江苏省无锡市梁溪区江南中学2023—-2024学年下学期八年级期末数学试卷

这是一份江苏省无锡市梁溪区江南中学2023—-2024学年下学期八年级期末数学试卷，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）不改变分式的值，将分式中的分子与分母的各项系数化为整数，正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）下列调查中，适合用普查方式的是（ ）
A．检测某城市空气质量
B．检测神舟十三号载人飞船的零部件质量情况
C．检测一批节能灯的使用寿命
D．检测某批次汽车的抗撞能力
4．（3分）如果3x＝4y（y≠0），那么下列比例式中成立的是（ ）
A．B．C．D．
5．（3分）菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A．两组对边分别平行B．对角线相等
C．对角线互相垂直D．两组对边分别相等
6．（3分）反比例函数y＝的图象在每一象限内y随x的增大而减小，那么m的值可以是（ ）
A．﹣1B．0C．5D．6
7．（3分）某市为美化城市环境，计划种植树木50万棵，由于志愿者的加入，结果提前10天完成任务，设原计划每天植树x万棵（ ）
A．﹣＝10B．﹣＝10
C．﹣＝10D．﹣＝10
8．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AE垂直平分OB于点E，则BC的长为（ ）
A．B．C．4D．2
9．（3分）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，连接AD，把AD绕点A逆时针旋转得到AE，连接DE，CE，若，则DE的长为（ ）
A．B．C．D．10
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A在第一象限，B，AB交x轴于点E，AF⊥x轴，EF＝1．以下结论正确的个数是（ ）
①OA＝3AF；
②AE平分∠OAF；
③点C的坐标为（﹣4，﹣）；
④BD＝6；
⑤矩形ABCD的面积为24．
A．2个B．3个C．4个D．5个
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.请将答案填在答题卷相应横线上.）
11．（3分）要使有意义，则x的取值范围为 ．
12．（3分）若最简二次根式与是同类二次根式，则a＝ ．
13．（3分）在一个不透明的口袋中装有2个红球和若干个白球，它们除颜色外其他相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.25附近 个．
14．（3分）如图，在△ABC中，D、E为边AB、AC中点，那么四边形DECB面积是 .
15．（3分）若关于x的分式方程有增根，则m＝ ．
16．（3分）如图，在▱ABCD中，∠A＝80°1BC1D1的位置，此时C1D1恰好经过点C，则∠ABA1＝ °．
17．（3分）如图，若反比例函数与一次函数y2＝ax+b交于A、B两点，当0＜y1≤y2时，x的取值范围是 .
18．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝4（不与点B、C重合），连接AE，将AE绕点E按顺时针方向旋转90°得到FE．连接CF，则∠DCF的度数是 .设AF与CD交于点G，连接DF，EG，四边形CEGF的面积是 ．
三、解答题（本大题共9小题，共76分.请把解答过程写在答题卷相应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明）
19．（8分）计算：（1）；
（2）．
20．（8分）（1）化简：；
（2）解方程：．
21．（5分）先化简，再求值：（1﹣）•，其中．
22．（8分）某校为落实中央“双减”精神，拟开设古风诗社、工程教育、玩转物理、博物历史四门校本课程供学生选择．为了解该校八年级800名学生对四门校本课程的选择意向，陈老师做了以下工作：①整理数据并绘制统计图；③结合统计图分析数据并得出结论；④收集40名学生对四门课程的选择意向的相关数据．
（1）请按数据统计的规律对陈老师的工作步骤进行正确排序 ；
（2）以上步骤中抽取40名学生最合适的方式是 ；
A．随机抽取八年级三班的40名学生
B．随机抽取八年级40名男生
C．随机抽取八年级40名女生
D．随机抽取八年级40名学生
（3）如图是陈老师绘制的40名学生所选课后服务类型的条形统计图．假设全年级每位学生都做出了选择，且只选择了一门课程．若学校规定每个班级不超过40人，请你根据图表信息．
①补全条形统计图；（画图后请标注相应的数据）
②估计该校八年级至少应该开设几个工程教育班？
23．（9分）如图，在矩形ABCD中，点O为对角线AC的中点，连接EO并延长交AB于点F，连接AE、CF．
（1）求证：△COE≌△AOF；
（2）当∠DEA＝2∠CAB时，试判断四边形AECF的形状，并说明理由．
24．（8分）如图，已知▱ABCD．
（1）用直尺和圆规作一点O，使OA＝OB，并且点O到CD的距离等于OA的长度．（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若AB＝4，，∠A＝α（0°＜α＜180°），当α＝ 时，（1）中线段OA最短，线段OA的最小值是 ．
25．（10分）如图，一次函数图象与反比例函数图象交于点A（﹣1，6），B（3，a﹣3），与x轴交于点C
