人教A版普通高中数学一轮复习第四章第三节三角恒等变换学案

这是一份人教A版普通高中数学一轮复习第四章第三节三角恒等变换学案，共27页。学案主要包含了常用结论等内容，欢迎下载使用。
2．会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．
3．能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆)．
自查自测
知识点一 两角和与差的余弦、正弦、正切公式
1．判断下列说法的正误，正确的打“√”，错误的打“×”．
(1)存在α，β，使等式sin (α＋β)＝sin α＋sin β.( √ )
(2)两角和与差的正切公式中的角α，β是任意角．( × )
(3)公式tan (α＋β)＝tanα+tanβ1−tanαtanβ可以变形为tan α＋tan β＝tan (α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．( × )
(4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( √ )
2．sin 20°cs 10°－cs 160°sin 10°等于( )
A．－32 B．32
C．－12 D．12
D 解析：原式＝sin 20°cs 10°＋cs 20°sin 10°＝sin (20°＋10°)＝sin 30°＝12．
3．(教材改编题)已知α∈π2，π，且sin α＝45，则 tan α+π4的值为 ．
－17 解析：因为α∈π2，π，且sin α＝45，
所以cs α＝－1−452＝－35，tan α＝sinαcsα＝45−35＝－43．
所以tan α+π4＝tanα+tanπ41−tanαtanπ4＝−43+11−−43×1＝－17．
核心回扣
自查自测
知识点二 倍角公式与半角公式
1．1−cs 100°2的值等于( )
A．sin 40°B．sin 50°
C．cs 130°D．±cs 50°
B 解析：1−cs100°2＝|sin 50°|，因为sin 50°＞0，所以原式＝sin 50°.
2．若角α满足sin α＋2cs α＝0，则tan 2α等于( )
A．－43 B．34
C．－34D．43
D 解析：由题意知，tan α＝－2，所以tan 2α＝2tanα1−tan2α＝43．
3．(教材改编题)若α为第二象限角，sinα＝513，则sin 2α等于 ．
－120169 解析：因为α为第二象限角，sin α＝513，
所以cs α＝－1−sin2α＝－1−5132＝－1213，
所以sin2α＝2sin αcs α＝2×513×−1213＝－120169．
核心回扣
1．二倍角公式
sin 2α＝2sin αcs α；
cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α；
tan2α＝2tanα1−tan2α．
2．半角公式
sinα2＝± 1−csα2；
cs α2＝± 1+csα2；
tan α2＝± 1−csα1+csα.
【常用结论】
1．公式变形
(1)降幂公式：cs2α＝1+cs2α2in2α＝1−cs2α2in αcs α＝12sin 2α.
(2)升幂公式：cs 2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α；1＋sinα＝sinα2+csα22；
1－sin α＝sinα2−csα22.
(3)tan α±tan β＝tan (α±β)(1∓tan αtan β)；
tan αtan β＝1－tanα+tanβtanα+β＝tanα−tanβtanα−β－1.
2．半角正切公式的有理形式：tan α2＝sinα1+csα＝1−csαsinα．
3．万能公式：sin α＝2tanα21+tan2α2；csα＝1−tan2α21+tan2α2；tanα＝2tanα21−tan2α2．
4．辅助角公式：a sinx＋b cs x＝a2+b2sin (x＋φ)其中tanφ=ba，可以将其看作和角公式的逆用．
应用1 sin20°cs20°cs2155°−sin2155°的值是( )
A．12 B．－12
C．32D．－32
A 解析：原式＝12sin40°cs310°12sin40°cs50°＝12sin40°sin40°＝12．
应用2 若将sin x－3cs x写成2sin (x－φ)的形式，其中0≤φ＜π，则φ＝ ．
π3 解析：因为sin x－3cs x＝212sinx−32csx＝2sin (x－φ)＝2(sin x cs φ－cs x sin φ)，
所以cs φ＝12，sin φ＝32．
因为0≤φ＜π，所以φ＝π3．
应用3 tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°的值等于 ．
1 解析：原式＝tan 10°tan 20°＋tan 60°(tan 20°＋tan 10°)＝tan 10°tan 20°＋3tan (20°＋10°)(1－tan 20°·tan 10°)＝tan 10°tan 20°＋1－tan 20°tan 10°＝1.
