山东省潍坊市昌邑市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

这是一份山东省潍坊市昌邑市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题，共21页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）以下是某学校社团活动拓展课程的相关图标，这些图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（4分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转80°得到△AB′C′．若∠BAC＝50°，则∠CAB′的度数为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．80°
4．（4分）如图，一次函数y＝mx+n的图象与x轴交于点P，则不等式﹣mx﹣n＜0的解集是（ ）
A．x＜2B．x＞2C．﹣2＜x＜0D．x＜﹣2
5．（4分）要在已知△ABC上用直尺和圆规截取出一个新的三角形，使之与原△ABC相似．以下是甲、乙两人的作法：
甲：如图1，分别以点A，C为圆心，同样长度为半径画弧，交AB，BC，AC于点F，D，E；以F点为圆心，以D，E间的距离为半径画弧，与先画的弧交于点G；作射线AG，交BC边与点H．则△HBA即为所求；
乙：如图2，分别以点A，B，C为圆心，大于的同样长度为半径画弧，所画弧分别交于点D、E，F，G；分别作直线DE和FG，直线DE和FG分别交AB，AC于点M，N；连接MN．则△AMN即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是（ ）
A．甲、乙两人的作法都正确
B．甲、乙两人的作法都错误
C．甲的作法正确，乙的作法错误
D．甲的作法错误，乙的作法正确
6．（4分）如图，点E在边长为6的正方形ABCD的边BC上，将△ABE绕点A逆时针旋转90°到△ADF的位置，连接EF，过点A作EF的垂线，垂足为点H，与CD交于点G．若点G恰好是CD的中点，则BE的长为（ ）
A．1B．C．2D．
二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）
（多选）7．（5分）如图，数轴上的点A与点B所表示的数分别是a，b，则下列不等式成立的是（ ）
A．3a＞﹣3bB．a﹣c＞b﹣cC．D．a+3＜b+3
（多选）8．（5分）已知一次函数y＝kx﹣k经过点（﹣1，4），则下列结论错误的是（ ）
A．函数值y随x增大而增大
B．图象经过第一、二、三象限
C．图象与x轴交于点（1，0）
D．当x＝a时，y＝2a+2
（多选）9．（5分）如图，△ABO的顶点坐标是A（2，6），B（3，1），O（0，0），以点O为位似中心，将△ABO的面积缩小为原来的，得到△A′B′O，则点A′的坐标为（ ）
A．（﹣1，﹣3）B．C．（1，3）D．
（多选）10．（5分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx和y＝x+k的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题（共4小题，共16分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分）
11．（4分）若代数式，则x的取值范围是 ．
12．（4分）在平面直角坐标系中，点A，点B的坐标分别是（3，0），（0，2）．以点A为圆心，以AB长为半径画弧，交x轴于点C，则C点的横坐标为 ．
13．（4分）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且DE∥BC，若AB＝4，AC＝3，BC＝5，AD＝1，则DE与BC之间的距离是 ．
14．（4分）在直角坐标系中，已知点A（0，2），B（1，0），C（2，3），在第一象限内找到一点D，使以点A，点B，点C，点D为顶点的四边形为平行四边形，则点D的坐标是 ．
四、解答题（共8小题，共90分。解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（12分）（1）计算：；
（2）已知，，求a2﹣ab+b2．
16．（7分）解不等式组，并在数轴上表示出解集．
17．（11分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB边中点，过D点作AB的垂线交BC于点E，在直线DE上截取DF，使DF＝ED，连接AE、AF、BF．
