人教A版普通高中数学一轮复习第八章第五节椭圆学案

这是一份人教A版普通高中数学一轮复习第八章第五节椭圆学案，共29页。学案主要包含了常用结论等内容，欢迎下载使用。

自查自测
知识点一 椭圆的定义
1．判断下列说法的正误，正确的打“√”，错误的打“×”．
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( × )
(2)到点F1(1，0)，F2(－1，0)的距离之和等于2的点的轨迹是椭圆．( × )
2．(教材改编题)设P是椭圆x225＋y216＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于( )
A．4B．5
C．8D．10
D 解析：由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝2×5＝10.
核心回扣
1．平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
2．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数．
(1)若a＞c，则点M的轨迹为椭圆．
(2)若a＝c，则点M的轨迹为线段．
(3)若a＜c，则点M不存在．
自查自测
知识点二 椭圆的标准方程及几何性质
1．已知椭圆的焦点为(－1，0)和(1，0)，点P(2，0)在椭圆上，则椭圆的方程为( )
A．x24＋y23＝1 B．x24＋y2＝1
C．y24＋x23＝1 D．y24＋x2＝1
A 解析：由题意可知c＝1，a＝12×(2+12+0+2−12+0)＝2，所以b2＝a2－c2＝3，所以椭圆的方程为x24＋y23＝1.
2．(教材改编题)已知椭圆x225＋y2m2＝1(m＞0)的左焦点为F1(－4，0)，则m＝( )
A．2B．3
C．4D．9
B 解析：由4＝25−m2(m＞0)，得m＝3.
3．(2024·1月九省适应性测试)椭圆x2a2＋y2＝1(a＞1)的离心率为12， 则a＝( )
A．233B．2
C．3D．2
A 解析：由题意得b＝1，e＝ca＝a2−1a＝12，解得a＝233．
故选A.
4．已知点P是椭圆x25＋y24＝1上位于y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为 ．
152，1或152，−1 解析：设P(xP，yP)，xP＞0，由题意知|F1F2|＝2，则S△PF1F2＝12×|F1F2|×|yP|＝1，解得|yP|＝1.代入椭圆的方程，得xP25＋14＝1，解得xP＝152，因此点P的坐标为152，1或152，−1．
核心回扣
椭圆的标准方程和几何性质
【常用结论】
椭圆的焦点三角形
椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．如图所示，设∠F1PF2＝θ.
(1)当P为短轴端点时，θ 最大，S△F1PF2最大．
2S△F1PF2＝12|PF1||PF2|sin θ＝b2tan θ2＝c|y0|.
(3)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c；(4)|PF1|·|PF2|≤PF1+PF222＝a2.
(5)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cs θ；(6)焦点三角形的周长为2(a＋c)．
应用1 已知F1，F2是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且∠F1PF2＝2π3，若△PF1F2的面积为93，则b＝( )
A．9B．3
C．4D．8
B 解析：由焦点三角形的面积公式，得S△F1PF2＝b2tan π3＝93，解得b＝3.
应用2 已知F1，F2是椭圆C：x29＋y24＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为( )
A．13B．12
C．9D．6
C 解析：由题意，a2 ＝9，b2 ＝4，则|MF1| ＋|MF2 |＝2a＝6，所以|MF1|·|MF2|≤MF1+ MF222＝9(当且仅当|MF1|＝|MF2|＝3时，等号成立)．故选C.
