2024中考数学复习 重难创新题 每天一练 (含答案)

这是一份2024中考数学复习 重难创新题 每天一练 (含答案)，共63页。试卷主要包含了 [新考法——结合新定义]等内容，欢迎下载使用。
第1天
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1. [新考法——动点轨迹未给出]如图①，一动点P从Rt△ABC中的A点出发在Rt△ABC内部运动(含边上)，沿直线运动两次，第一次到P1点，第二次到P2点，设点P运动的路程为x，eq \f(PC,PB)＝y，如图②，是点P运动时y随x变化关系图象，若AB＝eq \r(3)，则以P1，P2，A，B四点组成的四边形面积为( )
A. 2eq \r(3) B. eq \r(3) C. 2eq \r(2) D. eq \f(\r(3),2)

图① 图②
第1题图
2. [新考法——作图步骤的选择]已知线段AB，BC，∠ABC＝90°，求作：矩形ABCD.以下是甲、乙两位同学的作业：
(1)经老师判断，以上两位同学的作业均正确，请挑选一位同学的作业并给出证明过程；
(2)请再找一种方法，作出矩形．
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第2天
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3. [新考法——跨物理学科的欧姆定律]【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为12 V的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L (灯丝的阻值RL＝2 Ω)亮度的实验(如图①)，已知串联电路中，电流与电阻R、RL之间关系为I＝eq \f(U,R＋RL)，通过实验得出如下数据：
第3题图①
(1) a＝________，b＝________；
(2)【探究】根据以上实验，构建出函数y＝eq \f(12,x＋2)(x≥0)，结合表格信息，探究函数y＝eq \f(12,x＋2)(x≥0)的图象与性质．
①在平面直角坐标系中画出对应函数y＝eq \f(12,x＋2)(x≥0)的图象；
第3题图②
②随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是________．
(3)【拓展】结合(2)中函数图象分析，当x≥0时，eq \f(12,x＋2)≥－eq \f(3,2)x＋6的解集为________．
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第3天
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4. [新考法——相似与锐角三角函数结合测高]一天晚上，小明和爸爸带着测角仪和皮尺去公园测量一景观灯(灯杆底部不可到达)的高AB.如图所示，当小明爸爸站在点D处时，他在该景观灯照射下的影子长为DF，测得DF＝2.4 m；当小明站在爸爸影子的顶端F处时，测得点A的仰角α为26.6°.已知爸爸的身高CD＝1.8 m，小明眼睛到地面的距离EF＝1.6 m，点F，D，B在同一条直线上，EF⊥FB，CD⊥FB，AB⊥FB.求该景观灯的高AB.(参考数据：sin26.6°≈0.45，cs26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50)
第4题图
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第4天
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5. [新形式——真实情境抽离圆]如图为某游乐场摩天轮及其简化示意图，假日，小明妈妈带着小明和弟弟小刚乘坐摩天轮游玩，摩天轮直径为80 m，小明乘坐A车厢，小刚乘坐B车厢，∠AOB＝90°，妈妈站在摩天轮正下方P处(人身高不计)，即OP⊥CD于点P.
(1)摩天轮转动后到达图②位置，妈妈仰望两人时发现，A，B两处车厢刚好在同一视线上，且此时仰角∠CPA＝60°，求证：OP＝eq \r(2)OB；
(2)当摩天轮转动到图③位置时，妈妈看小明的视线PA刚好与⊙O相切于点A，AP平分∠OPD.
①四边形OPAB是( )
A. 一般四边形 B. 平行四边形 C. 菱形 D. 矩形
②求此时小刚所在的B处到地面的距离．

第5题图
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第5天
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6. [新考法——结合尺规作图续写证明过程]如图，在△ABC中，AB＝AC，AG是△ABC的外角∠FAC的平分线，在BC上求作一点D，在AG上求作一点E，使四边形ADCE是矩形．
作法：
第6题图
①作∠BAC的平分线，交BC于点D；
②在AG上截取AE＝CD，连接CE.则四边形ADCE是矩形．
(1)用直尺和圆规按照作法补全图形；
(2)求证：四边形ADCE是矩形，请补充下面证明过程及依据，并补全证明过程.
证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝________(________)(填推理依据)，
∵AG是△ABC的外角∠FAC的平分线，
∴∠FAG＝∠GAC，
∵∠B＋∠ACB＝∠FAG＋∠GAC，
∴∠B＝∠ACB＝∠FAG＝∠GAC，
∴AE∥CD，
…
7. [新考法——纠错改错注重计算过程]下面是小李同学解不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(5－\f(1,2)x≥\f(3x－6,2)，,3＋x>4))的部分过程，请认真阅读并完成相应任务.
任务一：
(1)以上解不等式①过程中，第二步所用到的不等式的性质是________；
(2)上述解不等式①的过程第________步出现了错误，其原因是：__________________________；
任务二：
请写出正确的解题过程，并将不等式组的解集表示在数轴上．
第7题图
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第6天
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8. [新考法——解决实际问题的探究]
【问题提出】
(1)如图①，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知AC＝12，BD＝8，∠AOB＝120°，求四边形ABCD的面积；
【问题解决】
(2)如图②，△ABC是某校图书馆的平面示意图，AB＝AC＝90 m，∠A＝120°，因为学校发展需要，现在图书馆的规模已经不能满足学生的阅读需求，学校计划将该图书馆进行拆除扩建，扩建计划为：保留原来的BC边不变，在AC边上取一点D，连接BD，并以BD为边向外作等边△BDE，连接CE，△BCE即为扩建后的图书馆的示意图，其中△BDE为阅览室，图中阴影部分为休息区．设CD的长为x m，阴影部分的面积为S m2.
①求S与x之间的函数关系式；
②由于施工条件的限制，点D只能取AC的三等分点，请直接写出休息区的面积．
第8题图
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第7天
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9. [新考法——结合阴影部分面积]如图，反比例函数y＝eq \f(k,x)(k＞0)的图象经过点A(1，2)，连接AO并延长交双曲线于点C，以AC为对角线作正方形ABCD，AB与x轴交于点M，AD与y轴交于点N，连接OB，以AB为直径画弧，eq \(OA,\s\up8(︵))与线段OA围成的阴影面积为S1，△OMB的面积为S2.
