人教A版普通高中数学一轮复习第十章第二节二项式定理学案

这是一份人教A版普通高中数学一轮复习第十章第二节二项式定理学案，共22页。学案主要包含了常用结论等内容，欢迎下载使用。

自查自测
知识点一 二项式定理
1．判断下列说法的正误，正确的打“√”，错误的打“×”．
1C105x5是(1＋x)10二项展开式的第5项．( )
× 解析：C105x5是(1＋x)10二项展开式的第6项．
(2)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．( )
√ 解析：根据二项展开式中二项式系数的定义可知，此说法正确．
(3)(a＋b)n的展开式中某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同．( )
√ 解析：根据二项展开式中项的系数的定义可知，此说法正确．
2．在(x－y)n的二项展开式中，第m项的系数是( )
A.Cnm B.Cnm+1
C.Cnm−1 D.−1m−1Cnm−1
D 解析：在(x－y)n的二项展开式中，第m项为Tm＝Cnm−1xn－m+1(－y)m-1，所以系数为Cnm−1(－1)m-1.
3．(教材改编题)在2x3+1x 6的展开式中，x6的系数是 ．
160 解析：2x3+1x 6的展开式的通项为Tk＋1＝C6k(2x3)6－k1xk＝C6k26-kx3(6-k)·x－k＝C6k26-kx18-4k.令18－4k＝6，得k＝3，所以T4＝C63×23×x6＝160x6，所以x6的系数是160.
4．已知Cn0+2Cn1+22Cn2+23Cn3+…+2nCnn＝243，则n＝ ．
5 解析：逆用二项式定理得Cn0+2Cn1+22Cn2+23Cn3+…+2nCnn＝(1＋2)n＝243，即3n＝35，所以n＝5.
核心回扣
1．二项式定理
(1)定理：(a＋b)n＝Cn0an+Cn1an−1b1+…+Cnkan−kbk+…+Cnnbn (n∈N*)．
(2)通项：第k＋1项为Tk＋1＝Cnkan−kbk．
(3)二项式系数：二项展开式中各项的二项式系数为Cnk(k＝0，1，2，…，n)．
2．二项展开式形式上的特点
(1)项数为n＋1．
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n．
(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n.
注意点：
(a＋b)n的展开式与(b＋a)n的展开式的项完全相同，但对应的项不相同，而且两个展开式的通项不同．
自查自测
知识点二 二项式系数的性质
1．在1x−x10的展开式中，二项式系数最大的项是( )
A.第5项B．第6项
C.第7项D．第5或第7项
B 解析：在1x−x10的二项展开式中，第6项的二项式系数最大．故选B.
2．在二项式x2−2x n的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为 ．
－1 解析：由题意得2n＝32，所以n＝5.令x＝1，得各项系数的和为(1－2)5＝－1.
3．在(2x－1)6的展开式中，二项式系数最大的项的系数是 ．(用数字作答)
－160 解析：在(2x－1)6的展开式中，二项式系数最大的项是第4项，系数是C6323(－1)3＝－160.
核心回扣
1．二项式系数的性质
2．二项式系数和
(a＋b)n展开式的各二项式系数和：Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn＝2n．
【常用结论】
1．若二项展开式的通项为Tr＋1＝g(r)·xh(r)(r＝0，1，2，…，n)，g(r)≠0，则
(1)h(r)＝0⇔Tr＋1是常数项．(2)h(r)是非负整数⇔Tr＋1是整式项．
(3)h(r)是负整数⇔Tr＋1是分式项．(4)h(r)是整数⇔Tr＋1是有理项．
2．奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即Cn0+Cn2+Cn4＋…＝Cn1+Cn3+Cn5＋…＝2n-1.
应用1 在x+2x3的展开式中，常数项为( )
A．1B．3
C．6D．12
C 解析：因为x+2x3的展开式的通项为Tk＋1＝C3k·x3−k2·2k·x－k＝C3k·2k·x3−3k2．令3－3k＝0，得k＝1，所以常数项为T2＝C31×21＝6.故选C.
应用2 计算：C2n1+C32n+…+C2n2n−1＝ ．
22n-1 解析：因为在二项展开式中，奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，所以C2n1+C2n3+…+C2n2n−1＝22n2＝22n-1.