（1）求证：四边形AEBF是菱形；
（2）若AC＝4，BF＝5，连接CD，求CD的长．
18．（11分）以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均在格点上．
（1）在图①中，＝ ；（填两数字之比）
（2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．
①如图②，在线段AB上找一点P，使＝；
②如图③，在线段BC上找一点P，使△APB∽△DPC．
19．（12分）我校为落实国家“双减”政策，丰富课后服务内容，为学生开设了无人机操作校本课程．现需购买A、B两种型号的无人机．已知2台A型无人机和3台B型无人机共需3400元，4台A型无人机和5台B型无人机共需6200元．
（1）求A型、B型两种无人机的单价分别是多少元？
（2）学校准备购买A型和B型无人机共100台，购买B型无人机不超过A型无人机的2倍．商家给出购买A型无人机打九折优惠，购买B型无人机打八折优惠，问购买A型无人机多少台时花费最少？最少花费是多少元？
20．（10分）【问题背景】
尽享春日好时光，张梅和家人去某自然景区游玩，在欣赏美景的同时张梅用所学过的知识来记录他们的行程．
【收集信息】
张梅从景区发的宣传册中发现了他们所走的线路图，如图①．
【建立模型】
张梅通过乘坐的观光车所走的路程，绘制了如图②所示的函数图象，观光车从入口出发，经过景点甲，在景点甲停留一段时间，然后继续行驶到达终点．折线AB﹣BC﹣CD表示观光车到终点的路程y（km）与行驶时间x（h）之间的关系．
【解决问题】
（1）请求出线段CD表示的函数表达式；
（2）请通过计算求观光车在景点甲停留的时间．
21．（13分）如图，直线AD与x轴交于点A，与y轴交于点B，已知B（0，﹣3），D（﹣1，﹣4）．（1）求直线AD的函数表达式；
（2）若点C在直线AD上，且点C的纵坐标为﹣1，求S△BOC；
（3）在（2）的条件下，在x轴上是否存在一点P，使得PC+PD最小？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
22．（14分）在△ABC中，AC＝BC．
（1）特例证明：如图1，点D，E分别在线段AC，BC上，DE∥AB，求证：AD＝BE；
（2）探索发现：将图1中的△CDE绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜180°）到图2位置，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）拓展运用：如图3，点D在△ABC内部，当∠ACB＝90°时，若∠ADC＝135°，AD＝1，CD＝2，求线段BD的长．
参考答案与试题解析
一、单项选择题（共6小题，每小题4分，共24分。每小题只有一个是正确的。）
1．（4分）以下是某学校社团活动拓展课程的相关图标，这些图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：A．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．原图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
2．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A、÷＝，故A符合题意；
B、（﹣）2＝3﹣2+2＝5﹣2，故B不符合题意；
C、2与不能合并，故C不符合题意；
D、＝＝，故D不符合题意；
故选：A．
3．（4分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转80°得到△AB′C′．若∠BAC＝50°，则∠CAB′的度数为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．80°
【解答】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转80°得到△AB′C′，
∴∠BAB′＝80°，∠BAC＝50°，
∴∠CAB′＝∠BAB′﹣∠BAC＝30°．
故选：A．
4．（4分）如图，一次函数y＝mx+n的图象与x轴交于点P，则不等式﹣mx﹣n＜0的解集是（ ）
A．x＜2B．x＞2C．﹣2＜x＜0D．x＜﹣2
【解答】解：将点P（﹣2，0）坐标代入y＝mx+n得，
﹣2m+n＝0．
令y＝﹣mx﹣n，
则当x＝﹣2时，y＝2m﹣n＝﹣（﹣2m+n）＝0，
所以函数y＝﹣mx﹣n的图象经过点（﹣2，0）．
如图所示，
当x＜﹣2时，一次函数y＝﹣mx﹣n的图象在x轴下方，即﹣mx﹣n＜0，