椭圆的定义及应用
【例1】(1)一动圆P与圆A：(x＋1)2＋y2＝1外切，而与圆B：(x－1)2＋y2＝64内切，那么动圆的圆心P的轨迹是( )
A．椭圆B．双曲线
C．抛物线D．双曲线的一支
A 解析：设动圆P的半径为r，
又圆A：(x＋1)2＋y2＝1的半径为1，圆心A(－1，0)，
圆B：(x－1)2＋y2＝64的半径为8，圆心B(1，0)，
则由题意分析可知|PA|＝r＋1，|PB|＝8－r，|AB|＝2，
可得|PA|＋|PB|＝9.又9＞2＝|AB|，
则动圆的圆心P的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为9的椭圆．
(2)椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，A为椭圆上一动点(异于左、右顶点)．若△AF1F2的周长为6，且面积的最大值为3，则椭圆的标准方程为( )
A．x24＋y23＝1B．x23＋y22＝1
C．x22＋y2＝1D．x24＋y2＝1
A 解析：由椭圆的定义可得2(a＋c)＝6，所以a＋c＝3①.
当A在上(或下)顶点时，△AF1F2的面积取得最大值，即最大值为bc＝3②，
由①②及a2＝c2＋b2联立，求得a＝2，b＝3，c＝1，
可得椭圆的标准方程为x24＋y23＝1.
(3)设点P为椭圆C：x2a2＋y24＝1(a＞2)上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且∠F1PF2＝60°，则△PF1F2的面积为 ．
433 解析：(方法一)由题意知，c＝a2−4.
又∠F1PF2＝60°，|PF1|＋|PF2|＝2a，|F1F2|＝2a2−4，
所以|F1F2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|－2|PF1||PF2|cs 60°＝4a2－3|PF1|·|PF2|＝4a2－16，
所以|PF1||PF2|＝163，
所以S△PF1F2＝12|PF1||PF2|sin 60°＝12×163×32＝433．
(方法二)由题意得b2＝4，∠F1PF2＝60°，所以S△PF1F2＝4×tan 30°＝433．
椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求与椭圆相关的周长、面积、弦长的最值等．
(2)椭圆的定义常和余弦定理、正弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题．
1．(2024·温州模拟)已知椭圆x2100＋y236＝1上的一点P到焦点F1的距离为6，点M是PF1的中点，O为坐标原点，则|OM|＝( )
A．2B．4
C．7D．14
C 解析：如图所示，设椭圆的另一焦点为F2，因为O，M分别是F1F2和PF1的中点，所以|OM|＝12|PF2|.由椭圆的方程，得a＝10，所以2a＝20，所以|PF2|＝2a－|PF1|＝20－6＝14，所以|OM|＝7.故选C.
2．(2024·烟台调研)已知P为椭圆C上一点，F1，F2为椭圆的焦点，且|F1F2|＝23.若|PF1|与|PF2|的等差中项为|F1F2|，则椭圆C的标准方程为( )
A．x212＋y29＝1
B．x212＋y29＝1或x29＋y212＝1
C．x29＋y212＝1
D．x248＋y245＝1或x245＋y248＝1
B 解析：由已知得|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝43，所以2c=23，2a=43，解得a=23，c=3，所以b2＝(23)2－(3)2＝9，
所以椭圆C的标准方程为x212＋y29＝1或x29＋y212＝1.
3．已知F1，F2分别是椭圆C：x29＋y24＝1的左、右焦点，M是椭圆C上一点，且MF1⊥F1F2，则cs ∠F1MF2＝( )
A．27B．35
C．45D．357
A 解析：因为椭圆C的方程为x29＋y24＝1，所以a＝3，b＝2.
因为F1，F2分别是椭圆C：x29＋y24＝1的左、右焦点，M是椭圆C上一点，且MF1⊥F1F2，
所以在椭圆C：x29＋y24＝1中，令x＝－5，
可得|y|＝43，
所以|MF1|＝43，|MF2|＝2a－|MF1|＝6－43＝143，
所以cs ∠F1MF2＝MF1MF2＝43143＝27．
椭圆的标准方程
【例2】(1)阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积公式，设椭圆的长半轴长、短半轴长分别为a，b，则椭圆的面积公式为S＝πab.若椭圆的离心率为12，面积为23π，则椭圆的标准方程为( )
A．x24＋y2＝1或y24＋x2＝1
B．x24＋y23＝1或y24＋x23＝1
C．x26＋y23＝1或y26＋x23＝1
D．x216＋y29＝1或x29＋y216＝1
B 解析：因为离心率为12，则有e＝ca＝12，所以a＝2c.
