2024年山东省济宁市兖州区中考数学二模试卷

这是一份2024年山东省济宁市兖州区中考数学二模试卷，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．a＜﹣2B．b＜1C．﹣a＞bD．a＞b
2．（3分）如图是一个几何体的侧面展开图，这个几何体可以是（ ）
A．圆锥B．圆柱C．棱锥D．棱柱
3．（3分）不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A．B．
C．D．
4．（3分）如图为商场某品牌椅子的侧面图，∠DEF＝118°，DE与地面平行，则∠ACB＝（ ）
A．72°B．69°C．49°D．31°
5．（3分）下列运算结果正确的是（ ）
A．x3•x3＝x9B．2x3+3x3＝5x6
C．（2x2）3＝6x6D．（2+3x）（2﹣3x）＝4﹣9x2
6．（3分）若关于x的分式方程+1＝的解为非负数（ ）
A．m≤1且m≠﹣1B．m≥﹣1且m≠1C．m＜1且m≠﹣1D．m＞﹣1且m≠1
7．（3分）如图，将线段AB先向左平移，使点B与原点O重合，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（2，﹣3）B．（﹣2，3）C．（3，﹣2）D．（﹣3，2）
8．（3分）已知点A（3，y1），B（﹣2，y2），C（﹣1，y3）都在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y3＜y2＜y1B．y1＜y3＜y2C．y1＜y2＜y3D．y2＜y3＜y1
9．（3分）如图，在5×6的长方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同，扇形OAB的圆心及弧的两端均为格点．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的（击中扇形的边界或没有击中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次（阴影部分）的概率是（ ）
A．B．C．D．
10．（3分）如图，在反比例函数的图象上有P1，P2，P3…P2024等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2024，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为s1，s2，s3…，s2023，则s1+s2+s3+…+s2023的值为（ ）
A．1B．2024C．D．
二、填空题：本大题共5道小题，每小题3分，满分共15分，要求只写出最后结果。
11．（3分）要使二次根式有意义，则x的取值范围是 ．
12．（3分）如图，在△ABC中，以点C为圆心，分别交AC，BC于点D，E，E为圆心，大于，两弧交于点F；作射线CF交AB于点G，BC＝7，△BCG的面积为14 ．
13．（3分）现有30%圆周的一个扇形彩纸片，该扇形的半径为40cm，小红同学为了在“六一”儿童节联欢晚会上表演节目，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为10cm的圆锥形纸帽（接缝处不重叠），那么剪去的扇形纸片的圆心角为 ．
14．（3分）新定义：函数图象上任意一点P（x，y），y﹣x称为该点的“坐标差”，函数图象上所有点的“坐标差”的最大值称为该函数的“特征值”．一次函数y＝2x+3（﹣2≤x≤1） ．
15．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，射线CP从射线CA开始绕点C逆时针旋转α角（0°＜α＜70°），与AB相交于点D，CA'与AB相交于点E．若△A′DE是等腰三角形，则∠α的度数为 ．
三、解答题：本大题共7道小题，满分共55分，解答应写出文字说明和推理步骤。
16．（5分）先化简，再求值：，其中m满足m2+3m﹣5＝0．
17．（8分）为增强学生国家安全意识，夯实国家安全教育基础、某校举行国家安全知识竞赛．竞赛结束后，对所有参赛学生的成绩（满分100分）（成绩得分用a表示），其中60≤a＜70记为“较差”，70≤a＜80记为“一般”，90≤a≤100记为“优秀”，绘制了不完整的扇形统计图和频数分布直方图．
请根据统计图提供的信息，回答如下问题：
（1）将直方图补充完整；
（2）已知90≤a≤100这组的具体成绩为93，94，99，100，94，98，则这8个数据的中位数是 ，众数是 ；
（3）若该校共有1200人，能否估计该校学生对国家安全知识掌握程度达到优秀的人数？
（4）本次知识竞赛超过95分的学生中有3名女生，1名男生，现从以上4人中随机抽取2人去参加全市的安全知识竞赛，求恰好抽中2名女生参加知识竞赛的概率.
