天津市燕京高级中学-2023-2024学年高二下学期期末模拟数学练习（三）

这是一份天津市燕京高级中学-2023-2024学年高二下学期期末模拟数学练习（三），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）已知全集U＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合A＝{﹣3，﹣1，0，3，}，B＝{0，1，2，3}，则（∁UA）∩B＝（ ）
A．{0，3}B．{﹣3，﹣1，0，1，2，}
C．{﹣1，0，1，2，3}D．{1，2}
2．（5分）设x∈R，则“|x+1|＜1”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
3．（5分）函数f（x）＝的图象大致为（ ）
A．B．
C． D．
4．（5分）下列运算正确的是（ ）
A．B．（4x）′＝x•4x﹣1
C．D．
5．（5分）若随机变量X∼N（2，σ2），且P（X≤6）＝0.8，那么P（X≤﹣2）＝（ ）
A．0.7B．0.8C．0.2D．0.3
6．（5分）已知a＝lg63，，c＝0.5﹣0.1，则（ ）
A．a＜b＜cB．b＜c＜aC．c＜a＜bD．b＜a＜c
7．（5分）已知a，b均为正数，且，则2a+b的最小值为（ ）
A．8B．16C．24D．32
8．（5分）某学校选派甲，乙，丙，丁，戊共5位优秀教师分别前往A，B，C，D四所农村小学支教，用实际行动支持农村教育，其中每所小学至少去一位教师，甲，乙，丙不去B小学但能去其他三所小学，丁，戊四个小学都能去，则不同的安排方案的种数是（ ）
A．72B．78C．126D．240
（5分）已知函数f（x）＝ex﹣ax2的定义域为，且对,＜x1+x2
恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C．D．
二、填空题（本题共6小题，共30分）
10．（5分）在的展开式中，x的系数为 ．
11．（5分）已知随机变量X∼B（n，p），若E（X）＝1，，则P（X＝2）＝ ．
12．（5分）为了组建一支志愿者队伍，欲从4名男志愿者，3名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长，设事件A为“抽取的3人中至少有一名男志愿者”，事件B为“抽取的3人中至少有一名女志愿者”，则P（A|B）＝ ．
13．（5分）某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）．现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有 种．（以数字作答）
14．（5分）已知，则a1+2a2+3a3+…+2024a2024＝ ．
15．（5分）已知f（x）＝mx+1﹣ex与g（x）＝xlnx的图像上恰有两对关于x轴对称的点，则m的取值范围为 ．
三、三、解答题（本题共5小题，共75分）
16．（14分）已知二项式（2x2﹣）n（a∈R，n∈N*）的展开式中，二项式系数之和为128，系数和为1．
（1）求a与n的值；
（2）求其展开式中所有的有理项．
17．（15分）大小、质量相同的6个球，其中有4个黑球，2个白球．
（1）若从袋中任取3球，设3个球中黑球的个数为X，求X的分布列和期望．
（2）若从袋中有放回的抽取2次，每次取1球，在至少取得一个白球的情况下，取得两个白球的概率为？
18．（15分）设函数f（x）＝lnx﹣，a∈R．
（1）若a＝1，求f（x）在x＝1处的切线方程．
（2）若∃x0＞0，f（x0）≤0，求a的取值范围．
（3）若对任意的x1＞x2＞0，f（x1）﹣f（x2）＜x1﹣x2恒成立，求a的取值范围．
19．（15分）甲乙两人进行象棋比赛，约定谁先赢3局谁就直接获胜，并结束比赛．假设每局甲赢的概率为，和棋的概率为，各局比赛结果相互独立．
（1）记X为3局比赛中甲赢的局数，求X的分布列和均值；
（2）求乙在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；
（3）求比赛6局结束，且甲赢得比赛的概率．
20．（16分）已知函数f（x）＝lgax，g（x）＝ax．（a＞0且a≠1）
（1）若，谈论h（x）的单调性；
（2）若a＝e，求证g（x）≥af（x）+a；
（3）若f（x）≤g（x）恒成立，求a的取值范围．