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）点M在x轴上，若S△OAM＝S△OAB，求点M的坐标．
26．（10分）甲、乙两个工程队计划参与某项工程，已知由甲单独施工需要18个月完成任务，若由乙先单独施工2个月，承建公司每个月需要向甲工程队支付施工费用8万元，向乙工程队支付施工费用5万元．
（1）乙队单独完工需要几个月才能完成任务？
（2）为保证该工程按时完工，且尽可能的减少成本，承建公司决定让甲、乙两个工程队同时施工，甲队完成其中一部分工程用了a个月，乙队完成另一部分工程用了b个月，乙队施工时间不超过24个月，且a，则甲乙两队实际施工的时间安排有几种方式？哪种安排方式所支付费用最低？
27．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A在x轴的正半轴上．如图2，旋转角为α（0°＜α＜45°），AB交直线y＝x于点E
（1）当旋转角∠COF为多少度时，OE＝OF；（直接写出结果，不要求写解答过程）
（2）若点A（8，6），求FC的长；
（3）如图3，对角线AC交y轴于点M，交直线y＝x于点N1与S2．
①证明：△OFN是直角三角形；
②当S1﹣S2＝7时，直接写出AN的长度．
2023-2024学年江苏省无锡市梁溪区江南中学八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卷上相应的选项标号涂黑.）
1．（3分）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可．
【解答】解：A、是中心对称图形，不符合题意；
B、既是轴对称图形，符合题意；
C、不是中心对称图形，不符合题意；
D、不是中心对称图形，不符合题意，
故选：B．
【点评】本题考查轴对称图形、中心对称图形，理解定义，找准对称轴和对称中心是解答的关键．
2．（3分）不改变分式的值，将分式中的分子与分母的各项系数化为整数，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】分式的分子、分母同乘以﹣1，再同乘以10，再化简即可．
【解答】解：原式＝＝＝，
故选：D．
【点评】本题考查了分式的基本性质．解题的关键是利用分式的分子、分母同乘以一个不等于0的数，分式的值不变来解决问题．
3．（3分）下列调查中，适合用普查方式的是（ ）
A．检测某城市空气质量
B．检测神舟十三号载人飞船的零部件质量情况
C．检测一批节能灯的使用寿命
D．检测某批次汽车的抗撞能力
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似进行判断．
【解答】解：A．检测某城市空气质量，故不符合题意；
B．检测神舟十三号载人飞船的零部件质量情况，故符合题意；
C．检测一批节能灯的使用寿命，故不符合题意；
D．检测某批次汽车的抗撞能力，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了全面调查与抽样调查，熟练掌握全面调查与抽样调查的特点是解题的关键．
4．（3分）如果3x＝4y（y≠0），那么下列比例式中成立的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据比例的性质，可得答案．
【解答】解：A、由比例的性质，故A符合题意；
B、由比例的性质，故B不符合题意；
C、由比例的性质，故C不符合题意；
D、由比例的性质，故D不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了比例的性质，利用比例的性质是解题关键．
5．（3分）菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A．两组对边分别平行B．对角线相等
C．对角线互相垂直D．两组对边分别相等
【分析】菱形的性质有四边相等，对角相等，对角线平分、垂直且平分每组对角；矩形的性质有对边相等，四角相等，对角线平分且相等．
【解答】解：选项A，菱形和矩形都是特殊的平行四边形，不符合题意；
选项B，矩形的对角线相等，不符合题意；
选项C，菱形的对角线互相平分且互相垂直，符合题意；
选项D，菱形和矩形都是平行四边形，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查菱形与矩形的性质，需要同学们对各种平行四边形的性质熟练掌握并区分．
6．（3分）反比例函数y＝的图象在每一象限内y随x的增大而减小，那么m的值可以是（ ）
A．﹣1B．0C．5D．6
【分析】根据反比例函数的性质解答即可．
【解答】解：∵反比例函数y＝的图象在每一象限内y随x的增大而减小，
∴m﹣5＞8，即m＞5．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解答本题的关键．
7．（3分）某市为美化城市环境，计划种植树木50万棵，由于志愿者的加入，结果提前10天完成任务，设原计划每天植树x万棵（ ）
A．﹣＝10B．﹣＝10
C．﹣＝10D．﹣＝10
【分析】根据“提前10天完成任务”即可列出方程．
【解答】解：设原计划每天植树x万棵，需要，
∴实际每天植树（x+0.2x）万棵，需要，
∵提前10天完成任务，
∴﹣＝10，
故选：D．
【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是利用题目中的等量关系，本题属于基础题型．