18．（8分）如图，在矩形ABCD中，AB＝13，E是AD边上的一点，将△ABE沿着BE折叠，连接BF．
（1）求证：△EFD∽△FBC；
（2）求tan∠AFB的值．
19．（8分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，，，连接CF并延长，交⊙O于点D，作BE⊥CD，垂足为E．
（1）求证：△DBE∽△ABC；
（2）若AF＝4，求ED的长．
20．（8分）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴、y轴分别相交于C、B两点的图象相交于点A，OB＝2，BC：CA＝1：2．（1）求反比例函数的表达式；
（2）点D是线段AB上任意一点，过点D作y轴平行线，交反比例函数的图象于点E，求点D的坐标．
21．（8分）P为△ABC内一点，连接PA，PB，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在两个三角形相似
【概念理解】
（1）如图①，在△ABC中，∠A＝60°，P是△ABC的内相似点．直接写出∠BPC的度数．
【深入思考】
（2）如图②，P是△ABC内一点，连接PA，PC，∠BPC＝2∠BAC，使P是△ABC的内相似点，并给出证明．
①∠APB＝∠APC；②∠PAC＝∠PBA；③AP2＝BP•CP．
22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（0，2），点B＝（﹣1，0）．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）当﹣2≤x≤2时，求二次函数y＝﹣x2+bx+c的最大值和最小值；
（3）点P为此函数图象上任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ∥x轴，且线段PQ的长度随m的增大而增大．求m的取值范围.
2024年山东省济宁市兖州区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10道小题，每小题3分，共30分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1．（3分）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．a＜﹣2B．b＜1C．﹣a＞bD．a＞b
【分析】利用数轴与实数的关系，及正负数在数轴上的表示求解．
【解答】解：根据图形可以得到：
﹣2＜a＜0＜5＜b＜2；
所以：A、B、D都是错误的；
故选：C．
【点评】本题考查了数轴与实数的关系，理解并正确运用是解题的关键．
2．（3分）如图是一个几何体的侧面展开图，这个几何体可以是（ ）
A．圆锥B．圆柱C．棱锥D．棱柱
【分析】根据基本几何体的展开图判断即可．
【解答】解：∵圆锥的侧面展开图是扇形，
∴判断这个几何体是圆锥，
故选：A．
【点评】本题主要考查几何体的展开图，熟练掌握基本几何体的展开图是解题的关键．
3．（3分）不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答．
【解答】解：，
解不等式①得：x≥﹣1，
解不等式②得：x＜3，
∴原不等式组的解集为：﹣5≤x＜3，
∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
故选：B．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
4．（3分）如图为商场某品牌椅子的侧面图，∠DEF＝118°，DE与地面平行，则∠ACB＝（ ）
A．72°B．69°C．49°D．31°
【分析】由平行线的性质推出∠D＝∠ABD＝49°，由三角形外角的性质求出∠DCE＝118°﹣49°＝69°，由对顶角的性质得到∠ACB＝∠DCE＝69°．
【解答】解：∵DE∥AB，
∴∠D＝∠ABD＝49°，
∵∠DEF＝118°，
∴∠DCE＝118°﹣49°＝69°，
∴∠ACB＝∠DCE＝69°．
故选：B．
【点评】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，关键是由平行线的性质推出∠D＝∠ABD＝49°，由三角形外角的性质求出∠DCE的度数．
5．（3分）下列运算结果正确的是（ ）
A．x3•x3＝x9B．2x3+3x3＝5x6
C．（2x2）3＝6x6D．（2+3x）（2﹣3x）＝4﹣9x2
【分析】利用同底数幂乘法法则，合并同类项法则，积的乘方法则及平方差公式将各项计算后进行判断即可．
【解答】解：A．x3•x3＝x5，
则A不符合题意；
B．2x3+5x3＝5x4，
则B不符合题意；
C．（2x2）2＝8x6，
则C不符合题意；
D．（3+3x）（2﹣2x）
＝22﹣（2x）2
＝4﹣6x2，
则D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查整式的运算，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
6．（3分）若关于x的分式方程+1＝的解为非负数（ ）