通项公式及其应用
考向1 求二项展开式中的特定项
【例1】(1)(2024·烟台模拟)若二项式x+ax7的展开式中1x3的系数是84，则实数a＝( )
A．2B．54
C．1D．24
B 解析：二项式x+ax7展开式的通项为Tk＋1＝C7kx7-kaxk＝C7kakx7-2k.又展开式中1x3的系数是84，令7－2k＝－3，得k＝5，所以C75a5＝84，解得a＝54.故选B.
(2)已知x−24xn的展开式中第4项与第6项的二项式系数相等，写出展开式中的一个有理项 ．
x4或1 120x或256x-2(写出其中一个即可) 解析：由题意知Cn3＝Cn5，所以n＝8，所以x−24x8的展开式的通项为Tk＋1＝C8k·(x)8-kx−24xk＝C8k(－2)kx4-34k，0≤k≤8，k∈Z.若Tk＋1为有理项，则4－34k∈Z，所以k＝0，4，8，故展开式中所有的有理项为T1＝C80(－2)0x4＝x4，T5＝C84(－2)4x4-34×4＝1 120x，T9＝C88(－2)8x4-34×8＝256x-2.
求二项展开式中特定项的步骤
第一步，利用二项式定理写出二项展开式的通项Tk＋1＝Cnkan－kbk，把字母和系数分离开(注意符号不要出错)；
第二步，根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零，有理项要求指数为整数)先列出相应方程(组)或不等式(组)，解出k；
第三步，把k代入通项中，即可求出Tk＋1，有时还需要先求n，再求k，才能求出Tk＋1或者其他量．
考向2 形如(a＋b)n(c＋d)m(m，n∈N*)的展开式
【例2】(1)(2022·新高考全国Ⅰ卷)1−yx·(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为 ．(用数字作答)
－28 解析：因为1−yx(x＋y)8＝(x＋y)8－yx(x＋y)8，其中(x＋y)8的展开式的通项为Tk＋1＝C8kx8-kyk，所以1−yx(x＋y)8的展开式中含x2y6的项为C86x2y6－yxC85x3y5＝－28x2y6，所以1−yx(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为－28.
(2)2x+1xx−1x6的展开式中x3的系数为 ．(用数字作答)
24 解析：因为2x+1xx−1x6＝2xx−1x6＋1xx−1x6，其中x−1x6展开式的通项为Tk＋1＝C6kx6-k−1xk＝−1kC6kx6-2k(0≤k≤6且k∈N)，所以2x+1xx−1x6的展开式中含x3的项为2x·−12C62x2＋x-1·−11C61x4＝24x3，所以2x+1xx−1x6的展开式中x3的系数为24.
求解形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式问题的思路
(1)若n，m中一个比较小，可考虑把它展开，如(a＋b)2(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)m，然后展开分别求解．
(2)观察(a＋b)n(c＋d)m是否可以合并，如(1＋x)5·(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5·(1－x)2.
(3)分别得到(a＋b)n，(c＋d)m的通项，综合考虑．
考向3 形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式
【例3】(2024·烟台模拟)在(x2－2x＋y)6的展开式中，含x5y2项的系数为( )
A．－480B．480
C．－240D．240
A 解析：把(x2－2x＋y)6看成是6个(x2－2x＋y)相乘，要得到x5y2，则对于这6个因式，2个因式取y，1个因式取x2，3个因式取－2x，此时x5y2的系数为C62C41C33·(－2)3＝－480，所以x5y2的系数为－480.故选A.
求三项展开式中某些特定项的系数的方法
(1)通过变形先把三项式转化为二项式，再用二项式定理求解．
(2)两次利用二项式定理的通项求解．
(3)由二项式定理的推证方法知，可用排列、组合的基本原理去求，即把三项式看作几个因式之积，看有多少种方法从这几个因式中取得特定项．
1．在(2x－y＋z)7的展开式中，令x3y2z2的项的系数为( )
A．1 680B．210
C．－210D．－1 680
A 解析：相当于在7个因式中有3个因式选2x，有C73种选法，余下的4个因式中有2个因式选－y，有C42种选法，最后余下2个因式选z，把所选式子相乘即可，而C73(2x)3·C42(－y)2·C22z2＝1 680x3y2z2，所以含x3y2z2的项的系数为1 680.
