2024年广东省深圳市宝安实验学校中考数学三模试卷

这是一份2024年广东省深圳市宝安实验学校中考数学三模试卷，共32页。试卷主要包含了分解因式等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）﹣|﹣2025|的倒数是（ ）
A．B．2025C．﹣2025D．
2．（3分）紫砂壶，被誉为中国非物质文化遗产的瑰宝，以其独特的成型工艺和多样的造型式样著称，下面四幅图是此紫砂壶的俯视图的是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）长久以来，青少年的体质健康始终是人们关注的焦点，而体育锻炼则被视为促进青少年体质增强的最佳途径．小深本学期的体育成绩分别为：平时成绩90分，期末成绩96分．若学校规定：平时成绩、期中成绩、期末成绩三项得分按2：3：5的比例确定最终成绩，则小深的最终成绩为（ ）
A．92.5分B．92.7分C．93.6分D．93.8分
4．（3分）如图，将直角三角形ABC沿AB方向平移2cm得到△DEF，DF交BC于点H，EF＝4cm，则阴影部分的面积为（ ）
A．6cm2B．8cm2C．12cm2D．16cm2
5．（3分）光在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时要发生折射．如图，∠1＝70°，则∠3的度数是（ ）
A．70°B．80°C．85°D．75°
6．（3分）下列计算结果正确的是（ ）
A．（4a2+2a）÷2a＝2aB．2a2•3a3＝6a6
C．（a+b）2＝a2+b2D．（﹣ab3）2＝a2b6
7．（3分）如图，两座建筑物在同一水平面上，从A点测得D点的俯角为α，则建筑物AB与CD的高度之比为（ ）
A．B．
C．D．
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，将▱ABCD放置在第一象限，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度l与直线在x轴上平移的距离m的函数图象如图2所示，则▱ABCD的面积为（ ）
A．20B．C．10D．
二.填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
9．（3分）分解因式：mn2﹣12mn+36m＝ ．
10．（3分）在科学技术日新月异的推动下，某地积极筹划并成功建立了两个水果种植基地A和B，为了助力当地农民迅速走上致富之路，他们每两人一组分别去A和B基地现场指导，该地为了公平、公正、采用抽签的方式随机让两位专家去对应的水果种植基地，王专家和刘专家分成一组去B基地的概率是 ．
11．（3分）已知a、b是方程x2+3x﹣4＝0的两根，则a2+4a+b﹣3＝ ．
12．（3分）如图，一次函数y＝﹣x+b的图象分别与x轴，B，以线段AB为边向第一象限内作等边三角形ABC，反比例函数y＝（k≠0），与AC边交于点E．若△ODE的面积为，则k的值为 ．
13．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，点C和点E关于BM对称，AE与BM交于点F，若AE＝5，EF＝2，则 ．
三、解答题（共8小题，共61分）
14．（5分）计算：．
15．（6分）化简：，请你从﹣1，1，2中选一个合适的数代入求值．
16．（7分）“呵护眼睛，从小做起”，每年6月6日为全国爱眼日．某校必考为了解该校八年级和九年级学生视力健康状况，进行了如下的整理分析．
收集数据：
八年级学生视力数据如下：
4.1 4.1 4.2 4.4 4.8 4.9 5.0 5.2 4.3 4.5
4.6 4.6 5.1 5.3 4.4 4.3 5.2 5.3 4.6 4.7
九年级学生视力数据如下：
5.2 4.2 4.3 4.5 5.0 5.1 4.6 4.8 4.5 4.1
4.2 4.3 4.1 4.5 4.5 4.4 4.8 5.2 4.9 4.9
整理数据：
将数据分为A.5.1≤x≤5.3，B.4.9≤x＜5.1，C.4.7≤x＜4.9，E.4.3≤x＜4.5，F.4.1≤x＜4.3六组
数据分析：
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：a＝ ，b＝ ；并将频数分布直方图补充完整．
（2）在扇形统计图中，“C.4.7≤x＜4.9”这一组所在扇形圆心角的度数为 °．
（3）根据所给数据，你认为哪个年级学生的视力健康状况更好一些？并结合相关统计量说明理由．
17．（8分）如图，在△ABC中，∠C是钝角．
（1）尺规作图：在AB上取一点O，以O为圆心，作出⊙O，交AB于点D，连接CD；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）所作的图中，若∠BCD＝∠A，
