人教A版普通高中数学一轮复习第三章学科特色规范解答系列(一)利用导数研究函数问题学案

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(12分)(2023·新高考全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝a(ex＋a)－x.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)证明：当a＞0时，f(x)＞2ln a＋32．
思维拆解
规范解答
阅卷细则
第一步：求导．
第二步：对a分类讨论，判断f′(x)的符号，得函数f(x)的单调性．
第三步：利用(1)的结论，求函数f(x)的最值．
第四步：构造函数g(a)＝1＋a2＋ln a－2ln a－32，求导，判断其单调性．
第五步：求函数g(a)的最小值，得结论．
(1) 解：f′(x)＝aex－1，1分
当a≤0时，f′(x)＜0，
所以函数f(x)在R上单调递减．2分
当a＞0时，令f′(x)＞0，得x＞－ln a；
令f′(x)＜0，得x＜－ln a，3分
所以函数f(x)在(－∞，－ln a)上单调递减，在(－ln a，＋∞)上单调递增．4分
综上，当a≤0时，函数f(x)在R上单调递减；
当a＞0时，函数f(x)在(－∞，－ln a)上单调递减，在(－ln a，＋∞)上单调递增．5分
(2)证明：由(1)可得当a＞0时，函数f(x)＝a(ex＋a)－x的最小值为f(－ln a)＝a(e－ln a＋a)＋ln a＝1＋a2＋ln a．6分
令g(a)＝1＋a2＋ln a－2ln a－32＝a2－ln a－12，a＞0，7分
所以g′(a)＝2a－1a．
令g′(a)＞0，得a＞22；令g′(a)＜0，得0＜a＜22．9分
所以函数g(a)在0，22上单调递减，在22，+∞上单调递增，10分
所以函数g(a)的极小值也是最小值为g22＝222－ln 22－12＝ln 2＞0.11分
所以当a＞0时，f(x)＞2ln a＋32成立．12分
(1)正确求导得1分．
(2)写出a≤0时的单调性得1分．
(3)a＞0时，正确解不等式得1分．
(4)写出a＞0时的单调性得1分．
(5)综述单调性得1分．
(6)求出a＞0时f(x)的最小值得1分．
(7)构造函数g(x)得1分．
(8)研究g(a)的单调性得2分．
(9)写出g(a)的单调性得1分．
(10)求g(a)的最小值得1分．
(11)综述得1分．