公式的简单应用
1．(2024·济宁模拟)1−tan15°1+tan15°的值为( )
A．1B．3
C．33D．22
C 解析：1−tan15°1+tan15°＝tan45°−tan15°1+tan45°tan15°＝tan (45°－15°)＝tan 30°＝33．
2．(2023·新高考全国Ⅱ卷)已知α为锐角，cs α＝1+54，则sin α2＝( )
A．3−58 B．−1+58
C．3−54 D．−1+54
D 解析：因为cs α＝1－2sin2α2＝1+54，且α为锐角，解得sinα2＝3−58＝5−1216＝5−14．
3．(2021·全国甲卷)若α∈0，π2，tan 2α＝csα2−sinα，则tan α等于( )
A．1515 B．55
C．53 D．153
A 解析：(方法一)因为tan 2α＝sin2αcs2α＝2sinαcsα1−2sin2α，且tan2α＝csα2−sinα，
所以2sinαcsα1−2sin2α＝csα2−sinα得sin α＝14．
因为α∈0，π2，
所以cs α＝154，tan α＝sinαcsα＝1515．
(方法二)因为tan 2α＝2tanα1−tan2α＝2sinαcsα1−sin2αcs2α2sinαcsαcs2α−sin2α2sinαcsα1−2sin2α，且tan2α＝csα2−sinα，所以2sinαcsα1−2sin2α＝csα2−sinα得sin α＝14．
因为α∈0，π2，
所以cs α＝154，tan α＝sinαcsα＝1515．
4．tan 10°＋tan 50°＋3tan 10°tan 50°＝ ．
3 解析：因为tan 60°＝tan (10°＋50°)
＝tan10°+tan50°1−tan10°tan50°，
所以tan 10°＋tan 50°＝tan 60°(1－tan 10°tan 50°)＝3−3tan 10°tan 50°，
故原式＝3−3tan 10°tan 50°＋3tan 10°tan 50°＝3.
三角函数公式的应用策略
(1)熟悉各个公式的结构特征，明确待求目标能与哪个公式联系．
(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．
三角函数的化简求值问题
考向1 给值求值问题
【例1】(1)(2024·南宁模拟) 已知cs α＝－35，α是第三象限角，则cs π4+α的值为( )
A．210B．－210
C．7210D．－7210
A 解析：因为cs α＝－35，α是第三象限角，所以sin α＝－1−cs2α＝－1−−352＝－45，
所以csπ4+α＝cs π4cs α－sin π4sin α＝22×−35－22×−45＝210．
(2)已知sin θ＋sin θ+π3＝1，则sin θ+π6＝( )
A．12 B．33
C．23D．22
B 解析：因为sin θ＋sin θ+π3＝32sin θ＋32cs θ＝3sin θ+π6＝1，所以sin θ+π6＝33．
“给值求值”关键在于“变角”，使待求角与已知角相同或具有某种关系．
考向2 给值求角问题
【例2】(1)已知α，β∈(0，π)且tan α＝12，cs β＝－1010，则α＋β＝( )
A．π4 B．3π4
C．5π6D．5π4
B 解析：由题可知α∈0，π2，β∈π2，π，故sin β＞0，sin β＝1−cs2β＝31010，tanβ＝sin βcs β＝－3.又α＋β∈π2，3π2，所以tan (α＋β)＝tan α+tan β1−tanαtan β＝12+−31−12×−3＝－1，所以α＋β＝3π4．
(2)(2024·济南模拟)已知sin α＝55，sin (α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则β等于( )
A．5π12 B．π3
C．π4 D．π6
C 解析：因为α，β均为锐角，即0＜α＜π2，0＜β＜π2，
所以－π2＜α－β＜π2．
因为sin (α－β)＝－1010，
所以cs (α－β)＝31010．
又sin α＝55，所以cs α＝255，
所以sin β＝sin [α－(α－β)]
＝sin αcs (α－β)－cs αsin (α－β)
＝55×31010－255×−1010＝22．
所以β＝π4．
给值求角的方法
依条件求出所求角的范围，选择一个在角的范围内严格单调的三角函数求值．
已知sin (α－β)＝13，cs αsin β＝16，则cs (2α＋2β)的值为( )
A．79 B．19
C．－19 D．－79
B 解析：由题意，得sinαcsβ−csαsinβ=13，csαsinβ=16， 所以sin αcs β＝12，所以sin (α＋β)＝sin αcs β＋cs αsin β＝12＋16＝23，所以cs (2α＋2β)＝1－2sin2(α＋β)＝1－2×232＝19．故选B.