8．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AE垂直平分OB于点E，则BC的长为（ ）
A．B．C．4D．2
【分析】由矩形的性质和线段垂直平分线的性质可证△AOB是等边三角形，可得∠BAC＝60°，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝BO＝CO＝DO，
∵AE垂直平分OB，
∴AB＝AO，
∴AB＝AO＝BO，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∴BC＝AB＝2，
故选：B．
【点评】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
9．（3分）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，连接AD，把AD绕点A逆时针旋转得到AE，连接DE，CE，若，则DE的长为（ ）
A．B．C．D．10
【分析】先证明△EAC≌△DAB（SAS），得到EC＝BD，推出BC＝12，再证明△EAD∽△CAB，据此即可求解．
【解答】解：∵AD绕点A逆时针旋转得到AE，∠EAD＝∠CAB，
∴AD＝AE，∠EAC＝∠EAD﹣∠CAD＝∠BAC﹣∠CAD＝∠DAB，
又∵AB＝AC，
∴△EAC≌△DAB（SAS），
∴EC＝BD，
∵EC+CD＝12，
∴BC＝12，
∵∠EAD＝∠CAB，，即，
∴△EAD∽△CAB，
∴，
∵BC＝12，
∴DE＝10．
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，关键是相似三角形判定定理的应用．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A在第一象限，B，AB交x轴于点E，AF⊥x轴，EF＝1．以下结论正确的个数是（ ）
①OA＝3AF；
②AE平分∠OAF；
③点C的坐标为（﹣4，﹣）；
④BD＝6；
⑤矩形ABCD的面积为24．
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】通过证明△AEF∽△BEO，可得BO＝3AF，由矩形的性质可得OA＝OB＝3AF，故①正确；由等腰三角形的性质和相似三角形的性质可得∠OBA＝∠OAB＝∠EAF，可得AE平分∠OAF，故②正确；由勾股定理可求AF的长，即可求点A坐标，由矩形是中心对称图形，可得点C（﹣4，﹣），故③正确；由BD＝2AO＝6，故④错误，由面积公式可求矩形ABCD的面积＝2×S△ABD＝24，故⑤正确，即可求解．
【解答】解：∵∠OEB＝∠AEF，∠AFE＝∠BOE＝90°，
∴△AEF∽△BEO，
∴＝＝8，
∴BO＝3AF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，AO＝CO，
∴AO＝OB，
∴AO＝3AF，∠OBA＝∠OAB；
∴∠OAB＝∠EAF，
∴AE平分∠OAF，故②正确；
∵OE＝2，EF＝1，
∴OF＝4，
∵OA8﹣AF2＝OF2，
∴7AF2＝16，
∴AF＝（负值舍去），
∴点A坐标为（8，），
∵点A，点C关于原点对称，
∴点C（﹣4，﹣），故③正确；
∵AF＝，OA＝3AF，
∴AO＝6，
∴BO＝DO＝3，
∴BD＝6，故④错误；
∵S△ABD＝×6，
∴矩形ABCD的面积＝2×S△ABD＝24，故⑤正确，
故选：C．
【点评】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.请将答案填在答题卷相应横线上.）
11．（3分）要使有意义，则x的取值范围为 x≤1 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件得出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【解答】解：∵有意义，
∴﹣x+1≥3，
解得x≤1．
故答案为：x≤1．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．
12．（3分）若最简二次根式与是同类二次根式，则a＝ 3 ．
【分析】先求出＝2，再根据同类二次根式的定义得出2a﹣3＝3，再求出答案即可．
【解答】解：＝2，
∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴2a﹣3＝3，
∴a＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了同类二次根式和最简二次根式，能得出2a﹣3＝3是解此题的关键．
13．（3分）在一个不透明的口袋中装有2个红球和若干个白球，它们除颜色外其他相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.25附近 6 个．
【分析】根据摸到红球的频率估计出摸出红球的概率，根据概率公式求出总球数，进而得出白球个数即可．
【解答】解：根据题意得：
2÷0.25﹣5
＝8﹣2
＝5，
则口袋中白球个数很可能是6个．
故答案为：6．
【点评】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
14．（3分）如图，在△ABC中，D、E为边AB、AC中点，那么四边形DECB面积是 12 .
