人教A版普通高中数学一轮复习第七章第二节等差数列学案

这是一份人教A版普通高中数学一轮复习第七章第二节等差数列学案，共24页。学案主要包含了常用结论等内容，欢迎下载使用。
2．探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系．
自查自测,
知识点一 等差数列的有关概念
1．判断下列说法的正误，正确的打“√”，错误的打“×”．
(1)数列6，4，2，0是公差为2的等差数列．( × )
(2)等差数列的定义用符号语言表示为an＝an－1＋d.( × )
(3)常数列也是等差数列．( √ )
(4)在等差数列{an}中，a4是a2与a6的等差中项．( √ )
2．若m和2n的等差中项为4，2m和n的等差中项为5，则m与n的等差中项为 ．
3 解析：由m和2n的等差中项为4，得m＋2n＝8.又由2m和n的等差中项为5，得2m＋n＝10.两式相加并整理得m＋n＝6，所以m与n的等差中项为m+n2＝62＝3.
核心回扣
1．定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．
2．递推公式：an＋1－an＝d(d为常数)．
3．等差中项：由三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有2A＝a＋b．
注意点：
递推公式中如果出现an－1，则必须注明n≥2.
自查自测
知识点二 等差数列的有关公式
1．(教材改编题)已知等差数列{an}的通项公式为an＝－5n＋3，则它的公差为( D )
A．3B．－3
C．5D．－5
2．设数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn.若a6＝2，且S5＝30，则S8等于( )
A．31B．32
C．33D．34
B 解析：由已知可得a1+5d=2，5a1+10d=30，
解得a1=263 ，d=−43，所以S8＝8a1＋8×72d＝32.
核心回扣
1．通项公式：an＝a1＋(n－1)d．
2．前n项和公式：Sn＝na1+an2＝na1＋nn−12d．
注意点：
(1)an＝nd＋a1－d，当d≠0时，是关于n的一次函数．
(2)Sn＝d2n2＋a1−d2 n，当d≠0时，是关于n的二次函数，不含常数项．
自查自测
知识点三 等差数列的性质
1．(教材改编题)在等差数列{an}中，a3，a9是方程x2＋24x＋12＝0的两根，则数列{an}的前11项和等于( )
A．66 B．132
C．－66D．－132
D 解析：因为a3，a9是方程x2＋24x＋12＝0的两根，所以a3＋a9＝－24.又a3＋a9＝2a6，所以a6＝－12，
所以S11＝11×a1+a112＝11×2a62＝－132.
2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝8，S8＝20，则a9＋a10＋a11＋a12等于( )
A．12B．8
C．20D．16
D 解析：在等差数列{an}中，S4，S8－S4，S12－S8仍为等差数列，即8，20－8，a9＋a10＋a11＋a12为等差数列，所以a9＋a10＋a11＋a12＝16.
3．(多选题)在等差数列{an}中，S5S8，则下列结论正确的是( )
A．dS5
D．S6，S7均为Sn中的最大值
ABD 解析：由S5S8，得a80，可得2(a7＋a8)>0.由结论a7＝0，a80时，等差数列单调递增；当公差d0，所以a1＝1.
a13+a23+a33+…+an3＝Sn2①，
当n≥2时，a13+a23+a33+…+an−13＝Sn−12②，
①－②，得an3＝Sn2−Sn−12＝(Sn－Sn－1)(Sn＋Sn－1)．
因为an>0，所以an2＝Sn＋Sn－1＝2Sn－an③.
因为a1＝1也符合上式，
所以当n≥2时，an−12＝2Sn－1－an－1④，
③－④，得an2−an−12＝2(Sn－Sn－1)－an＋an－1＝2an－an＋an－1＝an＋an－1.
又an＋an－1>0，所以an－an－1＝1.
所以数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，即an＝n.
等差数列的性质
考向1 等差数列的项的性质
【例3】(1)若等差数列{an}的前17项和S17＝51，则a5－a7＋a9－a11＋a13＝ ．
3 解析：因为S17＝a1+a172×17＝17a9＝51，所以a9＝3.根据等差数列的性质知a5＋a13＝a7＋a11，所以a5－a7＋a9－a11＋a13＝a9＝3.
