重庆市巴蜀中学校2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题（Word版附解析）

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注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚．
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试卷上作答无效．
3．考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存．满分150分，考试用时120分钟．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（ ）
A. B. C. D.
2. 某校高一年级有四个班共有学生200人，其中1班60人，2班50人，3班50人，4班40人．该校要了解高一学生对食堂菜品看法，准备从高一年级学生中随机抽取40人进行访谈，若采取按比例分配的分层抽样，且按班级来分层，则高一2班应抽取的人数是（ ）
A. 12B. 10C. 8D. 20
3. 已知平面四边形用斜二测画法画出的直观图是边长为1的正方形，则原图形中的（ ）
A. B. C. 3D. 2
4. 已知，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，则
C. 若，，则D. 若，则
5. 甲、乙、丙3人独立参加一项挑战，已知甲、乙、丙能完成挑战的概率分别为、、，则甲、乙、丙中有人完成挑战的概率为（ ）
A. B. C. D.
6. 平行六面体中，底面ABCD为正方形，，，E为的中点，则异面直线BE和DC所成角的余弦值为（ ）
A. 0B. C. D.
7. 甲在A处收到乙在航行中发出的求救信号后，立即测出乙在方位角（是从某点的正北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角）为45°、距离A处为10n mile的C处，并测得乙正沿方位角为105°的方向，以6n mile/h的速度航行，甲立即以14n mile/h的速度前去营救，甲最少需要（ ）小时才能靠近乙．
A. 1B. 2C. 1.5D. 1.2
8. 已知向量满足，且向量在方向上的投影向量为．若动点C满足，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 设复数z的共轭复数为，i为虚数单位，若，则（ ）
A. 复数z的虚部为B.
C. 在复平面内对应的点在第一象限D.
10. 一个袋子中有大小相同，标号分别为1，2，3，4的4个小球．采用不放回方式从中任意摸球两次，一次摸一个小球．设事件A=“第一次摸出球的标号小于3”，事件B=“第二次摸出球的标号小于3”，事件C=“两次摸出球的标号都是偶数”，则（ ）
A. B.
C. D.
11. 如图，在棱长为2的正方体中，点M为线段上的动点，O为正方体内一点，则以下命题正确的是（ ）
A 取得最小值
B. 当M为线段中点时，平面截正方体所得的截面为平行四边形
C. 四面体ABMD外接球的表面积为5π时，
D. 若，则点O的轨迹长为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12 已知向量，若，则______．
13. 已知圆锥的轴截面是一个边长为2的等边三角形，则该圆锥的侧面积为______.
14. 记△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，若△ABC的面积，则t的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 为调查外地游客对洪崖洞景区的满意程度，某调查部门随机抽取了100位游客，现统计参与调查的游客年龄层次，将这100人按年龄（岁）（年龄最大不超过65岁，最小不低于15岁的整数）分为5组，依次为，并得到频率分布直方图如下：
（1）求实数a的值；
（2）估计这100人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）；
（3）估计这100人年龄的第80百分位数．（结果保留一位有效数字，四舍五入）
16. 如图，在直四棱柱中，四边形ABCD是一个菱形，，点P为上的动点．
（1）证明：平面；
（2）试确定点P的位置，使得．
17. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．
（1）求A的大小；
（2）已知，若A为钝角，求面积的取值范围．
18. 已知三棱台中，△ABC为正三角形，，点E为线段AB的中点．
（1）证明：平面；
（2）延长交于点P，求三棱锥P-ABC的体积最大值；
（3）若二面角的余弦值为，求直线与平面所成线面角的余弦值．
19. 球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球O的半径为R．A、B、C为球面上三点，劣弧BC的弧长记为a，设表示以O为圆心，且过B、C的圆，同理，圆的劣弧AC、AB的弧长分别记为b，c，曲面ABC（阴影部分）叫做球面三角形．若设二面角分别为α，β，γ，则球面三角形的面积为．

（1）若平面OAB、平面OAC、平面OBC两两垂直，求球面三角形ABC的面积；
（2）若平面三角形ABC为直角三角形，，设．则：
①求证：；
②延长AO与球O交于点D，若直线DA，DC与平面ABC所成的角分别为，，S为AC中点，T为BC中点，设平面OBC与平面EST的夹角为θ，求sinθ的最小值，及此时平面AEC截球O的面积．