2024中考数学复习 重难题型分类练 题型九 几何探究题 (含答案)

这是一份2024中考数学复习 重难题型分类练 题型九 几何探究题 (含答案)，共62页。试卷主要包含了 已知等内容，欢迎下载使用。
1. 已知四边形ABCD中，BC＝CD，连接BD，过点C作BD的垂线交AB于点E，连接DE.
(1)如图①，若DE∥BC，求证：四边形BCDE是菱形；
(2)如图②，连接AC，设BD，AC相交于点F，DE垂直平分线段AC.
(i)求∠CED的大小；
(ii)若AF＝AE，求证：BE＝CF.
第1题图
2. 已知正方形ABCD，E为对角线AC上一点．
【建立模型】
(1)如图①，连接BE，DE.求证：BE＝DE；
【模型应用】
(2)如图②，F是DE延长线上一点，FB⊥BE，EF交AB于点G.
①判断△FBG的形状并说明理由；
②若G为AB的中点，且AB＝4，求AF的长；
【模型迁移】
(3)如图③，F是DE延长线上一点，FB⊥BE，EF交AB于点G，BE＝BF.求证：GE＝( eq \r(2) －1)DE.
第2题图
3. (1)如图①，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，CD平分∠ACB，交AB于点D，DE∥AC，交BC于点E.
①若DE＝1，BD＝ eq \f(3,2) ，求BC的长；
②试探究 eq \f(AB,AD) － eq \f(BE,DE) 是否为定值．如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由；
(2)如图②，∠CBG和∠BCF是△ABC的2个外角，∠BCF＝2∠CBG，CD平分∠BCF，交AB的延长线于点D，DE∥AC，交CB的延长线于点E.记△ACD的面积为S1，△CDE的面积为S2，△BDE的面积为S3.若S1·S3＝ eq \f(9,16) S eq \\al(2,2) ，求cs ∠CBD的值．
第3题图
类型二 动点探究题
4. 如图，在矩形ABCD中，点O是AB的中点，点M是射线DC上动点，点P在线段AM上(不与点A重合)，OP＝ eq \f(1,2) AB.
(1)判断△ABP的形状，并说明理由；
(2)当点M为边DC中点时，连接CP并延长交AD于点N.求证：PN＝AN；
(3)点Q在边AD上，AB＝5，AD＝4，DQ＝ eq \f(8,5) ，当∠CPQ＝90°时，求DM的长．
5. 如图①，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆于点D，BE⊥CD，交CD延长线于点E，交半圆于点F，已知BC＝5，BE＝3.点P，Q分别在线段AB，BE上(不与端点重合)，且满足 eq \f(AP,BQ) ＝ eq \f(5,4) .设BQ＝x，CP＝y.
(1)求半圆O的半径；
(2)求y关于x的函数表达式；
(3)如图②，过点P作PR⊥CE于点R，连接PQ，RQ.
①当△PQR为直角三角形时，求x的值；
②作点F关于QR的对称点F′，当点F′落在BC上时，求 eq \f(CF′,BF′) 的值．
第5题图
6.在▱ABCD中，∠C＝45°，AD＝BD，点P为射线CD上的动点(点P不与点D重合)，连接AP，过点P作EP⊥AP交直线BD于点E.
(1)如图①，当点P为线段CD的中点时，请直接写出PA，PE的数量关系；
(2)如图②，当点P在线段CD上时，求证：DA＋ eq \r(2) DP＝DE；
(3)点P在射线CD上运动，若AD＝3 eq \r(2) ，AP＝5，请直接写出线段BE的长．
第6题图
7. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝12，点P在边AB上，D，E分别为BC，PC的中点，连接DE.过点E作BC的垂线，与BC，AC分别交于F，G两点．连接DG，交PC于点H.
(1)∠EDC的度数为________°；
(2)连接PG，求△APG的面积的最大值；
(3)PE与DG存在怎样的位置关系与数量关系？请说明理由；
(4)求 eq \f(CH,CE) 的最大值．
类型三 平移探究题
8. 已知：在正方形ABCD的边BC上任取一点F，连接AF，一条与AF 垂直的直线l(垂足为点P)沿AF方向，从点A开始向下平移，交边AB于点E.
