人教A版普通高中数学一轮复习第四章第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式学案

这是一份人教A版普通高中数学一轮复习第四章第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式学案，共23页。学案主要包含了常用结论等内容，欢迎下载使用。
2．借助单位圆的对称性推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式．
自查自测
知识点一 同角三角函数的基本关系式
1．判断下列说法的正误，正确的打“√”，错误的打“×”．
(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cs2β＝1.( × )
(2)若α∈R，则tanα＝sinα csα恒成立．( × )
(3)sin2α＋cs2α＝1成立的条件是α为锐角．( × )
2．若sinα＋cs α＝22，则sin αcs α＝( )
A．－12B．－14
C．22D．2
B 解析：因为sin α＋cs α＝22，
所以(sin α＋cs α)2＝12，
即sin2α＋cs2α＋2sinαcs α＝12，
即1＋2sin αcs α＝12，
所以sin αcs α＝－14．
3．已知sin α＝55，π2＜α≤π，则tan α＝( )
A．－2B．2
C．12D．－12
D 解析：因为π2＜α≤π，所以cs α＝－1−sin2α＝－1−552＝－255，所以tanα＝sinαcsα＝－12．
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同角三角函数的基本关系式
平方关系：sin2α＋cs2α＝1；
商数关系：sinαcsα＝tan α
α≠kπ+π2，k∈Z．
注意点：
同角并不拘泥于角的形式，如sin2α2＋cs2α2＝1，sin5xcs5xan 5x5x≠kπ+π2，k∈Z都成立，但是sin2α＋cs2β＝1就不一定成立．
自查自测
知识点二 诱导公式
1．(教材改编题)sin210°cs 120°的值为( )
A．14B．－34
C．－32D．34
A 解析： sin 210°cs 120°＝－sin 30°·(－cs 60°)＝－12×−12＝14．
2．(教材改编题)已知sin α−π4＝32，则 sin 5π4−α 的值为( )
A．12B．－12
C．32D．－32
C 解析：sin 5π4−α＝sin π−α−π4＝sin α−π4＝32．
3．化简csα−π2sin52π+α·cs (2π－α)的结果为 ．
sin α 解析：原式＝sinαcsα·cs α＝sin α.
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1．三角函数的诱导公式
2.记忆口诀．“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．“符号”看的是诱导公式中，把α看成锐角时原函数值的符号，而不是α的三角函数值的符号．
【常用结论】
1．sin α＝±1−cs2α；csα＝±1−sin2α；(sin α±cs α)2＝1±2sin αcs α.
2．sin2α＝sin2αsin2α+cs2α＝tan2αtan2α+1α≠kπ+π2，k∈Z；
cs2α＝cs2αsin2α+cs2α＝1tan2α+1α≠kπ+π2，k∈Z．
3．sinα＝tan αcs αα≠kπ+π2，k∈Z．
应用1 若sin x cs x＝18，则cs x－sin x的值是( )
A．±32 B．32
C．－32D．±12
A 解析：因为(cs x－sin x)2＝1－2sin x cs x＝1－2×18＝34，所以cs x－sin x＝±32．
应用2 若tan α＝－22，α∈−π2，0，则cs α的值为( )
A．－13 B．13
C．－33D．33
B 解析：由cs2α＝cs2αsin2α+cs2α＝1tan2α+1，得cs2α＝19．又α∈−π2，0，所以csα＞0，所以cs α＝13．
同角三角函数关系的基本应用
考向1 知弦求弦、切或知切求弦
【例1】(1)若θ是三角形的一个内角，且tan θ＝－43，则sin θ－cs θ＝( )
A．15 B．－15
C．75D．－75
C 解析： (方法一)由题意，知tan θ＝sinθcsθ＝－43，θ∈(0，π)，故sin θ＞0，cs θ＜0.又sin2θ＋cs2θ＝1，所以sinθ＝45，cs θ＝－35．所以sin θ－cs θ＝75．
(方法二)因为tan θ＝－43＜0，所以θ∈π2，π，故sin θ－cs θ＞0，则(sin θ－cs θ)2＝1－2sin θcs θ＝1－2sinθcsθcs2θ+sin2θ＝1－2tanθ1+tan2θ－2×−431+−432＝4925，所以sinθ－cs θ＝75．
(2)(2024·泰州模拟)已知cs α＝－513，则13sin α＋5tan α＝ ．
0 解析：因为cs α＝－513＜0且cs α≠－1，
所以α是第二或第三象限角．
①若α是第二象限角，
则sin α＝1−cs2α＝1−−5132＝1213，
所以tanα＝sinαcsα＝1213−513＝－125．
此时13sin α＋5tan α＝13×1213＋5×−125＝0.