(1)求k的值；
(2)求eq \(OA,\s\up8(︵))的长度及线段OM的长度；
(3)求S1＋S2的值．
第9题图
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第8天
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10. [新考法——结合新定义]
(1)请将小华的推理过程补充完整；
【迁移运用】
(2)如图③，在△ABC中，∠ACB＝45°，点D，E分别在AB，BC上，且线段DE是线段AB的“等垂线”，延长DE交AC的延长线于点F，证明：BD＝EF；
(3)如图④，在△ABC中，∠ABC＝90°，D为射线AB上一点，线段DE为线段AB的“等垂线”，且点E在射线AC上，点F在射线CB上，连接AF，与直线DE交于点G，若∠CAF＝45°，AB＝4，BD＝1，直接写出BF的长．
第10题图
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第9天
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11. [新形式——真实情境抽离抛物线]某公园为景观池中安装一雕塑OA，OA＝2米，在点A处安装喷水装置，喷出两股水流，两股水流可以抽象为平面直角坐标系中的两条抛物线(图中的C1，C2)的一部分，且两条抛物线的形状相同且顶点纵坐标相同，水流落点分别为B，D.经测算发现在平面直角坐标系xOy中，抛物线C2的顶点C到x轴的距离为2.5米，到y轴的距离为2米．
(1)求抛物线C2的表达式；
(2)小城同学打算操控微型无人机在C1，C2之间飞行，为了无人机的安全，要求无人机在竖直方向上的活动范围不小于0.5米，设无人机与OA的水平距离为m米，求m的取值范围．
第11题图
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第10天
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12. [新形式——项目学习型]河南省郑州市登封市嵩阳书院的大将军柏，是中国最古老的柏树，人称“原始柏”，在国内外享有盛誉．某校老师带领学生参观“大将军柏”时，学生想测量树的高度，老师询问管理人员有什么工具时，只发现了卷尺和平面镜．于是老师根据现有工具制定如下的测量方案，测量结果如下：
根据以上测量结果，求出“大将军柏”AB的高度．
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第11天
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13. [新考法——回归教材注重公式证明]已知：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有解，请推导出求根公式．
14. [新考法——纠错改错注重证明过程]如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC，BD平分∠ABC与∠ADC，
第14题图
求证：四边形ABCD是菱形．
以下是某同学的证明过程：
证明：∵∠ABC＝∠ADC，BD平分∠ABC与∠ADC，
∴∠ADB＝∠CBD＝∠ABD＝∠CDB，①
∴AD∥BC，AB∥DC，
∴四边形ABCD是平行四边形， ②
∴OA＝OC.
∵BD平分∠ABC，OB＝OB，
∴△ABO≌△CBO, ③
∴AB＝CB，
∴四边形ABCD是菱形. ④
(1)上面的证明过程从第________步开始出现了错误，错误的理由是________；
(2)请你写出正确的证明过程．
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第12天
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15. [新考法——阅读理解现场学习型]请阅读下列解题过程：
解一元二次不等式：x2－2x－3＜0.
解：设x2－2x－3＝0，解得x1＝－1，x2＝3.
则抛物线y＝x2－2x－3与x轴的交点坐标为(－1，0)和(3，0)．
画出二次函数y＝x2－2x－3的大致图象，如图①所示．
由图象可知：当－1＜x＜3时函数图象位于x轴下方，
此时y＜0，即x2－2x－3＜0.
所以一元二次不等式x2－2x－3＜0的解集为：－1＜x＜3.
通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：

图① 图②
第15题图
(1)用类似的方法解一元二次不等式：－x2＋4x－3＞0；
(2)某“数学兴趣小组”根据以上的经验，对函数y＝－(x－1)(|x|－3)的图象和性质进行了探究，探究过程如下：
①列表：x与y的几组对应值如下表，其中m＝________；
②如图②，在平面直角坐标系中画出了函数y＝－(x－1)(|x|－3)的部分图象，用描点法将这个图象补画完整；
③结合函数图象，解决下列问题：不等式－4≤－(x－1)(|x|－3)≤0的解集为：________．
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第13天
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16. [新形式——真实情境抽离抛物线]如图①是一座古桥，桥拱截面为抛物线，如图②，AO，BC是桥墩，桥的跨径AB为20 m，此时水位在OC处，桥拱最高点P离水面6 m，在水面以上的桥墩AO，BC都为2 m．以OC所在的直线为x轴，AO所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为y＝a(x－h)2＋k，其中x(m)是桥拱截面上一点距桥墩AO的水平距离，y(m)是桥拱截面上一点距水面OC的距离．
(1)求此桥拱截面所在抛物线的表达式；
(2)若桥拱最高点P离水面2 m为警戒水位，求警戒水位处水面的宽度．
(3)有一艘游船，其左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚，此船正对着桥洞在河中航行，当水位上涨2 m时，水面到棚顶的高度为3 m，遮阳棚宽10.8 m，问此船能否通过桥洞？请说明理由．

图① 图②
第16题图
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第14天
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17. [新题型——回归教材注重定理证明]下面是证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明.
18. [新考法——转化作图]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.
(1)请用无刻度的直尺和圆规在AB边上作点E，使得△BAC∽△BCE；(要求：不写作法，保留作图痕迹，使用2B铅笔作图)
(2)在(1)的条件下，若BC＝8，AC＝6，求△BCE的周长．
第18题图
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第15天
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19. [新考法——尺规作图寻找路灯位置]
综合与实践：
问题探究：(1)如图①是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9“平分一个已知角．”即：作一个已知角的平分线，如图②是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在OA和OB上分别取点C和D，使得OC＝OD，连接CD，以CD为边作等边三角形CDE，则OE就是∠AOB的平分线．请写出OE平分∠AOB的依据：________；
类比迁移：(2)小明根据以上信息研究发现：△CDE不一定必须是等边三角形，只需CE＝DE即可，他查阅资料：我国古代已经用角尺平分任意角，做法如下：如图③，在∠AOB的边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线OC是∠AOB的平分线，请说明此做法的理由；
拓展实践：(3)小明将研究应用于实践．如图④，校园的两条小路AB和AC，汇聚形成了一个岔路口A，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E，使得路灯照亮两条小路(两条小路一样亮)，并且路灯E到岔路口A的距离和休息椅D到岔路口A的距离相等，试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的示意图⑤中作出路灯E的位置．(保留作图痕迹，不写作法)

图① 图② 图③ 图④ 图⑤
第19题图
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第16天
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20. [新考法——结合阴影部分面积]小慧借助下面的图形研究反比例函数的性质，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数y＝eq \f(k,x)图象上的点A和点B(eq \r(3)，－2eq \r(3))为顶点，分别作矩形ACOD和矩形BEOF，点C，E在x轴上，点D，F在y轴上，以点O为圆心，OF长为半径作eq \(FG,\s\up8(︵))交BE于点G，连接AO，OG.
(1)求k的值；
(2)求∠FOG的度数；
(3)求阴影部分的面积．
第20题图
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第17天
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21. [新形式——真实情境老碗面抽离圆，情境来源于实际生活，设问解决现实问题]如图，陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”(图①)的形状示意图.eq \(AB,\s\up8(︵))是⊙O的一部分，D是eq \(AB,\s\up8(︵))的中点，连接OD，与弦AB交于点C，连接OA，OB.已知AB＝24 cm，碗深CD＝8 cm.