(2)(2024·德州模拟)已知数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝2，b1＝－3，a7－b7＝17，则a2 024－b2 024的值为 ．
4 051 解析：令cn＝an－bn，因为{an}，{bn}都是等差数列，所以{cn}也是等差数列．设数列{cn}的公差为d，由已知，得c1＝a1－b1＝5，c7＝17，则5＋6d＝17，解得d＝2.故a2 024－b2 024＝c2 024＝5＋2 023×2＝4 051.
等差数列的项的性质的关注点
(1)在带有等差数列的题目中，只要出现与项的和有关的问题，一般优先考虑应用项的性质．
(2)项的性质常与等差数列的前n项和公式Sn＝na1+an2相结合．
考向2 等差数列前n项和的性质
【例4】(1)设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意的n∈N*，都有SnTn＝2n−34n−3，则a2b3+b13＋a14b5+b11的值为( )
A．2945B．1329
C．919D．1930
C 解析：由题意可知
b3＋b13＝b5＋b11＝b1＋b15＝2b8，
所以a2b3+b13＋a14b5+b11＝a2+a142b8＝a8b8＝S15T15
＝2×15−34×15−3＝2757＝919．
(2)等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前4m项和为 ．
360 解析：因为{an}为等差数列，所以Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，即30，100－30＝70，S3m－100成等差数列，所以30＋S3m－100＝70×2，解得S3m＝210.
又S2m－Sm，S3m－S2m，S4m－S3m成等差数列，即70，210－100＝110，S4m－210成等差数列，
所以S4m－210＋70＝2×110，解得S4m＝360.
[变式] 本例(1)中的其他条件不变，若SnTn＝2n3n+7，则a6b3＝ ．
1 解析：等差数列{an}，{bn}的前n项和分别是Sn，Tn，SnTn＝2n3n+7，
故可设Sn＝2kn2，Tn＝kn(3n＋7)，k≠0，则a6＝S6－S5＝22k，b3＝T3－T2＝22k，则a6b3＝1.

等差数列前n项和的常用性质
(1)在等差数列{an}中，数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．
(2)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；S2n－1＝(2n－1)an.
(3)在等差数列{an}，{bn}中，它们的前n项和分别记为Sn，Tn，则anbn＝S2n−1T2n−1．
1．已知数列{an}满足2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，a2＋a4＋a6＝12，a1＋a3＋a5＝9，则a3＋a4＝( )
A．6B．7
C．8D．9
B 解析：因为2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，
所以数列{an}是等差数列．
由等差数列的性质可得a2＋a4＋a6＝3a4＝12，a1＋a3＋a5＝3a3＝9，所以a4＝4，a3＝3，所以a3＋a4＝3＋4＝7.
2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5S10＝13，则S5S20+S10＝ ．
113 解析：令S5＝t，则由S5S10＝13，得S10＝3t.又由等差数列{an}的性质得S5，S10－S5，S15－S10，S20－S15成等差数列，故有 S10－S5＝2t，S15－S10＝3t，S20－S15＝4t，相加可得S20－S5＝9t，所以S20＝10t，所以S5S20+S10＝110t+3t＝113．
等差数列前n项和的最值
【例5】(多选题)(2024·安庆模拟)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10＝0，S15＝25，则( )
A．a5＝0
B．{an}的前n项和中S5最小
C．nSn的最小值为－49
D．Snn的最大值为0
BC 解析：设等差数列{an}的公差为d，因为等差数列{an}的前n项和为Sn，S10＝0，S15＝25，
所以10a1+45d=0，15a1+105d=25，解得a1＝－3，d＝23，
所以an＝13(2n－11)，所以a5＝－13，故A错误．
由an＝13(2n－11)可得Sn＝13(n2－10n)＝13(n－5)2－253，所以当n＝5时，Sn取得最小值，故B正确．
nSn＝13n3－103n2，设函数f(x)＝13x3－103x2(x>0)，则f′(x)＝x2－203x，
当x∈0，203时，f′(x)0，f(x)单调递增，
所以f(x)min＝f203．
又6