燕京高二（下）期末数学训练（三）
参考答案与试题解析
一、选择题（每题5分，共45分）
1．（5分）已知全集U＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合A＝{﹣3，﹣1，0，3，}，B＝{0，1，2，3}，则（∁UA）∩B＝（ ）
A．{0，3}B．{﹣3，﹣1，0，1，2，}
C．{﹣1，0，1，2，3}D．{1，2}
解：全集U＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合A＝{﹣3，﹣1，0，3}，
则∁UA＝{﹣2，1，2}，又B＝{0，1，2，3}，
故（∁UA）∩B＝{1，2}．
故选：D
2．（5分）设x∈R，则“|x+1|＜1”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解：由|x+1|＜1得﹣1＜x+1＜1，得﹣2＜x＜0，
由＜，得x＜0或x＞2，
因为{x|﹣2＜x＜0}⫋{x|x＜0或x＞2}，
所以“|x+1|＜1”是“＜”的充分不必要条件，
故选：A．
3．（5分）函数f（x）＝的图象大致为（ ）
A．B．
C． D．
解：∵f（﹣x）＝＝＝
＝＝﹣＝﹣f（x），
∴f（x）为奇函数，排除选项B和D；
取x＝1，则f（1）＝＜0，排除选项A，
故选：C．
4．（5分）下列运算正确的是（ ）
A．B．（4x）′＝x•4x﹣1
C．D．
解：对于A项：常值函数求导，，所以A错；
对于B项：指数函数求导，（4x）′＝4xln4，所以B错；
对于C项：幂函数求导，（x﹣5）′＝﹣5x﹣6，所以C错；
对于D项：对数函数求导，，所以D正确．
故选：D．
（5分）若随机变量X∼N（2，σ2），且P（X≤6）＝0.8，那么P（X≤﹣2）＝（ ）
A．0.7B．0.8C．0.2D．0.3
解：∵随机变量X∼N（2，σ2），且P（X≤6）＝0.8，
∴P（X≥6）＝1﹣0.8＝0.2，
∴P（X≤﹣2）＝P（X≥6）＝0.2．
故选：C．
6．6．（5分）已知a＝lg63，，c＝0.5﹣0.1，则（ ）
A．a＜b＜cB．b＜c＜aC．c＜a＜bD．b＜a＜c 9.
解：因为a＝lg63＜1，，c＝0.5﹣0.1＞0.50＝1，
所以c＞a，c＞b，
又因为2a＝2lg63＝lg69＞1，，
所以2a＞2b，即a＞b，
故c＞a＞b．
故选：D．
7．（5分）已知a，b均为正数，且，则2a+b的最小值为（ ）
A．8B．16C．24D．32
解：当b∈（0，2）时，，，故，不符合题意，
故b＞2，
所以2a+b＝2（a+1）+（b﹣2）＝2[2（a+1）+（b﹣2）]（）＝8+2+8＝16，
当且仅当8•＝2，即a＝3，b＝10时等号成立．
故选：B．
8．（5分）某学校选派甲，乙，丙，丁，戊共5位优秀教师分别前往A，B，C，D四所农村小学支教，用实际行动支持农村教育，其中每所小学至少去一位教师，甲，乙，丙不去B小学但能去其他三所小学，丁，戊四个小学都能去，则不同的安排方案的种数是（ ）
A．72B．78C．126D．240
解：要求每所小学至少去一位教师，则需要将5人分成4组，
则①甲，乙，丙中有2位教师去同一所学校有：
种情况，
②甲，乙，丙中有1位教师与丁去同一所学校有：
种情况，
③丁，戊两人选择同一所学校有：种情况，
所以满足题意的情况为：36+36+6＝78．
故选：B．
9.（5分）已知函数f（x）＝ex﹣ax2的定义域为，且对,＜x1+x2
恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C．D．
解：设x1＞x2，因为恒成立，
等价于f（x1）﹣f（x2）＜x﹣x，即f（x1）﹣x＜f（x2）﹣x，
令 F（x）＝f（x）﹣x2＝ex﹣ax2﹣x2，则F（x1）＜F（x2），所以F（x）在上为减函数，
所以F′（x）＝ex﹣2（a+1）x≤0在在上恒成立，即在上恒成立，
令h（x）＝，x∈，则h′（x）＝＞0，
所以函数h（x）在上单调递减，在（1，2）单调递增，
又h（）＝2，h（2）＝，且2＜，
所以h（x）max＜h（2）＝，
所以，解得a≥，
故选：A．
二、填空题（每题5分，共30分）
10．（5分）在的展开式中，x的系数为 ．
解：二项式的展开式的通项公式为Tr+1＝•（）5﹣r（﹣）r＝•（）5﹣r•（﹣3）r•，
令＝1，求得 r＝1，
∴二项式的展开式中x的系数为•（）4•（﹣3）＝﹣．