2．在x−2x13的展开式中，含x2的项的系数是 ．(用数字作答)
－2 288 解析：因为x−2x13的展开式的通项为Tk＋1＝C13k(－2)kx13−3k2，令13−3k2＝2，得k＝3，所以−8C133·x2＝－2 288x2，即含x2的项的系数是－2 288．
3．已知(x－1)(ax＋1)6的展开式中含x2项的系数为0，则正实数a＝ ．
25 解析：(ax＋1)6的展开式中含x2项的系数为C64a2，含x项的系数为C65a，由(x－1)(ax＋1)6的展开式中含x2项的系数为0，可得−C64a2+C65a＝0.因为a为正实数，所以15a＝6，解得a＝25．
二项式系数与项的系数问题
考向1 二项式系数与项的系数的最值问题
【例4】已知3x+123xn的展开式中，前三项的系数成等差数列．
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中系数最大的项．
解：(1)3x+123xn的展开式的通项为Tk＋1＝Cnk(3x)n－k123xk＝Cnk12kxn−2k3
．因为展开式中前三项的系数成等差数列，所以2Cn1·12＝Cn0·120+Cn2·14，即n＝1＋nn−18，整理得n2－9n＋8＝0，解得n＝8或n＝1.又因为n≥2，所以n＝8，所以第5项的二项式系数最大，所以二项式系数最大的项为T5＝C84124x8−83＝358．
(2)由(1)得展开式中项的系数为C8k12k，
令C8k12k≥C8k+112k+1，C8k12k≥C8k+112k−1，
得2×8！k！8−k！≥8！k+1！7−k！，8！k！8−k！≥2×8！k−1！9−k！，
整理得2k+2≥8−k，9−k≥2k，解得2≤k≤3.因为k∈N，所以当k＝2或k＝3时项的系数最大．因此，展开式中系数最大的项为T3＝C82122 x43＝7 x43和T4＝C83123 x23＝7 x23．
1．二项式系数最大项的确定方法
当n为偶数时，展开式中第n2+1项的二项式系数最大，最大值为Cnn2；当n为奇数时，展开式中第n+12项和第n+32项的二项式系数最大，最大值为C n−1n2或C nn+12．
2．二项展开式中系数最大项的求法
求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式中系数最大的项，一般是采用待定系数法．设展开式中各项的系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，应用Ak≥Ak−1，Ak≥Ak+1，解出k即可．
考向2 二项式系数与项的系数的和
【例5】(1)(2024·咸阳模拟)已知ax+1x2n的展开式的二项式系数和为64，各项系数和为729，则其展开式的常数项为 ．
240或3 840 解析：由于ax+1x2n的展开式的二项式系数和为64，即Cn0+Cn1+…+Cnn＝2n＝64，解得n＝6.
又由于ax+1x26的展开式的各项系数和为729，则令x＝1，得(a＋1)6＝729，解得a＝2或a＝－4.ax+1x26的展开式的通项为Tk＋1＝C6k(ax)6-k·1x2k＝a6−kC6kx6-3k.令6－3k＝0，解得k＝2，所以展开式的常数项为a4·C62，故当a＝2时，a4·C62＝240，当a＝－4时，a4·C62＝3 840.
(2)已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7.
求：①a1＋a2＋…＋a7；
②a1＋a3＋a5＋a7；
③a0＋a2＋a4＋a6；
④|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.
解：令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1(ⅰ)．
令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37(ⅱ)．
①令x＝0，得a0＝(1－0)7＝1，所以a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2.
②((ⅰ)－(ⅱ))÷2，得a1＋a3＋a5＋a7＝−1−372＝－1 094.
③((ⅰ)＋(ⅱ))÷2，得a0＋a2＋a4＋a6＝−1+372＝1 093.
④(方法一)因为在(1－2x)7的展开式中，a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零，所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)＝1 093－(－1 094)＝2 187.
(方法二)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|即为(1＋2x)7展开式中各项的系数和，令x＝1，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝37＝2 187.
[变式1] 本例(2)条件不变，求a0－a12＋a222－a323＋…－a727．
解：当x＝－12时，a0－a12＋a222－a323＋…－a727＝1−2×−127＝128.
[变式2] 本例(2)条件不变，求a1＋2a2＋3a3＋…＋7a7.