【分析】根据三角形的中位线定理求出DE＝BC，DE∥BC，求出△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质得出比例式，代入求出△ABC的面积是16，即可作答．
【解答】解：∵D、E为边AB，
∴DE＝BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝（）3＝14，
∵△ADE的面积为4，
∴△ABC的面积是16，
∴四边形DECB面积＝S△ABC﹣S△ADE＝16﹣4＝12．
故答案为：12．
【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，三角形的中位线定理等知识点，能推出△ADE∽△ABC是解此题的关键，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方．
15．（3分）若关于x的分式方程有增根，则m＝ ﹣2 ．
【分析】首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到x﹣3＝0，据此求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．
【解答】解：去分母，得：2+m＝x﹣3，
由分式方程有增根，得到x﹣5＝0，
把x＝3代入整式方程，可得：m＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】此题主要考查了分式方程的增根，解答此题的关键是要明确：（1）化分式方程为整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
16．（3分）如图，在▱ABCD中，∠A＝80°1BC1D1的位置，此时C1D1恰好经过点C，则∠ABA1＝ 20 °．
【分析】由旋转的性质可知：▱ABCD全等于▱A1BC1D1，所以BC＝BC1，所以∠BCC1＝∠C1，又因为旋转角∠∠ABA1＝∠CBC1，根据等腰三角形的性质计算即可．
【解答】解：∵▱ABCD绕顶点B顺时针旋转到▱A1BC1D5，
∴BC＝BC1，
∴∠BCC1＝∠C7，
∵∠A＝80°，
∴∠C＝∠C1＝80°，
∴∠BCC1＝∠C3，
∴∠CBC1＝180°﹣2×80°＝20°，
∴∠ABA7＝20°，
故答案为：20．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、旋转的性质、等腰三角形的判定和性质以及三角形的内角和定理，解题的关键是证明三角形CBC1是等腰三角形．
17．（3分）如图，若反比例函数与一次函数y2＝ax+b交于A、B两点，当0＜y1≤y2时，x的取值范围是 x≤﹣1 .
【分析】写出在x轴的上方，且一次函数的图象不在反比例函数的图象下方的自变量的取值范围即可．
【解答】解：观察图象可知，当0＜y1≤y4时，x的取值范围是x≤﹣1．
故答案为：x≤﹣1．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．
18．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝4（不与点B、C重合），连接AE，将AE绕点E按顺时针方向旋转90°得到FE．连接CF，则∠DCF的度数是 45° .设AF与CD交于点G，连接DF，EG，四边形CEGF的面积是 ．
【分析】通过证明点A，点F，点C，点E四点共圆，可得∠AEF＝∠ACF＝90°，可求∠DCF的度数，由相似三角形的性质和全等三角形的性质可求CG，CE，CH的长，由三角形的面积公式可求解．
【解答】解：如图，连接AC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACD＝∠ACB＝45°，
∵将AE绕点E顺时针旋转90°得到EF，
∴AE＝EF，∠AEF＝90°，
∴∠AFE＝45°，
∴∠AFE＝∠ACE，
∴点A，点F，点E四点共圆，
∴∠AEF＝∠ACF＝90°，
∴∠DCF＝45°，
∴当DF⊥CF时，DF有最小值，
过点F作NH∥CD，交AD的延长线于N，
∵DF⊥CF，∠DCF＝45°，
∴∠FDC＝∠FCD＝45°，
∴FD＝FC，