(1)当直线l经过正方形ABCD的顶点D时，如图①所示．求证：AE＝BF；
(2)当直线l经过AF的中点时，与对角线BD交于点Q，连接FQ，如图②所示．求∠AFQ的度数；
(3)直线l继续向下平移，当点P恰好落在对角线BD上时，交边CD于点G，如图③所示．设AB＝2，BF＝x，DG＝y，求y与x之间的关系式．
第8题图
9. 在一次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF拼在一起，使点A与点F重合，点C与点D重合(如图①)，其中∠ACB＝∠DFE＝90°，BC＝EF＝3 cm，AC＝DF＝4 cm，并进行如下研究活动．
活动一：将图①中的纸片DEF沿AC方向平移，连接AE，BD(如图②)，当点F与点C重合时停止平移．
【思考】图②中的四边形ABDE是平行四边形吗？请说明理由；
【发现】当纸片DEF平移到某一位置时，小兵发现四边形ABDE为矩形(如图③)，求AF的长；
活动二：在图③中，取AD的中点O，再将纸片DEF绕点O顺时针方向旋转α度(0≤α≤90)，连接OB，OE(如图④).
【探究】当EF平分∠AEO时，探究OF与BD的数量关系，并说明理由．
第9题图
10. 已知：点C，D均在直线l的上方，AC与BD都是直线l的垂线段，且BD在AC的右侧，BD＝2AC，AD与BC相交于点O.
(1)如图①，若连接CD，则△BCD的形状为________， eq \f(AO,AD) 的值为________；
(2)若将BD沿直线l平移，并以AD为一边在直线l的上方作等边△ADE.
①如图②，当AE与AC重合时，连接OE，若AC＝ eq \f(3,2) ，求OE的长；
②如图③，当∠ACB＝60°时，连接EC并延长交直线l于点F，连接OF.求证：OF⊥AB.
第10题图
类型四 旋转探究题
11. 在Rt△ABC中，AC＝BC，将线段CA绕点C旋转α(0°＜α＜90°)，得到线段CD，连接AD，BD.
(1)如图①，将线段CA绕点C逆时针旋转α，则∠ADB的度数为________；
(2)将线段CA绕点C顺时针旋转α时．
①在图②中依题意补全图形，并求∠ADB的度数；
②若∠BCD的平分线CE交BD于点F，交DA的延长线于点E，连接BE.用等式表示线段AD，CE，BE之间的数量关系，并证明．
第11题图
12. 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△A′BC′，其中点A，C的对应点分别为点A′，C′.
(1)如图①，当点A′落在AC的延长线上时，求AA′的长；
(2)如图②，当点C′落在AB的延长线上时，连接CC′，交A′B于点M，求BM的长；
(3)如图③，连接AA′，CC′，直线CC′交AA′于点D，点E为AC的中点，连接DE.在旋转过程中，DE是否存在最小值？若存在，求出DE的最小值；若不存在，请说明理由．
第12题图
13. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝2 eq \r(5) ，BC＝4，D，E，F分别为AC，AB，BC的中点，连接DE，DF.
(1)如图①，求证：DF＝ eq \f(\r(5),2) DE；
(2)如图②，将∠EDF绕点D顺时针旋转一定角度，得到∠PDQ，当射线DP交AB于点G，射线DQ交BC于点N时，连接FE并延长交射线DP于点M，判断FN与EM的数量关系，并说明理由；
(3)如图③，在(2)的条件下，当DP⊥AB时，求DN的长．
第13题图
14. 如图①，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AD＝3，AB＝2 eq \r(3) ，DH⊥BC于点H.将△PQM与该四边形按如图方式放在同一平面内，使点P与A重合，点B在PM上，其中∠Q＝90°，∠QPM＝30°，PM＝4 eq \r(3) .
(1)求证：△PQM≌△CHD；
(2)△PQM从图①的位置出发，先沿着BC方向向右平移(图②)，当点P到达点D后立刻绕点D逆时针旋转(图③)，当边PM旋转50°时停止．
①边PQ从平移开始，到绕点D旋转结束，求边PQ扫过的面积；
②如图②，点K在BH上，且BK＝9－4 eq \r(3) .若△PQM右移的速度为每秒1个单位长，绕点D旋转的速度为每秒5°，求点K在△PQM区域(含边界)内的时长；
③如图③，在△PQM旋转过程中，设PQ，PM分别交BC于点E，F，若BE＝d，直接写出CF的长(用含d的式子表示)．
第14题图
类型五 折叠探究题
15. 如图，在△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝AC，点O为BC的中点，点D是线段OC上的动点(点D不与点O，C重合)，将△ACD沿AD折叠得到△AED，连接BE.