三角函数角的变换与式的变换
考向1 三角函数角的变换
【例3】(1)已知sinα+π4＝45，α∈π4，π2，则cs α＝( )
A．210 B．3210
C．22D．7210
A 解析：由α∈π4，π2，得α＋π4∈π2，3π4，则cs α+π4＝－1−sin2α+π4 ＝－35，所以csα＝cs α+π4−π4＝cs α+π4cs π4＋sin α+π4sin π4＝－35×22＋45×22＝210．
(2)(2024·青岛模拟)已知π2＜β＜α＜3π4，cs (α－β)＝1213，sin (α＋β)＝－35，则cs 2α的值为 ．
－3365 解析：因为π2＜β＜3π4，所以－3π4＜－β＜－π2．
又因为π2＜α＜3π4，所以－π4＜α－β＜π4．
因为α＞β，所以α－β＞0，所以0＜α－β＜π4．
因为cs (α－β)＝1213，所以sin (α－β)＝ 1−12132＝513．
因为π2＜α＜3π4，π2＜β＜3π4，所以π＜α＋β＜3π2．
因为sin (α＋β)＝－35，所以cs (α＋β)＝－1−−352＝－45．
所以cs 2α＝cs [(α－β)＋(α＋β)]＝cs (α－β)cs (α＋β)－sin (α－β)sin (α＋β)＝1213×−45－513×−35＝－3365．
[变式] 本例(1)中已知条件不变，则cs α−π12＝ ．
43−310 解析：由α∈π4，π2，得α＋π4∈π2，3π4，
则cs α+π4＝－1−sin2α+π4 ＝－35，
所以csα−π12＝cs α+π4−π3
＝cs α+π4cs π3＋sin α+π4sin π3
＝－35×12＋45×32＝43−310．
常见的配角技巧
(1)2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α+β2－α−β2，α＝α+β2＋α−β2，α−β2＝α+β2－α2+β等．
(2)当“已知角”有一个时，此时寻找“所求角”与“已知角及特殊角”的和或差的关系，再应用诱导公式将“所求角”用“已知角、特殊角”表示．
考向2 三角函数式的变换
【例4】(1)已知cs α+π6－sin α＝435，则sin α+11π6的值是( )
A．－235B．－45
C．235D．45
B 解析：因为cs α+π6－sin α＝435，
所以32cs α－32sin α＝435，
则12cs α－32sin α＝cs α+π3＝45，
所以sin α+11π6＝sin 3π2+α+π3
＝－cs α+π3＝－45．
(2)已知sin π5−α＝14，则cs 2α+3π5＝ ．
－78 解析：由题意得cs 2π5−2α＝cs 2π5−α＝1－2sin2π5−α＝1－18＝78，则cs2α+3π5＝－cs π−2α+3π5＝－cs 2π5−2α＝－78．
三角函数式的变换问题的关注点
(1)关键：明确各个三角函数名称之间的联系，进行恰当的弦切互化．
(2)常用公式：诱导公式、同角三角函数的基本关系．
1．已知cs θ−π12＝33，则sin 2θ+π3＝( )
A．－29B．－13
C．29D．13
B 解析：因为2θ＋π3＝2θ−π12＋π2，
所以sin 2θ+π3＝sin 2θ−π12+π2
＝cs 2θ−π12＝2cs2θ−π12－1
＝2×332－1＝－13．
2．已知tan(α＋β)＝3，tan β＝2，则sin5π2−αsinπ+α＝ ．
－7 解析：因为tan (α＋β)＝3，tan β＝2，tan (α＋β)＝tanα+tanβ1−tanαtanβ，所以tanα+21−2tanα＝3，解得tan α＝17，所以sin5π2−αsinπ+α＝sinπ2−α−sinα＝－csαsinα＝－1sinαcsα＝－1tanα＝－7.