②若α是第三象限角，
则sin α＝－1−cs2α＝－1−−5132＝－1213，
所以tanα＝sinαcsα＝−1213−513＝125，
此时13sin α＋5tan α＝13×−1213＋5×125＝0.
综上所述，13sin α＋5tan α＝0.
[变式] 将本例(1)改为：已知α是三角形的一个内角，且tan α＝－13，求sin α＋cs α的值．
解：由tan α＝－13，
得sin α＝－13cs α，且sin α＞0，cs α＜0，
将其代入sin2α＋cs2α＝1，得109cs2α＝1，
所以csα＝－31010，sin α＝1010，
故sin α＋cs α＝－105．
由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，当利用“平方关系”公式求平方根时，会出现两解，需根据角所在的象限判断三角函数值的符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论．
考向2 sin α，cs α的齐次式问题
【例2】(1)若tan α＝2，则sinα+csαsinα−csα＝( )
A．3B．－3
C．85D．－85
A 解析：因为tan α＝2＝sinαcsα，所以cs α≠0，则sinα+csαsinα−csα＝tanα+1tanα−1＝3.
(2)已知tan α＝－34，则sin α(sin α－cs α)＝( )
A．2125 B．2521
C．45D．54
A 解析： sin α(sin α－cs α)＝sin2α－sinαcs α＝sin2α−sinαcsαsin2α+cs2αtan2α−tanαtan2α+1tanα＝－34代入，得原式＝−342−−34 −342+1＝2125．故选A．
[变式] 本例(1)条件不变，求cs2α＋12sin2α的值．
解：cs2α＋12sin2α＝cs2α＋sinαcs α＝cs2α+sinαcsαcs2α+sin2α1+tanα1+tan2α
tanα＝2，所以cs2α＋12sin2α＝1+tanα1+tan2α＝1+21+22＝35．
若已知正切值，求一个关于正弦和余弦的齐次式的值，则可以通过分子、分母同时除以一个余弦的最高次幂将其转化为一个关于正切的分式，代入正切值就可以求出这个分式的值．
考向3 sinα±cs α，sin αcs α之间的关系
【例3】已知sin α＋cs α＝－1713，α∈π，5π4，则sin α－cs α＝( )
A．213 B．－213
C．713D．－713
C 解析：因为sin α＋cs α＝－1713，
所以(sin α＋cs α)2＝289169，
则2sin αcs α＝120169，
所以sin2α＋cs2α－2sinαcs α＝49169，
即(sin α－cs α)2＝49169．
又α∈π，5π4，所以sin α＞cs α，故sin α－cs α＞0，
所以sin α－cs α＝713．
对于sin α＋cs α，sin α－cs α，sin αcs α这三个式子，知一可求二，若令sin α＋cs α＝t，则sin αcs α＝t2−12，sin α－cs α＝±2−t2(注意根据α的范围选取正、负号)，体现了方程思想的应用．
1．若θ∈(0，π)，tan θ＋1tanθ＝6，则sin θ＋cs θ＝( )
A．233 B．－233
C．±233 D．23
A 解析：因为tan θ＋1tanθ＝sinθcsθ＋csθsinθ＝sin2θ+cs2θsinθcsθ，所以sin θcs θ＝16．
又θ∈(0，π)，则sin θ＞0，cs θ＞0，
所以sin θ＋cs θ＞0.