(1)求OA的长；
(2)如图③，将一根筷子放入碗中，与eq \(AB,\s\up8(︵))交于点E，EG∥AB交OD于点G，且EG＝OC.①求线段AE的长度；
②若要使筷子漏在碗外部分的长度为整个筷子长度的eq \f(1,3)，应将筷子设计为多长？

图① 图② 图③
第21题图
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第18天
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22. [新考法——解题方法的迁移] 阅读下列材料，并按要求完成相应的任务.
第22题图
任务：
(1)上述证明过程中的依据是：________；
(2)请参照情况1的分析过程，写出情况2的分析过程；
(3)“从一般到特殊”的思想拓展研究数学中的一些问题，是数学中经常使用的解题方法．结合以上信息，猜想：当反比例函数y＝eq \f(k,x)(k≠0)的图象与一次函数y＝mx＋n(m≠0)的图象只有1个交点时，设交点为P，一次函数y＝mx＋n的图象与x轴，y轴分别交于点C，D，试着找出一条结论：________________________________.
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第19天
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23. [新考法——结合数据整理]综合与实践
问题情境
小莹妈妈的花卉超市以15元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小莹帮妈妈调查了附近A，B，C，D，E五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，记录如下：
数据整理
(1)请将以上调查数据按照一定顺序重新整理，填写在下表中：
模型建立
(2)分析数据的变化规律，找出日销售量与售价间的关系．
拓广应用
(3)根据以上信息，小莹妈妈在销售该种花卉中，
①要想每天获得400元的利润，应如何定价？
②售价定为多少时，每天能够获得最大利润？
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第20天
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24. [新考法——一图多用]已知两个函数关系：
①小明从家匀速步行到图书馆，看了一会书后，搭上爸爸的顺风车匀速回家，设所用时间为x(分钟)，离家的距离为y(千米)；
②将挂在弹簧测力计下方的一个铁块匀速浸入水中，在铁块完全浸没到水中后稍停片刻，再以比之前快的速度匀速将铁块拉出水中，过程所用时间为x(s)，铁块所受浮力为y(N)；
则它们的图象符合如图所示的是( )
第24题图
A. ① B. ② C. ①② D. 都不符合
25. [新考法——作图步骤的判断]下面是老师在黑板上出的一道尺规作图题.
(1)已知以上作法步骤是排乱的，则正确的排序是________；
(2)求证：四边形ABEF为菱形．
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第21天
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26. [真实情境——跨学科情境杆秤]【综合与实践】
有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”．某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤，小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务．
第26题图
【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：(m0＋m)·l＝M·(a＋y)．其中秤盘质量m0克，重物质量m克，秤砣质量M克，秤纽与秤盘的水平距离为l厘米，秤纽与零刻线的水平距离为a厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y厘米．
【方案设计】
目标：设计简易杆秤．设定m0＝10，M＝50，最大可称重物质量为1 000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米．
任务一：确定l和a的值．
(1)当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程；
(2)当秤盘放入质量为1 000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程；
(3)根据(1)和(2)所列方程，求出l和 a的值．
任务二：确定刻线的位置．
(4)根据任务一，求y关于m的函数解析式；
(5)从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间的距离．
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第22天
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27. [新考法——真实问题情境购买问题]大学生驻村干部带领村民发展养殖业，据了解，张大爷家的养殖场每天需要250千克饲料，饲料的价格为2.4元/千克，购买饲料每次的运费为180元，另外，据调研饲料的保管费及其他费用w(元)与一次购买饲料的天数x(天)的函数关系式为w＝10x2－10x，探究：养殖场多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少？
下面是小兰同学解决这个问题的过程，请解答相关问题．
(1)设平均每天支付的总费用为y元，则y与x之间的函数关系式为________；
(2)x与y的部分对应值如表，请补全表格；
并在所给的平面直角坐标系中，描出表格中所对应的点，画出函数图象：
第27题图
(3)结合图象：养殖场________天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少；
(4)若提供饲料的公司规定，当一次购买饲料不少于2 000千克时，价格可享受九折优惠，在该养殖场购买饲料时是否需要考虑这一优惠条件，简要说明理由．
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第23天
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28. [新形式——真实情境抽离圆]某种在同一平面进行转动的机械装置如图①，图②是它的示意图．其工作原理是：滑块Q在平直滑道l上可以左右滑动，在Q滑动的过程中，连杆PQ也随之运动，并且PQ带动连杆OP绕固定点O摆动，在摆动过程中，两连杆的接点P在以OP为半径的⊙O上运动．数学兴趣小组为进一步研究其中所蕴含的数学知识，过点O作OH⊥l于点H，并测得OH＝4分米，PQ＝3分米，OP＝2分米．
解决问题：
(1)点Q与点O间的最小距离是________分米；点Q与点O间的最大距离是________分米；点Q在l上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间的距离是________分米；
(2)如图③，有同学说：“当点Q滑动到点H的位置时，PQ与⊙O是相切的．”你认为这个判断对吗？说明理由；
(3)当OP绕点O左右摆动时，所扫过的区域为扇形，求这个扇形面积最大时圆心角的度数．
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第24天
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29. [新形式——真实情境抽离抛物线]乒乓球被誉为中国国球.2023年的世界乒乓球锦标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图①，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度OA为28.75 cm的高度，越过球网CD，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分．
乒乓球到球台的竖直高度记为y(单位：cm)，乒乓球运行的水平距离记为x(单位：cm)．测得如下数据：
第29题图
(1)填空：当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是________cm，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是________cm，并求出满足条件的抛物线解析式；
(2)如果只上下调整击球高度OA，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出OA的取值范围，以利于有针对性的训练．如图②，乒乓球台长OB为274 cm，球网高CD为15.25 cm.现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球高度OA的值约为1.27 cm，请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度OA的值(乒乓球大小忽略不计)．
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第25天
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30. [过程开放——方案选取]
【问题背景】
如图①，数学实践课上，学习小组进行探究活动，老师要求大家对矩形ABCD进行如下操作：①分别以点B，C为圆心，以大于eq \f(1,2)BC的长度为半径作弧，两弧相交于点E，F，作直线EF交BC于点O，连接AO；②将△ABO沿AO翻折，点B的对应点落在点P处，作射线AP交CD于点Q.
【问题提出】
在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝3，求线段CQ的长．
【问题解决】
经过小组合作、探究、展示，其中的两个方案如下：
方案一：连接OQ，如图②.经过推理、计算可求出线段CQ的长；
方案二：将△ABO绕点O旋转180°至△RCO处，如图③.经过推理、计算可求出线段CQ的长．
请你任选其中一种方案求线段CQ的长．

图① 图② 图③
第30题图
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第26天
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31. [新考法——结合作图痕迹的判断]如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O外一点，分别连接AC，BC交⊙O于点D，E，过点D的切线DF交BC于点F，且DF∥AB，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，分别以点M，N为圆心，大于eq \f(1,2)MN的长为半径画弧，两弧相交于点P，作射线AP，射线AP恰好经过点E.