三角函数恒等变换的综合应用
【例5】已知函数f (x)＝23sin x cs x－2cs2x＋1(x∈R)．若f (x0)＝65，x0∈0，π3，求cs2x0的值．
解：f (x)＝23sin x cs x－2cs2x＋1
＝3(2sinx cs x)－(2cs2x－1)
＝3sin2x－cs 2x＝2sin 2x−π6．
由题意知f (x0)＝2sin 2x0−π6 ＝65，
所以sin 2x0−π6 ＝35．
又x0∈0，π3，所以2x0－π6∈−π6，π2，
所以cs 2x0−π6 ＝45，
所以cs 2x0＝cs 2x0−π6 +π6
＝cs 2x0−π6 cs π6－sin 2x0−π6 sin π6
＝45×32－35×12＝43−310．
三角恒等变换的应用
形如af 2(x)＋b sin x cs x＋k(ab≠0)(其中f (x)是正弦函数或余弦函数)型的化简问题，主要是逆用二倍角公式及辅助角公式，将所给函数化为只含一个角的正弦型或余弦型三角函数的形式．
已知函数f (x)＝12sin x cs x－12cs2x＋14．
若f α2＝25，求sin2α的值．
解：f (x)＝14sin 2x－12×1+cs2x2＋14
＝14sin 2x－14cs 2x＝24sin 2x−π4．
因为f α2＝25，所以24sin α−π4＝25，
所以sin α−π4＝45，
sin 2α＝sin 2α−π4+π2
＝cs 2α−π4＝1－2sin2α−π4
＝1－2×452＝－725．
勾股关系视角下的恒等变换
同角三角函数基本关系主要研究平方关系与商数关系，平方关系是核心，而平方关系反映出来的就是勾股关系．在高考中出现频率较高的勾股数有12组，其中全为整数的有(3，4，5)，(5，12，13)，(6，8，10)，(7，24，25)，(8，15，17)，含根式的有(1，1，2)，(1，3，2)，(1，2，5)，(1，3，10)，(1，7，52)，(1，43，7)，(53，11，14)，三角恒等变换本质上是研究这些勾股数之间的关系．熟记常用的勾股数，能起到事半功倍的效果．
[典题展示]
已知θ是第四象限角，且sinθ+π4＝35，则tan θ−π4＝ ．
思路展示 (方法一)cs θ−π4＝sin π2+θ−π4＝sin θ+π4＝35，
因为θ是第四象限角，所以－π2＋2kπ＜θ＜2kπ(k∈Z)，
所以－3π4＋2kπ＜θ－π4＜－π4＋2kπ(k∈Z)，
所以sin θ−π4＝－1−cs2θ−π4 ＝－45，
所以tanθ−π4＝sinθ−π4csθ−π4＝－43．
(方法二)由sin θ+π4＝35及θ是第四象限角，可得cs θ+π4＝45，
故sin θ＝sin θ+π4−π4
＝sin θ+π4cs π4－cs θ+π4sin π4
＝35×22－45×22
＝－210，
故cs θ＝7210，tan θ＝－17，
所以tan θ−π4＝tanθ−11+tanθ＝－43．
勾股关系视角下的恒等变换主要是已知sin α或cs α中的一个，利用sin2α＋cs2α＝1来求另一个．
[试题呈现]
已知tanαtanα+π4＝－23，求sin 2α+π4的值．
[四字程序]
[一题多解]
思路参考：利用同角三角函数关系求值．
解：由tanαtanα+π4＝tanαtanα+11−tanα＝－23，解得tan α＝－13或tan α＝2.
当tan α＝－13时，α可能为第二象限角或第四象限角．
若α为第二象限角，
则sin α＝110，cs α＝－310，
所以sin 2α＝－35，cs 2α＝45．
若α为第四象限角，
则sin α＝－110，cs α＝310，
所以sin 2α＝－35，cs 2α＝45．
所以sin 2α+π4＝22(sin 2α＋cs 2α)
＝22×−35+45＝210．
当tan α＝2时，α可能为第一象限角或第三象限角．
若α为第一象限角，
则sin α＝25，cs α＝15，
所以sin 2α＝45，cs 2α＝－35．
若α为第三象限角，
则sin α＝－25，cs α＝－15，
所以sin 2α＝45，cs 2α＝－35．
所以sin 2α+π4＝22(sin 2α＋cs 2α)＝210．
综上所述，sin 2α+π4＝210．
思路参考：根据万能公式sin 2α＝2tanα1+tan2α，cs2α＝1−tan2α1+tan2α求值．
解：由tanαtanα+π4tanαtanα+11−tanα＝－23，
解得tan α＝－13或tan α＝2.
