湖北省武汉外国语学校2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷（Word版附解析）

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命题教师： 审题教师：
考试时间：2024年6月26日 考试时长：120分钟 试卷满分：150分
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 的展开式中的系数为（ ）
A. B. 160C. D. 80
2. 设，，是三个不同平面，且，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3. 现有甲、乙、丙、丁、戊5位同学，准备在、、三个景点中选择一个去游玩，已知每个景点至少有一位同学会选，五位同学都会进行选择并且只能选择其中一个景点，若学生甲和学生乙准备选同一个景点，则不同的选法种数为（ ）
A. 24B. 36C. 48D. 72
4. 现有一个橡皮泥制作的圆柱，其底面半径、高均为1，将它重新制作成一个体积与高均不变的圆锥，则该圆锥的底面积为（ ）
A. B. C. D.
5. 下列说法中正确的是（ ）
A. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到.依据对应的的独立性检验，结论为：变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过0.005.
B. 在做回归分析时，残差图中残差比较均匀分布在以取值为0横轴为对称轴的水平带状区域内，且宽度越窄表示回归效果越差.
C. ，当不变时，越大，该正态分布对应的正态密度曲线越矮胖.
D. 已知变量、线性相关，由样本数据算得线性回归方程式，且由样本数据算得，，则.
6. 已知等差数列中，是函数的一个极大值点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
7. 设函数，则下列正确的是（ ）
A. 当时，不是的切线
B. 存在，使得没有对称中心
C. 若有三个不同的零点，则
D. 当时，若是的极值点，则
8. 已知是数列的前项和，若，数列的首项，，则（ ）
A B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间无处寻觅.已知点，直线，动点到点的距离比到直线的距离小1.若某直线上存在这样的点，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论正确的是（ ）
A. 点的轨迹曲线是线段
B. 是“最远距离直线”
C. 过点的直线与点的轨迹交于、两点，则以为直径的圆与轴相交
D. 过点的直线与点的轨迹交于、两点，则的最小值为
10. 一只口袋中装有形状、大小都相同的8个小球，其中有黑球2个，白球2个，红球4个，分别用有放回和无放回两种不同方式依次摸出3个球.则（ ）
A. 若有放回摸球，设摸出红色球的个数为，则方差
B. 若有放回摸球，则摸出是同一种颜色球的概率
C. 若无放回摸球，设摸出红色球的个数为，则期望
D. 若无放回摸球，在摸出的球只有两种不同颜色的条件下，摸出球是2红1白的概率为
11. 设定义在上函数与的导函数分别为和，若，为偶函数，，则（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 求函数在点处的切线方程__________（请写成一般式）
13. 已知是双曲线左、右焦点，以为圆心的圆与双曲线的两支分别在第一第二象限交于两点，且，则双曲线的离心率为___________
14. 小明对数学课上的随机游走模型充满兴趣，思维也进入丰富的想象，他将自己想象成一颗粒子，在一个无限延展的平面上，从平面直角坐标系的原点出发，每秒向上、向下、向左、向右移动一个单位，且向四个方向移动的概率均为，记第秒末小明回到原点的概率为，求__________，__________（与有关的式子，附：）.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知的内角，，的对边分别为，，，满足.
（1）证明：；
（2）若，，求的面积.
16. 在平面直角坐标系中，已知椭圆左焦点为，离心率为，且过点，直线与椭圆相交于另一点.
（1）求的方程；
（2）设点在椭圆上，记与的面积分别为，，若，求点的坐标.
17. 如图，在三棱柱中，是正三角形，四边形为菱形，，.
（1）证明：；
（2）求二面角的正弦值.
18. （1）设函数，当时，恒成立，求的取值范围；
（2）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽到20个号码互不相同的概率为，证明：.
19. 已知有穷正项数列，若将数列每项依次围成一圈，满足每一项等于相邻两项的乘积，则称该数列可围成一个“T-Circle”.例如：数列，都可围成“T-Circle”.
（1）设，当时，是否存在使该数列可围成“T-Circle”，并说明理由.
（2）若的各项全不相等，且可围成“T-Circle”，写出的取值（不必证明），并写出一个满足条件的数列.
（3）若各项不全相等，且可围成“T-Circle”，求的取值集合.