湖南省2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题（Word版附解析）

这是一份湖南省2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题（Word版附解析），共11页。试卷主要包含了已知，则，已知复数，则，已知函数的部分图象如图所示，则等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､坐位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用像皮擦干浄后，再选涂其他答察标号.回答非选掸题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
本试卷主要考议内容：人教A版必修第一､二册，选择性必修第一册第一章第3节.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知向量，若，则（ ）
A.10 B.-10 C. D.
2.已知，则（ ）
A. B. C. D.
3.已知集合，若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4.已知是一条直线，是两个不同的平面，且，则“”是“”的（ ）
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.已知空间问量，若与的夹角是钝角，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6.已知，则（ ）
A. B. C. D.
7.为了推广一种新饮料，某饮料生产企业开展了有奖促销活动：将8瓶该种饮料装一箱，其中有2瓶能够中奖，现从一箱该饮料中随机抽取2瓶，则下列两个事件是互斥但不对立的是（ ）
A.“至少1瓶中奖”与“2瓶都中奖”
B.“至多1瓶中奖”与“2瓶都中奖”
C.“恰有1瓶中奖”与“2瓶都不中奖”
D.“恰有1瓶中奖”与“至多1瓶中奖”
8.已知是上的单调函数，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知复数，则（ ）
A.的实部是-1
B.
C.的共轭复数是
D.在复平面内对应的点位于在第一象限
10.已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A.
B.
C.的图象关于点对称
D.不等式的解集是
11.有一种“蒺藜形多面体”，其可由两个正交的正四面体组合而成（如图1），也可由正方体切割而成（如图2）.在如图2所示的“蒺藜形多面体”中，若，则（ ）
A.该几何体的表面积为
B.该几何体的体积为4
C.直线与直线所成的角为
D.二面角的余弦值为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.生活质量指数是用于衡量人们生活质量水平的一种指标体系.某机构对某地进行生活质量指数调查，得到该地15个地区的生活质量指数为，则这15个地区的生活质量指数的第60百分位数是__________.
13.如图，在四面体中，平面是边长为4的等边三角形，分别是棱的中点，则__________.
14.在底面为正方形的四棱锥中，平面，点在线段上，平面，则四面体外接球的表面积为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）
已知某校初二年级有1200名学生，在一次数学测试中，该年级所有学生的数学成绩全部在内.现从该校初二年级的学生中随机抽取100名学生的数学成绩，按分成5组，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求的值；
（2）估计该校初二年级学生这次数学测试的平均分（各组数据以该组数据的中点值作代表）；
（3）记这次测试数学成绩不低于85分为“优秀”，估计该校初二年级这次测试数学成绩为“优秀”的学生人数.
16.（15分）
如图，在四棱锥中，，四边形是正方形，是的中点.
（1）证明：平面.
（2）证明：平面平面.
17.（15分）
已知函数.
（1）求的最小正周期；
（2）求的单调递减区间；
（3）求在区间上的值域.
18.（17分）
端午节，又称端阳节､龙舟节､重午节，端午节是中华民族传统文化的重要组成部分.某校打算举办有关端午节的知识竞答比赛，比赛规则如下：比赛一共进行两轮，每轮比赛回答一道题，每轮比赛共有A，B，C三类题目，参赛选手随机从这三类题目中选择一类作答，第一轮中被选中的题目在第二轮比赛开始前工作人员会用同一类型的题目替换，参赛选手答对一道A类题目得10分，答对一道B类题目得20分，答对一道C类题目得40分，两轮比赛后，若选手累计得分不低于50分，则通过比赛，已知甲､乙两位同学都参加了这次比赛，且甲答对A类题目的概率是，答对B类题目的概率是，答对C类题目的概率是，乙答对每类题目的概率都是.假设甲､乙选择哪类题目作答相互独立，且每轮比赛结果也是相互独立的.
（1）求甲第一轮答对A类题目的概率；
（2）求甲通过比赛的概率；
（3）求甲､乙两人中至少有1人通过比赛的概率.