∵AB＝CD＝AD＝BC＝4，
∴DF＝FC＝2，
∵NH∥CD，
∴∠NFD＝∠FDC＝45°，∠HFC＝∠FCD＝45°，
∴NF＝DN＝2，FH＝CH＝2，
∵DC∥NH，
∴△ADG∽△ANF，
∴，
∴，
∴DG＝，
∴GC＝，
∵∠AEF＝90°，
∴∠AEB+∠FEH＝90°＝∠AEB+∠BAE，
∴∠BAE＝∠FEH，
在△ABE和△EHF中，
，
∴△ABE≌△EHF（AAS），
∴BE＝FH＝2，AB＝EH＝6，
∴CE＝2，
∴四边形CEGF的面积＝×CG•CE+××2+×，
故答案为：45°，．
【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
三、解答题（本大题共9小题，共76分.请把解答过程写在答题卷相应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明）
19．（8分）计算：（1）；
（2）．
【分析】（1）先算乘法，化为最简二次根式，再合并即可；
（2）先去绝对值，分母有理化，化为最简二次根式，再合并．
【解答】解：（1）原式＝3﹣
＝2﹣
＝8；
（2）原式＝﹣﹣2
＝﹣．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关运算的法则．
20．（8分）（1）化简：；
（2）解方程：．
【分析】（1）根据分式的加减法则计算即可；
（2）将分式方程化为整式方程求解即可．
【解答】解：（1）
＝
＝
＝
＝；
（2），
方程两边同乘x（x﹣2），得3（x﹣7）﹣2x＝0，
解得x＝3，
检验：当x＝6时，x（x﹣2）≠6，
所以分式方程的解是x＝6．
【点评】本题考查了解分式方程，分式的加减，熟练掌握运算法则及步骤是解题的关键．
21．（5分）先化简，再求值：（1﹣）•，其中．
【分析】先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的乘法法则进行计算，最后代入求出答案即可．
【解答】解：（1﹣）•
＝•
＝•
＝m﹣1，
当时，原式＝．
【点评】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
22．（8分）某校为落实中央“双减”精神，拟开设古风诗社、工程教育、玩转物理、博物历史四门校本课程供学生选择．为了解该校八年级800名学生对四门校本课程的选择意向，陈老师做了以下工作：①整理数据并绘制统计图；③结合统计图分析数据并得出结论；④收集40名学生对四门课程的选择意向的相关数据．
（1）请按数据统计的规律对陈老师的工作步骤进行正确排序 ②④①③ ；
（2）以上步骤中抽取40名学生最合适的方式是 D ；
A．随机抽取八年级三班的40名学生
B．随机抽取八年级40名男生
C．随机抽取八年级40名女生
D．随机抽取八年级40名学生
（3）如图是陈老师绘制的40名学生所选课后服务类型的条形统计图．假设全年级每位学生都做出了选择，且只选择了一门课程．若学校规定每个班级不超过40人，请你根据图表信息．
①补全条形统计图；（画图后请标注相应的数据）
②估计该校八年级至少应该开设几个工程教育班？
【分析】（1）根据数据的收集与整理的具体步骤解答即可；
（2）根据抽样调查的特点解答即可；
（3）①用总人数分别减去选择其它三门课程的人数，即可得出选择工程教育的人数，进而补全统计图；
②根据样本估计总体思想解答即可．
【解答】解：（1）根据数据的收集与整理的具体步骤可判断顺序为：②④①③，
故答案为：②④①③；
（2）根据抽样调查的特点易判断出：D，
故答案为：D；
（3）选择工程教育的人数为：40﹣16﹣4﹣12＝8（人），
补全条形统计图如下：
（2）估计该校八年级选择工程教育的人数为：800×＝160（人），
＝4（个），
答：估计该校八年级至少应该开设4个工程教育班．
【点评】本题考查条形统计图，用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
23．（9分）如图，在矩形ABCD中，点O为对角线AC的中点，连接EO并延长交AB于点F，连接AE、CF．
（1）求证：△COE≌△AOF；
（2）当∠DEA＝2∠CAB时，试判断四边形AECF的形状，并说明理由．