(1)求证：AC＝AB；
(2)若AO＝1，求CD的长．
第31题图
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第27天
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32. [新设问——方案设计]
【问题背景】
“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀(控制水的流速大小)的软管制作简易计时装置．
【实验操作】
综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为 30 cm，开始放水后每隔10 min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表：
任务1 分别计算表中每隔10 min水面高度观察值的变化量．
【建立模型】
小组讨论发现： “t＝0，h＝30”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．
任务2 利用t＝0时，h＝30；t＝10时，h＝29这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式．
【反思优化】
经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差．小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小．
任务3 (1)计算任务2得到的函数解析式的w值．
(2)请确定经过(0，30)的一次函数解析式，使得w的值最小．
第32题图
【设计刻度】
得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间．
任务4 请你简要写出时间刻度的设计方案．
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第28天
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33. [新考法——跨物理]
在实验课上，小明做了一个试验．如图①，在仪器左边托盘A(固定)中放置一个物体，在右边托盘B(可左右移动)中放置一个可以装水的容器，容器的质量为5 g．在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡．改变托盘B与点C的距离x(cm)(0＜x≤60)，记录容器中加入的水的质量，得到下表：
第33题图①
把上表中的x与y1各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，得到如图②所示的y1关于x的函数图象．
(1)请在该平面直角坐标系中作出y2关于x的函数图象；
(2)观察函数图象，并结合表中的数据：
①猜测y1与x之间的函数关系，并求y1关于x的函数表达式；
②求y2关于x的函数表达式；
③当0＜x≤60时，y1随x的增大而________(填“增大”或“减小”)，y2随x的增大而________(填“增大”或“减小”)，y2的图象可以由y1的图象向________(填“上”或“下”或“左”或“右”)平移得到；
(3)若在容器中加入的水的质量y2(g)满足19≤y2≤45，求托盘B与点C的距离x(cm)的取值范围．
第33题图②
班级：____________ 姓名：____________
第29天
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34. [新考法——解题方法的迁移]【阅读与思考】下表是小亮同学在数学杂志上看到的小片段，请仔细阅读并完成相应的任务.
任务：
(1)填空：x1＋x2＝________，x1x2＝________；
(2)小亮同学利用求根公式进行推理，同样能够得出一元二次方程两根之和、两根之积与系数之间的关系．下面是小亮同学的部分推理过程，请完成填空，并将推理和运算过程补充完整．
解：对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，
当b2－4ac≥0时，有两个实数根x1＝________，x2＝________．
…
(3)已知关于x的方程2x2＋3mx＋m2＝0的两根之和与两根之积的和等于2，直接写出m的值．
班级：____________ 姓名：____________
第30天
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35. [新形式——开放性设问]生命在于运动，体育运动伴随着我们每一天，科学的体育运动不仅能强健体魄，更能愉悦身心，但与此同时我们也可以看到，因为不遵循运动规律而导致身体损伤的事情时有发生，我们越来越重视科学运动，衡量科学运动的重要指标之一就是心率，研究发现，运动过程中影响心率的主要因素有年龄、性别、运动强度、运动时间、运动类型、运动项目、情绪等，数学兴趣小组在分析了以上因素后，用统计和函数的知识，深入研究了在慢跑和跳绳过程中，心率与时间的关系如下表：

(1)根据图①中的信息，你发现在哪项运动中心率随时间的变化更快？请说明理由；
(2)甲同学慢跑运动后的心率为158次/分，根据图①中的信息请你估算甲同学运动的时间；
(3)有同学认为，计算机将慢跑时的平均心率与时间的关系拟合成的一次函数关系与实际的测量结果误差比较大，所以又借助计算机将其拟合为另一种函数关系，如图②，请你根据实际情况说明他的分析是否合理？并说明理由．
参考答案与解析
1. B 【解析】∵点P从Rt△ABC中的A点出发，∴当x＝0时 ，y＝ eq \f(PC,PB)＝eq \r(3)，即eq \f(AC,AB)＝eq \r(3)，又∵AB＝eq \r(3) ，∴∠B＝60°，∠C＝30°，AC＝3，∵1≤x≤2时，eq \f(PC,PB)＝1，∴点P第二次运动到BC的垂直平分线上，且在垂直平分线上运动了1个单位长度，如解图，作BC的垂直平分线交AC于点M，交BC于点N，∵∠C＝30°，MC＝MB, ∠MNC＝90°，∴MN＝eq \f(1,2)MC ，∠C＝∠MBN＝30°，∴BM平分∠ABC，MN＝AM，即MN＝1 ，又∵BM＝BM，∴Rt△ABM≌Rt△NBM(HL)，∴BN＝BA＝eq \r(3)，观察图象可得，点P第二次运动是从M点开始的，∴S四边形BAP1P2＝eq \f(1,2)×1×eq \r(3)×2＝eq \r(3).
第1题解图
2. 解：(1)选择甲的作业证明．
证明过程如下：
根据作图步骤1可知CD＝AB，
根据作图步骤2可知AD＝BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD为矩形；
(也可选择乙的作业证明．)
(2)矩形ABCD如解图所示．(答案不唯一)
第2题解图
3. 解：(1)2，1.5；
【解法提示】由题意得I＝eq \f(12,R＋2)，当I＝3时，由3＝eq \f(12,a＋2)得a＝2，当R＝6时，b＝eq \f(12,6＋2)＝1.5.
(2)①画出函数图象如解图①；
第3题解图①
②不断减小；
(3)x≥2或x＝0.
【解法提示】当x＝2时，y＝－eq \f(3,2)×2＋6＝3，当x＝0时，y＝6，∴函数y＝eq \f(12,x＋2)(x≥0)与函数y＝－eq \f(3,2)x＋6的图象交点坐标为(2，3)，(0，6)，在同一平面直角坐标系中画出函数y＝－eq \f(3,2)x＋6的部分图象，如解图②，当x≥2或x＝0时，eq \f(12,x＋2)≥－eq \f(3,2)x＋6，∴当x≥0时，eq \f(12,x＋2)≥－eq \f(3,2)x＋6的解集为x≥2或x＝0.
第3题解图②
4. 解：如解图，过点E作EH⊥AB，垂足为H，
第4题解图
由题意得，EH＝FB，EF＝BH＝1.6 m，
设EH＝FB＝x m，
在Rt△AEH中，∠AEH＝26.6°，
∴AH＝EH·tan26.6°≈0.5x ，
∴AB＝AH＋BH＝(0.5x＋1.6)m，
∵CD⊥FB，AB⊥FB，
∴∠CDF＝∠ABF＝90°，
∵∠CFD＝∠AFB，
∴△CDF∽△ABF，
∴eq \f(CD,AB)＝eq \f(DF,BF)，
∴eq \f(1.8,AB)＝eq \f(2.4,x)，
∴AB＝eq \f(3,4)x，
∴eq \f(3,4)x＝0.5x＋1.6，解得x＝6.4，
∴AB＝eq \f(3,4)x＝4.8 m，
答：该景观灯的高AB约为4.8 m.