(1)当AE⊥BC时，∠AEB＝________°；
(2)探究∠AEB与∠CAD之间的数量关系，并给出证明；
(3)设AC＝4，△ACD的面积为x，以AD为边长的正方形的面积为y，求y关于x的函数解析式．
16.在矩形ABCD中，BC＝ eq \r(3) CD，点E、F分别是边AD、BC上的动点，且AE＝CF，连接EF，将矩形ABCD沿EF折叠，点C落在点G处，点D落在点H处．
(1)如图①，当EH与线段BC交于点P时，求证：PE＝PF；
(2)如图②，当点P在线段CB的延长线上时，GH交AB于点M，求证：点M在线段EF的垂直平分线上；
(3)当AB＝5时，在点E由点A移动到AD中点的过程中，计算出点G运动的路线长．
第16题图
17. (1)发现：如图①所示，在正方形ABCD中，E为AD边上一点，将△AEB沿BE翻折到△BEF处，延长EF交CD边于G点，求证：△BFG≌△BCG；
(2)探究：如图②，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，且AD＝8，AB＝6.将△AEB沿BE翻折到△BEF处，延长EF交BC边于G点，延长BF交CD边于点H，且FH＝CH，求AE的长；
(3)拓展：如图③，在菱形ABCD中，AB＝6，E为CD边上的三等分点，∠D＝60°.将△ADE沿AE翻折得到△AFE，直线EF交BC于点P.求PC的长．
第17题图
18. 如图①，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点P在边BC上，且不与点B，C重合，直线AP与DC的延长线交于点E.
(1)当点P是BC的中点时，求证：△ABP≌△ECP；
(2)将△APB沿直线AP折叠得到△APB′，点B′落在矩形ABCD的内部，延长PB′交直线AD于点F.
①证明FA＝FP，并求出在(1)条件下AF的值；
②连接B′C，求△PCB′周长的最小值；
③如图②，BB′交AE于点H，点G是AE的中点，当∠EAB′＝2∠AEB′时，请判断AB与HG的数量关系，并说明理由．
第18题图
19. 小红根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．
如图，在▱ABCD中，AN为BC边上的高， eq \f(AD,AN) ＝m，点M在AD边上，且BA＝BM.点E是线段AM上任意一点，连接BE，将△ABE沿BE翻折得△FBE.
(1)问题解决：
如图①，当∠BAD＝60°，将△ABE沿BE翻折后，使点F与点M重合，则 eq \f(AM,AN) ＝________；
(2)问题探究：
如图②，当∠BAD＝45°，将△ABE沿BE翻折后，使EF∥BM，求∠ABE的度数，并求出此时m的最小值；
(3)拓展延伸：
当∠BAD＝30°，将△ABE沿BE翻折后，若EF⊥AD，且AE＝MD，根据题意在备用图中画出图形，并求出m的值．

第19题图
类型六 类比探究题
20.已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，a，b分别表示∠A，∠B的对边，a>b.记△ABC的面积为S.
(1)如图①，分别以AC，CB为边向形外作正方形ACDE和正方形BGFC.记正方形ACDE的面积为S1，正方形BGFC的面积为S2.
①若S1＝9，S2＝16，求S的值；
②延长EA交GB的延长线于点N，连接FN，交BC于点M，交AB于点H.若FH⊥AB(如图②所示)，求证：S2－S1＝2S；
(2)如图③，分别以AC，CB为边向形外作等边三角形ACD和等边三角形CBE，记等边三角形ACD的面积为S1，等边三角形CBE的面积为S2.以AB为边向上作等边三角形ABF(点C在△ABF内)，连接EF，CF.若EF⊥CF，试探索S2－S1与S之间的等量关系，并说明理由．
第20题图
21. 问题提出：如图①，在△ABC中，AB＝AC，D是AC的中点，延长BC至点E，使DE＝DB，延长ED交AB于点F，探究 eq \f(AF,AB) 的值．
问题探究：
(1)先将问题特殊化，如图②，当∠BAC＝60°时，直接写出 eq \f(AF,AB) 的值；
(2)再探究一般情形，如图①，证明(1)中的结论仍然成立；
问题拓展：
如图③，在△ABC中，AB＝AC，D是AC的中点，G是边BC上一点， eq \f(CG,BC) ＝ eq \f(1,n) (n