人教A版普通高中数学一轮复习第六章学科特色规范解答系列(三)立体几何问题学案

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(12分)(2023·新高考全国Ⅰ卷)如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4，点A2，B2，C2，D2分别在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2＝1，BB2＝DD2＝2，CC2＝3.
(1)证明：B2C2∥A2D2；
(2)点P在棱BB1上，当二面角P-A2C2-D2为150°时，求B2P的长．
思维拆解
规范解答
阅卷细则
第一步：建系，写坐标．
第二步：利用坐标法证明B2C2∥A2D2．
第三步：证明B2C2∥A2D2.
第四步：求平面PA2C2、平面A2C2D2的法向量．
第五步：由夹角的余弦值公式求参数λ.
第六步：求B2P的长．
证明：以C为原点，CD，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
则C(0，0，0)，C2(0，0，3)，B2(0，2，2)，D2(2，0，2)，A2(2，2，1)，1分
所以B2C2＝(0，－2，1)，A2D2＝(0，－2，1)，
所以B2C2∥A2D2．3分
因为B2C2，A2D2不在同一条直线上，
所以B2C2∥A2D2.
(2)解：设P(0，2，λ)(0≤λ≤4)，
则A2C2＝(－2，－2，2)，PC2＝(0，－2，3－λ)，D2C2＝(－2，0，1)．5分
设平面PA2C2的法向量为n＝(x，y，z)，
则{n·A_2 C_2 =0，
n·PC_2 =0，
所以−2x−2y+2z=0，−2y+3−λz=0.
取z＝2，则y＝3－λ，x＝λ－1，
所以n＝(λ－1，3－λ，2)是平面PA2C2的一个法向量．7分
设平面A2C2D2的法向量为m＝(a，b，c)，
则m·A2C2TX→=0，m·D2C2TX→=0，所以−2a−2b+2c=0，−2a+c=0.
取a＝1，则b＝1，c＝2，
所以m＝(1，1，2)是平面A2C2D2的一个法向量．9分
所以cs〈n，m〉＝n·mnm＝66×λ−12+3−λ2+4
＝cs150°＝32，
化简，可得λ2－4λ＋3＝0，解得λ＝1或λ＝3. 11分
所以P(0，2，1)或P(0，2，3)，
所以B2P＝1. 12分
(1)根据题图建系，正确写出点C，A2，B2，C2，D2的坐标，得1分．
(2)正确求出B2C2，A2D2的坐标，并说明它们平行，得2分．
(3)证明B2C2∥A2D2，得1分．
(4)设出点P的坐标，写出A2C2，PC2，D2C2的坐标，得1分．
(5)正确求出平面PA2C2的法向量，得2分．
(6)正确求出平面A2C2D2的法向量，得2分．
(7)正确求出参数λ的值，得2分．
(8)写出点P的坐标，求出B2P，得1分．