又椭圆的面积为S＝πab＝23π，
所以ab＝23.
又a2＝b2＋c2，解得a2＝4，b2＝3，
故椭圆的方程为x24＋y23＝1或y24＋x23＝1.
(2)如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－25，0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|，且|PF|＝4，则椭圆C的标准方程为( )
A．x225＋y25＝1B．x230＋y210＝1
C．x236＋y216＝1D．x245＋y225＝1
C 解析：由题意可得c＝25，设右焦点为F′，由|OP|＝|OF|＝|OF′|，
知∠PFF′＝∠FPO，∠OF′P＝∠OPF′，
所以∠PFF′＋∠OF′P＝∠FPO＋∠OPF′＝90°，即PF⊥PF′.
在Rt△PFF′中，由勾股定理，得|PF′|＝FF'2−PF2＝452−42＝8.
由椭圆的定义，得|PF|＋|PF′|＝2a＝4＋8＝12，从而a＝6，得a2＝36，
于是 b2＝a2－c2＝36－(25)2＝16，
所以椭圆C的标准方程为x236＋y216＝1.
求椭圆标准方程的主要方法
(1)定义法：先根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义，并确定a2，b2的值，再结合焦点位置写出椭圆方程．特别地，利用定义法求椭圆方程要注意条件2a＞|F1F2|.
(2)待定系数法：利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，即首先确定焦点所在的位置，然后根据条件建立关于a，b的方程组．如果焦点位置不确定，可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)的形式．
1．已知椭圆的两个焦点分别为F1(－5，0)，F2(5，0)，M是椭圆上一点．若MF1⊥MF2，|MF1|·|MF2|＝8，则该椭圆的方程是( )
A．x27＋y22＝1B．x22＋y27＝1
C．x29＋y24＝1D．x24＋y29＝1
C 解析：设|MF1|＝m，|MF2|＝n，因为MF1⊥MF2，|MF1|·|MF2|＝8，|F1F2|＝25，所以m2＋n2＝20，mn＝8，所以(m＋n)2＝36，所以m＋n＝2a＝6，即a＝3.因为c＝5，所以b＝a2−c2＝2，所以椭圆的方程是x29＋y24＝1.
2．“5＜m＜7”是“方程x27−m＋y2m−5＝1表示椭圆”的( )
A．充分必要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
C 解析：由方程x27−m＋y2m−5＝1表示椭圆，可得7−m＞0，m−5＞0，7−m≠m−5，解得5＜m＜7且m≠6.
因为5＜m＜7⇒/ 5＜m＜7且m≠6，
5＜m＜7且m≠6⇒5＜m＜7，
所以“5＜m＜7”是“5＜m＜7且m≠6”的必要不充分条件，
即“5＜m＜7”是“方程x27−m＋y2m−5＝1表示椭圆”的必要不充分条件．
椭圆的几何性质
考向1 求离心率(或范围)
【例3】(1)(2024·广州模拟)如图，椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点为F1，F2，过F2的直线交椭圆于A，B两点．若AF1⊥AB，△AF1B的三边构成等差数列，则椭圆C的离心率为( )
A．22B．54
C．23或54D．22或53
D 解析：由题意，若|AF1|＞|AB|，则设|AF1|＝x＋d，|AB|＝x，|BF1|＝x＋2d，其中d＞0，
所以根据勾股定理有(x＋2d)2＝x2＋(x＋d)2，
解得x＝3d或x＝－d(舍)．
由椭圆的定义知|AF1|＋|AF2|＝|BF1|＋|BF2|＝2a，
所以△ABF1的周长为4a，所以有a＝3d，
所以|AF1|＝4a3，|AF2|＝2a3．
在Rt△AF1F2中，由勾股定理得|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2，整理后得5a2＝9c2，
所以离心率e＝ca＝53．
若|AF1|＜|AB|，则设|AF1|＝x，|AB|＝x＋d，|BF1|＝x＋2d，
所以根据勾股定理有(x＋2d)2＝x2＋(x＋d)2，
解得x＝3d或x＝－d(舍)．
由椭圆的定义知|AF1|＋|AF2|＝|BF1|＋|BF2|＝2a，
所以△ABF1的周长为4a，所以有a＝3d，
所以|AF1|＝a＝|AF2|.