所以(sin θ＋cs θ)2＝1＋2sin θcs θ＝43，
所以sin θ＋cs θ＝233．
2．已知关于x的方程2x2－bx＋14＝0的两根为sin θ和cs θ，θ∈π4，3π4．
(1)求实数b的值；
(2)求2sin θcs θ+1cs θ−sinθ的值．
解：(1)因为sin θ，cs θ为关于x的方程2x2－bx＋14＝0的两根，
所以Δ=b2−2≥0， sinθ+csθ=b2 ，sinθcsθ=18，
所以(sin θ＋cs θ)2＝b24＝1＋2sin θcs θ＝1＋14＝54，即b24＝54，解得b＝±5，此时Δ＝5－2＞0.
又θ∈π4，3π4，所以sin θ＋cs θ＞0，所以b＝5.
(2)因为θ∈π4，3π4，所以sin θ＞cs θ，
所以sin θ－cs θ＝sinθ−csθ2＝1−2sinθcsθ＝32，
所以2sinθcsθ+1csθ−sinθ＝2×18+1−32＝－536．
诱导公式的应用
【例4】(1)若sin (π＋α)＝－12，则sin (4π－α)的值是( )
A．12 B．－12
C．－32 D．32
B 解析：由题知，sin α＝12，所以sin (4π－α)＝－sin α＝－12．
(2)(2024·泰安模拟)记cs (－80°)＝k，那么tan 280°＝( )
A．1−k2kB．－1−k2k
C．k1−k2D．－−k1−k2
B 解析：因为cs (－80°)＝k，所以sin (－80°)＝－1−k2，所以tan 280°＝tan (－80°)＝sin−80°cs−80°＝－1−k2k．
(3)csα+πsin2α+3πtanα+4πtanα−πsin3π2 +α的值为( )
A．1B．－1
C．sinαD．tan α
B 解析：原式＝−csαsin2αtanαtanαcs3α−sin2αtan2αcs2α＝－tan2αtan2α＝－1.
(4)已知csπ6−α＝23，则sin α−2π3＝ ．
－23 解析：sin α−2π3＝sin −π2−π6−α＝－sin π2+π6−α＝－cs π6−α＝－23．
1．诱导公式的两个应用口诀
(1)求值：负化正，大化小，化到锐角就终了．
(2)化简：统一角，统一名，同角名少目的到．
2．诱导公式的应用步骤
,任意负
角的三
角函数 利用诱导公@式一或三 ,任意正
角的三
角函数 利用诱导@公式一 ,0～2π内
的角的三
角函数 利用诱导公式二@或四或五或六 ,锐角三
角函数
1．(2024 ·宁波模拟)已知tan α＝3，则sinπ−α+2csπ+αsinπ2+α+cs3π2+α＝( )
A．－12 B．14
C．54 D．12
B 解析：sinπ−α+2csπ+αsinπ2+α+cs3π2+α＝sinα−2csαcsα+sinα＝tanα−21+tanα．将tan α＝3代入，得原式＝3−21+3＝14．
2．(多选题)在△ABC中，下列等式一定成立的是( )
A．sin A+B2＝ －cs C2
B．sin (2A＋2B)＝－cs 2C
C．tan (A＋B)＝－tan C
D．sin (A＋B)＝sin C
CD 解析：sin A+B2＝sin π2−C2＝cs C2，故A错误；
sin (2A＋2B)＝sin [2(π－C)]＝sin (2π－2C)＝－sin 2C，故B错误；
tan (A＋B)＝tan (π－C)＝－tan C，故C正确；
sin (A＋B)＝sin (π－C)＝sin C，故D正确．
3．已知sin α−π12＝13，则cs α+17π12的值为 ．
13 解析：由sin α−π12＝13，得cs α+17π12＝cs α−π12+3π2＝sin α−π12＝13．
4．已知f (α)＝csπ2+αsin3π2−αcs−π−αtanπ−α，则f−25π3的值为 ．
12 解析：因为f (α)＝csπ2+αsin3π2−αcs−π−αtanπ−α-sin α(-cs α))/((-cs α)(-〖(sin α)/(cs α)〗))〗＝cs α，
所以f −25π3＝cs −25π3＝cs π3＝12．
[试题呈现]
已知3cs x＋4sin x＝5，求tan x的值．
[四字程序]
[一题多解]
思路参考：解方程组3csx+4sinx=5， sin2x+cs2x=1，
解：由sin2x+cs2x=1， 3csx+4sin x=5，
得9sin2x+9cs2x=9，3csx=5−4sinx，
消去cs x，整理得(5sin x－4)2＝0，
解得sin x＝45，cs x＝35．
故tan x＝sinxcsx＝43．
思路参考：注意到3cs x＋4sin x的最大值为5，利用辅助角公式推出x与辅助角的关系．
解：3cs x＋4sin x＝545sinx+35csx＝5sin (x＋φ)＝5，
其中cs φ＝45，sin φ＝35，
所以tan φ＝34，
所以x＋φ＝2kπ＋π2(k∈Z)，
所以tan x＝tan 2kπ+π2−φ＝1tanφ＝43．
思路参考：令tan x＝t，借助已知条件用t表示sin x和cs x.