①求证：BC是⊙O的切线；②求⊙O直径的长．
18．（9分）围棋起源于中国，被列为“琴棋书画”四大文化之一；象棋也是中华民族的文化瑰宝，趣味浓厚．国家“双减”政策实施后，某校为参加棋类社团的同学购买象棋和围棋，已知购买1副象棋比1副围棋少花10元．
（1）求每副象棋和围棋的单价；
（2）随着社团活动的开展和同学们对棋类运动的热爱，学校决定再次购买40副围棋和m（m≥20）副象棋，恰逢商场推出了优惠活动，活动的方案如下：
方案一：购买围棋超过20副时，超过部分每购买1副围棋赠送1副象棋；
方案二：按购买总金额的八折付款．
分别求出按照方案一、二购买的总费用y1、y2关于m的函数解析式；
（3）请直接写出该校选择哪种方案购买更划算．
19．（7分）阅读材料：北师大版七年级下册教材24页为大家介绍了杨辉三角．
（1）应用规律：
①直接写出（a+b）4的展开式，（a+b）4＝ ；
②（a+b）6的展开式中共有 项，所有项的系数和为 ；
（2）代数推理：
已知m为整数，求证：（m+3）3﹣（m﹣3）3能被18整除．
20．（9分）综合与实践
【生成概念】抛物线L：y＝x2+2mx+n与y轴交于点A，若抛物线L′上的点和抛物线L上的点关于点A中心对称，则称L′是L的“兄弟抛物线”．
【感知特例】（1）已知抛物线L：y＝x2+2x+2，写出L的“兄弟抛物线”L′的解析式，并画出抛物线L和L′．
【代数推理】通过代数推理证明抛物线L图象的性质：从特定的条件开始，利用代数的定义、公式、运算法则，以及等式和不等式的性质，以验证已知的结果或得出结论，这一过程称为代数推理．我们不妨来试试．
运用代数推理证明：抛物线L：y＝x2+2x+2的图象是轴对称图形，对称轴是直线x＝﹣1．
证明：在抛物线L上任取一点M（a，b），则b＝a2+2a+2
点M关于直线x＝﹣1对称的点N（﹣2﹣a，b），
∵（﹣2﹣a）2+2（﹣2﹣a）+2＝a2+2a+2＝b，
∴点N也在抛物线L：y＝x2+2x+2的图象上，
∵点M（a，b）是抛物线L：y＝x2+2x+2上的任意一点，它关于直线x＝﹣1对称的点N（﹣2﹣a，b）都在抛物线L：y＝x2+2x+2的图象上，
∴抛物线L：y＝x2+2x+2的图象是轴对称图形，对称轴是直线x＝﹣1．
（2）仿照上述方法，运用代数推理证明：抛物线L：y＝x2+2x+2与L的“兄弟抛物线”L′关于点A中心对称．
【拓展延伸】（3）智慧小组发现抛物线L：y＝x2+2mx+n和L的“兄弟抛物线”L这两抛物线的顶点所连直线l和mn有一定的关系，请你求出直线l与x轴正半轴夹角θ的正切值tanθ（可用m、n表示）．
21．（10分）【问题提出】在旋转专题复习课中，王老师引导同学们积极探究以下问题：
将一大一小两个等腰直角三角板如图1放置，∠BAC＝∠AFD＝90°，点F在△ABC内，使EF＝BF，连接BD，DE．探究线段DE与CD的关系．
【思路探究】
“勤学小组”的解题思路：将线段DE借助平行线进行平移，如图2，过点B作BG平行DE交DF的延长线于点G；
“善思小组”的解题思路：结合F为BE的中点构造三角形的中位线，如图3，过点B作BH平行DF交ED延长线于点H，将DE和CD的关系转化为DH和CD的关系．
（1）请你写出线段DE与CD的关系并证明（写出一种方法即可）；
【思维训练】
王老师为了进一步让学生体会平行线在图形证明中的作用，又出示了下列问题：
（2）如图4，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB上一点，将CD绕点C逆时针旋转60°得到CE，DE，O为DE中点，若∠EBO＝2∠BCE，探究OF，BE之间的数量关系，并说明理由；
【能力提升】
（3）“创新小组”的同学在【问题提出】的基础上对该问题又进一步拓展：连接CE，若F为平面内一点，AD∥CE，AC＝3，其他条件不变
2024年广东省深圳市宝安实验学校中考数学三模试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）﹣|﹣2025|的倒数是（ ）
A．B．2025C．﹣2025D．
【分析】利用绝对值的定义可得原数为﹣2025，再根据倒数的定义即可求得答案．
【解答】解：﹣|﹣2025|＝﹣2025，其倒数为﹣，
故选：D．
【点评】本题考查倒数，相反数及绝对值，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
2．（3分）紫砂壶，被誉为中国非物质文化遗产的瑰宝，以其独特的成型工艺和多样的造型式样著称，下面四幅图是此紫砂壶的俯视图的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据俯视图的定义，从上面看所得到的图形即为俯视图．
【解答】解：根据俯视图的定义，选项A中的图形符合题意，
故选：A．