在Rt△AF1F2中，由勾股定理得2a2＝4c2，
所以离心率e＝ca＝22．
综上，椭圆离心率为22或53．
(2)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的半焦距为c，且满足c2－b2＋ac＜0，则该椭圆的离心率e的取值范围是 ．
0，12 解析：因为c2－b2＋ac＜0，所以c2－(a2－c2)＋ac＜0，即2c2－a2＋ac＜0，所以2c2a2－1＋ca＜0，即2e2＋e－1＜0，解得－1＜e＜12．又0＜e＜1，所以0＜e＜12．故椭圆的离心率e的取值范围是0，12．
[变式] 本例(2)中其他条件不变，若a，b，c的关系变为c2＋2ac－a2＜0，试求椭圆离心率的取值范围．
解：因为c2＋2ac－a2＜0，所以e2＋2e－1＜0，结合0＜e＜1，解得0＜e＜2－1.
即椭圆离心率的取值范围为(0，2－1)．
求椭圆离心率(范围)的方法
(1)求出a，c的值，利用离心率公式直接求解．
(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助b2＝a2－c2消去b，再除以a2，转化为含有e的方程(或不等式)求解．
考向2 与椭圆有关的最值问题
【例4】(1)已知点P是椭圆x225＋y216＝1上一动点，Q是圆(x＋3)2＋y2＝1上一动点，点M(6，4)，则|PQ|－|PM|的最大值为( )
A．4B．5
C．6D．7
C 解析：如图，由椭圆x225＋y216＝1，得两个焦点分别为F1(－3，0)，F2(3，0)．
由圆(x＋3)2＋y2＝1，得圆心坐标为(－3，0)，半径为1.
由椭圆的定义可知|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，
所以|PQ|≤|PF1|＋1＝10－|PF2|＋1＝11－|PF2|.
又点M(6，4)，故|MF2|＝6−32+4−02＝5，
则|PQ|－|PM|≤11－|PF2|－|PM|
＝11－(|PF2|＋|PM|)≤11－|MF2|＝11－5＝6，
所以|PQ|－|PM|的最大值为6.
(2)如图，焦点在x轴上的椭圆x24＋y2b2＝1(b＞0)的离心率e＝12，F，A分别是椭圆的左焦点和右顶点，P是椭圆上任意一点，则PF·PA的最大值为 ．
4 解析：由题意知a＝2，因为e＝ca＝12，
所以c＝1，所以b2＝a2－c2＝3，
故椭圆的方程为x24＋y23＝1.
设点P的坐标为(x0，y0)，－2≤x0≤2，－3≤y0≤3，
代入x24＋y23＝1，得y02＝3－34x02.
因为F(－1，0)，A(2，0)，
所以PF＝(－1－x0，－y0)，PA＝(2－x0，－y0)，
所以PF·PA＝x02−x0−2+y02＝14x02－x0＋1＝14(x0－2)2，
所以当x0＝－2时，PF·PA取得最大值4.