A．m≤1且m≠﹣1B．m≥﹣1且m≠1C．m＜1且m≠﹣1D．m＞﹣1且m≠1
【分析】解含参的分式方程，然后结合已知条件及分式有意义的条件列得不等式并计算即可．
【解答】解：+1＝，
两边同乘（x﹣1），去分母得：x+x﹣1＝﹣m，
移项，合并同类项得：5x＝1﹣m，
系数化为1得：x＝，
∵原分式方程的解为非负数，
∴≥0，且
解得：m≤1且m≠﹣1，
故选：A．
【点评】本题考查根据含参分式方程解的情况确定参数的取值范围，结合已知条件解含参分式方程求得x＝是解题的关键．
7．（3分）如图，将线段AB先向左平移，使点B与原点O重合，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（2，﹣3）B．（﹣2，3）C．（3，﹣2）D．（﹣3，2）
【分析】由平移的性质得A''（﹣2，3），点B'（0，0），再由旋转的性质得点A'与A''关于原点对称，即可得出结论．
【解答】解：如图，
由题意可知，点A（0，B（2，
由平移的性质得：A''（﹣2，3），0），
由旋转的性质得：点A'与A''关于原点对称，
∴A′（5，﹣3），
故选：A．
【点评】本题考查了坐标与图形的变化﹣旋转、坐标与图形的变化﹣平移，熟练掌握旋转和平移的性质是解题的关键．
8．（3分）已知点A（3，y1），B（﹣2，y2），C（﹣1，y3）都在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y3＜y2＜y1B．y1＜y3＜y2C．y1＜y2＜y3D．y2＜y3＜y1
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可．
【解答】解：∵反比例函数的图象分布在第二四象限，y随x增大而增大，
∴y3＞y8＞0＞y1，
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是关键．
9．（3分）如图，在5×6的长方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同，扇形OAB的圆心及弧的两端均为格点．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的（击中扇形的边界或没有击中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次（阴影部分）的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．
【解答】解：∵总面积为5×6＝30，其中阴影部分面积为＝，
∴飞镖落在阴影部分的概率是＝，
故选：A．
【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．
10．（3分）如图，在反比例函数的图象上有P1，P2，P3…P2024等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2024，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为s1，s2，s3…，s2023，则s1+s2+s3+…+s2023的值为（ ）
A．1B．2024C．D．
【分析】根据横坐标依次为1，2，3，…，2024，可得纵坐标依次为，，，•••，，各阴影面积相加即可．
【解答】解：∵P1，P2，P8…P2024的横坐标依次为1，2，7，…，2024，
∴P1，P2，P8…P2024的纵坐标坐标依次为，，，•••，，
∵图中每个小矩形的水平边长为1，纵向边长等于相邻两点的纵坐标之差，
∴S7＝1×（1﹣）＝，
S8＝1×（）＝，
S3＝1×（）＝，
••••••，
S2023＝1×（），
∴S1+S3+S3+•••S2023＝1﹣+++•••+＝．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，发现规律是解答本题的关键．
二、填空题：本大题共5道小题，每小题3分，满分共15分，要求只写出最后结果。
11．（3分）要使二次根式有意义，则x的取值范围是 x≥﹣2 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件解答即可．
【解答】解：∵二次根式有意义，
∴6x+12≥2，
解得x≥﹣2．
故答案为：x≥﹣2．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．
12．（3分）如图，在△ABC中，以点C为圆心，分别交AC，BC于点D，E，E为圆心，大于，两弧交于点F；作射线CF交AB于点G，BC＝7，△BCG的面积为14 20 ．
【分析】如图，过点G作GM⊥AC于点M，GN⊥BC于点N．利用角平分线的性质定理证明GM＝GN，利用三角形面积公式求出GM，可得结论．
【解答】解：如图，过点G作GM⊥AC于点M．
由作图可知CG平分∠ACB，
∵GM⊥AC，GN⊥BC，
∴GM＝GN，
∵S△BCG＝•BC•GN＝14，
∴GN＝3，
∴GN＝GM＝4，
∴S△AGC＝•AC•GM＝，