【点评】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义是正确判断的前提．
3．（3分）长久以来，青少年的体质健康始终是人们关注的焦点，而体育锻炼则被视为促进青少年体质增强的最佳途径．小深本学期的体育成绩分别为：平时成绩90分，期末成绩96分．若学校规定：平时成绩、期中成绩、期末成绩三项得分按2：3：5的比例确定最终成绩，则小深的最终成绩为（ ）
A．92.5分B．92.7分C．93.6分D．93.8分
【分析】利用加权平均数公式即可求解．
【解答】解：小深的学期平均成绩为：
90×+92×＝93.6（分）．
故选：C．
【点评】本题考查了加权平均数公式，理解加权平均数公式是解题的关键．
4．（3分）如图，将直角三角形ABC沿AB方向平移2cm得到△DEF，DF交BC于点H，EF＝4cm，则阴影部分的面积为（ ）
A．6cm2B．8cm2C．12cm2D．16cm2
【分析】由平移的性质可知BC＝EF，BE＝AD＝2，∠ABC＝∠E＝90°，进而得出BH的长，S阴影＝S直角梯形BEFH，最后根据面积公式得出答案．
【解答】由平移的性质可知BC＝EF＝4，BE＝AD＝2，S阴影＝S直角梯形BEFH，
∴BH＝BC﹣CH＝6cm．
∴阴影部分的面积＝直角梯形BEFH的面积＝（BH+EF）×BE＝2）．
故选：A．
【点评】本题主要考查了平移的性质，求阴影部分的面积等，将阴影部分的面积转化为规则图形面积是解题的关键．
5．（3分）光在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时要发生折射．如图，∠1＝70°，则∠3的度数是（ ）
A．70°B．80°C．85°D．75°
【分析】根据“两直线平行，同位角线段”求出∠MND＝∠1＝70°，根据角的和差求出∠END＝105°，再根据“两直线平行，同旁内角互补”求解即可．
【解答】解：如图，
∵AB∥CD，∠1＝70°，
∴∠MND＝∠1＝70°，
∵∠MND+∠END＝∠6＝175°，
∴∠END＝105°，
∵CD∥EF，
∴∠END+∠3＝180°，
∴∠3＝75°，
故选：D．
【点评】此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键．
6．（3分）下列计算结果正确的是（ ）
A．（4a2+2a）÷2a＝2aB．2a2•3a3＝6a6
C．（a+b）2＝a2+b2D．（﹣ab3）2＝a2b6
【分析】计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．
【解答】解：（4a2+6a）÷2a＝2a+2，故选项A错误；
2a2•5a3＝6a5，故选项B错误，不符合题意；
（a+b）2＝a2+4ab+b2，故选项C错误，不符合题意；
（﹣ab3）6＝a2b6，故选项D正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
7．（3分）如图，两座建筑物在同一水平面上，从A点测得D点的俯角为α，则建筑物AB与CD的高度之比为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，根据矩形的性质得到BE＝CD，BC＝DE，设DE＝BC＝x，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，
则四边形BCDE是矩形，
∴BE＝CD，BC＝DE，
设DE＝BC＝x，
在Rt△ABC中，∠ACB＝β，
∴AB＝BC•tanβ，
在Rt△ADE中，∠ADE＝α，
∴AE＝DE•tanα＝BC•tanα，
∴CD＝AB﹣AE＝BC•tanβ﹣BC•tanα，
∴＝＝，
故选：C．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，将▱ABCD放置在第一象限，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度l与直线在x轴上平移的距离m的函数图象如图2所示，则▱ABCD的面积为（ ）
A．20B．C．10D．
【分析】根据直线经过点A、点D、点B求出AG＝4，AB＝5，利用相似求出DH＝4，再根据面积公式计算即可解答．
【解答】解：如图，
当直线经过点A时，m＝4，
易求EF：y＝﹣2x+7，
∴OF＝8，
∴EF＝4，
当直线经过点D时，m＝8，即AG＝2，
作DH⊥AB于H，
∵△OEF∽△DHG，
∴EF：DG＝OF：DH，
∴DH＝4，
当直线经过点B时，m＝6，
∴S＝AB•HD＝5×4＝20．
故选：A．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，准确的分析动点的运动位置，获得相应的解题条件是本题的解题关键．