解：令tan x＝t，即t cs x＝sin x，
代入3cs x＋4sin x＝5，
得3cs x＋4t cs x＝5，
所以cs x＝54t+3，sin x＝5t4t+3．
再代入sin2x＋cs2x＝1，
得5t4t+32＋54t+32＝1，
解得t＝43，即tanx＝43．
思路参考：设P(m，n)为角x终边上任意一点，r＝m2+n2，利用三角函数的定义求解．
解：设P(m，n)为角x终边上任意一点，点P到原点O的距离为r，则r＝m2+n2.
把sin x＝nr，cs x＝mr代入已知等式，
得3·mr＋4·nr＝5，
即(3m＋4n)2＝(5r)2＝25(m2＋n2)，
整理得(4m－3n)2＝0，所以4m＝3n.
显然m≠0，故tan x＝nm＝43．
思路参考：直线3x＋4y＝5与单位圆x2＋y2＝1相切，设点A(cs x，sin x)是直线3x＋4y＝5与单位圆x2＋y2＝1的切点，而tan x＝kOA．
解：由3cs x＋4sin x＝5，可知点A(cs x，sin x)在直线3x＋4y＝5上，同时也在单位圆x2＋y2＝1上，且圆心到直线的距离d＝532+42＝1，所以点A为直线3x＋4y＝5与单位圆的切点．
由于直线3x＋4y＝5的斜率为－34，所以OA的斜率为43，即tan x＝43．
思路参考：令m＝(cs x，sin x)，n＝35，45，证明 m∥n.
解：因为35cs x＋45sin x＝1，不妨令m＝(cs x，sin x)，n＝35，45，可知|m|＝1，|n|＝1，
所以m，n均为单位向量，且m·n＝1.
由|m||n|≥|m·n|等号成立的条件为m∥n，
得45cs x＝35sin x，即tan x＝43．
课时质量评价(二十二)
1．(多选题)若cs (π－α)＝－12，则( )
A．sin (－α)＝32
B．sin π2+α＝－32
C．cs (π＋α)＝－12
D．cs (α－π)＝－12
CD 解析：由cs (π－α)＝－12，得cs α＝12，则sin α＝±32．
A．sin (－α)＝－sin α＝±32，所以不正确．
B．sin π2+α＝cs α＝12，所以不正确．
C．cs (π＋α)＝－cs α＝－12，所以正确．
D．cs (α－π)＝cs (π－α)＝－12，所以正确．
故选CD.
2．(2024·冀州模拟)若sin 5π2+α＝15，则cs (π＋α)＝( )
A．－25 B．－15
C．15D．25
B 解析：因为sin 5π2+α＝sin 2π+π2+α＝sin π2+α＝cs α＝15，
所以cs (π＋α)＝－cs α＝－15．
3．已知角A，B，C为△ABC的三个内角，若sin A+B−C2＝sin A−B+C2，则△ABC一定是( )
A．等腰直角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等腰或直角三角形
C 解析：因为sin A+B−C2＝sin A−B+C2，A＋B＋C＝π，
所以sin π−2C2＝sin π−2B2，可得cs C＝cs B.