5. (1)证明：如解图①，过点O作OM⊥AB于点M，
∵OA＝OB，∠AOB＝90°，
∴∠A＝∠ABO＝45°，
∴△OMB为等腰直角三角形，
∴OB＝eq \r(2)OM，
∵OP⊥CD且∠CPA＝60°，
∴∠OPM＝30°，
∴OP＝2OM，
∴OP＝eq \r(2)OB，
(2)解：①B；
②如解图②，作BN⊥OP交PO延长线于点N，
∵PA与⊙O相切于点A，
∴OA⊥PA，即∠OAP＝90°.
∵由(1)得OP＝eq \r(2)OB.
∴OP＝eq \r(2)OA，
∴∠POA＝45°.
∵⊙O的直径为80 m，
∴OA＝OB＝40 m，
∴OP＝40eq \r(2)m，
又∵∠BNO＝90°，
∴∠BON＝45°，
∴ON＝20eq \r(2) m，
∴NP＝OP＋ON＝60eq \r(2)m，
答：小刚所在的B处到地面的距离为60eq \r(2) m.
第5题解图
6. 解：(1)补全图形如解图；
第6题解图
(2)∠ACB，等边对等角；
补全证明过程如下：
由作图可知，AE＝CD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴四边形ADCE是矩形．
7. 任务一：
(1)不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变(或不等式的基本性质1)；
(2)四；不等式的两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向应改变，步骤中未改变．
任务二：
解不等式 5－eq \f(1,2)x≥eq \f(3x－6,2)，
去分母，得10－x≥3x－6，
移项，得－x－3x≥－6－10，
合并同类项，得－4x≥－16，
系数化为1，得x≤4；
解不等式3＋x>4，
移项，得x＞4－3，
合并同类项，得x＞1；
∴原不等式组的解集为1＜x≤4.
将不等式组的解集表示在数轴上如解图所示．
第7题解图
8. 解：(1)如解图①，过点B作BE⊥AC于点E，过点D作DF⊥AC于点F，
∵∠AOB＝120°，
∴∠BOE＝∠DOF＝60°，
在Rt△OEB中，BE＝BO·sin∠BOE＝BO·sin60°，
在Rt△OFD中，DF＝DO·sin∠DOF＝DO·sin60°，
∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝eq \f(AC·BE,2)＋eq \f(AC·DF,2)＝eq \f(AC·BD·sin60°,2)＝24eq \r(3)；
(2)①如解图②，过点E作EF⊥CA交CA的延长线于点F，过点D作DH⊥BA交BA的延长线于点H，过点B作BG⊥CF于点G.
∵△BDE为等边三角形，
∴DE＝BD＝BE，∠BDE＝60°，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠ABC＝∠ACB＝30°，
∴∠DAH＝∠BAG＝60°，
∴∠ADB＋∠ABD＝60°，
∵∠BDA＋∠EDF＝60°，
∴∠ABD＝∠EDF.
在△BDH和△DEF中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠BHD＝∠DFE,∠DBH＝∠EDF,BD＝DE))，
∴△BDH≌△DEF(AAS)，
∴EF＝DH.
∵CD＝x，
∴AD＝90－x，
∵∠BAG＝∠DAH＝60°，AB＝90 m，
∴BG＝AB·sin∠BAG＝AB·sin60°＝90×eq \f(\r(3),2)＝45eq \r(3)，
DH＝AD·sin∠DAH＝AD·sin60°＝eq \f(\r(3),2)AD＝eq \f(\r(3),2)(90－x)，
∴S＝S△BDC＋S△CDE＝eq \f(1,2)CD·BG＋eq \f(1,2)CD·EF＝eq \f(45\r(3)x,2)＋eq \f(\r(3)x,4)(90－x)＝－eq \f(\r(3),4)x2＋45eq \r(3)x；
②当D为AC的三等分点时，休息区的面积为1 125eq \r(3) m2或1 800eq \r(3) m2.
【解法提示】分情况讨论：Ⅰ.如解图②，当x＝CD＝eq \f(1,3)AC时，即CD＝30 m，将x＝30代入S＝－eq \f(\r(3),4)x2＋45eq \r(3)x中，得S＝－eq \f(\r(3),4)×302＋45eq \r(3)×30＝1 125eq \r(3) m2，Ⅱ.如解图③，当x＝CD＝eq \f(2,3)AC时，即CD＝60 m，将x＝60代入S＝－eq \f(\r(3),4)x2＋45eq \r(3)x中，得S＝－eq \f(\r(3),4)×602＋45eq \r(3)×60＝1 800eq \r(3) m2，综上所述当D为AC的三等分点时，休息区的面积为1 125eq \r(3) m2或1 800eq \r(3) m2.
第8题解图
9. 解：(1)∵A(1，2)在反比例函数y＝eq \f(k,x)的图象上，
∴k＝1×2＝2；
(2)∵四边形ABCD为正方形，且AC为对角线，A(1，2)，
∴OA＝eq \r(12＋22)＝eq \r(5)，AB＝eq \r(10)，∠AOB＝90°，AO＝BO，
由题意可得以AB为直径画弧，所得圆半径R＝eq \f(\r(10),2)，
∴eq \(OA,\s\up8(︵))的长度为eq \f(1,4)×2π×R＝eq \f(\r(10),4)π，
易得△ANO≌△BMO(ASA)，
∴B(2，－1)，
可求得lAB: y＝－3x＋5 ，
当y＝0时，x＝eq \f(5,3) 则M(eq \f(5,3)，0)，
∴OM＝eq \f(5,3)；
(3)如解图，设eq \(AO,\s\up8(︵))所在圆的圆心为O1，连接OO1，则S1＋S2＝eq \f(1,4)πR2＋S△O1OB－S△AOM，
∴S1＋S2＝eq \f(1,4)π×(eq \f(\r(10),2))2＋eq \f(1,2)×eq \f(\r(10),2)×eq \f(\r(10),2)－eq \f(1,2)×eq \f(5,3) ×2
＝eq \f(5,8)π－eq \f(5,12).