与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法
(1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质．
(2)利用函数，尤其是二次函数．
(3)利用不等式，尤其是基本不等式．
1．(2023·新高考全国Ⅰ卷)设椭圆C1：x2a2＋y2＝1(a＞1)，C2：x24＋y2＝1的离心率分别为e1，e2.若e2＝3e1，则a＝( )
A．233B．2
C．3D．6
A 解析：由椭圆C2：x24＋y2＝1，可得椭圆C2的离心率为e2＝32．
因为e2＝3e1，所以e1＝12＝a2−1a2，
解得a＝233或a＝－233(舍去)．
2．(多选题)某文物考察队在挖掘时，挖出了一件宋代小文物，该文物外面是红色透明蓝田玉材质，里面是一个球形绿色水晶宝珠，其轴截面(如图)由半椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1(x≥0)与半椭圆C2：x2c2＋y2d2＝1(x＜0)组成，其中a2＝b2＋c2 ，a＞b＞c＞0.设点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点，A1，A2和B1，B2是轴截面与x，y轴的交点，阴影部分是宝珠轴截面，该部分以曲线x2＋y2＝4为边界，F1，F2在宝珠珠面上，若∠F1F0F2＝60°，则以下命题中正确的是( )
A．椭圆C1的离心率是33
B．椭圆C1上的点到点F0的距离的最小值为27－23
C．椭圆C2的焦距为4
D．椭圆C2的长、短轴之比大于椭圆C1的长、短轴之比
BC 解析：因为F1，F2是半椭圆C2：x2c2＋y2d2＝1(x＜0)的焦点，所以F1，F2关于原点对称，且|F0F1|＝|F0F2|.
又因为∠F1F0F2＝60°，所以△F1F0F2为正三角形，|OF0|＝3|OF1|.
因为F1，F2在x2＋y2＝4上，所以|OF1|＝2，所以|OF0|＝3|OF1|＝23.
又因为半椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1(x≥0)的短轴与半椭圆C2：x2c2＋y2d2＝1(x＜0)的长轴相等，即d＝b，对于半椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1(x≥0)，
a2－b2＝|OF0|2＝(23)2＝12，
对于半椭圆C2：x2c2＋y2d2＝1(x＜0)，d2－c2＝|OF1|2＝4，
所以d=b， a2−b2=12，d2−c2=4，a2=b2+c2，所以b2＝d2＝16，c2＝12，a2＝28，
所以半椭圆C1的方程为x228＋y216＝1(x≥0)，半椭圆C2的方程为x212＋y216＝1(x＜0)．
对于A选项，椭圆C1的离心率为e＝28−1628＝2327＝217，故A选项不正确；
对于B选项，椭圆C1上的点到F0的距离的最小值为a－c＝27－23，故B选项正确；
对于C选项，椭圆C2的焦距为|F1F2| ＝4，故C选项正确；
对于D选项，椭圆C1的长、短轴之比为2a2b＝478＝72，椭圆C2的长、短轴之比为2d2c＝843＝233，
因为2332＝43≈1.3＜722＝74＝1.75，所以233＜72，
所以椭圆C2的长、短轴之比小于椭圆C1的长、短轴之比，故D选项错误．
故选BC.
椭圆中的“垂径”定理及应用
类比圆的垂径定理，原点与椭圆弦的中点连线的斜率、弦的斜率之间也有特殊的定值关系，为我们解决涉及弦、弦的中点的问题提供了另一个途径，该问题在近几年的高考命题中也屡屡涉及．
相关结论内容如下：A，B为椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)上的两点，M为AB的中点，若AB不与坐标轴平行，则有kAB·kOM＝－b2a2．
[典题展示]
已知椭圆x22＋y2＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋12对称，求实数m的取值范围．
思路展示 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，则M在直线y＝mx＋12上，显然m不为0，因此kAB＝－1m，kAB·kOM＝－12，
即−1m·y0x0＝－12，即y0＝12mx0.