根据万能公式sin 2α＝2tanα1+tan2α，cs2α＝1−tan2α1+tan2α，
可得当tanα＝－13时，sin 2α＝－35，cs 2α＝45，
sin 2α+π4＝22(sin 2α＋cs 2α)＝210；
当tan α＝2时，sin 2α＝45，cs 2α＝－35，
sin 2α+π4＝22(sin 2α＋cs 2α)＝210．
综上所述，sin 2α+π4＝210．
思路参考：利用同角三角函数基本关系中“1”的代换．
解：由tanαtanα+π4＝tanαtanα+11−tanα＝－23，
解得tan α＝－13或tan α＝2.
sin 2α+π4＝22(sin 2α＋cs 2α)
＝22(2sin αcs α＋cs2α－sin2α)
＝22×2sinαcsα+cs2α−sin2αsin2α+cs2α22×2tanα+1−tan2αtan2α+1将tanα＝－13或tan α＝2代入上式均有sin 2α+π4＝210．
思路参考：把正切转化为正弦、余弦的比值，得到α与α＋π4的正弦值、余弦值的关系．
解：因为tanαtanα+π4＝sinαcsα+π4csαsinα+π4＝－23，
所以sin αcs α+π4＝－23cs αsin α+π4①.
又π4＝α+π4－α，
所以sin π4＝sin α+π4−α
＝sin α+π4cs α－cs α+π4sin α＝22②.
由①②，得cs αsin α+π4＝3210，
sin αcs α+π4＝－25．
把2α＋π4拆分为α＋α+π4，可得
sin 2α+π4＝sin α+α+π4
＝sin αcs α+π4＋cs αsin α+π4＝210．
课时质量评价(二十三)
1．(2024·海口模拟)若tan α·tan β＝2，则csα−βcsα+β的值为( )
A．－3B．－13
C．13D．3
A 解析：由题意，得csα−βcsα+β＝csαcsβ+sinαsinβcsαcsβ−sinαsinβ＝1+tanαtanβ1−tanαtanβ＝1+21−2＝－3.
2．在单位圆中，已知角α的终边与单位圆交于点P12，32，现将角α的终边按逆时针方向旋转π3，记此时角α的终边与单位圆交于点Q，则点Q的坐标为( )
A．−32，12B．−12，32
C．(1，0)D．(0，1)
B 解析：由三角函数的定义知，sin α＝32，cs α＝12，将角α的终边按逆时针方向旋转π3所得的角为α＋π3，故点Q的横坐标为cs α+π3＝cs αcs π3－sin αsin π3＝－12，
点Q的纵坐标为sin α+π3＝sin αcs π3＋cs αsin π3＝32，故点Q的坐标为−12，32．
3．(数学与文化)公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派在研究正五边形和正十边形的作图时，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin 18°.若4m2＋n＝16，则mn2cs227°−1的值为( )
A．1B．2
C．4D．8
C 解析：因为m＝2sin18°，
由4m2＋n＝16，可得n＝16－4(2sin 18°)2＝16cs218°，
所以mn2cs227°−1＝2sin18°·4cs18°cs54°4sin36°cs54°＝4cs54°cs54°＝4.
4．已知α，β∈π3，5π6，若sin α+π6＝45，cs β−5π6＝513，则sin (α－β)的值为( )
A．1665 B．3365
C．5665 D．6365
A 解析：由题意可得α＋π6∈π2，π，β－5π6∈−π2，0，所以cs α+π6＝－35，sin β−5π6＝－1213，
所以sin (α－β)＝－sin α+π6−β−5π6＝－45×513＋−35×−1213＝1665．
5．(多选题)(2024·合肥模拟)下列计算结果正确的是( )
A．cs (－15°)＝6−24
B．sin 15°sin 30°sin 75°＝18
C．cs (α－35°)cs (25°＋α)＋sin (α－35°)·sin (25°＋α)＝－12
D．2sin 18°cs 36°＝12
BD 解析：对于A，cs (－15°)＝cs 15°＝cs (45°－30°)＝cs 45°cs 30°＋sin 45°sin 30°＝6+24，所以A错误；
对于B，sin 15°sin 30°sin 75°＝sin 15°sin 30°·cs 15°＝12sin 15°cs 15°＝14sin 30°＝18，所以B正确；
对于C，cs (α－35°)cs (25°＋α)＋sin (α－35°)·sin (25°＋α)＝cs [(α－35°)－(25°＋α)]＝cs (－60°)＝cs 60°＝12，所以C错误；