解：令f(x)＝(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，
则f′(x)＝7×(1－2x)6×(－2)＝－14×(2x－1)6＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋7a7x6，
令x＝1，则f′(1)＝－14×(2－1)6＝a1＋2a2＋3a3＋…＋7a7，
所以a1＋2a2＋3a3＋…＋7a7＝－14.
1．关于二项式系数和的两个结论
(1)二项展开式的二项式系数和为2n.
(2)奇数项与偶数项二项式系数和相等且为2n-1.
2．求二项展开式系数和的常用方法
(1)“赋值法”普遍适用于恒等式，对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b∈R)的式子，求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．
(2)一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)的展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝f1+f−12，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝f1−f−12．
1．在x−1xn的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最小的项的系数为( )
A．－126B．－70
C．－56D．－28
C 解析：因为只有第5项的二项式系数最大，所以n＝8，x−1x8的展开式的通项为Tk＋1＝−1kC8kx8-32k(k＝0，1，2，…，8)，所以展开式中奇数项的二项式系数与相应奇数项的系数相等，偶数项的二项式系数与相应偶数项的系数互为相反数．而展开式中只有第5项的二项式系数最大，因此展开式中第4项和第6项的系数相等且最小，为−13C83＝－56.
2．在(2x－3y)10的展开式中，求：
(1)二项式系数的和；
(2)各项系数的和；
(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；
(4)奇数项系数和与偶数项系数和．
解：(1)二项式系数的和为C100+C101+C102+…+C1010＝210.
(2)令x＝y＝1，各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1.
(3)奇数项的二项式系数和为C100+C102+…+C1010＝29，偶数项的二项式系数和为C101+C103+…+C109＝29.
(4)设(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10，
令x＝y＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1①，
令x＝1，y＝－1(或x＝－1，y＝1)，得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝510②，
①＋②，得2(a0＋a2＋a4＋…＋a10)＝1＋510，所以奇数项系数和为1+5102；
①－②，得2(a1＋a3＋a5＋…＋a9)＝1－510，所以偶数项系数和为1−5102．
二项式定理的综合应用
【例6】(1)利用二项式定理计算1.056，则其结果精确到0.01的近似值是( )
A．1.23B．1.24
C．1.33D．1.34
D 解析：1.056＝(1＋0.05)6＝C60+C61×0.05+C62×0.052+C63×0.053+…+C66×0.056＝1＋0.3＋0.037 5＋0.002 5＋…＋0.056≈1.34.
(2)(多选题)(2024·无锡模拟)若f(x)＝x5－5x4＋10x3－10x2＋5x－1，则( )
A．f(x)可以被(x－1)3整除
B．f(x＋y＋1)可以被(x＋y)4整除
C．f(30)被27除的余数为6
D．f(29)的个位数为6
AB 解析：因为f(x)＝x5－5x4＋10x3－10x2＋5x－1＝(x－1)5，
所以f(x)可以被(x－1)3整除，故A正确；
因为f(x＋y＋1)＝(x＋y)5，
所以f(x＋y＋1)可以被(x＋y)4整除，故B正确；
因为f(30)＝(30－1)5＝(27＋2)5＝C50×275+C51×274×2+…+C54×27×24+C55×25＝ C50×275+C51×274×2+…+C54×27×24＋27＋5，
所以f(30)被27除的余数为5，故C错误；
因为f(29)＝(29－1)5＝(30－2)5＝C50×305+C51×304×−2+…+C54×30×−24+C55×(－2)5＝C50×305+C51×304×−2+…+C54×30×(－2)4－32，
所以个位数为10－2＝8，故D错误．故选AB.
二项式定理应用的题型及解法
(1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式(数)的因式．
(2)二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不是很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx.
(多选题)设a∈N，且0≤a＜26 ，若5120＋a 能被13整除，则a 的值可以为( )
A．0B．11
C．12D．25
CD 解析：5120＋a＝(52－1)20＋a＝C200×5220×−10+C201×5219×−11+C202×5218×−12+…+C2019×521×−119+C2020×(－1)20＋a，
又52能被13整除，所以需使C2020×(－1)20＋a 能被13整除，即1＋a 能被13整除，
所以1＋a＝13k，k∈Z.
又0≤a＜26，且a∈N，所以a＝12或a＝25.故选CD.