故答案为：20．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，角平分线的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是读懂图象信息，学会添加常用辅助线解决问题，属于中考常考题型．
13．（3分）现有30%圆周的一个扇形彩纸片，该扇形的半径为40cm，小红同学为了在“六一”儿童节联欢晚会上表演节目，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为10cm的圆锥形纸帽（接缝处不重叠），那么剪去的扇形纸片的圆心角为 18° ．
【分析】已知扇形底面半径是10cm，就可以知道展开图扇形的弧长是20πcm，根据弧长公式l＝nπr÷180得到．
【解答】解：20π＝
解得：n＝90°，
∵扇形彩纸片是30%圆周，因而圆心角是108°
∴剪去的扇形纸片的圆心角为108°﹣90°＝18°．
剪去的扇形纸片的圆心角为18°．
故答案为18°．
【点评】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：
（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；
（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．
14．（3分）新定义：函数图象上任意一点P（x，y），y﹣x称为该点的“坐标差”，函数图象上所有点的“坐标差”的最大值称为该函数的“特征值”．一次函数y＝2x+3（﹣2≤x≤1） 4 ．
【分析】按照一次函数的取值求出当x最小及最大时的两个点，再分别求出y﹣x即可．
【解答】解：∵一次函数y＝2x+3（﹣3≤x≤1），
∴当x＝﹣2时，y＝﹣7，
当x＝1时，y＝5，
∵6＞1，
∴该函数的“特征值”为4．
故答案为：7．
【点评】本题考查了一次函数的性质，准确的计算是解题关键．
15．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，射线CP从射线CA开始绕点C逆时针旋转α角（0°＜α＜70°），与AB相交于点D，CA'与AB相交于点E．若△A′DE是等腰三角形，则∠α的度数为 15°或30°或60° ．
【分析】根据△A′DE是等腰三角形，进行分类讨论，画出相应情况的示意图即可解决问题．
【解答】解：当点A′在AB下方时，
由翻折可知，
∠A′＝∠A＝40°，∠A′CD＝∠ACD＝α，
∴∠DEA′＝∠A+∠ACA′＝40°+2α，
∴∠A′DE＝180°﹣40°﹣（40°+2α）＝100°﹣6α．
当A′D＝A′E时，∠A′DE＝∠DEA′，
∴100﹣2α＝40°+2α，
解得α＝15°．
当DA′＝DE时，∠DA′E＝∠DEA′，
∴40°＝40°+2α，
解得α＝0°（舍去）．
当ED＝EA′时，∠EA′D＝∠EDA′，
∴40°＝100°﹣2α，
解得α＝30°．
当点A′在AB上方时，
由旋转可知，
∠CA′D＝∠A＝40°，∠A′CD＝∠ACD＝α，
∴∠DA′E＝180°﹣40°＝140°，∠A′DE＝180°﹣7（140°﹣α）＝2α﹣100°，
∴∠A′ED＝180°﹣140°﹣（2α﹣100°）＝140°﹣2α．
当A′D＝A′E时，∠A′DE＝∠A′ED，
∴2α﹣100°＝140°﹣2α，
解得α＝60°．
当DA′＝DE时，∠DA′E＝∠DEA′，
∴140°＝140°﹣6α，
∴α＝0°（舍去）．
当ED＝EA′时，∠EDA′＝∠EA′D，
∴2α﹣100°＝140°，
解得α＝120°（舍去）．
综上所述，∠α的度数为：15°或30°或60°．
故答案为：15°或30°或60°．
【点评】本题考查旋转的性质、等腰三角形的性质及翻折变换（折叠问题），熟知图形旋转的性质及巧用分类讨论的数学思想是解题的关键．
三、解答题：本大题共7道小题，满分共55分，解答应写出文字说明和推理步骤。
16．（5分）先化简，再求值：，其中m满足m2+3m﹣5＝0．
【分析】利用分式的相应的法则对式子进行化简，再代入相应的值运算即可．
【解答】解：
＝
＝
＝3m（m+4）
＝3（m2+7m），
∵m满足m2+3m﹣2＝0，
即m2+8m＝5，
∴原式＝3×5
＝15．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
17．（8分）为增强学生国家安全意识，夯实国家安全教育基础、某校举行国家安全知识竞赛．竞赛结束后，对所有参赛学生的成绩（满分100分）（成绩得分用a表示），其中60≤a＜70记为“较差”，70≤a＜80记为“一般”，90≤a≤100记为“优秀”，绘制了不完整的扇形统计图和频数分布直方图．
请根据统计图提供的信息，回答如下问题：
（1）将直方图补充完整；
（2）已知90≤a≤100这组的具体成绩为93，94，99，100，94，98，则这8个数据的中位数是 95 ，众数是 94 ；
（3）若该校共有1200人，能否估计该校学生对国家安全知识掌握程度达到优秀的人数？
（4）本次知识竞赛超过95分的学生中有3名女生，1名男生，现从以上4人中随机抽取2人去参加全市的安全知识竞赛，求恰好抽中2名女生参加知识竞赛的概率.