又y0＝mx0＋12，所以12mx0＝mx0＋12，所以x0＝－1m，y0＝－12．
由点M在椭圆内部，可得x022+y02＜1，
即12m2＋14＜1，
解得m∈−∞，−63∪63，+∞．
解决此类题目可以先利用斜率乘积的关系得到原点与弦中点连线的方程，将这个方程与已知直线方程联立，解出弦中点坐标，再利用中点在圆锥曲线内部的性质，解出所求参数的取值范围．
[试题呈现]
设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2.若椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝90°，求离心率e的取值范围．
[四字程序]
[一题多解]
思路参考：利用椭圆的有界性．
解：设P(x，y)，又知F1(－c，0)，F2(c，0)，
则F1P＝(x＋c，y)，F2P＝(x－c，y)．
由∠F1PF2＝90°，知F1P⊥F2P，
则F1P·F2P＝0，
即(x＋c)(x－c)＋y2＝0，
得x2＋y2＝c2.
将这个方程与椭圆方程x2a2＋y2b2＝1联立，
消去y，可得x2＝a2c2−a2b2a2−b2．
由椭圆的有界性知0≤x2＜a2，
即0≤a2c2−a2b2a2−b2＜a2.
可得c2≥b2＝a2－c2且c2＜a2，
从而得e＝ca≥22，且e＝ca＜1，
所以e∈22，1．
思路参考：利用二次方程有实根．
解：由椭圆的定义，知|PF1|＋|PF2|＝2a，
两边平方得|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝4a2.
又由∠F1PF2＝90°，
知|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，
可得|PF1||PF2|＝2(a2－c2)．
因此，|PF1|与|PF2|是方程x2－2ax＋2(a2－c2)＝0的两个实根，
所以Δ＝4a2－8(a2－c2)≥0，得e2＝c2a2≥12，即e≥22．
又0＜e＜1，所以e∈22，1．
思路参考：利用不等式．
解：由椭圆的定义，得2a＝|PF1|＋|PF2|，平方后得4a2＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|≤2(|PF1|2＋|PF2|2)．又由∠F1PF2＝90°，知|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，所以4a2≤2|F1F2|2＝8c2，得c2a2≥12，当且仅当|PF1|＝|PF2|时取等号．又0＜e＜1，所以e∈22，1．
思路参考：利用图形的几何特性．
解：由∠F1PF2＝90°，知点P在以F1F2为直径的圆上．
又点P在椭圆上，所以该圆与椭圆有公共点P，
故有c≥b，则c2≥b2＝a2－c2，
可得e≥22．
又0＜e＜1，所以e∈22，1．
思路参考：利用∠F1PF2取值变化性质．
解：当点P为短轴顶点时，∠F1PF2取得最大值，
由题可知此时∠F1PF2≥90°，
所以∠OPF2≥45°，tan ∠OPF2≥1，即cb≥1，
所以c2≥b2，c2≥a2－c2，
得c2a2≥12，即e≥22．
又0＜e＜1，所以e∈22，1．
课时质量评价(五十)
1．若椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为( )
A．12B．33
C．22D．24
C 解析：因为椭圆的短轴长等于焦距，所以b＝c，所以a2＝b2＋c2＝2c2，所以e＝ca＝22．
2．已知F1，F2是椭圆C：x29＋y24＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为( )
A．13B．12
C．9D．6
C 解析：由椭圆的定义可知，|MF1|＋|MF2|＝2a＝6.
由基本不等式可得|MF1|·|MF2|≤MF1+MF222＝622＝9，当且仅当|MF1|＝|MF2|＝3时，等号成立．
3．设椭圆x2m＋y2n＝1(m＞0，n＞0)的离心率为e，则“e＝32”是“m＝4n”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B 解析：当m＞n时，e＝m−nm＝32，则m＝4n；
当m＜n时，e＝n−mn＝32，则n＝4m.