又因为B，C∈(0，π)，
所以C＝B，c＝b，则△ABC一定是等腰三角形．
4．(多选题)(2024·青岛模拟)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cs θ＝15，则下列结论正确的是( )
A．sin θ＝45B．cs θ＝－35
C．tan θ＝－34D．sin θ－cs θ＝75
ABD 解析：由题意知sin θ＋cs θ＝15，
所以(sin θ＋cs θ)2＝1＋2sin θcs θ＝125，
所以2sin θcs θ＝－2425＜0.
又因为θ∈(0，π)，所以π2＜θ＜π，
所以sin θ－cs θ＞0，
所以sin θ－cs θ＝1−2sinθcsθ＝1−−2425＝4925＝75，所以sin θ＝45，cs θ＝－35．所以tan θ＝－43．故A，B，D正确．
5．已知sin 3π2−α＋cs (π－α)＝sin α，则2sin2α－sinαcs α等于( )
A．2110B．32
C．32D．2
D 解析：由诱导公式可得sin α＝sin 3π2−α＋cs (π－α)＝－2cs α，所以tan α＝－2，所以2sin2α－sinαcs α＝2sin2α−sinαcsαsin2α+cs2α2tan2α−tanαtan2α+1105＝2.
6．已知sinπ2+α＝－45，那么tan α·sin α＝ ．
－920 解析：因为sin π2+α＝－45，所以cs α＝－45，sin2α＝1－cs2α＝1－1625＝925，所以tanα·sin α＝sin2αcsα925−45＝－920．
7．已知sin −π2−αcs −7π2+α＝1225，且0＜α＜π4，则sin α＝ ，cs α＝ ．
35 45 解析：sin −π2−αcs −7π2+α＝－cs α·(－sin α)＝sin αcs α＝1225．因为0＜α＜π4，所以0＜sin α＜cs α.又因为sin2α＋cs2α＝1，所以sinα＝35，cs α＝45．
8．(2024·长沙模拟)已知sin π4−α＝35，且π4－α为第二象限角，则sin α−13π4＋sin α+21π4＝ ．
75 解析：因为sin π4−α＝35，且π4－α为第二象限角，所以cs π4−α＝－45，
所以sin α−13π4＋sin α+21π4
＝sin α+3π4＋sin α−3π4
＝sin π4−α－cs π4−α
＝35－−45＝75．
9．已知α为第三象限角，f (α)＝sinα−π2·cs3π2+α·tanπ−αtan−α−π·sin−α−π．
(1)化简f (α)；
(2)若cs α−3π2＝15，求f (α)的值．
解：(1)f (α)＝sinα−π2·cs3π2+α·tanπ−αtan−α−π·sin−α−π
＝−csα·sinα·−tanα−tanα·sinα＝－cs α.
(2)因为cs α−3π2＝15，
所以－sin α＝15，
从而sin α＝－15．
又α为第三象限角，
所以cs α＝－1−sin2α＝－265，
所以f (α)＝－csα＝265．
10．(2024·郑州模拟)已知角α∈−π2，0，且tan2α－3tanαsin α－4sin2α＝0，则sin(α＋2 023π)等于( )
A．154B．14
C．－34D．－154
A 解析：因为tan2α－3tanαsin α－4sin2α＝0，所以(tanα－4sin α)(tan α＋sin α)＝0.因为α∈−π2，0，所以tan α＜0且sin α＜0，所以tan α－4sin α＝0，即sinαcsα＝4sin α，所以cs α＝14，所以sin α＝－1−cs 2α＝－154，
所以sin (α＋2 023π)＝－sin α＝154．
11．(数学与生活)黑洞原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再出来．数字中也有类似的“黑洞”，任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新数字串；重复以上的工作，最后会得到一个反复出现的数字，我们称它为“数字黑洞”．如果把这个数字设为a，则sin aπ2+π6等于( )
A．12 B．－12
C．32D．－32
D 解析：根据数字黑洞的定义，任取数字2 021，经过第一步之后变为314，经过第二步之后变为123，再变为123……
所以数字黑洞为123，即a＝123，
所以sin aπ2+π6＝sin 123π2+π6
＝－cs π6＝－32．
12．(多选题)定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ＋φ＝π2，则称θ与φ“广义互余”．已知sin (π＋α)＝－14，下列角β中，可能与角α“广义互余”的是( )
A．sin β＝154B．cs (π＋β)＝14
C．tan β＝15D．tan β＝155
AC 解析：因为sin (π＋α)＝－sin α＝－14，
所以sin α＝14，cs α＝±154．若α＋β＝π2，则β＝π2－α.