故答案为：﹣．
11．（5分）已知随机变量X∼B（n，p），若E（X）＝1，，则P（X＝2）＝ ．
解：∵随机变量X∼B（n，p），E（X）＝1，，
∴，解得n＝3，p＝，
则P（X＝2）＝＝．
故答案为：．
12．（5分）为了组建一支志愿者队伍，欲从4名男志愿者，3名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长，设事件A为“抽取的3人中至少有一名男志愿者”，事件B为“抽取的3人中至少有一名女志愿者”，则P（A|B）＝ ．
解：由题意可知，P（B）＝1﹣＝1﹣＝，P（AB）＝1﹣﹣＝，
所以P（A|B）＝＝＝．
故答案为：．
13．（5分）某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）．现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有 种．（以数字作答）
解：根据题意，用4种颜色标注6个省份地图区域，相邻省份地图颜色不相同，则这4种颜色全部都用上，其中必有两个不相邻的地区涂同一种颜色，
则有“2和5”且“3和6北”、
“2和5”且“4 和6”、
“2和4”且“3和6”、
“2和4”且“3和5”、
“3和5”且“4和6”，共有5种情况，
则共有5＝120种涂色方法．
故答案为：120．
14．（5分）已知，则a1+2a2+3a3+…+2024a2024＝ ．
15．（5分）已知f（x）＝mx+1﹣ex与g（x）＝xlnx的图像上恰有两对关于x轴对称的点，则m的取值范围为 ．
解：因为（2x﹣1）2024＝a0+a1x+a2x2+…+a2024x2024，
令x＝0可得1＝a0，
两边求导可得2024（2x﹣1）2023（2x﹣1）′＝a1+2a2x+…+2024a2024x2023，
即2024×2（2x﹣1）2023＝a1+2a2x+…+2024a2024x2023，
令x＝1，
4048＝a1+2a2+3a3+…+2024a2024，
故答案为：4048．
15．（5分）已知f（x）＝mx+1﹣ex与g（x）＝xlnx的图像上恰有两对关于x轴对称的点，则m的取值范围为 ．
解：由题意可得f（x）＝﹣g（x）在（0，+∞）上有两个解，
所以mx+1﹣ex＝﹣xlnx在（0，+∞）上有两个解，
即m＝﹣lnx+在（0，+∞）上有两个解，
令g（x）＝﹣lnx+（x＞0），
则直线y＝m与y＝g（x）在（0，+∞）上有两个交点，
则g'（x）＝﹣+＝，
因为x＞0，所以ex＞1，ex﹣1＞0，
所以当x∈（0，1）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减；
当x∈（1，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增；
所以g（x）min＝g（1）＝e﹣1，
所以m＞e﹣1．
故答案为：（e﹣1，+∞）．
三、解答题（共75分）
16．（14分）已知二项式（2x2﹣）n（a∈R，n∈N*）的展开式中，二项式系数之和为128，系数和为1．
（1）求a与n的值；
（2）求其展开式中所有的有理项．
解：（1）由二项式系数之和为128，可得2n＝128，解得n＝7，
系数和为1，可得（2﹣a）7＝1，
解得a＝1；
（2）由（1）可得二项式（2x2﹣）7，
通项公式Tr+1＝•（2x2）7﹣r•（﹣）r＝•27﹣r•（﹣1）r•，
当为整数时，Tr+1是有理项，则r＝0，3，6，
所以有理项为T1＝•27•（﹣1）0•x14＝128x14，T4＝•24•（﹣1）3•x7＝﹣560x7，T7＝•2•（﹣1）6•x0＝14．
17．（15分）大小、质量相同的6个球，其中有4个黑球，2个白球．
（1）若从袋中任取3球，设3个球中黑球的个数为X，求X的分布列和期望．
（2）若从袋中有放回的抽取2次，每次取1球，在至少取得一个白球的情况下，取得两个白球的概率为？
解：（1）由题可知，X的所有可能取值为1，2，3，
则P（X＝1）＝，P（X＝2）＝，P（X＝3）＝，
所以X的分布列为：
E（X）＝；
（2）设事件A为至少取得一个白球，事件B为取得两个白球，
则P（A）＝，P（B）＝，
所以P（B|A）＝＝．
18．（15分）设函数f（x）＝lnx﹣，a∈R．
（1）若a＝1，求f（x）在x＝1处的切线方程．
（2）若∃x0＞0，f（x0）≤0，求a的取值范围．
