人教A版普通高中数学一轮复习第七章学科特色规范解答系列(四)高考中的数列问题学案

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(12分)(2023·新高考全国Ⅰ卷)设等差数列{an}的公差为d，且d>1.令bn＝n2+nan，记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和．
(1)若3a2＝3a1＋a3，S3＋T3＝21，求{an}的通项公式；
(2)若{bn}为等差数列，且S99－T99＝99，求d.
思维拆解
规范解答
阅卷细则
第一步：由3a2＝3a1＋a3，求a1，d的关系．
第二步：由S3＋T3＝21，求出a1，d的值，得{an}的通项公式．
第三步：由{bn}是等差数列，确定a1，d的关系．
第四步：由S99－T99＝99，结合等差数列的性质，解得a50.
第五步：分情况讨论，求得符合条件的d的值．

解：(1)因为3a2＝3a1＋a3，
所以3d＝a1＋2d，解得a1＝d，
所以S3＝3a2＝3(a1＋d)＝6d.
又T3＝b1＋b2＋b3＝2d＋62d＋123d＝9d，3分
所以S3＋T3＝6d＋9d＝21，
即2d2－7d＋3＝0，
解得d＝3或d＝12(舍去)，4分
所以an＝a1＋(n－1)·d＝3n.5分
(2)因为{bn}为等差数列，
所以2b2＝b1＋b3，即12a2＝2a1＋12a3，
所以61a2−1a3＝6da2a3＝1a1，即a12－3a1d＋2d2＝0，解得a1＝d或a1＝2d. 7分
因为d>1，所以an>0.
又S99－T99＝99，由等差数列的性质知，99a50－99b50＝99，即a50－b50＝1，
所以a50－2 550a50＝1，即a502－a50－2 550＝0，解得a50＝51或a50＝－50(舍去)．9分
当a1＝2d时，a50＝a1＋49d＝51d＝51，解得d＝1，与d>1矛盾，不符合题意，舍去；
当a1＝d时，a50＝a1＋49d＝50d＝51，解得d＝5150＞1. 11分
综上，d＝5150．12分
(1)由3a2＝3a1＋a3，求出a1＝d得1分，写出S3，T3各得1分．
(2)求得d的值得1分，写对{an}的通项公式得1分．
(3)写出a1，d的关系式得1分，求得a1，d的关系得1分．
(4)由等差数列的性质，条件变形正确得1分，解出a50的值得1分．
(5)两种情况讨论正确各得1分，答案正确得1分．