二.填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
9．（3分）分解因式：mn2﹣12mn+36m＝ m（n﹣6）2 ．
【分析】提公因式后利用完全平方公式因式分解即可．
【解答】解：原式＝m（n2﹣12n+36）
＝m（n﹣6）6，
故答案为：m（n﹣6）2．
【点评】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
10．（3分）在科学技术日新月异的推动下，某地积极筹划并成功建立了两个水果种植基地A和B，为了助力当地农民迅速走上致富之路，他们每两人一组分别去A和B基地现场指导，该地为了公平、公正、采用抽签的方式随机让两位专家去对应的水果种植基地，王专家和刘专家分成一组去B基地的概率是 ．
【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，其中王专家和刘专家分成一组去B基地的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：把四位专家王专家、李专家、乙、丙和丁，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中王专家和刘专家分成一组去B基地的结果有2种，
∴王专家和李专家分成一组去A基地的概率是，
故答案为：．
【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
11．（3分）已知a、b是方程x2+3x﹣4＝0的两根，则a2+4a+b﹣3＝ ﹣2 ．
【分析】根据一元二次方程的解的定义得到a2+3a﹣4＝0，a2＝﹣3a+4，再根据根与系数的关系得到a+b＝﹣3，然后把要求的式子进行变形，再代入计算即可．
【解答】解：∵a是方程x2+3x﹣5＝0的根，
∴a2+6a﹣4＝0，
∴a7＝﹣3a+4，
∵a，b是方程x3+3x﹣4＝2的两根，
∴a+b＝﹣3，
∴a2+5a+b﹣3
＝﹣3a+4+4a+b﹣3
＝a+b+3
＝﹣3+1
＝﹣5．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝，也考查了一元二次方程的解．
12．（3分）如图，一次函数y＝﹣x+b的图象分别与x轴，B，以线段AB为边向第一象限内作等边三角形ABC，反比例函数y＝（k≠0），与AC边交于点E．若△ODE的面积为，则k的值为 ．
【分析】由一次函数解析式可得B（0，b），A（b，0），∠BAO＝30°，继而发现AC∥y轴，得到C（b，2b），根据中点坐标公式可得D（，）．再根据反比例函数k值几何意义得到S△ODE＝S△ODG+S△DEG＝S梯形AEDH代入数据计算即可．
【解答】解：∵一次函数解析式为y＝﹣x+b，
∴B（8，b）b，0），
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∴∠OAC＝90°，
∴AC∥y轴，
在Rt△OAB中，∠BAO＝30°，
∴AB＝BC＝AC＝3b，
∴C（b，2b），
∵点D是线段BC的中点，
∴D（，）．
过点D作，DH⊥x轴，交OE于点G，
根据反比例函数k值的几何意义，S△ODH＝S△OAE，
∴S△OGD＝S四边形AEGH，
∴S△ODE＝S△ODG+S△DEG＝S梯形AEDH＝（DH+AE）×AH＝（•＝，
∵xE•yE＝xD•yD＝，
∴yE＝，
E（b，），
∴（+）•＝，
∴b2＝，
又∵k＝xD•yD＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式．
13．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，点C和点E关于BM对称，AE与BM交于点F，若AE＝5，EF＝2，则 ．
【分析】通过证明A、D、E、C四点共圆，可得∠ADC＝∠AEC＝120°，可证△EFC是等边三角形，可得EC＝EF＝2，GF＝，EG＝1，由勾股定理可求BE的长，即可求解．
【解答】解：如图，作BH⊥AE于H，设EC与BF的交点为G，
设BE＝x，
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠BAD＝∠BCD＝60°，
∴△ABD，△BDC是等边三角形，
∴BA＝BD＝BC，
∵E、C关于BM对称，
∴BC＝BE＝BD＝BA，FE＝FC，
∴A、D、E、C四点共圆，
∴∠ADC＝∠AEC＝120°，
∴∠FEC＝60°，
∴△EFC是等边三角形，
∴EC＝EF＝2，GF＝，
∴BG＝，
∵AE＝5，
∴AH＝HE＝3.5，
∴FH＝4.6，
设BE＝x，
∵BH2＝BF2﹣HF5＝BE2﹣HE2，即（+）7﹣4.54＝x2﹣2.52，
∴x＝，
∴BE＝＝BC＝AD，
∴BF＝+＝3，