所以不等式﹣mx﹣n＜0的解集是：x＜﹣2．
故选：D．
5．（4分）要在已知△ABC上用直尺和圆规截取出一个新的三角形，使之与原△ABC相似．以下是甲、乙两人的作法：
甲：如图1，分别以点A，C为圆心，同样长度为半径画弧，交AB，BC，AC于点F，D，E；以F点为圆心，以D，E间的距离为半径画弧，与先画的弧交于点G；作射线AG，交BC边与点H．则△HBA即为所求；
乙：如图2，分别以点A，B，C为圆心，大于的同样长度为半径画弧，所画弧分别交于点D、E，F，G；分别作直线DE和FG，直线DE和FG分别交AB，AC于点M，N；连接MN．则△AMN即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是（ ）
A．甲、乙两人的作法都正确
B．甲、乙两人的作法都错误
C．甲的作法正确，乙的作法错误
D．甲的作法错误，乙的作法正确
【解答】解：根据甲的作法可知，∠BAH＝∠BCA，
∵∠ABH＝∠CBA，
∴△HBA∽△ABC．
故甲的作法正确．
根据乙的作法可知，直线DE为线段AB的垂直平分线，直线FG为线段AC的垂直平分线，
∴点M为AB的中点，点N为AC的中点，
∴MN为△ABC的中位线，
∴MN∥BC，
∴△AMN∽△ABC．
故乙的作法正确．
∴甲、乙两人的作法都正确．
故选：A．
6．（4分）如图，点E在边长为6的正方形ABCD的边BC上，将△ABE绕点A逆时针旋转90°到△ADF的位置，连接EF，过点A作EF的垂线，垂足为点H，与CD交于点G．若点G恰好是CD的中点，则BE的长为（ ）
A．1B．C．2D．
【解答】解：如图，连接GE，
∵将△ABE绕点A逆时针旋转90°到△ADF的位置，
∴BE＝DF，AF＝AE，
∵AG⊥EF，
∴AG垂直平分EF，
∴FG＝GE，
∵点G是CD的中点，
∴DG＝CG＝3，
∴FG＝3+FD＝3+BE，
∵GE2＝CG2+CE2，
∴（3+BE）2＝9+（6﹣BE）2，
∴BE＝2，
故选：C．
二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）
（多选）7．（5分）如图，数轴上的点A与点B所表示的数分别是a，b，则下列不等式成立的是（ ）
A．3a＞﹣3bB．a﹣c＞b﹣cC．D．a+3＜b+3
【解答】解：根据图示，可得a＜b．
∵a＜b，
∴﹣3a＞﹣3b，但是3a＞﹣3b不一定成立，
∴选项A不符合题意；
∵a＜b，
∴a﹣c＜b﹣c，
∴选项B不符合题意；
∵a＜b，
∴＜，
∴选项C符合题意；
∵a＜b，
∴a+3＜b+3，
∴选项D符合题意．
故选：CD．
（多选）8．（5分）已知一次函数y＝kx﹣k经过点（﹣1，4），则下列结论错误的是（ ）
A．函数值y随x增大而增大
B．图象经过第一、二、三象限
C．图象与x轴交于点（1，0）
D．当x＝a时，y＝2a+2
【解答】解：∵一次函数y＝kx﹣k经过点（﹣1，4），
∴4＝﹣k﹣k，
解得k＝﹣2，
∴一次函数为y＝﹣2x+2，
∴函数值y随x的增大而减小，故选项A错误，符合题意；
函数图象经过第一、二、四象限，故选项B错误，符合题意；
图象与x轴交于点（1，0），故选项C正确，不符合题意；
当x＝a时，原式＝﹣2a+2，故选项D错误，符合题意；
故选：ABD．
（多选）9．（5分）如图，△ABO的顶点坐标是A（2，6），B（3，1），O（0，0），以点O为位似中心，将△ABO的面积缩小为原来的，得到△A′B′O，则点A′的坐标为（ ）
A．（﹣1，﹣3）B．C．（1，3）D．
【解答】解：∵以点O为位似中心，将△ABO的面积缩小为原来的，得到△A′B′O，
∴△ABO∽△A′B′O，且相似比为1：2，
∵点A的坐标为（2，6），
∴点A′的坐标为（2×，6×）或（2×（﹣），6×（﹣）），即（1，3）或（﹣1，﹣3），
故选：AC．
（多选）10．（5分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx和y＝x+k的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵一次函数为y＝x+k，
∴y随x的增大而增大，
故选项A和C不合题意；
B、由一次函数的图象可得k＞0，正比例函数图象可得k＞0，符合题意；
D、由一次函数的图象可得k＜0，正比例函数图象可得k＜0，符合题意．
故选：BD．
三、填空题（共4小题，共16分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分）
11．（4分）若代数式，则x的取值范围是 1＜x＜2 ．
【解答】解：∵，
∴2﹣x＞0且x﹣1＞0，
解得1＜x＜2，
故答案为：1＜x＜2．