所以e＝32推不出m＝4n，充分性不成立．
当m＝4n时，则e＝m−nm＝32，必要性成立．
综上，“e＝32”是“m＝4n”的必要不充分条件．
4．(2022·全国甲卷)椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为14，则C的离心率为( )
A．32B．22
C．12D．13
A 解析：设P(m，n)(n≠0)，
则Q(－m，n)，易知A(－a，0)，
所以kAP·kAQ＝nm+a·n−m+a＝n2a2−m2＝14(*)．
因为点P在椭圆C上，
所以m2a2＋n2b2＝1，得n2＝b2a2(a2－m2)，
代入(*)式，得b2a2＝14，所以e＝ca＝1−b2a2＝32．
5．已知B(－3，0)是圆A：(x－3)2＋y2＝16内一点，点C是圆A上任意一点，线段BC的垂直平分线与AC相交于点D，则动点D的轨迹方程为 ．
x24＋y2＝1 解析：如图，连接BD，由题意得|BD|＝|CD|，则|BD|＋|DA|＝|CD|＋|DA|＝4＞23＝|AB|.
由椭圆的定义可得动点D的轨迹为椭圆，其焦点坐标为(±3，0)，长半轴长为2，
故短半轴长为1，故动点D的轨迹方程为x24＋y2＝1.
6．设B是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率的取值范围是 ．
0，22 解析：依题意，B(0，b)，设椭圆上一点P(x0，y0)，则|y0|≤b.由x02a2＋y02b2＝1，可得x02＝a2－a2b2y02，则|PB|2＝x02＋(y0－b)2＝x02+y02－2by0＋b2＝－c2b2y02－2by0＋a2＋b2≤4b2.
因为当y0＝－b时，|PB|2取得最大值4b2，
所以－b3c2≤－b，得2c2≤a2，
所以离心率e＝ca∈0，22．
7．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，焦点F1(－c，0)，F2(c，0)，左顶点为A，点E的坐标为(0，c)，点A到直线EF2的距离为62b.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)若P为椭圆C上的一点，∠F1PF2＝60°，△PF1F2的面积为3，求椭圆C的标准方程．
解：(1)由题意得A(－a，0)，
直线EF2的方程为x＋y＝c.
因为点A到直线EF2的距离为62b，
即−a−c12+12＝62b，所以a＋c＝3b，
即(a＋c)2＝3b2.
又b2＝a2－c2，
所以(a＋c)2＝3(a2－c2)，
所以2c2＋ac－a2＝0，
即2e2＋e－1＝0，
解得e＝12或e＝－1(舍)，
所以椭圆C的离心率为12．
(2)由(1)知离心率e＝ca＝12，即a＝2c①，
因为∠F1PF2＝60°，△PF1F2的面积为3，
则12|PF1||PF2|sin 60°＝3，
所以|PF1||PF2|＝4.
由PF1+PF2=2a， PF12+PF22−2PF1PF2cs60°=2c2，
得a2－c2＝3②，
联立①②得a＝2，c＝1，所以b2＝a2－c2＝3，
所以椭圆C的标准方程为x24＋y23＝1.
8．已知过椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左焦点F1(－1，0)的直线与椭圆交于不同的两点A，B，与y轴交于点C，点C，F1是线段AB的三等分点，则该椭圆的标准方程是( )
A．x26＋y25＝1B．x25＋y24＝1
C．x23＋y22＝1D．x24＋y23＝1
B 解析：如图，不妨设A(x0，y0)在第一象限，由椭圆的左焦点F1(－1，0)，点C，F1是线段AB的三等分点，
得C为AF1的中点，F1为BC的中点，
所以x0＝c＝1，
易得y0＝b2a，即A1，b2a，
所以C0，b22a，B−2，−b22a．
将点B的坐标代入椭圆方程，得4a2＋b44a2b2＝1，
即4a2＋b24a2＝1，结合a2－b2＝c2＝1，
解得a2＝5，b2＝4，
所以椭圆的标准方程是x25＋y24＝1.
9．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(c，0)，上顶点为A(0，b)，直线x＝a2c上存在一点P满足(FP+FA)·AP＝0，则椭圆的离心率的取值范围为( )
A．12，1B．22，1
C．5−12，1D．0，22
C 解析：取AP的中点Q，则FQ＝12(FP+FA)，
所以(FP+FA)·AP＝2FQ·AP＝0，
所以FQ⊥AP，所以△AFP为等腰三角形，
即|FA|＝|FP|，且|FA|＝b2+c2＝a.
