人教A版普通高中数学一轮复习第二章学科特色微专题嵌套函数的零点问题学案

这是一份人教A版普通高中数学一轮复习第二章学科特色微专题嵌套函数的零点问题学案，共3页。
类型一 判断嵌套函数零点的个数
【例1】已知函数f(x)＝lnx-1x，x＞0，x2+2x，x≤0，则函数y＝f[f(x)＋1]的零点个数是( )
A．2B．3
C．4D．5
D 解析：令t＝f(x)＋1＝lnx-1x+1，x＞0，x+12，x≤0.
①当t＞0时，f(t)＝ln t－1t，则函数f(t)在(0，＋∞)上单调递增，由于f(1)＝－1＜0，f(2)＝ln 2－12＞0，由零点存在定理可知，存在t1∈(1，2)，使得f(t1)＝0；
②当t≤0时，f(t)＝t2＋2t，由f(t)＝t2＋2t＝0，解得t2＝－2，t3＝0.作出函数t＝f(x)＋1，直线t＝t1，t＝－2，t＝0的图象如图所示．
由图象可知，直线t＝t1与函数t＝f(x)＋1的图象有两个交点；直线t＝0与函数t＝f(x)＋1的图象有两个交点；直线t＝－2与函数t＝f(x)＋1的图象有且只有一个交点．综上所述，函数y＝f[f(x)＋1]的零点个数为5.
解决嵌套函数零点个数的一般步骤
(1)换元解套，转化为t＝g(x)与y＝f(t)的零点．
(2)依次解方程，令f(t)＝0，求t，代入t＝g(x)求出x的值或判断图象交点个数．
类型二 由嵌套函数零点的个数求参数问题
【例2】已知函数f(x)＝-x2+2x，x≥0，x2-2x，x＜0， 若关于x的不等式[f(x)]2＋af(x)－b2＜0恰有1个整数解，则实数a的最大值是( )
A．2B．3
C．5D．8
D 解析：由题设，分段函数的图象如下：
①若b＝0，则[f(x)]2＋af(x)－b2＜0即为[f(x)]2＋af(x)＜0.
当a＞0时，－a＜f(x)＜0，
又因为关于x的不等式[f(x)]2＋af(x)－b2＜0恰有1个整数解，
所以其整数解必为3，且f(4)≤－a＜f(3)．
又f(3)＝－3，f(4)＝－8，所以3＜a≤8.
a≤0不必考虑．
②若b≠0，因为[f(x)]2＋af(x)－b2＜0有解，
所以Δ＝a2 ＋4b2＞0，
解得-a-a2+4b22＜f(x)＜-a+a2+4b22，其中-a-a2+4b22＜0＜-a+a2+4b22．
由于当f(x)＝0时，不等式的解集中含有2个整
数解{0，2}，故舍去．
综上，a的最大值为8.故选D.
已知函数零点的个数求参数范围时，常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点问题，需准确画出两个函数的图象，利用图象写出满足条件的参数范围．