19.（17分）
是直线外一点，点在直线上（点与两点均不重合），我们称如下操作为“由点对施以视角运算”：若点在线段上，记；若点在线段外，记.
（1）若在正方体的棱的延长线上，且，由对施以视角运算，求的值；
（2）若在正方体的棱上，且，由对施以视角运算，得到，求的值；
（3）若是边的等分点，由对施以视角运筫，证明：.
湖南高一期末考试
数学参考答案
1.A 由题意可得，解得.
2.D 由题意可得.
3.C 由题意可得.因为，所以.
4.B 由，得；由，得或.故“”是“”的充分不必要条件.
5.A 由题意可得解得或.
6.C 因为，所以，所以，则.
7.C “至少1瓶中奖”与“2瓶都中奖”可以同时发生，则“至少1瓶中奖”与“2瓶都中奖”不是互斥事件.“至多1瓶中奖”与“2瓶都中奖”是对立事件.“恰有1瓶中奖”与“2瓶都不中奖”是互斥但不对立事件.“恰有1瓶中奖”与“至多1瓶中奖”可以同时发生，则“恰有1瓶中奖”与“至多1瓶中奖”不是互斥事件.
8.D 当是上的单调递增函数时，解得当是上的单调递减函数时，解得.综上，的取值范围是.
9.BD 因为，所以的实部是在复平面内对应的点位于在第一象限.
10.BC 由图可知，则.因为点在的图象上，所以，所以，解得，因为，所以，则A错误.因为点在的图象上，所以，解得，则B正确.因为，所以的图象关于点对称，则C正确.由，即，即，得，解得，所以不等式的解集是，则D错误.
11.ABC 因为，所以.该几何体的表面积为，A正确.该几何体的体积为，B正确.
因为，所以直线与直线所成的角即直线与直线的夹角，其大小为.故直线与直线所成的角为C正确.
设的中点为，连接（图略），即为二面角的平面角.，D错误.
12.79 因为，则这15个地区的生活质量指数的第60百分位数是.
13. 因为分别是棱的中点，所以，则.因为平面，所以，所以.因为是边长为4的等边三角形，所以.因为，所以.
14. 连接交于点，连接.因为共面，且平面，所以，易知为的中点，所以为的中点.设四面体外接球的球心为，则平面，设，则，所以，解得，故四面体外接球的表面积为8）.
15.解：（1）由频率分布直方图可得，解得.
（2）由题意，估计平均分分.
（3）由频率分布直方图可知这次测试数学成绩为“优秀”的频率为，则该校初二年级这次测试数学成绩为“优秀”的频率为0.15，
故估计该校初二年级这次测试数学成绩为“优秀”的学生人数为.
16.证明：（1）记，连接.
因为四边形是正方形，所以是的中点.
因为是的中点，所以.
因为平面平面，所以平面.
（2）连接.
因为四边形是正方形，所以是的中点.
因为，所以.
因为四边形是正方形，所以.
因为平面，且，所以平面.
因为平面，所以平面平面.
17.解：（1）由题意可得，
则的最小正周期.
（2）令，
解得，
故的单调递减区间为.
（3）因为，所以.
当，即时，取得最大值，最大值为
当，即时，取得最小值，最小值为
.
故在区间上的值域为.
18.解：（1）甲第一轮答对类题目的概率为.
（2）甲通过比赛的情况有以下三种：
第一种情况是甲答对1道类题目和1道类题目，其概率；
第二种情况是甲答对1道类题目和1道类题目，其概率；
第三种情况是甲答对2道类题目，其概率.
故甲通过比赛的概率为.
（3）乙通过比赛的概率为.
甲､乙都没有通过比赛的概率为，
则甲､乙两人中至少有1人通过比赛的概率为.
19.（1）解：如图1，
因为，所以.
由正方体的定义可知，则，
所以，
.
因为，所以，
则.
（2）解：如图2，设，
则.
因为，所以，
则，解得
故.
（3）证明：如图3，
因为是的等分点，所以
.
在中，由正弦定理可得，
则.
在中，同理可得.
因为，所以，
则.
同理可得.
故.