12．（4分）在平面直角坐标系中，点A，点B的坐标分别是（3，0），（0，2）．以点A为圆心，以AB长为半径画弧，交x轴于点C，则C点的横坐标为 3﹣ ．
【解答】解：由点A，点B的坐标分别是（3，0），（0，2）．以点A为圆心，以AB长为半径画弧，
得AC＝AB＝＝，
得OC＝﹣3，
得C点的横坐标为3﹣．
故答案为：3﹣．
13．（4分）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且DE∥BC，若AB＝4，AC＝3，BC＝5，AD＝1，则DE与BC之间的距离是 ．
【解答】解：过点A作AF⊥DE于F，AF的延长线交BC于点H，则AF＝1，如图所示：
∵DE∥BC，AF⊥DE，
∴AH⊥BC，
∵AB＝4，AC＝3，BC＝5，
∴AB2+AC2＝42+32＝25，BC2＝52＝25，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC为直角三角形，即∠BAC＝90°，
由三角形的面积公式得：S△ABC＝BC•AH＝AB•AC，
∴AH＝＝＝，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
∴AF＝，
∵FH＝AH﹣AF＝．
即DE与BC之间的距离为．
故答案为：．
14．（4分）在直角坐标系中，已知点A（0，2），B（1，0），C（2，3），在第一象限内找到一点D，使以点A，点B，点C，点D为顶点的四边形为平行四边形，则点D的坐标是 （1，5） ．
【解答】解：∵A（0，2），B（1，0），C（2，3），
∴线段AB的中点坐标为O（，1），线段AC的中点坐标为O′（1，），线段BC的中点坐标为O″（，），
以AB为平行四边形的对角线时，CO＝DO，
∴点D的坐标为（2×﹣2，2×1﹣3），即D（﹣1，﹣1），（不符合题意舍去）；
以AC为平行四边形的对角线时，
BO′＝DO′，
∴点D′的坐标为（2×1﹣1，2×﹣0）），即D′（1，5）；
以B'C'为平行四边形的对角线时，
AO'＝O'D″，
∴点D′的坐标为（2×﹣0，2×﹣2）），即D″（3，﹣1）不符合题意舍去）．
综上所述，点D的坐标为（1，5）
故答案为：（1，5）．
四、解答题（共8小题，共90分。解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（12分）（1）计算：；
（2）已知，，求a2﹣ab+b2．
【解答】解：（1）原式＝4﹣3+（）2﹣（）2
＝4﹣3+3﹣5
＝2﹣3；
（2）∵a＝+，b＝﹣，
∴a+b＝2，ab＝13﹣5＝8，
∴a2﹣ab+b2＝（a+b）2﹣3ab＝（2）2﹣3×8＝28．
16．（7分）解不等式组，并在数轴上表示出解集．
【解答】解：由x﹣（3x﹣5）＞﹣1得：x＜3，
由﹣1≤得：x≥﹣2，
则不等式组的解集为﹣2≤x＜3，
将解集表示在数轴上如下：
17．（11分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB边中点，过D点作AB的垂线交BC于点E，在直线DE上截取DF，使DF＝ED，连接AE、AF、BF．
（1）求证：四边形AEBF是菱形；
（2）若AC＝4，BF＝5，连接CD，求CD的长．
【解答】（1）证明：∵D是AB的中点，
∴AD＝BD，
∵DE＝DF，
∴四边形AEBF是平行四边形，
∵EF⊥AB，
∴四边形AEBF是菱形；
（2）解：如图，
由（1）得：四边形AEBF是菱形，
∴AE＝BF＝BE＝5，
在Rt△ACE中，由勾股定理得：CE＝＝＝3，
∴BC＝CE+BE＝3+5＝8，
在Rt△ACB中，由勾股定理得：AB＝＝＝4，
∵D是AB的中点，∠ACB＝90°，
∴CD＝AB＝×4＝2．
18．（11分）以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均在格点上．
（1）在图①中，＝ 1：3 ；（填两数字之比）
（2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．
①如图②，在线段AB上找一点P，使＝；
②如图③，在线段BC上找一点P，使△APB∽△DPC．
【解答】解：（1）如图①中，∵AB∥CD，
∴＝＝；
故答案为：1：3．
（2）①如图②中，点P即为所求作．
②如图③中，点P即为所求作．
19．（12分）我校为落实国家“双减”政策，丰富课后服务内容，为学生开设了无人机操作校本课程．现需购买A、B两种型号的无人机．已知2台A型无人机和3台B型无人机共需3400元，4台A型无人机和5台B型无人机共需6200元．
（1）求A型、B型两种无人机的单价分别是多少元？