【分析】（1）利用矩形的性质，即可得依据ASA或AAS判定△COE≌△AOF；
（2）先判定四边形AECF是平行四边形，再根据AE＝CE，即可得出四边形AECF是菱形．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴CD∥AB，
∴∠OCE＝∠OAF，
∵点O为对角线AC的中点，
∴CO＝AO，
在△COE和△AOF中，
，
∴△COE≌△AOF（ASA）；
（2）四边形AECF为菱形，理由：
∵△COE≌△AOF，
∴CE＝AF，
又∵CE∥AF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵CD∥AB，
∴∠DEA＝∠BAE，
又∵∠DEA＝2∠CAB，
∴∠BAE＝2∠CAB，
即∠BAC＝∠EAC，
∵CD∥AB，
∴∠BAC＝∠ACE，
∴∠CAE＝∠ACE，
∴AE＝CE，
∴四边形AECF是菱形．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，菱形的判定，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
24．（8分）如图，已知▱ABCD．
（1）用直尺和圆规作一点O，使OA＝OB，并且点O到CD的距离等于OA的长度．（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若AB＝4，，∠A＝α（0°＜α＜180°），当α＝ 45° 时，（1）中线段OA最短，线段OA的最小值是 2 ．
【分析】（1）作线段AB的垂直平分线EF，交CD一点E，连接AE，作线段AE的垂直平分线交EF一点O，点O即为所求；
（2）△ABE是等腰三角形，AB＝4＝定值，当△AEB是直角三角形时，OA的值最小．
【解答】解：（1）如图，点O即为所求；
（2）∵EA＝EB，AB＝4，
当AB是直径时，OA的值最小，OA的最小值为2．
故答案为：45°，7．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，线段的垂直平分线的性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
25．（10分）如图，一次函数图象与反比例函数图象交于点A（﹣1，6），B（3，a﹣3），与x轴交于点C
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）点M在x轴上，若S△OAM＝S△OAB，求点M的坐标．
【分析】（1）把A的坐标代入反比例函数的解析式，即可求出反比例函数的解析式，把B的坐标代入反比例函数解析式求出B的坐标，把A、B的坐标代入所设一次函数解析式即可求出函数的解析式；
（2）依据题意求得C点的坐标，求出△AOB的面积，利用S△OAM＝S△OAB，即可求出OM，进而即可求得M点的坐标．
【解答】解：（1）设反比例函数解析式为y＝，
∵A（﹣1，7）在反比例函数图象上，
解得k1＝﹣1×5＝﹣6，
∴反比例函数的解析式为y＝﹣，
把B（6，a﹣3）代入y＝﹣，
解得a＝1，
∴B（8，﹣2），
设一次函数的解析式为y＝k2x+b，
将A（﹣7，6），﹣2）代入y＝k2x+b，
可得，
解得，
∴一次函数的解析式为 y＝﹣7x+4；
（2）当y＝0 时，可得4＝﹣2x+4，
∴C（7，0），
∴OC＝2，
∴s△OAB＝S△OAC+S△OBC＝，
∵S△OAM＝S△OAB，
∴S△OAM＝＝7，
∴OM＝，
∴点M的坐标为（﹣，0）或（．
【点评】本题考查一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求函数的解析式，三角形的面积等知识点的综合运用，主要考查学生的计算能力和观察图形的能力，以及数形结合思想的运用．
26．（10分）甲、乙两个工程队计划参与某项工程，已知由甲单独施工需要18个月完成任务，若由乙先单独施工2个月，承建公司每个月需要向甲工程队支付施工费用8万元，向乙工程队支付施工费用5万元．
（1）乙队单独完工需要几个月才能完成任务？
（2）为保证该工程按时完工，且尽可能的减少成本，承建公司决定让甲、乙两个工程队同时施工，甲队完成其中一部分工程用了a个月，乙队完成另一部分工程用了b个月，乙队施工时间不超过24个月，且a，则甲乙两队实际施工的时间安排有几种方式？哪种安排方式所支付费用最低？