对于D，2sin 18°cs 36°＝2cs 72°cs 36°＝2×sin144°2sin72°×sin72°2sin36°＝sin36°2sin36°＝12，所以D正确．
6．sin12°2cs212°−13−tan12°＝ ．
18 解析：因为sin12°2cs 212°−13−tan12°＝sin12°cs12°cs24°3cs12°−sin12°＝14sin48°2sin48°＝18．
7．(2024·威海模拟)已知α∈π，3π2，若tan α+π3＝－2，则cs α+π12＝ ．
－1010 解析：因为α∈π，3π2，则α＋π3∈4π3，11π6．又tan α+π3＝－2＜0，故α＋π3∈3π2，11π6，则cs α+π3＝55，sin α+π3＝－255，
故cs α+π12＝cs α+π3−π4＝cs α+π3·cs π4＋sin α+π3sin π4＝55×22＋−255×22＝－1010．
8．已知sin α＝210，cs β＝31010，且α，β为锐角，则α＋2β＝ ．
π4 解析：因为sin α＝210，且α为锐角，所以cs α＝1−sin2α＝1−2100＝7210．因为csβ＝31010，且β为锐角，所以sin β＝1−cs2β＝1−90100＝1010，那么sin2β＝2sin βcs β＝2×1010×31010＝35，cs 2β＝1－2sin2β＝1－2×10102＝45，所以cs(α＋2β)＝cs αcs 2β－sin αsin 2β＝7210×45－210×35＝22．因为α∈0，π2，β∈0，π2，所以2β∈(0，π)，所以α＋2β∈0，3π2，故α＋2β＝π4．
9．已知2sin α＝2sin2α2－1.
(1)求sin αcs α＋cs 2α的值；
(2)已知α∈(0，π)，β∈0，π2，且tan2β－6tan β＝1，求α＋2β的值．
解：(1)由已知得2sin α＝－cs α，所以tan α＝－12，则sin αcs α＋cs 2α＝sinαcsα+cs2α−sin2αsin2α+cs2α＝tanα+1−tan2αtan2α+115．
(2)由tan2β－6tanβ＝1，可得tan 2β＝2tanβ1−tan2β＝－13，则tan(α＋2β)＝tanα+tan2β1−tanαtan2β＝−12−131−−12×−13＝－1.
因为β∈0，π2，所以2β∈(0，π)．
又tan 2β＝－13＞－33，则2β∈5π6，π．
因为α∈(0，π)，tan α＝－12＞－33，则α∈5π6，π，则α＋2β∈5π3，2π，所以α＋2β＝7π4．
10．(数学与生活)所谓人脸识别，就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法．假设二维空间中有两个点A(x1，y1)，B(x2，y2)，O为坐标原点，余弦相似度为向量OA，OB夹角的余弦值，记作cs (A，B)，余弦距离为1－cs (A，B)．已知P(cs α，sin α)，Q(cs β，sin β)，R(cs α，－sin α)，若P，Q的余弦距离为13，Q，R的余弦距离为12，则tan α·tan β＝( )
A．17 B．14
C．4D．7
A 解析：由OP＝(cs α，sin α)，OQ＝(cs β，sin β)，OR＝(cs α，－sin α)，
得cs (P，Q)＝OP·OQOPOQ＝cs αcs β＋sin αsin β＝cs (α－β)，
cs (Q，R)＝OQ·OROQOR＝cs αcs β－sin αsin β＝cs (α＋β)，
所以1−csα−β=13，1−csα+β=12，故csα−β=23，csα+β=12，
则csα−βcsα+β＝csαcsβ+sinαsinβcsαcsβ−sinαsinβ＝1+tanαtanβ1−tanαtanβ＝43，整理得tan αtan β＝17．
11．(2024·1月九省适应性测试)已知θ∈3π4，π，tan 2θ＝－4tan θ+π4，则1+sin2θ2cs2θ+sin2θ=( )
A．14 B．34
C．1D．32
A 解析：由tan 2θ＝－4tan θ+π4，
得2tanθ1−tan2θ＝−4tanθ+11−tanθ－4(tan θ＋1)2＝2tan θ，
即(2tan θ＋1)(tan θ＋2)＝0，解得tan θ＝－2或tan θ＝－12．
因为θ∈3π4，π，所以tan θ∈(－1，0)，所以tan θ＝－12，
故1+sin2θ2cs2θ+sin2θ=sin2θ+cs2θ+2sinθcsθ2cs2θ+2sinθcsθ=tan^2 θ+1+2tanθ2+2tan θ＝14+1−12−1＝14．
