人教A版普通高中数学一轮复习第四章学科特色规范解答系列(二)高考中的三角函数与解三角形的综合应用问题学案

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(12分)(2023·全国甲卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2+c2-a2csA＝2.
(1)求bc；
(2)若acsB-csAacsB+csA－bc＝1，求△ABC的面积．
思维拆解
规范解答
阅卷细则
第一步：求bc.
由已知结合余弦定理进行化简即可求解bc.
第二步：转化．
结合正弦定理将边用角的正弦值表示．
第三步：化简．
运用两角和与差的正弦公式进行化简．
第四步：求值．
先求角A的余弦值，结合角A的范围，求角A的正弦值．
第五步：求面积．
结合第一步，根据三角形的面积公式求得三角形的面积．
解：(1)由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bc cs A，1分
所以b2+c2-a2csA＝2bccsAcsA＝2bc＝2，解得bc＝1.3分
(2)由正弦定理可得
acsB-csAacsB+csA－bc＝sinAcsB-sincsAsinAcsB+sincsA－sinBsinC5分
＝sinA-BsinA+B－sinBsinA+B＝sinA-B-sinBsinA+B＝1，7分
变形可得sin (A－B)－sin (A＋B)＝sin B，
即－2cs A sin B＝sin B．
因为sin B≠0，所以cs A＝－12．10分
又0＜A＜π，所以A＝2π3，sin A＝32．
故△ABC的面积为S△ABC＝12bc sin A＝12×1×32＝34．12分
(1)写出余弦定理得1分．
(2)结合余弦定理化简求出bc的值得2分．
(3)运用正弦定理将边用角的正弦值表示得2分．
(4)运用两角和与差的正弦公式化简得2分．
(5)运用两角和与差的正弦公式进一步化简结合角的范围求出cs A得3分．
(6)求出三角形的面积得2分．