【分析】（1）求出参赛学生的总人数，即可解决问题
（2）先将数据重新排列，再根据中位数和众数的概念求解即可；
（3）利用该校共有学生人数乘以优秀人数所占的比例即可；
（4）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好抽中2名女生参加知识竞赛的有6种结果，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）由题意可知，参赛学生的总人数为：4÷8%＝50（人），
∴70≤a＜80的人数为：50﹣4﹣23﹣8＝15（人），
将直方图补充完整如下：
（2）∵90≤a≤100这组的具体成绩为93，94，91，94，98，
∴把90≤a≤100这组的具体成绩排序为：91，93，94，98，100，
∴这8个数据的中位数是＝95，
众数为94，
故答案为：95，94；
（3）由题意可知，1200×，
答：估计该校学生对国家安全知识掌握程度达到优秀的人数为192人；
（4）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽中2名女生参加知识竞赛的有3种结果，
∴恰好抽中2名女生参加知识竞赛的概率为＝．
【点评】本题考查了树状图法求概率、众数、中位数以及扇形统计图和频数分布直方图等知识，树状图法可以不重不漏的列举出所有可能发生的情况，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
18．（8分）如图，在矩形ABCD中，AB＝13，E是AD边上的一点，将△ABE沿着BE折叠，连接BF．
（1）求证：△EFD∽△FBC；
（2）求tan∠AFB的值．
【分析】（1）根据四边形ABCD是矩形，可得∠BAD＝∠D＝∠C＝90°，由折叠可得∠BFE＝∠DAB＝90°，证明∠BFC＝∠FED，进而可得结论；
（2）由折叠可得BF＝AB，根据勾股定理可得CF＝5，所以FD＝8，由折叠可得∠AFB＝∠FAB，由AB∥CD，可得∠AFD＝∠FAB，所以∠AFD＝∠AFB，进而可求tan∠AFB的值．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∠BAD＝∠D＝∠C＝90°，
由折叠可知：∠BFE＝∠DAB＝90°，
∴∠EFD+∠BFC＝∠EFD+∠FED＝90°，
∴∠BFC＝∠FED，
∴△EFD∽△FBC；
（2）解：由折叠可知：BF＝AB＝13，
在Rt△BFC中，BC＝12，
∴CF＝＝3，
∴FD＝CD﹣CF＝13﹣5＝8，
∴tan∠AFD＝＝＝，
由折叠可知：∠AFB＝∠FAB，
∵AB∥CD，
∴∠AFD＝∠FAB，
∴∠AFD＝∠AFB，
∴tan∠AFB＝．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，翻折变换，矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，求出∠AFD的正切是本题的关键．
19．（8分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，，，连接CF并延长，交⊙O于点D，作BE⊥CD，垂足为E．
（1）求证：△DBE∽△ABC；
（2）若AF＝4，求ED的长．
【分析】（1）分别证明∠ACB＝90°＝∠BED，∠CAB＝∠CDB，从而可得结论；
（2）利用勾股定理求得AB＝10，tan∠ABC＝＝，可得BF＝6，证明tan∠ABC＝tan∠DBE＝＝，设DE＝x，则BE＝2x，BD＝x，证明△ACF∽△DBF，可得＝＝，可得DF＝2x，EF＝x＝DE，BD＝BF＝6，从而可得答案．
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，BE⊥CD，
∴∠ACB＝90°＝∠BED，
∵∠CAB＝∠CDB，
∴△DBE∽△ABC．