（2）学校准备购买A型和B型无人机共100台，购买B型无人机不超过A型无人机的2倍．商家给出购买A型无人机打九折优惠，购买B型无人机打八折优惠，问购买A型无人机多少台时花费最少？最少花费是多少元？
【解答】解：（1）设A型无人机的单价是x元，B型无人机的单价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：A型无人机的单价是800元，B型无人机的单价是600元；
（2）设购买m台A型无人机，则购买（100﹣m）台B型无人机，
根据题意得：100﹣m≤2m，
解得：m≥．
设学校购买100台无人机共花费w元，则w＝800×0.9m+600×0.8（100﹣m），
即w＝240m+48000，
∵240＞0，
∴w随m的增大而增大，
又∵m≥，且m为正整数，
∴当m＝34时，w取得最小值，最小值为240×34+48000＝56160（元）．
答：购买A型无人机34台时花费最少，最少花费是56160元．
20．（10分）【问题背景】
尽享春日好时光，张梅和家人去某自然景区游玩，在欣赏美景的同时张梅用所学过的知识来记录他们的行程．
【收集信息】
张梅从景区发的宣传册中发现了他们所走的线路图，如图①．
【建立模型】
张梅通过乘坐的观光车所走的路程，绘制了如图②所示的函数图象，观光车从入口出发，经过景点甲，在景点甲停留一段时间，然后继续行驶到达终点．折线AB﹣BC﹣CD表示观光车到终点的路程y（km）与行驶时间x（h）之间的关系．
【解决问题】
（1）请求出线段CD表示的函数表达式；
（2）请通过计算求观光车在景点甲停留的时间．
【解答】解：（1）设线段CD表示的函数表达式为y＝kx+b，
把（3，24），（4.5，0）分别代入，得：
，
解得：，
∴线段CD表示的函数表达式为y＝﹣16x+72．
（2）由图可得，当y＝40时，﹣16x+72＝40，
解得x＝2，
∴2﹣1＝1（小时），
∴观光车在景点甲停留了1小时．
21．（13分）如图，直线AD与x轴交于点A，与y轴交于点B，已知B（0，﹣3），D（﹣1，﹣4）．（1）求直线AD的函数表达式；
（2）若点C在直线AD上，且点C的纵坐标为﹣1，求S△BOC；
（3）在（2）的条件下，在x轴上是否存在一点P，使得PC+PD最小？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）设直线AD的解析式为y＝kx+b，
把B（0，﹣3），D（﹣1，﹣4）分别代入得，
解得，∴直线AD的解析式为y＝x﹣3；
（2）当y＝﹣1时，x﹣3＝﹣1，解得x＝2，
∴C（2，﹣1），
∴S△BOC＝×3×2＝3；
（3）存在．
作点D关于x轴的对称点D′，如图，则D′（﹣1，4），
连接CD′交x轴于点P，则PD＝PD′，
∴PD+PC＝PD′+PC＝CD′，
∴此时PD+PC的值最小，
设直线CD′的解析式为y＝mx+n，
把D′（﹣1，4），C（2，﹣1）分别代入得，
解得，
∴直线CD′的解析式为y＝﹣x+，
当y＝0时，﹣x+＝0，解得x＝，
∴P点坐标为（，0）时，PC+PD最小．
22．（14分）在△ABC中，AC＝BC．
（1）特例证明：如图1，点D，E分别在线段AC，BC上，DE∥AB，求证：AD＝BE；
（2）探索发现：将图1中的△CDE绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜180°）到图2位置，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）拓展运用：如图3，点D在△ABC内部，当∠ACB＝90°时，若∠ADC＝135°，AD＝1，CD＝2，求线段BD的长．
【解答】（1）证明：∵DE∥AB，
∴∠CDE＝∠A，∠CED＝∠B，
∵AC＝BC，
∴∠A＝∠B，
∴∠CDE＝∠CED，
∴CD＝CE，
∴AC﹣CD＝BC﹣CE，
∴AD＝BE；
（2）解：AD＝BE成立，理由如下：
由旋转可知，∠ACD＝∠BCE，
∵AC＝BC，CD＝CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE；
（3）解：把线段CD绕点C逆时针旋转90°至CE，连接DE，BE，如图，
则CD＝CE，∠DCE＝∠ACB＝90°，
∴∠CDE＝∠CED＝45°，
∴∠ACB﹣∠BCD＝∠DCE﹣∠BCD，
∴∠ACD＝∠BCE，
∵AC＝BC，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴CE＝CD＝2，BE＝AD＝1，∠CEB＝∠CDA＝135°，
∴DE2＝CD2+CE2＝8，
∵∠DEB＝∠CEB﹣∠CED＝90°，
∴．