第9题解图
10. (1)解：补充推理过程如下：
∴DG＝ED，∠ADG＝∠BED，
∵∠BDE＋∠BED＝90°，
∴∠BDE＋∠ADG＝90°，
∴∠GDE＝90°，
∴△DEG是等腰直角三角形，
∴∠DEG＝45°，
∵∠AFD＝45°，
∴∠AFD＝∠DEG，
∴GE∥AC，
∴四边形ACEG为平行四边形，
∴AG＝CE，
∵AG＝BD，
∴BD＝CE；
(2)证明：如解图①，过点A作AG⊥AB，且使AG＝BD，连接EG，BG，
∵AG⊥AB，DE⊥AB，
∴∠BAG＝∠BDE＝90°，AG∥DE，
∵线段DE是线段AB的“等垂线”，∴AB＝DE，
在△ABG和△DEB中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AG＝DB,∠BAG＝∠EDB,AB＝DE))，
∴△ABG≌△DEB(SAS)，
∴BG＝EB，∠ABG＝∠DEB，
∵∠DBE＋∠BED＝90°，
∴∠DBE＋∠ABG＝90°，
∴∠GBE＝90°，
∴△BEG是等腰直角三角形，
∴∠BEG＝45°，
∵∠ACB＝45°，
∴∠ACB＝∠BEG，
∴GE∥AF，
∴四边形AGEF为平行四边形，
∴AG＝EF，
∵AG＝BD，
∴BD＝EF；
第10题解图①
(3)解：BF的长为eq \f(4,7)或eq \f(4,9).
【解法提示】①如解图②，延长CB至点H，使BH＝AD，连接AH，EF，AB＝4，DB＝1，则AD＝3，易证△ABH≌△EDA，∴AH＝EA，∠H＝∠EAD，∵∠H＋∠BAH＝90°，∴∠EAD＋∠BAH＝90°，∴∠HAC＝90°，∵∠CAF＝45°，∴∠HAF＝∠EAF＝45°，∴△HAF≌△EAF(SAS)，∴∠AFH＝∠AFE，HF＝EF，∵DE⊥AB，∠ABC＝90°，∴BC⊥AB，∴DE∥BC，∴∠EGF＝∠AFH，∴∠EGF＝∠AFE，∴EF＝EG，设BF＝x，则HF＝EF＝EG＝3＋x，∴DG＝DE－EG＝4－(3＋x)＝1－x，∵DE∥BC，∴△ADG∽△ABF，∴eq \f(AD,AB)＝eq \f(DG,BF)，∴eq \f(3,4)＝eq \f(1－x,x)，解得x＝eq \f(4,7)；②如解图③，延长CB至点H，使BH＝AD＝5，连接AH，EF，易证△ABH≌△EDA，∴AH＝EA，∠H＝∠EAD，∵∠H＋∠BAH＝90°，∴∠EAD＋∠BAH＝90°，∴∠HAC＝90°，∵∠CAF＝45°，∴∠HAF＝∠EAF＝45°，∴△HAF≌△EAF(SAS)，∴∠AFH＝∠AFE，HF＝EF，∴∠HFG＝∠EFG，同①得DE∥BC，∴∠EGF＝∠HFG，∴∠EGF＝∠EFG，∴EF＝EG，设BF＝x，则HF＝EF＝EG＝5－x，∴DG＝EG－DE＝5－x－4＝1－x，∵DE∥BC，∴△ADG∽△ABF，∴eq \f(AD,AB)＝eq \f(DG,BF)，∴eq \f(5,4)＝eq \f(1－x,x)，解得x＝eq \f(4,9)，综上所述，BF的长为eq \f(4,7)或eq \f(4,9).
第10题解图
11. 解：(1)由题意得A(0，2)，C(2，2.5)．
设抛物线C2的表达式为y＝a(x－2)2＋2.5，
将A(0，2)代入，解得a＝－eq \f(1,8)，
∴抛物线C2的表达式为y＝－eq \f(1,8)(x－2)2＋2.5＝－eq \f(1,8)x2＋eq \f(1,2)x＋2；
(2)∵抛物线C1与C2的形状相同且顶点纵坐标相同，
∴抛物线C1可以看作由抛物线C2向左平移得到，
将y＝2代入抛物线C2中，解得x＝0或x＝4，
∴抛物线C1由抛物线C2向左平移4个单位长度得到，
∴抛物线C1的表达式为
y＝－eq \f(1,8)(x－2＋4)2＋2.5＝－eq \f(1,8)x2－eq \f(1,2)x＋2，
由题意得，－eq \f(1,8)m2＋eq \f(1,2)m＋2－(－eq \f(1,8)m2－eq \f(1,2)m＋2)≥0.5，
解得m≥eq \f(1,2)，
令－eq \f(1,8)(m－2)2＋eq \f(5,2)＝eq \f(1,2)，
解得m1＝－2(舍去)，m2＝6，
∴m的取值范围为eq \f(1,2)≤m≤6.
12. 解：∵DE⊥DB，AB⊥DB，
∴∠EDC＝∠ABC＝90°，
由题意得，∠ACB＝∠ECD，
∴△EDC∽△ABC，
∴eq \f(ED,DC)＝eq \f(AB,CB)，
∴eq \f(1.5,3)＝eq \f(AB,24)，解得AB＝12，
答：“大将军柏”AB的高度约为12 m.
13. 解：∵ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，
∴x2＋eq \f(b,a)x＝－eq \f(c,a)，
∴x2＋eq \f(b,a)x＋(eq \f(b,2a))2＝－eq \f(c,a)＋(eq \f(b,2a))2，
即(x＋eq \f(b,2a))2＝eq \f(b2－4ac,4a2)，
∵4a2＞0，
∴当b2－4ac≥0时，方程有实数根，
∴x＋eq \f(b,2a)＝±eq \f(\r(b2－4ac),2a)，
∴当b2－4ac＞0时，
x1＝eq \f(－b＋\r(b2－4ac),2a)，
x2＝eq \f(－b－\r(b2－4ac),2a)，
当b2－4ac＝0时，x1＝x2＝－eq \f(b,2a).
14. (1)解：③，不能由ASS判定三角形全等；
(2)证明：∵∠ABC＝∠ADC，BD平分∠ABC与∠ADC，
∴∠ADB＝∠CBD＝∠ABD＝∠CDB，
∴AD∥BC，AB∥DC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形．
15. 解：(1)设－x2＋4x－3＝0，
解得x1＝1，x2＝3.
则抛物线y＝－x2＋4x－3与x轴的交点坐标为(1，0)和(3，0)．
画出二次函数y＝－x2＋4x－3的大致图象，如解图①所示．
由图象可知：当1＜x＜3时，函数图象位于x轴上方．
此时y＞0，即－x2＋4x－3＞0，
第15题解图①
∴一元二次不等式－x2＋4x－3＞0的解集为：1＜x＜3；
(2)①－4；
【解法提示】当x＝－1时，y＝－(x－1)(|x|－3)＝－(－1－1)×(|－1|－3)＝－4，即m＝－4；
②描点、连线，
函数y＝－(x－1)(|x|－3)的图象如解图②：
第15题解图②
③－3≤x≤1或3≤x≤2＋eq \r(5).
【解法指示】当y＝－4时，代入y＝－(x－1)(|x|－3)，解得：x1＝－1，x2＝2＋eq \r(5)，由图象可知：当－3≤x≤1或3≤x≤2＋eq \r(5)时，函数y＝－(x－1)(|x|－3)的图象位于－4与0之间，此时－4≤y≤0，即－4≤－(x－1)(|x|－3)≤0.