∴＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了菱形的性质，圆的有关知识，等边三角形的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键．
三、解答题（共8小题，共61分）
14．（5分）计算：．
【分析】利用特殊锐角三角函数值，绝对值的性质，负整数指数幂，零指数幂计算即可．
【解答】解：原式＝4×+﹣3﹣2+8
＝2+4
＝4﹣4．
【点评】本题考查实数的运算，特殊锐角三角函数值，绝对值的性质，负整数指数幂，零指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
15．（6分）化简：，请你从﹣1，1，2中选一个合适的数代入求值．
【分析】先根据分式的混合运算结合因式分解化简原式，再取使分式有意义的一个数代入求解即可．
【解答】解：
＝
＝
＝
＝，
∵a≠1，a≠4，
∴a＝﹣1，
∴原式＝＝．
【点评】本题考查分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
16．（7分）“呵护眼睛，从小做起”，每年6月6日为全国爱眼日．某校必考为了解该校八年级和九年级学生视力健康状况，进行了如下的整理分析．
收集数据：
八年级学生视力数据如下：
4.1 4.1 4.2 4.4 4.8 4.9 5.0 5.2 4.3 4.5
4.6 4.6 5.1 5.3 4.4 4.3 5.2 5.3 4.6 4.7
九年级学生视力数据如下：
5.2 4.2 4.3 4.5 5.0 5.1 4.6 4.8 4.5 4.1
4.2 4.3 4.1 4.5 4.5 4.4 4.8 5.2 4.9 4.9
整理数据：
将数据分为A.5.1≤x≤5.3，B.4.9≤x＜5.1，C.4.7≤x＜4.9，E.4.3≤x＜4.5，F.4.1≤x＜4.3六组
数据分析：
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：a＝ 4.65 ，b＝ 4.5 ；并将频数分布直方图补充完整．
（2）在扇形统计图中，“C.4.7≤x＜4.9”这一组所在扇形圆心角的度数为 36 °．
（3）根据所给数据，你认为哪个年级学生的视力健康状况更好一些？并结合相关统计量说明理由．
【分析】（1）根据中位数和众数的定义即可求出a、b的值，根据TMD数据可补全频数分布直方图；
（2）用360°乘C所占的百分比即可；
（3）利用平均数，众数和中位数的意义分析即可．
【解答】解：（1）八年级的中位数a＝＝6.65，
九年级的众数b＝4.5，
八年级3.3≤x＜4.8的人数为3个，5.8≤x≤5.3的人数为3个，
补全统计图：
故答案为：4.65，4.4；
（2）在扇形统计图中，“C.4.7≤x＜8.9”这一组所在扇形圆心角的度数为，
故答案为：36；
（3）八年级学生的视力情况谁更健康，理由如下：
∵八年级学生的视力的平均数高于九年级，且八年级学生的视力的中位数和众数均高于九年级，
∴八年级学生的视力情况谁更健康．
【点评】本题考查了众数、中位数、平均数以及用样本估计总体，掌握众数、中位数、平均数定义是解题的关键．
17．（8分）如图，在△ABC中，∠C是钝角．
（1）尺规作图：在AB上取一点O，以O为圆心，作出⊙O，交AB于点D，连接CD；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）所作的图中，若∠BCD＝∠A，
①求证：BC是⊙O的切线；②求⊙O直径的长．
【分析】（1）作线段AC的垂直平分线交AB于点O，以O为圆心，OA为半径作⊙O交AB于点D；
（2）①证明OC⊥CB即可；
②证明△BCD∽∠BAC，推出＝＝＝，由此可得结论．
【解答】（1）解：图形如图所示；
（2）①证明：连接OC．
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
∵AD是直径，
∴∠ACD＝90°，
∴∠A+∠ADC＝90°，
∵∠BCD＝∠A，
∴∠OCD+∠BCD＝90°，
∴∠OCB＝90°，即OC⊥BC，
∵OC经过圆心O，
∴直线BC是⊙O的切线；
②在Rt△ACD中，tanA＝＝，
∵∠B＝∠B，∠BCD＝∠A，
∴△BCD∽∠BAC，
∴＝＝＝，
∵BC＝12，
∴AB＝36，BD＝4，
∴AD＝AB﹣BD＝36﹣6＝32，
∴⊙O的直径为32．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，切线的判定，相似三角形的判定和性质以及解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
18．（9分）围棋起源于中国，被列为“琴棋书画”四大文化之一；象棋也是中华民族的文化瑰宝，趣味浓厚．国家“双减”政策实施后，某校为参加棋类社团的同学购买象棋和围棋，已知购买1副象棋比1副围棋少花10元．