[试题呈现]
4x+1x+45 的展开式中含x-3 的项的系数为( )
A．－1B．180
C．－11 520D．11 520
[四字程序]
[一题多解]
思路参考：将4x＋1x＋4通分并适当变形，将其化为可以应用二项式定理的形式．
B 解析：4x+1x+45＝4x2+1+4xx5＝2x+12x5＝2x+110x5，(2x＋1)10的展开式的通项为Sk＋1＝C10k(2x)10-k＝210−kC10kx10-k，k＝0，1，2，…，10.
4x+1x+45 的展开式的通项为Tk＋1＝Sk＋1·x-5＝210−kC10kx5-k，k＝0，1，2，…，10.
令5－k＝－3，则k＝8，
故4x+1x+45 的展开式中含x-3 的项为T9＝22C108x-3 ＝180x-3，该项的系数为180.
思路参考：将4x＋1x＋4化为完全平方形式，再利用二项式定理．
B 解析：4x+1x+45＝2x+1x25＝2x+1x10，
2x+1x10的通项为Tk＋1＝C10k(2x)10-k1xk＝C10k210-kx5-k2x－k2＝C10k210-kx5-k，
令5－k＝－3，得k＝8，
故4x+1x+45的展开式中含x-3的项为T9＝C108210－8x-3＝180x-3.
即该项的系数为180.
思路参考：将“4x＋1x”看作(a＋b)n中的“a”，“4”看作(a＋b)n中的“b”，解答本题．
B 解析：4x+1x+45 的展开式的通项为Tk＋1＝C5k×4x+1x5-k×4k，k＝0，1，2，…，5，4x+1x5-k的展开式的通项为Tm＋1＝C5−km·(4x)5-k－m1xm＝C5−km45-k－mx5-k-2m，m＝0，1，…，5－k.
令5－k－2m＝－3，则5－k＝2m－3.
又m≤5－k，所以2m－3≥m，所以5≥m≥3.
当m＝3时，k＝2，含x-3的项为C52×42×C33×45-2-3x-3＝160x-3；
当m＝4时，k＝0，含x-3的项为C50×40×C54×45-0-4x-3＝20x-3；
当m＝5时，k＝－2 (舍去)．
所以展开式中含x-3的项的系数为160＋20＝180.
思路参考：即把三项式看作几个因式之积，要得到特定项看有多少种方法从这几个因式中取因式中的量．
B 解析：根据题意，要得到含x-3 的项，相当于5个因式中有3个取1x，2个取4，或者有4个取1x，1个取4x，故4x+1x+45 的展开式中含x-3 的项为C53×1x3×42+C541x4×(4x)＝180x-3，即4x+1x+45 的展开式中含x-3 的项的系数为180.
课时质量评价(六十二)
1．(2024·开封模拟)1x−2x6展开式中的常数项是( )
A．－160B．－20
C．20D．160
A 解析：1x−2x6展开式的通项公式为Tk＋1＝C6kx－(6-k)·(－2x)k＝−2kC6kx2k-6，
令2k－6＝0，解得k＝3，
故1x−2x6展开式中的常数项为−8×C63＝－160.故选A.
2．(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9的展开式中x2的系数是( )
A．45B．84
C．120D．210
C 解析：(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9的展开式中，含x2项的系数为C22+C32+C42+…+C92＝C103＝120.故选C.
3．0.996的计算结果精确到0.001的近似值是( )
A．0.940B．0.941
C．0.942D．0.943
B 解析：0.996＝(1－0.01)6＝C60×1−C61×0.01+C62×0.012−C63×0.013+…+C66×0.016＝1－0.06＋0.001 5－0.000 02＋…＋0.016≈0.941.
4．(多选题)已知41x+3x2n展开式中的第三项的系数为45，则( )
A．n＝9
B．展开式中所有系数的和为1 024
C．二项式系数最大的项为中间项
D．含x3的项是第7项
BCD 解析：41x+3x2n展开式的第三项为T3＝Cn241xn−2(3x2)2＝Cn2x2−n4·x43＝Cn2x22−3n12，所以第三项的系数为Cn2＝45，所以n＝10，故A错误；
在41x+3x210中，令x＝1，得展开式中所有系数的和为210＝1 024，故B正确；
展开式总共有11项，则二项式系数最大的项为中间项，故C正确；
41x+3x210的通项公式为Tk＋1＝C10k·41x10−k(3x2)k＝C10kxk−104·x2k3＝C10kx11k−3012，
令11k−3012＝3，解得k＝6，所以含x3的项是第7项，故D正确．故选BCD.