【分析】（1）设乙单独完成需要x个月，由“乙先单独施工2个月，再由甲、乙合作施工10个月恰好完成任务”建立分式方程求解即可；
（2）由题意可得：，可得，结合a≤6，b≤24，可得18≤b≤24，结合a，b都为正整数，可得b为3的倍数，可得甲乙两队实际施工的时间安排有3种方式，从而可得答案．
【解答】解：（1）设乙单独完成需要x个月，则
，
解得：x＝27，
经检验x＝27是原方程的解且符合题意；
答：乙队单独完工需要27个月才能完成任务．
（2）由题意可得：，
∴4a+2b＝54，
∴，
∵a≤6，b≤24，
∴，解得：18≤b≤24，
∵a，b都为正整数，
∴b为3的倍数，
∴或或，
∴甲乙两队实际施工的时间安排有3种方式，
方案①：安排甲工作6个月，乙工作18个月，
方案②：安排甲工作4个月，乙工作21个月，
方案③：安排甲工作4个月，乙工作24个月，
∴安排甲工作2个月，乙工作24个月．
【点评】本题考查的是分式方程的应用，二元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，确定相等关系与不等关系是解本题的关键．
27．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A在x轴的正半轴上．如图2，旋转角为α（0°＜α＜45°），AB交直线y＝x于点E
（1）当旋转角∠COF为多少度时，OE＝OF；（直接写出结果，不要求写解答过程）
（2）若点A（8，6），求FC的长；
（3）如图3，对角线AC交y轴于点M，交直线y＝x于点N1与S2．
①证明：△OFN是直角三角形；
②当S1﹣S2＝7时，直接写出AN的长度．
【分析】（1）证明Rt△AOE≌Rt△COF（HL），则∠AOE＝∠COF（即∠AOE＝旋转角），进而求解；
（2）证明Rt△AOG∽Rt△FOC，得到FC＝＝＝，即可求解；
（3）①证明O、N、F、C四点共圆，即可求解；
②S1＝S△OFN＝ON2＝（OQ2+NQ2）＝（PN2+NQ2）＝PN2+QN2，S2＝S△COF＝CF•CO＝（PC﹣PF）（PN+NQ）＝（PN﹣NQ）（PN+NQ）＝PN2﹣NQ2，进而求解．
【解答】（1）解：当OE＝OF时，
在Rt△AOE和Rt△COF中，
，
∴Rt△AOE≌Rt△COF（HL），
∴∠AOE＝∠COF（即∠AOE＝旋转角），
∴2∠AOE＝45°，
∴∠COF＝∠AOE＝22.5°，
∴当旋转角为22.6°时，OE＝OF；
（2）解：过点A作AG⊥x轴于点G，则有AG＝6，
∴OA＝10，
∵四边形OABC是正方形，
∴OC＝OA＝5，∠AOC＝∠C＝90°，
又∵∠COF+∠FOA＝90°，∠AOG+∠FOA＝90°，
∴∠COF＝∠GOA，
∴Rt△AOG∽Rt△FOC，
∴OC：OG＝FC：AG，
∴FC＝＝＝，
∴FC的长为；
（3）①证明：△OFN是等腰直角三角形，理由如下：
∵直线y＝x，
∴∠FON＝45°，
∵OABC是正方形，
∴∠ACB＝45°，
∴∠FON＝∠ACB＝45°，
∴O、N、F、C四点共圆，
∴∠OFN＝∠ACO＝45°，
在三角形OFN中，
∠FON＝∠OFN＝45°，
∴△FON是等腰直角三角形．
②解：过点N作直线PQ⊥BC于点P，交OA于点Q，
由①可知△ONF是等腰直角三角形，
∴FN＝ON，
∵，
∴△NPF≌△OQN（AAS），
∴NP＝OQ，FP＝NQ，
∵四边形OQPC是矩形，
∴CP＝OQ，OC＝PQ，
∴S1＝S△OFN＝ON2＝（OQ2+NQ2）＝（PN2+NQ5）＝PN2+QN2，
S2＝S△COF＝CF•CO＝（PN﹣NQ）（PN+NQ）＝2﹣NQ2，
∴S＝S1﹣S7＝NQ2，
又∵△ANQ为等腰直角三角形，设AN＝n，
∴NQ＝AN＝n，
∴S＝NQ6＝（n）2＝n2，
即7＝n2，
解得：n＝（负值已舍去），
即AN＝．
【点评】本题考查了一次函数和正方形的性质，解题关键是会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
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