（1）求每副象棋和围棋的单价；
（2）随着社团活动的开展和同学们对棋类运动的热爱，学校决定再次购买40副围棋和m（m≥20）副象棋，恰逢商场推出了优惠活动，活动的方案如下：
方案一：购买围棋超过20副时，超过部分每购买1副围棋赠送1副象棋；
方案二：按购买总金额的八折付款．
分别求出按照方案一、二购买的总费用y1、y2关于m的函数解析式；
（3）请直接写出该校选择哪种方案购买更划算．
【分析】（1）设每副象棋的价格是x元，每副围棋的价格是y元，列出关于x，y的二元一次方程组：，解之即可得出结论；
（2）根据题目给出的优惠方案，列出关系式即可求解；
（3）根据方案一、二购买的总费用y1＝40m+1200；、y2＝32m+1600，列出不等式40m+1200＜32m+1600求解即可．
【解答】解：（1）设每副象棋的价格是x元，每副围棋的价格是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：每副象棋的价格是40元，每副围棋的价格是50元；
（2）根据购买围棋超过20副时，超过部分每购买1副围棋赠送1副象棋，
可得y8＝50×40+40（m﹣20）＝40m+1200；
根据按购买总金额的八折付款，
可得y2＝0.2×（50×40+40m）＝32m+1600．
（3）当y1＜y2时，40m+1200＜32m+1600，
解得，m＜50，
所以，当20≤m＜50时；
当y6＝y2时，40m+1200＝32m+1600，
解得，m＝50，
所以，当m＝50时；
当y1＞y7时，40m+1200＞32m+1600，
解得，m＞50，
所以，当m＞50时．
综上，当20≤m＜50时；当m＝50时；当m＞50时．
【点评】本题考查了二元一次方程、一元一次不等式和列函数解析式，解题关键是准确把握题目中的数量关系，正确列出方程或不等式．
19．（7分）阅读材料：北师大版七年级下册教材24页为大家介绍了杨辉三角．
（1）应用规律：
①直接写出（a+b）4的展开式，（a+b）4＝ a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 ；
②（a+b）6的展开式中共有 7 项，所有项的系数和为 64 ；
（2）代数推理：
已知m为整数，求证：（m+3）3﹣（m﹣3）3能被18整除．
【分析】（1）直接利用已知式子中系数变化规律进而得出答案；
（2）直接利用已知式子中系数变化规律进而得出答案．
【解答】（1）解：根据规律得：
①（a+b）4＝a4+3a3b+6a2b2+4ab6+b4；
②∵（a+b）6＝a6+6a5b+15a7b2+20a3b5+15a2b4+2ab5+b6，
∴（a+b）3的展开式中共有7项，所有项的系数和为1+2+15+20+15+6+1＝64；
故答案为：①a7+4a3b+5a2b2+7ab3+b4，②2，64；
（2）证明：∵（a+b）3＝a3+2a2b+3ab4+b3，
∴（m+3）4﹣（m﹣3）3
＝（m7+9m2+27m+27）﹣（m3﹣9m2+27m﹣27）
＝m3+9m2+27m+27﹣m3+9m2﹣27m+27
＝18m6+54
＝18（m2+3），
∴（m+7）3﹣（m﹣3）6能被18整除．
【点评】本题考查了学生解决实际问题的能力和阅读理解能力，找出本题的数字规律是正确解题的关键．
20．（9分）综合与实践
【生成概念】抛物线L：y＝x2+2mx+n与y轴交于点A，若抛物线L′上的点和抛物线L上的点关于点A中心对称，则称L′是L的“兄弟抛物线”．
【感知特例】（1）已知抛物线L：y＝x2+2x+2，写出L的“兄弟抛物线”L′的解析式，并画出抛物线L和L′．
【代数推理】通过代数推理证明抛物线L图象的性质：从特定的条件开始，利用代数的定义、公式、运算法则，以及等式和不等式的性质，以验证已知的结果或得出结论，这一过程称为代数推理．我们不妨来试试．
运用代数推理证明：抛物线L：y＝x2+2x+2的图象是轴对称图形，对称轴是直线x＝﹣1．
证明：在抛物线L上任取一点M（a，b），则b＝a2+2a+2
点M关于直线x＝﹣1对称的点N（﹣2﹣a，b），
∵（﹣2﹣a）2+2（﹣2﹣a）+2＝a2+2a+2＝b，
∴点N也在抛物线L：y＝x2+2x+2的图象上，
∵点M（a，b）是抛物线L：y＝x2+2x+2上的任意一点，它关于直线x＝﹣1对称的点N（﹣2﹣a，b）都在抛物线L：y＝x2+2x+2的图象上，
∴抛物线L：y＝x2+2x+2的图象是轴对称图形，对称轴是直线x＝﹣1．
（2）仿照上述方法，运用代数推理证明：抛物线L：y＝x2+2x+2与L的“兄弟抛物线”L′关于点A中心对称．
【拓展延伸】（3）智慧小组发现抛物线L：y＝x2+2mx+n和L的“兄弟抛物线”L这两抛物线的顶点所连直线l和mn有一定的关系，请你求出直线l与x轴正半轴夹角θ的正切值tanθ（可用m、n表示）．