5．在2x3−1x 6的展开式中，x2的系数是 ．
60 解析：二项式2x3−1x 6展开式的通项公式为Tk＋1＝C6k(2x3)6-k−1xk＝(－1)k26-k·C6kx18-4k，令18－4k＝2，解得k＝4，所以x2的系数为−14×22×C64＝60.
6．(2022·浙江卷)已知多项式(x＋2)·(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a2＝ ，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝ ．
8 －2 解析：含x2的项为x·C43·x·(－1)3＋2·C42·x2·(－1)2＝－4x2＋12x2＝8x2，故a2＝8；令x＝0，得2＝a0，令x＝1，得0＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－2.
7．已知①展开式中的所有项的系数之和与二项式系数之和的比为243∶32；②展开式中的前三项的二项式系数之和为16，在这两个条件中任选一个条件，补充在下面问题中的横线上，并完成解答．
问题：已知二项式2x2+1x n， ．
(1)求展开式中的二项式系数最大的项；
(2)求展开式中的系数最大的项．
注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．
解：(1)选①：令x＝1，得所有项的系数和为3n，又二项式系数和为2n，所以3n∶2n＝243∶32，解得n＝5.
选②：由题意得Cn0+Cn1+Cn2＝16，化简得n2＋n－30＝0，解得n＝5(n＝－6舍)．
由上述可知展开式中的二项式系数最大的项为第三、四项．
因为Tk＋1＝C5k(2x2)5-k1xk＝C5k25-kx10-3k，
所以T3＝C5225-2x10-6＝80x4, T4＝C5325-3x10-9＝40x.
(2)(方法一)由(1)知，2x2+1x 5展开式中的系数依次为C5025，C5124，C5223，C5322，C5421，C5520，其中系数最大的项为T2和T3，T2＝C5125-1x10-3＝80x7，T3＝C5225-2x10-6＝80x4.
(方法二)设展开式中的系数最大的项为Tk＋1，则Tk+1≥Tk+2，Tk+1≥Tk，所以C5k25−k≥C5k+125−k+1，C5k25−k≥C5k−125−k−1，
解得1≤k≤2.
因为k∈N*，所以k＝1或k＝2，所以系数最大的项为T2和T3，T2＝C5125-1x10-3＝80x7，T3＝C5225-2x10-6＝80x4.
8．已知(1－2x)2 024＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 024x2 024.
(1)求展开式中所有奇次项系数的和；
(2)求展开式中所有偶次项系数的和；
(3)求a12＋a222＋a323＋…＋a2 02422 024的值．
解：(1)当x＝1时，有a0＋a1＋a2＋…＋a2 024＝1①，
当x＝－1时，有a0－a1＋a2－a3＋…－a2 023＋a2 024＝32 024②，
令(①－②)÷2，得a1＋a3＋a5＋…＋a2 023＝1−32 0242．
(2)由(1)知，
令(①＋②)÷2，得a0＋a2＋a4＋…＋a2 024＝32 024+12．
(3)令x＝12，得a0＋a12＋a222＋a323＋…＋a2 02422 024＝0，
令x＝0，得a0＝1，
所以a12＋a222＋a323＋…＋a2 02422 024＝－1.
9．设复数x＝2i1−i(i是虚数单位)，则C2 0241x+C2 0242x2+C2 0243x3+…+C2 0242 024x2 024＝( )
A．0B．－2
C．－1＋iD．－1－i
A 解析：x＝2i1−i＝2i1+i1−i1+i＝－1＋i，由于C2 0241x+C2 0242x2+C2 0243x3+…+C2 0242 024x2 024＝(1＋x)2 024－1＝i2 024－1＝1－1＝0.
10．(数学与文化)在中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a，b，m(m>0)为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为a≡b(md m)．若a＝C200+C201×3+C202×32+…+C2020×320，a≡b(md 5)，则b的值可以是( )
A．2 004B．2 005
C．2 025D．2 026
D 解析：若a＝C200+C201×3+C202×32+…+C2020×320 ，由二项式定理，得a＝(1＋3)20＝420＝(5－1)20 ，则a＝C200×520−C201×519+…−C2019×5+C2020.因为C200×520−C201×519+…−C2019×5能被5整除，所以a除以5余C2020＝1.又因为a≡b(md 5)，选项中只有2 026除以5余1.故选D.