16. 解：(1)由题意知，A(0，2)，B(20，2)，抛物线的顶点P的坐标为 (10，6)．
∴抛物线的表达式可设为 y＝a(x－10)2＋6(a≠0)，
将点A(0，2)代入，得2＝100a＋6，解得a＝－eq \f(1,25)，
∴此桥拱截面所在抛物线的表达式为y＝－eq \f(1,25)(x－10)2＋6；
(2)由(1)知y＝－eq \f(1,25)(x－10)2＋6.
∵桥拱最高点P离水面2 m为警戒水位，∴当y＝4时，到达警戒水位，令－eq \f(1,25)(x－10)2＋6＝4，
解得x＝10±5eq \r(2)，此时水面宽为10eq \r(2) m.
答：警戒水位处水面的宽度为10eq \r(2) m；
(3)此船不能通过桥洞．
理由如下：当水位上涨2 m时，水面为AB，以AB所在直线为x轴，AO所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则此时桥拱截面所在抛物线的表达式为y＝－eq \f(1,25)(x－10)2＋4.
当y＝3时，－eq \f(1,25)(x－10)2＋4＝3，解得x1＝5，x2＝15，
∵15－5＝10＜10.8，∴船不能通过桥洞．
17. 解：选择方法一，证明如下：
证明：如解图，在△ADE和△CFE中，
∵AE＝CE，∠1＝∠2，DE＝FE，
∴△ADE≌△CFE(SAS)．
∴∠A＝∠ECF，AD＝CF.
∴CF∥AB.
∵BD＝AD，∴CF＝BD.
∴四边形DBCF是平行四边形．
∴DF∥BC，DF＝BC.∴DE∥BC，DE＝eq \f(1,2)BC.
选择方法二，证明如下：
证明：如题图③，∵AB∥CF，
∴∠F＝∠ADE，
又∵AE＝CE，∠AED＝∠CEF，
∴△ADE≌△CFE(AAS)．
∴AD＝CF，DE＝FE，∴DE＝eq \f(1,2)DF.
∵AD＝BD，
∴CF＝BD.
∴四边形BCFD是平行四边形．
∴DF∥BC，DF＝BC.
∴DE∥BC，DE＝eq \f(1,2)BC.
第17题解图
(一题多解)
解：(1)方法一：如解图①，点E即为所求；
方法二：如解图②，点E即为所求；
方法三：如解图③，点E即为所求；

图① 图② 图③
第18题解图
(2)∵BC＝8，AC＝6，∠ACB＝90°，
∴AB＝10，
∵△BAC∽△BCE，
∴eq \f(BA,BC)＝eq \f(BC,BE)＝eq \f(AC,CE)，
即eq \f(10,8)＝eq \f(8,BE)＝eq \f(6,CE)，
解得BE＝eq \f(32,5)，CE＝eq \f(24,5)，
∴△BCE的周长为BE＋CE＋BC＝eq \f(32,5)＋eq \f(24,5)＋8＝eq \f(96,5).
19. 解：(1)SSS；
【解法指示】∵△CDE是等边三角形，∴CE＝DE，又∵OC＝OD，OE＝OE，∴△OCE≌△ODE(SSS)，∴∠COE＝∠DOE，∴OE是∠AOB的平分线．
(2)∵OM＝ON，CM＝CN，OC＝OC，
∴△OCM≌△OCN(SSS)，
∴∠AOC＝∠BOC，
∴射线OC是∠AOB的平分线；
(3)如解图，点E即为所求的点．
第19题解图
20. 解：(1)∵反比例函数y＝eq \f(k,x)的图象过点B(eq \r(3)，－2eq \r(3))，
∴把点B(eq \r(3)，－2eq \r(3))代入y＝eq \f(k,x)中，得－2eq \r(3)＝eq \f(k,\r(3))，
∴k＝－6；
(2)如解图，过点G作GH⊥y轴于点H，
在矩形BEOF中，点B(eq \r(3)，－2eq \r(3))，
则OF＝BE＝2eq \r(3)＝OG，GH＝OE＝eq \r(3)，
在Rt△OGH中，sin∠HOG＝eq \f(GH,OG)＝eq \f(1,2)，
∴∠FOG＝30°；
第20题解图
(3)S阴影＝S矩形OEBF－S扇形FOG＋eq \f(1,2)S矩形OCAD＝eq \r(3)×2eq \r(3)－eq \f(30π×（2\r(3)）2,360)＋eq \f(1,2)×|k|＝9－π.
21. 解：(1)∵eq \(AB,\s\up8(︵))是⊙O的一部分，D是eq \(AB,\s\up8(︵))的中点，AB＝24 cm，
∴OD⊥AB，AC＝BC＝eq \f(1,2)AB＝12 cm.
设⊙O的半径OA为R cm，则OC＝OD－CD＝(R－8)cm.
在Rt△OAC中，OA2＝AC2＋OC2，
∴R2＝122＋(R－8)2，
解得R＝13，
即⊙O的半径OA的长为13 cm ；(2)①如解图，连接OE，
由(1)得OD⊥AB，
∴∠OCB＝∠OCA＝90°，
∵EG∥AB，
∴∠OGE＝∠ACG＝∠ACO＝90°，
∵GE＝CO，AO＝OE，
∴Rt△OGE≌Rt△ACO(HL)，
∴∠GOE＝∠OAC，
∵∠OAC＋∠AOC＝90°，
∴∠GOE＋∠AOC＝90°，即∠AOE＝90°，
∴△AOE为等腰直角三角形，由(1)得OA＝13 cm，
∴AE＝eq \r(2)OA＝13eq \r(2)cm，
②设筷子的长度应设计为x cm，则eq \f(1,3)x＋13eq \r(2)＝x，解得x＝eq \f(39\r(2),2)，
∴筷子的长度应设计为eq \f(39\r(2),2) cm.
第21题解图
22. 解：(1)两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；
(2)如解图，过点B作BE⊥x轴于点E，作AF⊥y轴于点F，连接EF，延长BE，AF交于点G.
设点A(a，eq \f(k,a))，B(b，eq \f(k,b))(a＜0，b＞0)，
则GE＝－eq \f(k,a)，GB＝eq \f(k,b)－eq \f(k,a)，GF＝b，GA＝b－a，
∴eq \f(GE,GB)＝eq \f(－\f(k,a),\f(k,b)－\f(k,a))＝eq \f(b,b－a)，eq \f(GF,GA)＝eq \f(b,b－a)，∴eq \f(GE,GB)＝eq \f(GF,GA).
第22题解图
又∵∠G＝∠G，
∴△GEF∽△GBA,
∴∠GEF＝∠GBA，
∴EF∥BA.
又∵AF∥CE，
∴四边形AFEC是平行四边形，∴AC＝EF.