【分析】（1）根据定义直接写出即可，然后列表、描点、连线画图即可；
（2）在L任取一点M，写出M关于（0，2）对称的点的坐标，证明其在L'上即可；
（3）根据前面思路分别写出两顶点坐标，再将坐标转化为线段长度求解即可．
【解答】（1）L的“兄弟抛物线”L的解析式为y＝﹣x2+2x+8，图象如图所示：
（2）运用代数推理证明：抛物线L；y＝x2+2x+8与L的“兄弟抛物线”L关于点A中心对称，
证明：在抛物线L上任取一点M（a，b）2+2a+8，
点M关于点A（0，2）成中心对称的N（﹣a，
L′的解析式为y＝﹣x7+2x+2，
∵﹣（﹣a）2+2（﹣a）+2＝a2﹣2a+2＝4﹣b，
∴点N在抛物线U：y＝﹣x2+2x+5的图象上，
∵点M（a，b）是抛物线L2+2x+5上的任意一点，它关于点A（0，4﹣b）都在抛物线L：y＝﹣x7+2x+2的图象上，
∴抛物线L：y＝x6+2x+2的图象上的任意一点关于点A（7，2）中心对称的点都在抛物线U：y＝﹣x2+2x+2的图象上．
同理，抛物线L：y＝﹣x2+7x+2的图象上的任意一点关于点A（0，2）中心对称的点都在抛物线L：y＝x2+2x+4的图象上．
∴抛物线L：y＝x2+2x+8与L的“兄弟抛物线”L关于点A中心对称．
（3）∵抛物线L：y＝x2+2mx+n的顶点坐标为（﹣m，n﹣m3），点A（0，
∴抛物线L：y＝﹣x2+6x+2的顶点坐标为（m，n+m2），
∴tanθ＝m．
【点评】本题主要考查了中心对称的性质、二次函数的图象与性质、二次函数上点的坐标特征等内容，熟练掌握相关知识和理解题意是解题关键．
21．（10分）【问题提出】在旋转专题复习课中，王老师引导同学们积极探究以下问题：
将一大一小两个等腰直角三角板如图1放置，∠BAC＝∠AFD＝90°，点F在△ABC内，使EF＝BF，连接BD，DE．探究线段DE与CD的关系．
【思路探究】
“勤学小组”的解题思路：将线段DE借助平行线进行平移，如图2，过点B作BG平行DE交DF的延长线于点G；
“善思小组”的解题思路：结合F为BE的中点构造三角形的中位线，如图3，过点B作BH平行DF交ED延长线于点H，将DE和CD的关系转化为DH和CD的关系．
（1）请你写出线段DE与CD的关系并证明（写出一种方法即可）；
【思维训练】
王老师为了进一步让学生体会平行线在图形证明中的作用，又出示了下列问题：
（2）如图4，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB上一点，将CD绕点C逆时针旋转60°得到CE，DE，O为DE中点，若∠EBO＝2∠BCE，探究OF，BE之间的数量关系，并说明理由；
【能力提升】
（3）“创新小组”的同学在【问题提出】的基础上对该问题又进一步拓展：连接CE，若F为平面内一点，AD∥CE，AC＝3，其他条件不变
【分析】（1）方法一，延长DF至G，使FG＝DF，连接AG，延长CD，交BG的延长线于点H，可证得△BAG≌△CAD，从而得出BG＝CD，∠ACD＝∠ABG，从而DE＝CD，点A、H、B、C共圆，进一步得出结果；方法二，延长ED至H，使DH＝DE，连接BH，延长AF，交BH于G，可证得△CBG∽△CAD，从而得出∠BCH＝∠ACD，，进一步得出结果；
（2）延长OB至G，使OG＝OF，可证得C、B、E、D共圆，从而∠BDE＝∠BCE，∠CEB＝∠CDB，可证得∠GEB＝∠G，从而BG＝BE，进一步得出结果；
（3）当点F在△ABC内部时，可证得C、D、F共线，根据AF2+CF2＝AC2可求得AF，进而得出结果；同样求得当点F在△ABC外部时的结果．
【解答】解：（1）方法一，如图1，
DE＝CD，DE⊥CD
延长DF至G，使FG＝DF，延长CD，
∵BF＝EF，
∴四边形BDEG是平行四边形，
∴BG＝DE，
∵∠AFD＝90°，
∴AF⊥DG，
∴AG＝AD，
∴∠GAF＝∠DAF＝45°，
∴∠GAD＝∠BAC＝90°，
∴∠BAG＝∠CAD，
∵AB＝AC，
∴△BAG≌△CAD（SAS），
∴BG＝CD，∠ACD＝∠ABG，
∴DE＝CD，点A、H、B，
∴∠H＝∠BAC＝90°，
∴BH⊥CD，
∴DE⊥CD，
方法二，如图2，
延长ED至H，使DH＝DE，延长AF，
∵EF＝BF，
∴DF∥BH，BH＝3FD，
∴∠AGB＝∠DFG＝∠AFD＝90°，
∴∠BAG+∠ABG＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠CAF+∠BAG＝90°，
∴∠CAF＝∠BAG，
∴∠CAF﹣45°＝∠BAG﹣45°，
∴∠CAF﹣∠FAD＝∠BAG﹣∠ABC，
∴∠CBH＝∠CAD，
∵，，
∴，
∴，
∴△CBG∽△CAD，
∴∠BCH＝∠ACD，，
∴CBH+∠BCD＝∠ACD+∠BCD，