11．(多选题)关于多项式x+1x−24的展开式，下列结论中正确的有( )
A．各项系数之和为0
B．各项系数的绝对值之和为256
C．存在常数项
D．含x的项的系数为－40
ABC 解析：对于A，将x＝1代入多项式，可得各项系数和为(1＋1－2)4＝0，故A正确．对于B，取多项式x+1x+24，将x＝1代入多项式可得(1＋1＋2)4＝256，所以原多项式各项系数的绝对值之和为256，故B正确．对于C，多项式可化为x+1x−24，则展开式的通项公式为Tk＋1＝C4kx+1x4-k(－2)k.当4－k＝0，2，4，即k＝4，2，0时，x+1x4-k有常数项，即x+1x−24有常数项，且当k＝0时，常数项为C40C42＝6；当k＝2时，常数项为C42×2×(－2)2＝48；当k＝4时，常数项为(－2)4＝16，故原多项式的展开式的常数项为6＋48＋16＝70，故C正确．对于D，当k＝1时，展开式中含x的项为C41C31x×(－2)1＝－24x；当k＝3时，含x的项为C43x×(－2)3＝－32x，故原多项式的展开式中含x的项的系数为－56，故D错误．故选ABC.
12．若(x2－a)x+1x10的展开式中x6的系数为30，则a＝ ，展开式中的常数项为 ．
2 －294 解析：x+1x10的展开式的通项公式为Tk＋1＝C10kx10-k1xk＝C10kx10-2k，令10－2k＝4，解得k＝3，所以x4的系数为C103；令10－2k＝6，解得k＝2，所以x6的系数为C102，所以(x2－a)x+1x10的展开式中x6的系数为C103−aC102＝30，解得a＝2.
展开式中的常数项为x2·C106x−2−2C105x0＝－294.
13．(2024·泰安模拟)若(3x－4)5＝a0＋a1(x－1)＋…＋a5(x－1)5，则a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＝ ．
240 解析：已知(3x－4)5＝a0＋a1(x－1)＋…＋a5(x－1)5，对式子两边同时求导，
得15(3x－4)4＝a1＋2a2(x－1)＋3a3(x－1)2＋…＋5a5(x－1)4，
令x＝2，得15×(3×2－4)4＝a1＋2a2＋…＋5a5＝240.
14．已知(1＋2x)n展开式的二项式系数和为128，且(1＋2x)n＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋an(x＋1)n.
(1)求a2的值；
(2)求a1＋a2＋a3＋…＋an的值．
解：(1)由(1＋2x)n展开式的二项式系数和为128，
可得2n＝128＝27，即n＝7.
由(1＋2x)7＝[2(x＋1)－1]7＝C702x+17+C712x+16−11+…+C762x+1−16+C77(－1)7，
得a2＝C75(－1)522＝－84.
(2)令x＋1＝0，即x＝－1，得a0＝－1，
令x＋1＝1，即x＝0，得a0＋a1＋a2＋…＋a7＝1，
所以a1＋a2＋…＋a7＝2.
15．已知12+2xn.
(1)若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；
(2)若展开式中前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．
解：(1)由Cn4+Cn6＝2Cn5，
整理得n2－21n＋98＝0，所以n＝7或n＝14.
当n＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5，
所以T4的系数为C73·124·23＝352，
T5的系数为C74·123·24＝70.
当n＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T8，
所以T8的系数为C147·127·27＝3 432.
(2)由Cn0+Cn1+Cn2＝79，整理得n2＋n－156＝0，解得n＝12或n＝－13(舍去)．
设第k＋1项的系数最大，
因为12+2x12＝1212(1＋4x)12，
所以C12k4k≥C12k−14k−1，C12k4k≥C12k+14k+1，解得9.4≤k≤10.4.
又k∈N*，所以k＝10.
所以展开式中系数最大的项为第11项，T11＝C1210·122·210·x10＝16 896x10.
读
展开式中含x-3 的项的系数
想
将三项式转化为二项式积的形式，展开式的通项
算
4x＋1x＋4进行通分、因式分解；求出有关二项展开式的通项
思
转化与化归，即将三项式转化为二项式积的形式；回归本质，从两个计数原理及排列组合的基本原理角度思考