故选A．
12．(多选题)(2024·武汉模拟)下列结论正确的是( )
A．sin (α－β)sin (β－γ)－cs (α－β)cs (γ－β)＝cs (α－γ)
B．315sin x＋35cs x＝35sin x+π6
C．f (x)＝sin x2＋cs x2的最大值为2
D．sin 50°(1＋3tan 10°)＝1
CD 解析：对于A，左边＝－[cs (α－β)·cs (β－γ)－sin (α－β)sin (β－γ)]＝－cs [(α－β)＋(β－γ)]＝－cs (α－γ)，故A错误；
对于B，315sin x＋35cs x＝65·32sinx+12csx＝65sin x+π6，故B错误；
对于C，f (x)＝sin x2＋cs x2＝2sin x2+π4，
所以f (x)的最大值为2，故C正确；
对于D，由sin 50°(1＋3tan 10°)＝sin 50°·1+3×sin10°cs10°＝sin 50°·cs10°+3sin10°cs10°＝2sin50°cs50°cs10°＝sin100°cs10°＝cs10°cs10°＝1，故D正确．
13．如图，在平面直角坐标系Oxy中，顶点在坐标原点，以x轴的非负半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆O分别交于A，B两点，x轴的非负半轴与单位圆O交于点M，已知S△OAM＝55，点B的横坐标是－7210．
(1)求cs (α－β)的值；
(2)求2α－β的值．
解：(1)由题意知，OA＝OM＝1，
则有S△OAM＝12OA·OM·sin α＝55，解得sin α＝255．
又α为锐角，则cs α＝1−sin2α＝55．
因为钝角β的终边与单位圆O的交点B的横坐标是－7210，则csβ＝－7210，sin β＝1−cs2β＝210，
所以cs(α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β
＝55×−7210＋255×210＝－1010．
(2)由(1)知sin α＝255，cs α＝55，sin β＝210，cs β＝－7210，
则sin (α－β)＝sin αcs β－cs αsin β
＝255×−7210－55×210＝－31010，
从而sin (2α－β)＝sin [α＋(α－β)]
＝sin αcs (α－β)＋cs αsin (α－β)
＝255×−1010＋55×−31010＝－22．
因为α为锐角，sin α＝255＞22，则有α∈π4，π2，2α∈π2，π．
又β∈π2，π，因此2α－β∈−π2，π2，所以2α－β＝－π4．
14．已知△ABC不是直角三角形，且在△ABC中，sin A sin B sin (C－θ)＝λsin2C，其中tanθ＝340＜θ＜π2．
(1)若tan C＝2，λ＝1，求1tanA＋1tanB的值．
(2)是否存在λ，使得1tanA＋1tanB＋2tanC为定值？若存在，求出λ的值，并求出该定值；若不存在，请说明理由．
解：(1)由tan θ＝340＜θ＜π2，可得sin θ＝35，cs θ＝45．
由λ＝1，得sin A sin B sin (C－θ)＝sin2C，则sinA sin B·45sinC−35csC＝sin2C.由tanC＝2，可得sin C＝ 255，
所以sin A sin B＝tanCsinC45tanC−35＝455，
所以1tanA＋1tanB＝csAsinA＋csBsinB＝sinCsinAsinB＝12．
(2)存在．由(1)得sin A sin B·45sinC−35csC＝λsin2C，即1λ45sinC−35csC＝sin2CsinAsinB．又由1tanA＋1tanB＋2tanC＝sinCsinAsinB＋2csCsinC＝sin2CsinAsinsinC＋2csCsinC＝1sinC×1λ·45sinC−35csC＋2csCsinC＝1λ×45－1λ×35×csCsinC＋2csCsinC＝k(令其定值为k)，
即4sin C－3cs C＋10λcs C＝5λk sin C恒成立，可得4=5λk，3=10λ，解得k＝83，λ＝310．
故存在λ＝310，使得1tanA＋1tanB＋2tanC为定值，其定值为83．
读
已知tanαtanα+π4＝－23，求sin 2α+π4的值
想
1.切化弦．
2．两角和与差的正弦公式、二倍角公式等
算
1.tan α+π4＝tanα+11−tanα．
2．sin 2α+π4＝22(sin 2α＋cs 2α)
思
转化与化归，即将切化为弦，利用同角三角函数的关系或利用二倍角公式求值；把正切转化为正弦与余弦的比值，利用α与α＋π4的正弦值、余弦值的关系求值