（2）解：∵AC＝2，BC＝8，
∴AB＝＝10＝，
∵AF＝5，
∴BF＝6，
∵△DBE∽△ABC，
∴∠ABC＝∠DBE，
∴tan∠ABC＝tan∠DBE＝＝，
设DE＝x，则BE＝2xx，
∵∠AFC＝∠BFD，∠CAB＝∠CDB，
∴△ACF∽△DBF，
∴＝＝，
∴＝，则DF＝2x，
∴EF＝x＝DE，
∴BD＝BF＝6，则x＝6，
∴x＝，
∴DE＝．
【点评】本题考查的是圆周角定理的应用，勾股定理，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，熟记圆的基本性质与重要定理是解本题的关键．
20．（8分）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴、y轴分别相交于C、B两点的图象相交于点A，OB＝2，BC：CA＝1：2．（1）求反比例函数的表达式；
（2）点D是线段AB上任意一点，过点D作y轴平行线，交反比例函数的图象于点E，求点D的坐标．
【分析】（1）根据正切函数的定义可得出OC长，过点A作AF⊥x轴于点F，则△ACF∽△BCO，由相似比可得出CF和AF的长，进而可得出点A的坐标，代入反比例函数可得出m的值，进而可得结论；
（2）由（1）可得直线AB的解析式．设点D的横坐标为t，由此可表达点D，E的坐标，根据三角形的面积公式可表达△BDE的面积，根据二次函数的性质可得结论．
【解答】解：（1）如图，过点A作AF⊥x轴于点F，
∴AF∥y轴，
∴△ACF∽△BCO，
∴BC：AC＝OB：AF＝OC：CF＝1：2．
∵OB＝6，tan∠OBC＝2，
∴OC＝2，
∴AF＝4，CF＝4，
∴OF＝OC+CF＝6，
∴A（4，2）．
∵点A在反比例函数y＝（m≠0，
∴m＝3×6＝12．
∴反比例函数的表达式为：y＝（x＞0）．
（2）由题意可知，B（4，
∴直线AB的解析式为：y＝x﹣6．
设点D的横坐标为t，
则D（t，t﹣2），）．
∴ED＝﹣t+3．
∴△BDE的面积为：
（t﹣7）（﹣t+8）
＝﹣t8+t+5
＝﹣（t﹣8）2+．
∵﹣＜0，
∴t＝2时，△BDE的面积的最大值为，﹣）．
【点评】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点，待定系数法求反比例函数解析式，三角形的面积，二次函数的性质，得出△BDE与t函数关系式是解题的关键．
21．（8分）P为△ABC内一点，连接PA，PB，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在两个三角形相似
【概念理解】
（1）如图①，在△ABC中，∠A＝60°，P是△ABC的内相似点．直接写出∠BPC的度数．
【深入思考】
（2）如图②，P是△ABC内一点，连接PA，PC，∠BPC＝2∠BAC，使P是△ABC的内相似点，并给出证明．
①∠APB＝∠APC；②∠PAC＝∠PBA；③AP2＝BP•CP．
【分析】（1）分情况讨论：△PAB∽△PBC，△PAC∽△PCB，△PAB∽△PCA，利用三角形内角和定理及相似三角形的性质即可解答；
（2）利用三角形内角和定理及相似三角形的性质即可解答．
【解答】解：（1）∠BAC＝60°，∠ABC＝80°，
∴∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝40°，
∴∠BAP+∠PAC＝∠BAC＝60°，∠ABP+∠PBC＝∠ABC＝80°，
△PAB∽△PBC，则∠PAB＝∠PBC，∠APB＝∠BPC，
∴∠PAB+∠PBC+∠PBA+∠PCB＝2（∠PBC+∠PBA）＝2∠ABC＝160°，
∴∠BPC＝∠APB＝；
△PAC∽△PCB，则∠PAC＝∠PCB，∠APC＝∠BPC，
∴∠PAC+∠PCB+∠PCA+∠PBC＝2（∠PCA+∠PCB）＝2∠ACB＝80°，
∴∠BPC＝∠APC＝；
△PAB∽△PCA，则∠PAB＝∠PCA，∠APB＝∠APC，