（3）若对任意的x1＞x2＞0，f（x1）﹣f（x2）＜x1﹣x2恒成立，求a的取值范围．
解：（1）当a＝1时，f（x）＝lnx﹣，，
则f（1）＝﹣1，f′（1）＝2，
故f（x）在x＝1处的切线方程为y+1＝2（x﹣1），即y＝2x﹣3；
（2）若∃x0＞0，f（x0）≤0，则lnx0﹣≤0在x0＞0时有解，
即a≥x0lnx0在x0＞0时有解，
令g（x）＝xlnx，则g′（x）＝lnx+1，
当x＞时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，当0＜x＜时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
故x＝时，g（x）取得最小值g（）＝﹣，
故{a|a}；
（3）对任意的x1＞x2＞0，f（x1）﹣f（x2）＜x1﹣x2恒成立，即f（x1）﹣x1＜f（x2）﹣x2恒成立，
令h（x）＝f（x）﹣x＝lnx﹣x﹣，则h（x1）＜h（x2），
即h（x）在（0，+∞）上单调递减，
所以≤0在x＞0时恒成立，
所以a≤x2﹣x在x＞0时恒成立，
根据二次函数的性质可知，当x＝时，x2﹣x取得最小值﹣，
故a的范围为{a|a}．
19．（15分）甲乙两人进行象棋比赛，约定谁先赢3局谁就直接获胜，并结束比赛．假设每局甲赢的概率为，和棋的概率为，各局比赛结果相互独立．
（1）记X为3局比赛中甲赢的局数，求X的分布列和均值；
（2）求乙在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；
（3）求比赛6局结束，且甲赢得比赛的概率．
解：（1）由题知甲每局赢的概率为，甲不赢的概率为，X的取值为0，1，2，3，
则P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝，
P（X＝2）＝，P（X＝3）＝，
则X的分布列为：
E（X）＝＝；
（2）由题知乙每局赢的概率为，乙不赢的概率为，
因为乙在4局以内（含4局）赢得比赛，
则分两种情况：分乙前3局全胜和前3局只有一局不胜，第四局乙胜，
所以乙在4局以内（含4局）赢得比赛的概率：
P＝；
（3）由题知比赛6局结束，且甲赢得比赛应要满足：前5局甲只赢2局且其他三局中至少和棋一局，
第六局甲赢，又每局甲赢的概率为，和棋的概率为，乙赢的概率为，
故所求概率为P′＝×＝．
20．（16分）已知函数f（x）＝lgax，g（x）＝ax．（a＞0且a≠1）
（1）若，谈论h（x）的单调性；
（2）若a＝e，求证g（x）≥af（x）+a；
（3）若f（x）≤g（x）恒成立，求a的取值范围．
解：（1）h（x）＝f（x）﹣＝lgax﹣，x＞0，
当a＞1时，h（x）在（0，+∞）上单调递增，
当0＜a＜1时，h（x）＝lgax﹣，x＞0，
h′（x）＝+＝，lna＜0，
令h′（x）＝0，得x＝﹣lna，
所以在（0，﹣lna）上，h′（x）＞0，h（x）单调递增，
在（﹣lna，+∞）上，h′（x）＜0，h（x）单调递减，
综上所述，当a＞1时，h（x）在（0，+∞）上单调递增，
当0＜a＜1时，在（0，﹣lna）上h（x）单调递增，在（﹣lna，+∞）上单调递减．
（2）要证不等式g（x）≥af（x）+a在（0，+∞）上恒成立，
只需证ax≥algax+a在（0，+∞）上恒成立，
当a＝e时，即证ex≥elnx﹣e在（0，+∞）上恒成立，
令s(x)=ex-ex,x∈（0，+∞），
s′(x)＝ex﹣e,
则s(x)在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，
所以s（x）min＝s（1）=0，
所以ex≥ex,
所以x≥e+elinx
所以xe≥1+linx
所以在ex≥e+elinx
所以g（x）≥af（x）+a；
（3）因为函数f（x）＝lgax与g（x）＝ax关于y＝x对称，
所以当y＝f（x）与y＝x相切时，y＝g（x）与y＝x也相切，且切点相同，
设切点为（x0，y0），
所以，即，
解得a＝，
所以当f（x）≤g（x）时，a≥，
所以a的取值范围为[，+∞）．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/6/19 17:08:13；用户：李炫琮；邮箱：15937688016；学号：41338192
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