A中，sin β＝sin π2−α＝cs α＝±154，故A符合条件；
B中，cs (π＋β)＝－cs π2−α＝－sin α＝－14，故B不符合条件；
C中，tan β＝15，即sin β＝15cs β，又sin2β＋cs2β＝1，故sinβ＝±154，故C符合条件；
D中，tan β＝155，即sin β＝155cs β，又sin2β＋cs2β＝1，故sinβ＝±64，故D不符合条件．
13．(2023·全国乙卷)若θ∈0，π2，tan θ＝12，则sin θ－cs θ＝ ．
－55 解析：因为θ∈0，π2，则sin θ＞0，cs θ＞0.
又因为tan θ＝sinθcsθ＝12，则cs θ＝2sin θ，
所以cs2θ＋sin2θ＝4sin2θ＋sin2θ＝5sin2θ＝1，解得sinθ＝55或sin θ＝－55(舍去)，
所以sin θ－cs θ＝sin θ－2sin θ＝－sin θ＝－55．
14．是否存在α∈−π2，π2，β∈(0，π)使等式sin (3π－α)＝2cs π2−β，3cs (－α)＝－2cs (π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．
解：存在．假设存在角α，β满足条件．
由已知条件可得sinα=2sinβ①，3csα=2csβ②，
由①2＋②2，得sin2α＋3cs2α＝2，
所以sin2α＝12，所以sinα＝±22．
因为α∈−π2，π2，所以α＝±π4．
当α＝π4时，由②式知cs β＝32，
又β∈(0，π)，所以β＝π6，此时①式成立；
当α＝－π4时，由②式知cs β＝32，
又β∈(0，π)，所以β＝π6，此时①式不成立，故舍去．
所以存在α＝π4，β＝π6使等式同时成立．
15．已知f (x)＝cs2nπ+x·sin2nπ−xcs22n+1π−x(n∈Z)．
(1)化简f (x)的表达式；
(2)求f π2018＋f 504π1 009的值．
解：(1)当n为偶数，即n＝2k(k∈Z)时，
f (x)＝cs22kπ+x·sin22kπ−xcs22×2k+1π−x
＝cs2x·sin2−xcs2π−x＝cs2x·−sinx2−csx2＝sin2x；
当n为奇数，即n＝2k＋1(k∈Z)时，
f (x)＝cs22k+1π+x·sin22k+1π−xcs22×2k+1+1π−x
＝cs22kπ+π+x·sin22kπ+π−xcs22×2k+1π+π−x
＝cs2π+x·sin2π−xcs2π−x
＝−csx2sin2x−csx2
＝sin2x.
综上可得f (x)＝sin2x.
(2)由(1)得f π2018＋f 504π1 009
＝sin2π2018＋sin21008π2 018
＝sin2π2018＋sin2π2−π2018
＝sin2π2018＋cs2π2018＝1.
公式
一
二
三
四
五
六
角
α＋k·
2π
(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
π2－α
π2＋α
正弦
sin α
－sin α
－sin α
sin α
cs α
cs α
余弦
cs α
－cs α
cs α
－cs α
sin α
－sin α
正切
tan α
tan α
－tan α
－tan α
口诀
函数名不变，符号看象限
函数名改变，
符号看象限
读
3cs x＋4sin x＝5，求tan x的值
想
1.sin2x＋cs2x＝1，tanx＝sinxcsx．
2．3cs x＋4sin x的最大值为5.
3．点A(cs x，sin x)在直线3x＋4y＝5上
算
1.联立3cs x＋4sin x＝5与sin2x＋cs2x＝1.
2．3csx＋4sin x＝5sin (x＋φ)
思
1.tan x可看作直线的斜率．
2．将已知条件变为35cs x＋45sin x＝1