∴∠HCD＝∠ACB＝45°，
∴∠CDH＝90°，
∴∠EDC＝90°，
∴ED⊥CD，ED＝CD；
（2）如图3，
延长OB至G，使OG＝OF，
∵OE＝OD，
∴四边形DFEG是平行四边形，
∴EG∥CF，
∴∠G＝∠F，∠EGC＝∠ECD，
∵CD绕点C逆时针旋转60°得到CE，
∴∠ECD＝60°，CD＝CE，
∴△CDE是等边三角形，
∴∠CDE＝∠CED＝60°，
∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∴∠ABC＝∠CED，
∴点C、B、E、D共圆，
∴∠BDE＝∠BCE，∠CEB＝∠CDB，
∵∠GEC＝∠CDE＝60°，
∴∠GEB+∠BEC＝∠BDE+∠BDC，
∴∠GEB＝∠BDE，
∴∠GEB＝∠BCE，
∵∠EBO＝3∠BCE，
∴∠EBO＝2∠GEB，
∴∠GEB+∠G＝2∠GEB，
∴∠GEB＝∠G，
∴BG＝BE，
∴OF＝OG＝OB+BG＝OB+BE；
（3）设AF＝DF＝x，如图4，
当点F在△ABC内部时，
由（1）知，
∠EDC＝90°，ED＝EC，
∴∠DEC＝∠DCE＝45°，
∵AD∥CE，
∴∠ADE＝∠DEC＝45°，
∵∠ADF＝45°，
∴∠ADF+∠ADE+∠EDC＝180°，
∴C、D、F共线，
∵∠AFD＝90°，
∴AF2+CF2＝AC8，
∴x2+（x+2）6＝32，
∴x5＝，x3＝（舍去），
∴AF＝，
∴AD＝＝，
如图5，
当点F在△ABC外部时，
∵AD∥CE，
∴∠ADE＝∠DEC＝45°，
∴∠ACB＝∠DCE，
∴D、C、F共线，
∵∠AFD＝90°，
∴AF2+CF2＝AC2，
∴x7+（x﹣2）2＝52，
∴x3＝，x4＝（舍去），
∴AD＝＝，
综上所述：AD＝．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，确定圆的条件，勾股定理等知识，解决问题的关键是根据题意画出图形．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/7/9 23:35:08；用户：李佳琳；邮箱：19523779563；学号：55883986平均数
中位数
众数
八年级
4.68
a
4.6
九年级
4.605
4.5
b
杨辉三角
如果将（a+b）n（n为非负整数）的展开式的每一项按字母a的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式：
（a+b）0＝1，它只有一项，系数为1；
（a+b）1＝a+b，它有两项，系数分别为1，1；
（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1；
（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，系数分别为1，3，3，1；
将上述每个式子的各项系数排成该表．
观察该表，可以发现每一行的首末都是1，并且下一行的数比上一行多1个，且等于它们的和．按照这个规律可以将这个表继续往下写．
该表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，而他是摘录自北宋时期数学家贾宪著的《开方作法本源》中的“开方作法本源图”，因而人们把这个表叫做杨辉三角或贾宪三角（B．Pascal，1623——1662）是1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年
平均数
中位数
众数
八年级
4.68
a
4.6
九年级
4.605
4.5
b
杨辉三角
如果将（a+b）n（n为非负整数）的展开式的每一项按字母a的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式：
（a+b）0＝1，它只有一项，系数为1；
（a+b）1＝a+b，它有两项，系数分别为1，1；
（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1；
（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，系数分别为1，3，3，1；
将上述每个式子的各项系数排成该表．
观察该表，可以发现每一行的首末都是1，并且下一行的数比上一行多1个，且等于它们的和．按照这个规律可以将这个表继续往下写．
该表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，而他是摘录自北宋时期数学家贾宪著的《开方作法本源》中的“开方作法本源图”，因而人们把这个表叫做杨辉三角或贾宪三角（B．Pascal，1623——1662）是1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年