∴∠PAB+∠PCA+∠PBA+∠PAC＝2（∠PAB+∠PAC）＝2∠BAC＝120°，
∴∠APC+∠APB＝360°﹣120°＝240°，
∴∠BPC＝360°﹣（∠APC+∠APB）＝120°，
综上所述，∠BPC 的度数为100°或140°或120°．
（2）选①∠APB＝∠APC，证明如下：
如图，延长AP得到射线AD，
∵∠APB＝∠APC，
∴180°﹣∠APB＝180°﹣∠APC，
∴∠BPD＝∠CPD，
∵∠BPD+∠CPD＝∠BPC，
∴∠BPC＝2∠BPD，
又∵∠BPC＝2∠BAC，
∴∠BPD＝∠BAC，
∵∠BPD＝∠BAP+∠ABP，∠BAC＝∠BAP+∠PAC，
∴∠ABP＝∠PAC，
又∵∠APB＝∠APC，
∴△ABP∽△CAP，即P是△ABC的内相似点．
选②∠PAC＝∠PBA，此时△BAP∽△ACP
设∠BAC＝α，则∠BPC＝2α，
∵∠PAC＝∠PBA，
∴∠PBA+∠PAB＝∠PAC+∠PAB＝∠BAC＝α，
∴∠APB＝180°﹣（∠PBA+∠PAB）＝180°﹣α，
∴∠APB＝360°﹣∠BPC﹣∠APB＝360°﹣5α﹣（180°﹣α）＝180°﹣α，
∴∠APB＝∠APC，
∴△BAP∽△ACP，
∴点P是△ABC的内相似点．
选择③AP2＝BP•CP，证明如下：
如图，延长AP得到射线AD，
∵AP2＝BP•CP，
∴，
∵∠BPD＝∠BAP+∠ABP，∠CPD＝∠CAP+∠ACP，
∴∠BPD+∠CPD＝∠BAP+∠ABP+∠CAP+∠ACP，
∴∠BPC＝∠BAC+∠ABP+∠ACP，
又∵∠BPC＝4∠BAC，
∴∠BAC＝∠ABP+∠ACP，无法证明∠APB＝∠CPA或，
∴条件③无法证明P是△ABC的内相似点．
【点评】本题考查相似型的综合应用，主要考查相似三角形的性质，三角形内角和定理，掌握这些性质定理是解题的关键．
22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（0，2），点B＝（﹣1，0）．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）当﹣2≤x≤2时，求二次函数y＝﹣x2+bx+c的最大值和最小值；
（3）点P为此函数图象上任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ∥x轴，且线段PQ的长度随m的增大而增大．求m的取值范围.
【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可解答；
（2）根据解析式得到抛物线的对称轴，即可解答；
（3）求出PQ，当3m+1＞0时，PQ＝3m+1，PQ的长度随m的增大而增大，当3m+1＜0时，PQ＝﹣3m﹣1，PQ的长度随m的增大而减小，根据题意即可解答．
【解答】解：（1）将A（0，2），6）代入y＝﹣x2+bx+c，
得，
解得，
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+x+2；
（2）∵，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴当时，ymax＝，
∵，
∴当x＝﹣2时，ymin＝﹣（﹣2）8﹣2+2＝﹣5；
（3）∵点P为此函数图象上任意一点，其横坐标为m，点Q的横坐标为﹣2m﹣1，
∴PQ＝|﹣8m﹣1﹣m|＝|3m+3|，
当3m+1＞5时，PQ＝3m+1，
当2m+1＜0时，PQ＝﹣2m﹣1，
∴3m+7＞0满足题意，
解得．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，主要考查待定系数法求解析式，二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
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