空间迷宫等影片的灵感都来源于埃舍尔的作品．通过著名的瀑布图作品，可以感受到形状渐变、几何体组合和光学幻觉方面的魅力．画面中的两座高塔上方各有一个几何体，右塔上的几何体首次出现，后称“埃舍尔多面体”图 ， 其可以用两两垂直且中心重合的三个正方形构造．如图 ， 分别为埃舍尔多面体的顶点，分别为正方形边上的中点，埃舍尔多面体的可视部分是由个四棱锥构成．为了便于理解，图中构造了其中两个四棱锥与分别为线段的中点．左塔上方是著名的“三立方体合体”图 ， 取棱长为的正方体的中心 ， 以为原点，轴均平行于正方体棱，建立如图所示的空间直角坐标系，将正方体分别绕轴旋转 ， 将旋转后的三个正方体图 ， ， 结合在一起便可得到“三立方体合体”图 ， 下列有关“埃舍尔多面体”和“三立方体合体”的说法中，正确的是( )
A . 在图中， B . 在图中，直线与平面所成角的正弦值为 C . 在图中，设点的坐标为 ， 则 D . 在图中，若为线段上的动点包含端点 ， 则异面直线与所成角余弦值的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。(共3题；共15分)
12. 在空间直角坐标系中，点为平面外一点，点为平面内一点．若平面的一个法向量为 ， 则点到平面的距离是____________________．
13. 已知点是直线上的一个动点，过点作圆的两条切线，与圆切于点 ， 则的最小值是____________________．
14. 已知椭圆的左，右焦点分别是 ， 下顶点为点 ， 直线交椭圆于点 ， 设的内切圆与相切于点 ， 若 ， 则椭圆的离心率为____________________，的内切圆半径长为____________________．
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。(共5题；共60分)
15. 已知直线经过点 ， 且点到直线的距离为 ．
（1） 求直线的方程；
（2） 为坐标原点，点的坐标为 ， 若点为直线上的动点，求的最小值，并求出此时点的坐标．
16. 如图，正三棱柱所有的棱长均为 ， 点在棱上，且满足 ， 点是棱的中点．
（1） 证明：平面；
（2） 求直线与平面所成角的正弦值．
17. 已知圆的圆心在轴上，且过 ．
（1） 求圆的方程；
（2） 过点的直线与圆交于两点点位于轴上方 ， 在轴上是否存在点 ， 使得当直线变化时，均有？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
18. 如图，三棱柱中，为等边三角形， ， 平面平面 ．
（1） 求证：；
（2） 若 ， 点是线段的中点，
求平面与平面夹角的余弦值；
在平面中是否存在点 ， 使得且若存在，请求出点的位置；若不存在，请说明理由．
19. 在空间直角坐标系中，已知向量 ， 点若直线以为方向向量且经过点 ， 则直线的标准式方程可表示为；若平面以为法向量且经过点 ， 则平面的点法式方程可表示为 ， 一般式方程可表示为 ．
（1） 若平面 ， 平面 ， 直线为平面和平面的交线，求直线的单位方向向量写出一个即可；
（2） 若三棱柱的三个侧面所在平面分别记为 ， 其中平面经过点 ， ， 平面 ， 平面 ， 求实数的值；
（3） 若集合 ， 记集合中所有点构成的几何体为 ， 求几何体的体积和相邻两个面有公共棱所成二面角的大小． 题号
一
二
三
四
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