同理可得BD＝EF，从而AC＝BD;
(3)PC＝PD.(答案不唯一)
【解法提示】由题知AC＝BD，当反比例函数y＝eq \f(k,x)的图象与一次函数y＝mx＋n的图象只有1个交点，即点A，B重合时，此时点P是线段CD的中点，即PC＝PD，OP是Rt△OCD斜边上的中线，S△OPC＝S△OPD等．(答案不唯一)
23. 解：(1)按照售价从低到高排列列表如下：
(答案不唯一)
(2)由(1)可知，售价每涨价2元，日销售量少卖4盆；设售价为x元/盆，销售量为y盆，y＝kx＋b(k≠0)，把(18，54)，(20，50)代入得，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(18k＋b＝54，,20k＋b＝50))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝－2,b＝90))，
∴y＝－2x＋90；
(3)①设应定价为x元，
由题意，得(x－15)(－2x＋90)＝400，
整理，得x2－60x＋875＝0，
解得x1＝25，x2＝35，
答：要想每天获得400元的利润，应定价为每盆25元或每盆35元；
②设每天的利润为w，
由题意，得w＝(x－15)(－2x＋90)＝－2x2＋120x－1 350＝－2(x－30)2＋450，
∵－24②))
解不等式①， 5－eq \f(1,2)x≥eq \f(3x－6,2)
去分母，得10－x≥3x－6 第一步
移项，得－x－3x≥－6－10 第二步
合并同类项，得－4x≥－16 第三步
系数化为1，得x≥4 第四步
新定义：一条线段与另一条线段相等且垂直，则这条线段是另一条线段的“等垂线”．如图①，在△ABC中，∠B＝90°，点D在AB上，E是BC延长线上一点，且AD＝BE，线段AD即为线段BE的“等垂线”，连接DE交AC于点F.小华认为当∠AFD＝45°时，可以得到BD＝CE，下面是小华的不完整的推理过程．
第10题图
解：如图②，过点A作AG⊥AB，且使AG＝BD，连接EG，DG，
∵AG⊥AB，∠B＝90°，
∴∠DAG＝∠B＝90°，AG∥BE，
在△ADG和△BED中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AG＝BD,∠DAG＝∠B,AD＝BE)) ，
∴△ADG≌△BED(SAS)，
…
课题
测量“大将军柏”的高度
测量工具
平面镜和卷尺
测量示意图及说明
第12题图
说明：小红站在D处恰好从C处的平面镜中看见“大将军柏”的顶部A，且点D，C，B在一条直线上，DE⊥DB，AB⊥DB，平面镜大小忽略不计
测量数据
眼睛与地面高度DE＝1.5 m，平面镜到小红的距离CD＝3 m，平面镜到树底部的距离BC＝24 m
x
…
－4
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
…
y
…
5
0
－3
m
－3
0
1
0
－3
…
证明：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.
已知：如图①，DE是△ABC的中位线.
求证：DE∥BC，DE＝eq \f(1,2)BC.
第17题图①
方法一：如图②，延长DE到点F，使EF＝DE，
连接CF.
第17题图②
方法二：如图③，过点C作AB的平行线，交DE的延长线于点F.
第17题图③
探究反比例函数图象中的等线段
我们知道，若反比例函数y＝eq \f(k,x)的图象与正比例函数y＝mx的图象相交于点A，B，则根据反比例函数的图象与正比例函数的图象都关于原点对称，不难发现OA＝OB，那么如果反比例函数y＝eq \f(k,x)的图象与一次函数y＝mx＋n的图象相交于点A，B，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点C，D，是否也存在相等线段？
下面分别从反比例函数图象与一次函数图象的交点在同一象限和不同象限两种情况进行分析：
情况1：交点在同一象限(以交点在第一象限为例).
如图①，过点B作BE⊥x轴于点E，作AF⊥y轴于点F，BE，AF交于点G，连接EF.设点A(a，eq \f(k,a))，B(b，eq \f(k,b))(a＞0，b＞0)，则GE＝eq \f(k,a)，GB＝eq \f(k,b)－eq \f(k,a)，GF＝b，GA＝a－b，∴eq \f(GE,GB)＝eq \f(\f(k,a),\f(k,b)－\f(k,a))＝eq \f(b,a－b)，eq \f(GF,GA)＝eq \f(b,a－b)，∴eq \f(GE,GB)＝eq \f(GF,GA).又∵∠EGF＝∠BGA，∴△GEF∽△GBA(依据)，∴∠GEF＝∠GBA，∴FE∥BA.又∵AF∥CE，∴四边形AFEC是平行四边形，∴AC＝EF.同理可得BD＝EF，从而AC＝BD；
情况2：交点在不同象限(以交点在一、三象限为例)．如图②，…
售价(元/盆)
日销售量(盆)
已知▱ABCD.
求作：菱形ABEF.(点E在线段BC上，点F在线段AD上)
作法如下：
①分别以点B，F为圆心，大于eq \f(1,2)BF的长为半径画弧，两弧交于点P；
②连接EF；
③以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F；
④连接AP并延长交BC于点E.
第25题图
x/天
…
2
3
4
5
6
7
8
9
10
…
y/元
…
700
680
675
____
____
686
693
700
708
…
水平距离x/cm
0
10
50
90
130
170
230
竖直高度y/cm
28.75
33
45
49
45
33
0
流水时间t/min
0
10
20
30
40
水面高度h/cm(观察值)
30
29
28.1
27
25.8
托盘B与点C的距离x/cm
30
25
20
15
10
容器与水的总质量y1/g
10
12
15
20
30
加入的水的质量y2/g
5
7
10
15
25
一元二次方程根与系数的关系
通过学习用公式法解一元二次方程可以发现，一元二次方程的根完全由它的系数确定，求根公式就是根与系数关系的一种形式．除此以外，一元二次方程的根与系数之间还有一些其他形式的关系.
从因式分解的角度思考这个问题，若把一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根分别记为x1，x2，则有恒等式ax2＋bx＋c＝a(x－x1)(x－x2)，即ax2＋bx＋c＝ax2－a(x1＋x2)·x＋ax1x2.比较两边系数可得：x1＋x2＝________，x1x2＝________.
实验对象运动时间x(秒)
慢跑平均心率y1(次/分)
跳绳平均心率y2(次/分)
0
83
83
10
103
110
20
111
121
30
121
127
40
128
134
50
133
140
60
141
143
70
142
154
80
146
155
90
150
161
100
156
167
110
156
166
120
153
165
130
153
174
140
160
173
150
160
177
160
160
179
170
155
177
180
160
178
计算机将慢跑时的平均心率与跳绳时的平均心率与时间的关系拟合成一次函数的图象如图①：
第35题图①
计算机将慢跑时的平均心率与时间的关系拟合成的另一种函数的图象如图②：
第35题图②
售价(元/盆)
18
20
22
26
30
日销售量(盆)
54
50
46
38
30