因为点P在直线x＝a2c上，
所以|FP|≥a2c－c，即a≥a2c－c，
所以ac≥a2c2－1，所以e2＋e－1≥0，
解得e≥5−12或e≤−5−12．
又0＜e＜1，故5−12≤e＜1.
10．设椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点是同一个正三角形的顶点，焦点与椭圆上的点的最短距离为3，则这个椭圆的方程为 ，离心率为 ．
x212＋y29＝1或x29＋y212＝1 12 解析：焦点与椭圆上的点的最短距离为a－c＝3，
又短轴的一个端点与两焦点组成正三角形，所以a＝2c，所以c＝3，a＝23，b＝3，
所以椭圆的方程为x212＋y29＝1或x29＋y212＝1，
离心率e＝ca＝12．
11．如图，椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过椭圆上的点P作y轴的垂线，垂足为Q.若四边形F1F2PQ为菱形，则该椭圆的离心率为 ．
3−12 解析：由题意，F1(－c，0)，F2(c，0)，
因为四边形F1F2PQ为菱形，所以P(2c，3c)．
将点P的坐标代入x2a2＋y2b2＝1，可得4c2a2＋3c2b2＝1，
整理得4c4－8a2c2＋a4＝0，
所以4e4－8e2＋1＝0，解得e2＝2±32．
又0＜e＜1，所以e＝3−12．
12．如图所示，已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B．
(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；
(2)若椭圆的焦距为2，且AF2＝2F2B，求椭圆的方程．
解：(1)若∠F1AB＝90°，
则△AOF2为等腰直角三角形，
所以有|OA|＝|OF2|，即b＝c.
所以a＝2c，e＝ca＝22．
(2)由题意知A(0，b)，F2(1，0)，设B(x，y)，
由AF2＝2F2B，得2x−1=1，2y=−b，
解得x＝32，y＝－b2．
代入x2a2＋y2b2＝1，得94a2＋b24b2＝1.
即94a2＋14＝1，解得a2＝3.
所以b2＝a2－1＝2.
所以椭圆的方程为x23＋y22＝1.
13．已知F1，F2是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点．
(1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；
(2)若存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围．
解：(1)连接PF1(图略)．由△POF2为等边三角形可知，在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝3c，
于是2a＝|PF1|＋|PF2|＝(3＋1)c，
故C的离心率为e＝ca＝3－1.
(2)由题意可知，满足条件的点P(x，y)存在当且仅当12|y|·2c＝16，yx+c·yx−c＝－1，x2a2＋y2b2＝1，
即c|y|＝16①，x2＋y2＝c2②，x2a2＋y2b2＝1③.
由②③及a2＝b2＋c2得y2＝b4c2．
又由①知y2＝162c2，故b＝4.
由②③及a2＝b2＋c2得x2＝a2c2(c2－b2)，
所以c2≥b2，从而a2＝b2＋c2≥2b2＝32，故a≥42.
所以b＝4，a的取值范围为[42，＋∞)．
标准
方程
x2a2＋y2b2＝1
(a＞b＞0)
y2a2＋x2b2＝1
(a＞b＞0)
图形
性质
范围
－a≤x≤a，
－b≤y≤b
－b≤x≤b，
－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴；
对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)，
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b，0)，B2(b，0)
轴
长轴A1A2的长为2a；
短轴B1B2的长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝ca∈(0，1)
a，b，c
的关系
a2＝b2＋c2
读
在椭圆上存在点P，使得∠F1PF2为直角，求椭圆离心率e的取值范围
想
在焦点三角形中要注意应用：①椭圆的定义．②勾股定理或余弦定理．③三角形的面积公式
算
依据不同方法写出关于a，b，c的不等式，利用e＝ca或e＝1−b2a2计算
思
1.椭圆的有界性．
2．一元二次方程有实根的条件．
3．数形结合思想的应用